Случайные величины

Лекция 6. Тема: Случайные величины. Рассмотрим случайный эксперимент с пространством элементарных событий Ω. Пусть 𝐾 - 𝜎-алгебра подмножеств множества Ω. Выбор той или иной 𝜎-алгебры подмножеств множества Ω зависит от задачи. Но только те подмножества множества Ω, которые входят в 𝜎-алгебру 𝐾, называются событиями и только для событий определяются вероятности. Пару (Ω, 𝐾) мы назвали измеримым пространством. Вероятностью мы назвали числовую функцию 𝑃, определенную на 𝜎алгебре 𝐾 и удовлетворяющую аксиомам неотрицательности, нормированности и 𝜎аддитивности. Если на 𝜎-алгебре 𝐾 задана вероятность, то тройку (Ω, 𝐾, 𝑃) мы назвали вероятностном пространством. Пусть некоторая величина в результате случайного эксперимента принимает числовые значения в зависимости от исхода эксперимента, т.е. является функцией 𝑋(𝜔), определенной на Ω. Пусть 𝐵 – некоторое подмножество числовой оси 𝐵 ⊂ 𝑅 = (−∞, +∞). Если мы хотим найти вероятность того, что величина 𝑋(𝜔) принадлежит множеству 𝐵, т.е. вероятность множества исходов {𝜔|𝑋(𝜔) ∈ 𝐵}, то это множество исходов должно быть событием, так как вероятность определяется только для событий. Пусть 𝑋 −1 (𝐵) = {𝜔|𝑋(𝜔) ∈ 𝐵}. Это множество называется полным прообразом множества 𝐵. Заметим, что класс 𝜎𝑋 множеств 𝐵, для которых 𝑋 −1 (𝐵) ∈ 𝐾, т.е. 𝑋 −1 (𝐵) является событием, является непустым классом (например, 𝑅 ∈ 𝜎𝑋 , так как 𝑋 −1 (𝑅) = Ω) со структурой 𝜎-алгебы, так как: 1. Если 𝑋 −1 (𝐵) ∈ 𝐾, то 𝑋 −1 (𝐵) = 𝑋 −1 (𝐵) ∈ 𝐾, т.е. если 𝐵 ∈ 𝜎𝑋 , то 𝐵 ∈ 𝜎𝑋 . ∞ −1 2. Если 𝑋 −1 (𝐵𝑖 ) ∈ 𝐾 ∀𝑖, то 𝑋 −1 (∑∞ 𝑖=1 𝐵𝑖 ) = ∑𝑖=1 𝑋 (𝐵𝑖 ) ∈ 𝐾, т.е. если 𝐵𝑖 ∈ 𝜎𝑋 ∀𝑖, то ∑∞ 𝑖=1 𝐵𝑖 ∈ 𝜎𝑋 . На числовой оси мы обычно имеем дело с точками и промежутками вида (𝑎, 𝑏), [𝑎, 𝑏], (𝑎, 𝑏], [𝑎, 𝑏), (−∞, 𝑏), (−∞, 𝑏], (𝑎, +∞), [𝑎, +∞). Следовательно, для наших целей нужно, чтобы 𝜎-алгеба 𝜎𝑋 содержала все эти множества. Как мы знаем, 𝜎-алгебра борелевских множеств ℬ(𝑅) является наименьшей 𝜎-алгеброй, содержащей эти множества. Таким образом, для наших целей достаточно, чтобы {𝜔|𝑋(𝜔) ∈ 𝐵} было событием для любого борелевского множества. Введем определение. Пусть дано вероятностное пространство (Ω, 𝐾, 𝑃). Случайной величиной называется числовая функция 𝑋(𝜔), заданная на множестве элементарных событий Ω, для которой {𝜔|𝑋(𝜔) ∈ 𝐵} ∈ 𝐾 для любого 𝐵 ∈ ℬ(𝑅). Пример 1. При однократном бросании монеты Ω = {Г, Р}, 𝐾 = {∅, {Г}, {Р}, Ω}, 𝑃(∅) = 0, 𝑃({Г}) = 1⁄2, 𝑃({Р}) = 1⁄2, 𝑃(Ω) = 1. Пусть нас интересует выпадение герба. Поставим гербу в соответствие 1, а решке 0. В результате получим функцию 𝑋(𝜔). определенную на множестве Ω. Эта функция является случайной величиной. Действительно, пусть 𝐵 – борелевское множество на числовой оси. Возможны 4 случая: 𝟏. 0 ∉ 𝐵, 1 ∉ 𝐵. Тогда 𝑋 −1 (𝐵) = {𝜔|𝑋(𝜔) ∈ 𝐵} = ∅ ∈ 𝐾, 𝑃({𝜔|𝑋(𝜔) ∈ 𝐵}) = 0. 2. 0 ∈ 𝐵, 1 ∉ 𝐵. Тогда 𝑋 −1 (𝐵) = {𝜔|𝑋(𝜔) ∈ 𝐵} = {Р} ∈ 𝐾, 𝑃({𝜔|𝑋(𝜔) ∈ 𝐵}) = 1⁄2. 3. 