Случайные величины в 𝑛-мерном пространстве

Лекция 7. Тема: Случайные величины (продолжение). 𝑛-мерное пространство 𝑅 𝑛 состоит из всех упорядоченных последовательностей чисел (𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ). Как нам известно из курса математического анализа, декартовым произведением числовых множеств A и B называется множество A×B, составленное из упорядоченных пар (𝑎, 𝑏), где 𝑎𝜖𝐴, 𝑏𝜖𝐵. 𝑛-мерное пространство 𝑅 𝑛 является декартовым произведением 𝑛 экземпляров числовой прямой 𝑅 = (−∞, +∞): 𝑅 𝑛 = 𝑅 × 𝑅 … × 𝑅. Пусть 𝐴𝑖 – подмножество числовой прямой, стоящей на i-м месте в этом декартовом произведении. Тогда декартово произведение 𝐴1 × 𝐴2 … × 𝐴𝑛 является подмножеством 𝑅 𝑛 и называется прямоугольником со сторонами 𝐴1 , 𝐴2 , …, 𝐴𝑛 . При работе со случайными величинами нас будут интересовать не любые прямоугольники, а прямоугольники 𝐵1 × 𝐵2 … × 𝐵𝑛 c борелевскими сторонами 𝐵1 , 𝐵2 , …, 𝐵𝑛 . Наименьшая 𝜎-алгебра, содержащая все прямоугольники с борелевскими сторонами, называется 𝜎 -алгеброй борелевских множеств в 𝑅 𝑛 и обозначается ℬ(𝑅 𝑛 ). Пусть случайные величины 𝑋1 , . . . , 𝑋𝑘 заданы на одном и том же вероятностном пространстве (Ω, 𝐾, 𝑃). Тогда при ∀𝜔 ∈ Ω упорядоченная последовательность 𝑋⃗(𝜔) = (𝑋1 (𝜔), 𝑋2 (𝜔), . . . , 𝑋𝑘 (𝜔)) является 𝑘-мерным вектором, т.е. функцией, определенной на Ω со значениями в 𝑅 𝑘 : Ω ⟶ 𝑅 𝑘 . Заметим, что для любого прямоугольника 𝐵1 × 𝐵2 … × 𝐵𝑘 c борелевскими сторонами 𝐵1 , 𝐵2 , …, 𝐵𝑘 следующее множество исходов является событием: {𝜔|(𝑋1 (𝜔), 𝑋2 (𝜔), . . . , 𝑋𝑘 (𝜔))𝜖𝐵1 × 𝐵2 … × 𝐵𝑘 } = ∏𝑘𝑖=1{𝜔|𝑋𝑖 (𝜔)𝜖𝐵𝑖 } ∈ 𝐾, так как для случайных величин 𝑋1 , . . . , 𝑋𝑘 и борелевских множеств 𝐵1 , …, 𝐵𝑘 множество исходов {𝜔|𝑋𝑖 (𝜔)𝜖𝐵𝑖 } является событием для ∀𝑖, а пересечение конечного числа событий является событием. Легко доказать, что множества 𝐵 ⊂ 𝑅 𝑘 , для которых {𝜔|𝑋⃗(𝜔)𝜖𝐵} является событием, образуют некоторую 𝜎-алгебру 𝜎𝑋⃗⃗ . Ясно, что эта 𝜎-алгебра содержит ℬ(𝑅 𝑘 ), так как ℬ(𝑅 𝑘 ) – наименьшая 𝜎-алгебра, содержащая все прямоугольники с борелевскими сторонами (она является пересечением всех 𝜎-алгебр, содержащих прямоугольники c борелевскими сторонами). Отсюда следует, для любого борелевского множества 𝐵 ⊂ 𝑅 𝑘 множество {𝜔|𝑋⃗(𝜔)𝜖𝐵} является событием и можно определить его вероятность. Вектор 𝑋⃗(𝜔) = (𝑋1 (𝜔), 𝑋2 (𝜔), . . . , 𝑋𝑘 (𝜔)) называется случайным вектором. Из прямоугольников с борелевскими