0 ∉ 𝐵, 1 ∈ 𝐵. Тогда 𝑋 −1 (𝐵) = {𝜔|𝑋(𝜔) ∈ 𝐵} = {Г} ∈ 𝐾, 𝑃({𝜔|𝑋(𝜔) ∈ 𝐵}) = 1⁄2. 4. 0 ∈ 𝐵, 1 ∈ 𝐵. Тогда 𝑋 −1 (𝐵) = {𝜔|𝑋(𝜔) ∈ 𝐵} = Ω ∈ 𝐾, 𝑃({𝜔|𝑋(𝜔) ∈ 𝐵}) = 1. Как мы знаем, можно дать другие, эквивалентные определения для 𝜎-алгебры борелевских множеств. Ранее, например, нами было доказано, что наименьшая 𝜎-алгебра, содержащая все промежутков вида [𝑎, 𝑏), совпадает с ℬ(𝑅). Такое же утверждение может быть доказано не только для промежутков вида [𝑎, 𝑏), но и для каждого из оставшихся промежутков [𝑎, 𝑏], (𝑎, 𝑏], (−∞, 𝑏), (−∞, 𝑏], (𝑎, +∞), [𝑎, +∞). Покажем, например, что наименьшая 𝜎-алгебра 𝑆, содержащая все промежутки вида (−∞, 𝑏), совпадает с ℬ(𝑅). С одной стороны, так как все промежутки вида (−∞, 𝑏) являются борелевскими, то обе 𝜎алгебры 𝑆 и ℬ(𝑅) содержат все промежутки вида (−∞, 𝑏). Но тогда 𝑆 ⊂ ℬ(𝑅), так как 𝑆 – наименьшая 𝜎-алгебра с таким свойством. С другой стороны, так как [𝑎, 𝑏) = (−∞, 𝑏) − (−∞, 𝑎), то обе 𝜎-алгебры 𝑆 и ℬ(𝑅) содержат все промежутки вида [𝑎, 𝑏). Но тогда ℬ(𝑅) ⊂ 𝑆, так как ℬ(𝑅) – наименьшая 𝜎-алгебра с таким свойством. Следовательно, 𝑆 = ℬ(𝑅). Приведем и для случайной величины эквивалентное определение. Случайной величиной называют функцию 𝑋 = 𝑋(𝜔), заданную на Ω, для которой {𝜔|𝑋(𝜔) < 𝑥} ∈ 𝐾 1 ∀𝑥 ∈ 𝑅. Действительно, пусть (−∞, 𝑥) ∈ 𝜎𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑅. Итак, обе 𝜎-алгебры 𝜎𝑋 и ℬ(𝑅) содержат все промежутки вида (−∞, 𝑥). Но тогда ℬ(𝑅) ⊂ 𝜎𝑋 , так как ℬ(𝑅) – наименьшая 𝜎-алгебра с таким свойством. Следовательно, {𝜔|𝑋(𝜔) ∈ 𝐵} ∈ 𝐾 ∀𝐵 ∈ ℬ(𝑅). Подробнее рассмотрим события вида {𝜔|𝑋(𝑤) < 𝑥}. Функция 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 < 𝑥), (1) заданная на всей числовой оси, называется функцией распределения случайной величины 𝑋. Из свойств вероятности следует, что 0 ≤ 𝐹(𝑥) ≤ 1. Особо выделим три свойства функции распределения. Свойство 1. Функция 𝐹(𝑥) есть неубывающая функция. Доказательство. Пусть 𝑥1 ≤ 𝑥2 . Тогда {𝑋 < 𝑥1 } ⊂ {𝑋 < 𝑥2 }. По свойству вероятностей, 𝐹(𝑥1 ) = 𝑃(𝑋 < 𝑥1 ) ≤ 𝑃(𝑋 < 𝑥2 ) = 𝐹(𝑥2 ). При изучении предельных свойств функции распределения мы будем использовать ее свойство 1. Легко доказать, что в случае неубывающей функции 𝐹(𝑥) при нахождении пределов 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑥) и 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑡) по Гейне мы можем рассматривать не произвольные 𝑥→+∞ 𝑡→𝑥−0 последовательности, а ограничиться только возрастающими последовательностями, а при нахождении пределов 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑥) и 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑡) можем ограничиться убывающими последовательностями. Свойство 2. 𝑥→−∞ 𝑡→𝑥+0 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑥) = 0, (2) 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑥) = 1. (3) 𝑥→−∞ 𝑥→+∞ Доказательство. Выберем убывающую последовательность {𝑥𝑛 }, где 𝑙𝑖𝑚 𝑥𝑛 = −∞. Тогда 𝑛→∞ последовательность событий 𝐵𝑛 = {𝜔|𝑋(𝑤) < 𝑥𝑛 } является убывающей. Заметим, что ∞ ⋂∞ 𝑛=1{𝑋 < 𝑥𝑛 } – невозможное событие, так как если 𝜔 ∈ ⋂𝑛=1{𝑋 < 𝑥𝑛 }, то число 𝑋(𝑤) должно быть меньше всех чисел 𝑥𝑛 , что невозможно, так как 𝑙𝑖𝑚 𝑥𝑛 = −∞. По формуле (15) 𝑛→∞ из лекции 3 получим 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑥𝑛 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑃(𝑋 < 𝑥𝑛 ) = 𝑃(⋂∞ 𝑛=1{𝑋 < 𝑥𝑛 }) = 𝑃(∅) = 0. 𝑛→∞ 𝑛→∞ Следовательно, 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑥) = 0. Выберем возрастающую последовательность {𝑥𝑛 }, где 𝑥→−∞ 𝑙𝑖𝑚 𝑥𝑛 = +∞. 𝑛→∞ Тогда последовательность событий 𝐵𝑛 = {𝜔|𝑋(𝑤) < 𝑥𝑛 } является возрастающей. Заметим, что ∑∞ 𝑛=1{𝑋 < 𝑥𝑛 } – достоверное событие, т.е. содержит все исходы, так как для любого 𝜔 ∈ Ω число 𝑋(𝑤) меньше хотя бы одного из чисел 𝑥𝑛 , так как 𝑙𝑖𝑚 𝑥𝑛 = +∞. По формуле (16) из лекции 3 получим 𝑛→∞ 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑥𝑛 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑃(𝑋 < 𝑥𝑛 ) = 𝑃(∑∞ 𝑖=1{𝑋 < 𝑥𝑖 }) = 𝑃(Ω) = 1. 𝑛→∞ 𝑛→∞ Следовательно, 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑥) = 1. 𝑥→+∞ Свойство 3. Функция 𝐹(𝑥) в любой точке 𝑥 непрерывна слева, т.е. 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑡) = 𝐹(𝑥). 𝑡→𝑥−0 (4) Доказательство. Выберем возрастающую последовательность {𝑡𝑛 }, где 𝑡𝑛 < 𝑥 ∀𝑛 и 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑛 = 𝑥. Тогда последовательность событий 𝐵𝑛 = {𝜔|𝑋(𝑤) < 𝑡𝑛 } является 𝑛→∞ возрастающей. Заметим, что событие ∑∞ 𝑛=1{𝑋 < 𝑡𝑛 } состоит из всех исходов, для которых 𝑋(𝑤) < 𝑥, так как 𝑋(𝑤) < 𝑥 тогда и только тогда, когда для хотя бы одного числа 𝑡𝑛 выполняется неравенство 𝑋(𝑤) < 𝑡𝑛 , так как 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑛 = 𝑥 и 𝑡𝑛 < 𝑥 ∀𝑛. По формуле (16) из 𝑛→∞ лекции 3 получим 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑡𝑛 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑃(𝑋 < 𝑡𝑛 ) = 𝑃(∑∞ 𝑖=1{𝑋 < 𝑡𝑖 }) = 𝑃(𝑋 < 𝑥) = 𝐹(𝑥). 𝑛→∞ 𝑛→∞ 2 Таким образом, 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑡) = 𝐹(𝑥). 𝑡→𝑥−0 Замечание. Так как для левостороннего предела 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑡) используется обозначение 𝑡→𝑥−0 𝐹(𝑥 − 0) = 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑡), то свойство 3 можно записать в следующем виде: 𝑡→𝑥−0 𝐹(𝑥 − 0) = 𝐹(𝑥). (5) Могут существовать точки, в которых функция 𝐹(𝑥) не является непрерывной справа, т.е. в некоторых точках условие непрерывности справа 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑡) = 𝐹(𝑥) может не 𝑡→𝑥+0 выполняться. В общем случае справедлива следующая формула: 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑡) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥). (6) 𝑡→𝑥+0 Действительно, выберем убывающую последовательность {𝑡𝑛 }, где 𝑡𝑛 > 𝑥 ∀𝑛 и 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑛 = 𝑥. 𝑛→∞ Заметим, что ⋂∞ 𝑛=1{𝑋 < 𝑡𝑛 } = {𝜔|𝑋(𝑤) ≤ 𝑥}, так как 𝑋(𝑤) ≤ 𝑥 тогда и только тогда, когда для всех чисел 𝑡𝑛 выполняется неравенство 𝑋(𝑤) < 𝑡𝑛 , так как 𝑡𝑛 > 𝑥 ∀𝑛 и 𝑙𝑖𝑚 𝑡𝑛 = 𝑥. 𝑛→∞ Последовательность событий 𝐵𝑛 = {𝜔|𝑋(𝑤) < 𝑡𝑛 } является убывающей. Следовательно, ∞ 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑡𝑛 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝑃(𝑋 < 𝑡𝑛 ) = 𝑃(⋂{𝑋 < 𝑡𝑛 }) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥). 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛=1 Замечание. Так как для правостороннего предела 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑡) используется обозначение 𝑡→𝑥+0 𝐹(𝑥 + 0) = 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑡), то формулу (6) можно записать в следующем виде: 𝑡→𝑥+0 𝐹(𝑥 + 0) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥). (7) Так как 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 𝑃(𝑋 < 𝑥) + 𝑃(𝑋 = 𝑥), а 𝑃(𝑋 < 𝑥) = 𝐹(𝑥), то 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝐹(𝑥 + 0) − 𝐹(𝑥). (8) Таким образом, если 𝑥 - точка разрыва функции распределения 𝐹(𝑥), то 𝑃(𝑋 = 𝑥) > 0 и функция 𝐹(𝑥) терпит скачок справа, так как слева она непрерывна. Таких точек не более чем счетное число. В самом деле, точек, в которых функция терпит скачок, больший чем 1⁄4 и меньший чем 1⁄2, не более трех, так как 0 ≤ 𝐹(𝑥) ≤ 1. По этой же причине скачков размера от 1⁄2𝑛 до 1⁄2𝑛−1 может быть не более чем 2𝑛 − 1. Ясно, что так мы сможем занумеровать все точки скачка. Следовательно, их не более чем счетное число. Справедливы следующие формулы: 𝑃(𝑋 < 𝑏) = 𝐹(𝑏), (9) 𝑃(𝑋 ≤ 𝑏) = 𝐹(𝑏 + 0), (10) 𝑃(𝑋 > 𝑏) = 1 − 𝐹(𝑏 + 0), (11) 𝑃(𝑋 ≥ 𝑏) = 1 − 𝐹(𝑏), (12) 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎), (13) 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝐹(𝑏 + 0) − 𝐹(𝑎), (14) 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎 + 0), (15) 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝐹(𝑏 + 0) − 𝐹(𝑎 + 0), (16) где 𝑎 < 𝑏. Формула (9) следует из определения (1) функции распределения. Формула (10) следует из формулы (7). Формула (11) следует из формулы 𝑃(𝑋 > 𝑏) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 𝑏) и формулы (10). Формула (12) следует из формулы 𝑃(𝑋 ≥ 𝑏) = 1 − 𝑃(𝑋 < 𝑏) и формулы (9). Формула (13) следует из формул {𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏} = {𝑋 < 𝑏} − {𝑋 < 𝑎} и (9). Так как {𝑋 < 𝑎} ⊂ {𝑋 < 𝑏} при 𝑎 < 𝑏, то 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑋 < 𝑏) − 𝑃(𝑋 < 𝑎) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎). Аналогично выводятся формулы (14)-(15) из соотношений {𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏} = {𝑋 ≤ 𝑏} − {𝑋 < 𝑎}, {𝑎 < 𝑋 < 𝑏} = {𝑋 < 𝑏} − {𝑋 ≤ 𝑎}, {𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏} = {𝑋 ≤ 𝑏} − {𝑋 ≤ 𝑎}. Если функция 𝐹(𝑥) является непрерывной в точке 𝑥, то 𝐹(𝑥 + 0) = 𝐹(𝑥 − 0) = 𝐹(𝑥). (17) Тогда из формулы (8) следует, что в такой точке 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 