сторонами 𝐵1 × 𝐵2 … × 𝐵𝑘 выберем прямоугольники специального вида (−∞, 𝑥1 ) × (−∞, 𝑥2 ) … × (−∞, 𝑥𝑘 ). Тогда мы можем определить функцию 𝑘 переменных 𝐹(𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑘 ) = 𝑃(𝑋1 (𝜔)𝜖(−∞, 𝑥1 ), . . . , 𝑋𝑘 (𝜔)𝜖(−∞, 𝑥𝑘 )) = 𝑃(𝑋1 < 𝑥1 , . . . , 𝑋𝑘 < 𝑥𝑘 ). Эта функция называется функцией распределения случайного вектора 𝑋⃗(𝜔) = (𝑋1 (𝜔), 𝑋2 (𝜔), . . . , 𝑋𝑘 (𝜔)) или совместной функцией распределения случайных величин 𝑋1 , . . . , 𝑋𝑘 . Случайные величины 𝑋1 , . . . , 𝑋𝑘 называются независимыми, если 𝑃(𝑋1 𝜖𝐵1 , . . . , 𝑋𝑘 𝜖𝐵𝑘 ) = 𝑃(𝑋1 𝜖𝐵1 ) ⋅⋅⋅ 𝑃(𝑋𝑘 𝜖𝐵𝑘 ) для любых борелевских множеств 𝐵1, …, 𝐵𝑘 . Независимость случайных величин 𝑋1 , . . . , 𝑋𝑘 равносильно независимости в совокупности событий 𝑋1 ∈ 𝐵1 , 𝑋2 ∈ 𝐵2, …, 𝑋𝑘 ∈ 𝐵𝑘 для любых борелевских множеств 𝐵1 , 𝐵2, …, 𝐵𝑘 . Можно доказать, что случайные величины 𝑋1 , . . . , 𝑋𝑘 независимы тогда и только тогда, когда 𝑃(𝑋1 < 𝑥1 , . . . , 𝑋𝑘 < 𝑥𝑘 ) = 𝑃(𝑋1 < 𝑥1 ) ⋅⋅⋅ 𝑃(𝑋𝑘 < 𝑥𝑘 ) для любых 𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑘 , т.е. 𝐹(𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑘 ) = 𝐹1 (𝑥1 ) ⋅⋅⋅ 𝐹𝑘 (𝑥𝑘 ), где 𝐹𝑖 - функция распределения 𝑋𝑖 . Функцию распределения 𝐹(𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑘 ) случайного вектора 𝑋⃗(𝜔) = (𝑋1 (𝜔), 𝑋2 (𝜔), . . . , 𝑋𝑘 (𝜔)) относят к дискретному типу, если этот случайный вектор принимает не более чем счетное число значений. Можно доказать, что в дискретном случае, зная совместную функцию распределения 𝐹(𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑘 ) случайных величины 𝑋1 , . . . , 𝑋𝑘 , можно найти распределения этих случайных величин. Они будут дискретными случайными величинами. Можно также 1 доказать, что дискретные случайные величины 𝑋1 , . . . , 𝑋𝑘 независимы тогда и только тогда, когда (1) (𝑘) (1) (𝑘) 𝑃(𝑋1 = 𝑥𝑖1 , . . . , 𝑋𝑘 = 𝑥𝑖𝑘 ) = 𝑃(𝑋1 = 𝑥𝑖1 ) ⋅⋅⋅ 𝑃(𝑋𝑘 = 𝑥𝑖𝑘 ) (1) (𝑘) для произвольных значений 𝑥𝑖1 , . . . , 𝑥𝑖𝑘 случайных величин 𝑋1 , . . . , 𝑋𝑘 соответственно. Пример 1. Если пара (𝑋, 𝑌) имеет дискретное распределение, то для нахождения совместной функции распределения случайных величин 𝑋 и 𝑌 достаточно знать вероятности 𝑝𝑖𝑗 = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 , 𝑌 = 𝑦𝑗 ) для всех возможных значений случайных величин 𝑋 и 𝑌. Эти вероятности задают в виде следующей таблицы 𝑋 𝑌 … 𝑦1 𝑦𝑛 … 𝑥1 𝑝11 𝑝1𝑛 … … …. … …. 𝑥𝑚 𝑝𝑚1 𝑝𝑚𝑛 𝑛 𝑛 𝑚 где ∑𝑚 𝑖=1 ∑𝑗=1 𝑝𝑖𝑗 = 1. Ясно, что 𝑝𝑖 = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ) = ∑𝑗=1 𝑝𝑖𝑗 , 𝑞𝑗 = 𝑃(𝑌 = 𝑦𝑗 ) = ∑𝑖=1 𝑝𝑖𝑗 . Таким образом, из совместного распределения можно найти распределения случайных величин 𝑋 и 𝑌. Их распределения являются дискретными. Если 𝑋, 𝑌 - независимые случайные величины, то 𝑝𝑖𝑗 = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 , 𝑌 = 𝑦𝑗 ) = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 )𝑃(𝑌 = 𝑦𝑗 ) = 𝑝𝑖 𝑞𝑗 , 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝐹1 (𝑥)𝐹2 (𝑦), где 𝐹1 (𝑥), 𝐹2 (𝑦) – функции распределения случайных величин 𝑋, 𝑌. Функцию распределения 𝐹(𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑘 ) случайного вектора 𝑋⃗(𝜔) = (𝑋1 (𝜔), 𝑋2 (𝜔), . . . , 𝑋𝑘 (𝜔)) относят к непрерывному типу, если существует такая неотрицательная функция 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑘 ), что 𝑥 𝑥 𝑥 F ( x1 , x2 ,..., xk ) = ∫−∞1 ∫−∞2 ⋅⋅⋅ ∫−∞𝑘 𝑓(𝑦1 , . . . , 𝑦𝑘 ) 𝑑𝑦1 𝑑𝑦2 ⋅⋅⋅ 𝑑𝑦𝑘 . Функция 𝑓(𝑥1 , . . . , 𝑥𝑘 ) называется совместной плотностью распределения случайных величин 𝑋1 , . . . , 𝑋𝑘 . Здесь присутствует кратный интеграл, вычисление которого по определенной схеме сводится к последовательному вычислению 𝑘 интегралов. Приведем свойства совместной плотности. +∞ +∞ +∞ 1. ∫−∞ ∫−∞ ⋅⋅⋅ ∫−∞ 𝑓(𝑦1 , . . . , 𝑦𝑘 ) 𝑑𝑦1 𝑑𝑦2 ⋅⋅⋅ 𝑑𝑦𝑘 = 1. 2. 𝑓(𝑥1 , . . . , 𝑥𝑘 ) = 𝜕 𝑘 𝐹(𝑥1 ,𝑥2 ,...,𝑥𝑘 ) . 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 ...𝜕𝑥𝑘 +∞ ∫−∞ 𝑓(𝑥1 , . . . , 𝑥𝑖 , . . . , 𝑥𝑘 )𝑑𝑥𝑖 3. Функция равна совместной плотности распределения случайных величин 𝑋1 , . . . , 𝑋𝑖−1 , 𝑋𝑖+1 , . . . , 𝑋𝑘 . Используя свойство 3 𝑘 − 1 раз, можно дойти до плотности распределения каждой случайной величины 𝑋𝑖 . Их распределения являются абсолютно непрерывными. Используя свойство 2 можно доказать, что независимость абсолютно непрерывных случайных величин 𝑋1 , . . . , 𝑋𝑘 , равносильно утверждению 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑘 ) = 𝑓1 (𝑥1 ) ⋅⋅⋅ 𝑓𝑘 (𝑥𝑘 ), где 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 ) - плотность распределения случайной величины 𝑋𝑖 . Пример 2. Если распределение пары (𝑋1 , 𝑋2 ) относится к абсолютно непрерывному типу, то функция распределения 𝐹(𝑥1 , 𝑥2 ) случайного вектора (𝑋1 , 𝑋2 ) имеет вид 𝑥 𝑥 𝐹(𝑥1 , 𝑥2 ) = ∫−∞1 ∫−∞2 𝑓(𝑦1 , 𝑦2 ) 𝑑𝑦1 𝑑𝑦2 . Ясно, что 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝜕2 𝐹(𝑥1 ,𝑥2 ) 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 . Так как 𝑥 +∞ 𝑥 +∞ 𝐹1 (𝑥1 ) = 𝑃(𝑋1 < 𝑥1 ) = 𝑃(𝑋1 < 𝑥1 , 𝑋2 < +∞) = 𝐹(𝑥1 , +∞) = ∫−∞1 (∫−∞ 𝑓(𝑦1 , 𝑦2 ) 𝑑𝑦2 ) 𝑑𝑦1 , то 𝑋1 имеет непрерывный тип распределения с функцией распределения 𝐹1 (𝑥1 ) = +∞ 𝐹(𝑥1 , +∞) и с плотностью распределения 𝑓1 (𝑥1 ) = ∫−∞ 𝑓(𝑦1 , 𝑦2 ) 𝑑𝑦2 . Аналогично, так как 𝐹2 (𝑥2 ) = 𝑃(𝑋2 < 𝑥2 ) = 𝑃(𝑋1 < +∞, 𝑋2 < 𝑥2 ) = 𝐹(+∞, 𝑥2 ) = ∫−∞2 (∫−∞ 𝑓(𝑦1 , 𝑦2 ) 𝑑𝑦1 )𝑑𝑦2 , 2 то 𝑋2 имеет непрерывный тип распределения с функцией распределения 𝐹2 (𝑥2 ) = +∞ 𝐹(+∞, 𝑥2 ) и с плотностью распределения 𝑓2 (𝑥2 ) = ∫−∞ 𝑓(𝑦1 , 𝑦2 ) 𝑑𝑦1 . Таким образом, зная совместную плотность распределения 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ) пары (𝑋1 , 𝑋2 ), можно найти плотности случайных величин 𝑋1 и 𝑋2. В случае независимых случайных величин 𝑋1 , 𝑋2 𝐹(𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝐹1 (𝑥1 )𝐹2 (𝑥2 ), 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑓1 (𝑥1 )𝑓2 (𝑥2 ). Перейдем к функциям случайных величин. Введем определение. Пусть 𝑦 = 𝑓(𝑥) – 𝑓 некоторая функция на числовой прямой: 𝑅 → 𝑅. Эта функция называется борелевской, если для любого борелевского множества B на числовой прямой множество 𝑓 −1 (𝐵) = {𝑥|𝑓(𝑥) ∈ 𝐵} является борелевским. Можно доказать, что все непрерывные функции одной переменной являются борелевскими. Если 𝑋 – случайная величина, заданная на вероятностном пространстве (Ω, 𝐾, 𝑃), а функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) – борелевская функция, то 𝑌 = 𝑓(𝑋) – случайная величина, заданная на вероятностном пространстве (Ω, 𝐾, 𝑃). Действительно, пусть B – борелевское множество на числовой прямой. Тогда {𝜔|𝑌(𝜔) ∈ 𝐵} = {𝜔|𝑓(𝑋) ∈ 𝐵} = {𝜔|𝑋(𝜔) ∈ 𝑓 −1 (𝐵)}𝜖𝐾, так как 𝑓 −1 (𝐵) – борелевское множество, а 𝑋 – случайная величина, заданная на вероятностном пространстве (Ω, 𝐾, 𝑃). Заметим, что из независимости случайных величин 𝑋1 , . . . , 𝑋𝑘 следует независимость случайных величин 𝑔1 (𝑋1 ), . . . , 𝑔𝑘 (𝑋𝑘 ), где 𝑔1 , . . . , 𝑔𝑘 – борелевские функции, так как для любых борелевских множеств 𝐵1, …, 𝐵𝑘 𝑃(𝑔1 (𝑋1 )𝜖𝐵1 , … , 𝑔𝑘 (𝑋𝑘 )𝜖𝐵𝑘 ) = 𝑃(𝑋1 𝜖𝑔1−1 (𝐵1 ), … , 𝑋𝑘 𝜖𝑔𝑘−1 (𝐵𝑘 ))= = 𝑃(𝑋1 𝜖𝑔1−1 (𝐵1 )) ⋅⋅⋅ 𝑃(𝑋𝑘 𝜖𝑔𝑘−1 (𝐵𝑘 )) = 𝑃(𝑔1 (𝑋1 )𝜖𝐵1 ) ⋯ 𝑃(𝑔𝑘 (𝑋𝑘 )𝜖𝐵𝑘 ). Пусть теперь 𝑦 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑘 ) – некоторая функция 𝑘 переменных: 𝑓 𝑅 𝑘 → 𝑅. Эта функция называется борелевской, если для любого борелевского множества B на числовой прямой множество 𝑓 −1 (𝐵) = {(𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑘 )|𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑘 ) ∈ 𝐵} является борелевским множеством в 𝑅 𝑘 . Если случайные величины 𝑋1 , . . . , 𝑋𝑘 заданы на одном и том же вероятностном пространстве (Ω, 𝐾, 𝑃), а функция 𝑦 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑘 ) – борелевская функция, то 𝑌 = 𝑓(𝑋1 , . . . , 𝑋𝑘 ) – случайная величина. Действительно, пусть B – борелевское множество на числовой прямой. Тогда {𝜔|𝑌 ∈ 𝐵} = {𝜔|𝑓(𝑋1 , . . . , 𝑋𝑘 ) ∈ 𝐵} = {𝜔|(𝑋1 , . . . , 𝑋𝑘 ) ∈ 𝑓 −1 (𝐵)}𝜖𝐾, −1 так как 𝑓 (𝐵) – борелевское множество в 𝑅 𝑘 , (𝑋1 , . . . , 𝑋𝑘 ) – случайный вектор, заданный на вероятностном пространстве (Ω, 𝐾, 𝑃). Можно доказать, что все непрерывные функции нескольких переменных являются борелевскими. Пусть 𝑋 – дискретная случайная величина с распределением … 𝑋 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 … 𝑝1 𝑝2 𝑝𝑛 P Математическим ожиданием 𝑀(𝑋) дискретной случайной величины 𝑋 называется число ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑝𝑖 , т.е. 𝑀(𝑋) = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑝𝑖 . Если 𝑋 имеет счетное число значений, то M (X ) = ∑∞ 𝑖=1 𝑥𝑖 𝑝𝑖 , если ряд сходится абсолютно. Математическое ожидание называют средним значением. Если взять дискретную случайную величину, все значения которой равновероятны, то математическое ожидание 𝑀(𝑋) равно среднему арифметическому всех значений 𝑋. Можно доказать, что если 𝑔(𝑥) – борелевская функция, то M [ g ( X )] = ∑𝑛𝑖=1 𝑔(𝑥𝑖 )𝑝𝑖 , если 𝑋 принимает конечное число значений, и 𝑀[𝑔(𝑋)] = ∑∞ 𝑖=1 𝑔(𝑥𝑖 )𝑝𝑖 , если 𝑋 принимает счетное число значений и ряд ∑∞ 𝑖=1 𝑔(𝑥𝑖 )𝑝𝑖 сходится абсолютно. 3 Пример 3. Пусть монета бросается дважды, 𝑋 - количество выпавших гербов. Тогда закон распределения 𝑋 имеет вид: 1 2 𝑋 1⁄4 1⁄2 1⁄4 P Следовательно, 1 1 1 𝑀(𝑋) = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑝𝑖 = 0 ⋅ 4 + 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 = 1, 1 1 1 1 𝑀(𝑋 2 ) = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 𝑝𝑖 = 0 ⋅ 4 + 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 4 = 1 2. Математическим ожиданием 𝑀(𝑋) абсолютно непрерывной случайной величины 𝑋 с плотностью распределения 𝑓(𝑥) называется число +∞ 𝑀(𝑋) = ∫−∞ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥, +∞ +∞ если существует интеграл ∫−∞ |𝑥|𝑓(𝑥)𝑑 𝑥 (т.е. если несобственный интеграл ∫−∞ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 сходится абсолютно). Можно доказать, что если 𝑔(𝑥) – борелевская функция, то +∞ 𝑀(𝑔(𝑋)) = ∫−∞ 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥, если существует +∞ ∫−∞ 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 интеграл +∞ ∫−∞ |𝑔(𝑥)|𝑓(𝑥)𝑑𝑥 (т.е. если несобственный интеграл сходится абсолютно). Пример 4. Пусть абсолютно непрерывная случайная величина 𝑋 задана плотностью распределения 0, если 𝑥 < 1, 𝑓(𝑥) = {𝑥 − 0,5, если1 ≤ 𝑥 ≤ 2, 0, если𝑥 > 2. Тогда +∞ 2 𝑥3 𝑥2 2 8 1 1 5 1 19 𝑀(𝑋) = ∫−∞ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫1 𝑥(𝑥 − 0,5)𝑑𝑥 = ( 3 − 4 ) | = (3 − 1) − (3 − 4) = 3 − 12 = 12. 1 +∞ 2 2 2 𝑥4 𝑥3 2 16 8 1 1 31 2 𝑀(𝑋 ) = ∫−∞ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫1 𝑥 (𝑥 − 0,5)𝑑𝑥 = ( 4 − 6 ) | = ( 4 − 6) − (4 − 6) = 12. 1 Замечание. Постоянную C мы можем рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую одно и то же значение c вероятностью единица. Ясно, что если 𝑋 – случайная величина, то 𝑎𝑋, 𝑋 + 𝑏, 𝑎𝑋 + 𝑏, 𝑋 2 , (𝑋 − 𝑎)2 , |𝑋|, (𝑋 − 𝑎)𝑛 , 𝑋 𝑛 , |𝑋|𝑛 , где 𝑎 и 𝑏 – постоянные, 𝑛 – натуральное число, являются случайными величинами, так как они имеют 𝑔 вид 𝑌 = 𝑔(𝑋), где 𝑔 – борелевская функция: 𝑅 → 𝑅. Если 𝑋 и 𝑌 – случайные величины, заданные на одном и том же вероятностном пространстве, то 𝑋 + 𝑌, 𝑋 − 𝑌, 𝑋𝑌 – случайные 𝑔 величины, так как они имеют вид 𝑍 = 𝑔(𝑋, 𝑌), где 𝑔 – борелевская функция: 𝑅 2 → 𝑅. Отсюда следует, что случайными величинами являются 𝑋𝑌 − 𝑎, (𝑋 − 𝑎)(𝑌 − 𝑏). Если случайные величины 𝑋1 , . . . , 𝑋𝑘 заданы на одном и том же вероятностном пространстве, то 𝑋 +...+𝑋 −𝑎 𝑋1 +. . . +𝑋𝑘 , 1 𝑏 𝑘 , 𝑋12 +. . . +𝑋𝑘2 , √𝑋12 +. . . +𝑋𝑘2 являются случайными величинами 𝑔 (например, имеют вид 𝑍 = 𝑔(𝑋1 , . . . , 𝑋𝑘 ), где 𝑔 – борелевская функция: 𝑅 𝑘 → 𝑅). Приведем свойства математического ожидания. 1. 𝑀(𝐶) = 𝐶. 2. 𝑀(𝑋 + 𝑏) = 𝑀(𝑋) + 𝑏. 3. 𝑀(𝑎𝑋) = 𝑎𝑀(𝑋). 4. 𝑀(𝑋 + 𝑌) = 𝑀(𝑋) + 𝑀(𝑌). 5. 𝑀(𝑋1 +. . . +𝑋𝑘 ) = 𝑀(𝑋1 )+. . . +𝑀(𝑋𝑘 ). 6. Если случайные величины 𝑋 и 𝑌 независимы, то 𝑀(𝑋𝑌) = 𝑀(𝑋)𝑀(𝑌). 7. Если 𝑋 ≥ 0, то 𝑀(𝑋) ≥ 0. 8. Если 𝑋 ≥ 𝑌, то 𝑀(𝑋) ≥ 𝑀(𝑌). Дисперсией 𝐷(𝑋) случайной величины 𝑋 называется число 𝑀[𝑋 − 𝑀(𝑋)]2. 4 Это число характеризует степень разброса значений случайной величины вокруг своего математического ожидания 𝑀(𝑋). В дальнейшем мы часто будем рассматривать отклонение случайной величины от ее математического ожидания. Следующий факт говорит об особенности 𝑀(𝑋) среди других значений. Рассмотрим функцию 𝑀(𝑋 − 𝑎)2 = 𝑀(𝑋 2 − 2𝑎𝑋 + 𝑎2 ) = 𝑀(𝑋 2 ) − 2𝑎𝑀(𝑋) + 𝑎2 . Этот квадратный трехчлен относительно переменной 𝑎 достигает минимума именно при 𝑎 = 𝑀(𝑋) и этот минимум равен 𝐷(𝑋). Величина 𝜎 = √𝐷(𝑋) называется среднеквадратическим отклонением случайной величины 𝑋. Таким образом, 𝐷(𝑋) = 𝜎 2 . Приведем свойства дисперсии. 1.𝐷(𝑋) ≥ 0 для любой случайной величины 𝑋, имеющей дисперсию. 𝟐. 𝐷(𝐶) = 0. 3. 𝐷(𝑋 + 𝑏) = 𝐷(𝑋). 4. 𝐷(𝑎𝑋) = 𝑎2 𝐷(𝑋). 5.𝐷(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎2 𝐷(𝑋). 6. 𝐷(𝑋) = 𝑀(𝑋 2 ) − [𝑀(𝑋)]2. В дискретном случае 2 ∞ 2 𝐷(𝑋) = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2 𝑝𝑖 − (∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑝𝑖 )2 или 𝐷(𝑋) = ∑∞ 𝑖=1 𝑥𝑖 𝑝𝑖 − (∑𝑖=1 𝑥𝑖 𝑝𝑖 ) . В абсолютно непрерывном случае +∞ +∞ D(X ) = ∫−∞ 𝑥 2 𝑓(𝑥)𝑑 𝑥 − (∫−∞ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑 𝑥)2. 7. Если случайные величины 𝑋 и 𝑌 независимы, то 𝐷(𝑋 + 𝑌) = 𝐷(𝑋) + 𝐷(𝑌), 𝐷(𝑋 − 𝑌) = 𝐷(𝑋) + 𝐷(𝑌). Пример 5. Монета бросается дважды. Пусть 𝑋 - количество выпавших гербов. Тогда закон распределения 𝑋 имеет вид: 1 2 𝑋 1⁄4 1⁄2 1⁄4 P Следовательно, 1 1 1 𝑀(𝑋) = 0 ⋅ + 1 ⋅ + 2 ⋅ = 1, 4 2 4 1 1 1 3 𝑀(𝑋 2 ) = 0 ⋅ 4 + 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 4 = 2, 𝐷(𝑋) = 𝑀(𝑋 2 ) − [𝑀(𝑋)]2 = 1,5 − 1 = 0,5, 𝜎=√𝐷(𝑋) =0,71. Пример 6. Пусть абсолютно непрерывная случайная величина 𝑋 задана плотностью распределения 0, если 𝑥 < 1, 𝑓(𝑥) = {𝑥 − 0,5, если1 ≤ 𝑥 ≤ 2, 0, если𝑥 > 2. Тогда +∞ 2 𝑥3 𝑥2 2 8 1 1 5 1 19 𝑀(𝑋) = ∫−∞ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫1 𝑥(𝑥 − 0,5)𝑑𝑥 = ( 3 − 4 ) | = (3 − 1) − (3 − 4) = 3 − 12 = 12. 1 4 3 +∞ 2 𝑥 𝑀(𝑋 2 ) = ∫−∞ 𝑥 2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫1 𝑥 2 (𝑥 − 0,5)𝑑𝑥 = ( 4 − 31 19 11 𝑥 6 16 8 1 1 8 1 31 2 ) | = ( 4 − 6) − (4 − 6) = 3 − 12 = 12, 1 𝐷(𝑋) = 𝑀(𝑋 2 ) − [𝑀(𝑋)]2 = 12 − (12)2 = 144 = 0,076, 𝜎 =√𝐷(𝑋) =0,276. Пусть 𝑘 - некоторое натуральное число. Моментом порядка 𝑘 случайной величины 𝑋 называется число 𝑀(𝑋 𝑘 ). Центральным моментом порядка 𝑘 случайной величины 𝑋 называется число 𝑀[𝑋 − 𝑀(𝑋)]𝑘 . Предполагается, что в этих формулах соответствующие математические ожидания существуют. Заметим, что разность [𝑋 − 𝑀(𝑋)]𝑚 мы можем разложить, используя формулу для (𝑎 + 𝑏)𝑚 , и вычисление центральных моментов свести к вычислению моментов. Эти задачи рассмотрим на семинаре. 5