0. Следовательно, если 𝑏 - точка непрерывности функции распределения 𝐹(𝑥), то 𝑃(𝑋 ≤ 𝑏) = 𝐹(𝑏), 3 𝑃(𝑋 > 𝑏) = 1 − 𝐹(𝑏), 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎), Если 𝑎 - точка непрерывности функции распределения 𝐹(𝑥), то 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎), 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝐹(𝑏 + 0) − 𝐹(𝑎), Пример 2. Пусть функция распределения случайной величины 𝑋 имеет вид 0 при 𝑥 ≤ 0, 𝑥⁄4 при 0 < 𝑥 ≤ 1, 𝐹(𝑋) = { 𝑥⁄2 при 1 < 𝑥 ≤ 2, 1 при 𝑥 > 2. Найдите: а) 𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 3⁄2); б) 𝑃(1 < 𝑋 ≤ 3⁄2); в) 𝑃(3⁄4 ≤ 𝑋 ≤ 1); г) 𝑃(𝑋 ≤ 1); д) 𝑃(𝑋 < 1); е) 𝑃(𝑋 ≥ 1); ж) 𝑃(𝑋 > 1); з) 𝑃(𝑋 = 1). Решение. 𝐹(𝑋) 1 1⁄2 1⁄4 x 2 1 а) 𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 3⁄2) = 𝐹(3⁄2 + 0) − 𝐹(1) = 3⁄4 − 1⁄4 = 1⁄2; б) 𝑃(1 < 𝑋 ≤ 3⁄2) = 𝐹(3⁄2 + 0) − 𝐹(1 + 0) = 3⁄4 − 1⁄2 = 1⁄4, в) 𝑃(3⁄4 ≤ 𝑋 ≤ 1) = 𝐹(1 + 0) − 𝐹(3⁄4) = 1⁄2 − 3⁄16 = 5⁄16; г) 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 𝐹(1 + 0) = 1⁄2; д) 𝑃(𝑋 < 1) = 𝐹(1) = 1⁄4; е) 𝑃(𝑋 ≥ 1) = 1 − 𝐹(1) = 1 − 1⁄4 = 3⁄4; ж) 𝑃(𝑋 > 1) = 1 − 𝐹(1 + 0) = 1 − 1⁄2 = 1⁄2; з) 𝑃(𝑋 = 1) = 𝐹(1 + 0) − 𝐹(1) = 1⁄2 − 1⁄4 = 1⁄4. Часто нам известна только функция распределения случайной величины 𝑋, а само вероятностное пространство (Ω, 𝐾, 𝑃) и функция 𝑋(𝜔) неизвестны. Работая с функциями распределения случайных величин используют следующую модель вероятностного пространства и случайной величины. Пусть дана некоторая функция 𝐹(𝑥), обладающая свойствами 1-3 функций распределения. Построим вероятностное пространство (Ω, 𝐾, 𝑃) и определенную на нем случайную величину 𝑋 так, что 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 < 𝑥) ∀𝑥. (18) В качестве пространства элементарных событий Ω возьмем числовую ось 𝑅 = (−∞, +∞). В качестве 𝜎-алгебры событий 𝐾 возьмем 𝜎-алгебру ℬ(𝑅) борелевских множеств на числовой прямой. Теперь последовательно определим вероятность на 𝜎-алгебре ℬ(𝑅). В случае промежутков вида (−∞, 𝑏) вероятность определим по формуле 𝑃(−∞, 𝑏) = 𝐹(𝑏). (19) 4 Отсюда, из свойства функции 𝐹(𝑥) 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑥) = 1 следует, что 𝑃(Ω) = 𝑃(−∞, +∞) = 1, а из свойства 𝑥→+∞ 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑥) = 0 следует, что 𝑃(∅) = 0. В случае промежутков вида [𝑎, 𝑏) 𝑥→−∞ вероятность определим по формуле 𝑃([𝑎, 𝑏)) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎). (20) В примере 2 лекции 3 мы привели в качестве примера алгебры класс подмножеств множества Ω = 𝑅 = (−∞, +∞), содержащий пустое множество ∅ и все множества, которые представимы в виде объединения конечного числа непересекающихся промежутков вида [𝑎, 𝑏). На основании формулы (20) мы можем определить вероятность на этой алгебре. Вероятность объединения конечного числа непересекающихся промежутков вида [𝑎, 𝑏) определим как сумму вероятностей слагаемых, определенных по формуле (20). Можно доказать, что определенная на этой алгебре вероятность удовлетворяет всем трем аксиомам вероятности. Но искомая нами вероятность должна быть определена не на этой алгебре, а на 𝜎алгебре ℬ(𝑅) борелевских множеств на числовой прямой, которая является наименьшей 𝜎алгеброй, содержащей эту алгебру. Воспользуемся теоремой о продолжении вероятности с алгебры на 𝜎-алгебру. По этой теореме вероятность может быть единственным образом продолжена с алгебры на минимальную 𝜎-алгебру, содержащую эту алгебру (доказательство этой теоремы мы не приводим). Итак, вероятность 𝑃 определена на 𝜎алгебре ℬ(𝑅) борелевских множеств на числовой прямой и по функции 𝐹(𝑥) мы построили вероятностное пространство (Ω, 𝐾, 𝑃). Определим теперь случайную величину 𝑋 на Ω = 𝑅 = (−∞, +∞) по формуле 𝑋(𝑥) = 𝑥 ∀𝑥. (21) Тогда 𝑃(𝑋 < 𝑥) = 𝑃(−∞, 𝑥) = 𝐹(𝑥). При изучении функций распределения 𝐹(𝑥) удобно использовать построенную модель: считают, что Ω = 𝑅 = (−∞, +∞), 𝐾 = ℬ(𝑅), вероятность 𝑃 определена на 𝐾 по приведенной выше схеме, случайная величина 𝑋 определена на Ω по формуле 𝑋(𝑥) = 𝑥 ∀𝑥 ∈ 𝑅. Тогда данная функция 𝐹(𝑥), обладающая свойствами 1-3 функций распределения, является функцией распределения случайной величины 𝑋, т.е. 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 < 𝑥). В нашем курсе рассматриваются два типа функций распределения: дискретный тип и абсолютно непрерывный тип. Дискретный тип функций распределения соответствует случайным величинам, принимающим конечное или счетное число значений. Будем говорить, что случайная величина 𝑋 имеет дискретное распределение (является дискретной случайной величиной), если для некоторого конечного или счетного множества попарно различных значений {𝑥𝑖 |𝑖 ∈ 𝐼}, где 𝐼 = {1, 2, … , 𝑛} или 𝐼 = {1, 2, … , 𝑛, … }, выполнены два условия: 𝟏. 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ) = 𝑝𝑖 > 0 ∀𝑖 ∈ 𝐼. 2. ∑𝑖∈𝐼 𝑝𝑖 = 1. Ясно, что если случайная величина 𝑋 имеет дискретное распределение, то 𝑃(𝑋 ∈ 𝐵) = ∑𝑥𝑖 ∈𝐵 𝑝𝑖 ∀𝐵 ∈ ℬ(𝑅). (22) Замечание. Если Ω – дискретное пространство элементарных событий, то любая функция 𝑋(𝑤), заданная на Ω, является случайной величиной с дискретным распределением: 𝟏. {𝜔|𝑋(𝜔) ∈ 𝐵} - событие для любого 𝐵 ∈ ℬ(𝑅), так как событиями в дискретном случае являются все подмножества Ω. 2. 𝑋(𝑤) принимает конечное или счетное число значений, так как Ω состоит из конечного или счетного числа исходов. Дискретное распределение задают в виде таблиц X 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛 P 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑛 где 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 , или 5 X 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛 … P 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑛 … где 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 < ⋯ Из формулы (22) следует что функция распределения случайной величины 𝑋 имеет вид 𝐹(𝑥) = ∑𝑥𝑖 <𝑥 𝑝𝑖 ∀𝑥. (23) Из этой формулы следует, что функция распределения 𝐹(𝑥) случайной величины 𝑋 с дискретным распределением терпит скачок (разрыв справа) 𝑝𝑖 в точке 𝑥𝑖 , а между двумя соседними в таблице значениями остается постоянной: 0 при 𝑥 ≤ 𝑥1 , 𝑝1 при 𝑥1 < 𝑥 ≤ 𝑥2 , 𝑝1 + 𝑝2 при 𝑥2 < 𝑥 ≤ 𝑥3 , 𝐹(𝑥) = … {𝑝1 + 𝑝2 + ⋯ + 𝑝𝑛 = 1 при 𝑥 > 𝑥𝑛 . График этой функции имеет ступенчатый вид (если случайная величина 𝑋 принимает конечное число значений, то первая ступенька находится на прямой 𝑦 = 0, а последняя ступенька – на прямой 𝑦 = 1). 𝑝1+𝑝2 + ⋯ + 𝑝𝑛 = 1 𝐹(𝑋) … 𝑝1+𝑝2 𝑝2 𝑝1 x 𝑥1 𝑥𝑛 … Пример 3. Монета бросается дважды. В этом случае Ω = {ГГ, ГР, РГ, РР}. Если 𝑋 - число выпавших гербов, то 𝑋 – случайная величина, имеющая дискретное распределение со значениями 0, 1, 2. Когда монета бросается многократно, то вероятности значений 𝑋 можно найти по формуле Бернулли. В данном простом случае эти вероятности легко найти по классической схеме: 1 2 𝑋 1⁄4 1⁄2 1⁄4 P Перейдем ко второму типу распределения. Говорят, что случайная величина 𝑋 имеет абсолютно непрерывное распределение (является абсолютно непрерывной случайной величиной), если существует такая неотрицательная функция 𝑓(𝑥), определенная на всей числовой оси (−∞, +∞), что функция распределения 𝐹(𝑥) при всех 𝑥 ∈ (−∞, +∞) представима в виде 𝑥 𝐹(𝑥) = ∫−∞ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡. (24) Функция 𝑓(𝑥) называется плотностью распределения случайной величины 𝑋. Мы ограничимся кусочно-непрерывными функциями 𝑓(𝑥), т.е. такими функциями, которые непрерывны всюду за исключением конечного числа точек разрыва первого рода. Интеграл в правой части формулы (24) для функции 𝐹(𝑥) в курсе математического анализа называется интегралом с переменным верхним пределом. Приведем ряд свойств функции 𝐹(𝑥) (они доказываются в курсе математического анализа): 1. Функция 𝐹(𝑥) непрерывна во всех точках числовой прямой. 2. В точках непрерывности функции 𝑓(𝑥) выполняется равенство 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑏 3. ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎). Таким образом, если случайная величина 𝑋 имеет абсолютно непрерывное распределение, то 𝑥2 6 𝐹(𝑥 − 0) = 𝐹(𝑥 + 0) = 𝐹(𝑥), 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 0, 𝑃(𝑋 < 𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 𝐹(𝑥) 𝑃(𝑋 > 𝑥) = 𝑃(𝑋 ≥ 𝑥) = 1 − 𝐹(𝑥). Для абсолютно непрерывной случайной величины 𝑋 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑏 = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥. (25) Таким образом, вероятность 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, 𝑦 = 0, 𝑦 = 𝑓(𝑥): 𝑓(𝑥) x) x a b Из свойства функции распределения 𝑙𝑖𝑚 𝐹(𝑥) = 1 и из формулы (24) следует, что 𝑥→+∞ +∞ ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1, (26) т.е. площадь заштрихованной фигуры, приведенной ниже, равна 1: 𝑓(𝑥) x) x Пусть 𝑥 – точка непрерывности плотности 𝑓(𝑥), а Δ𝑥 – достаточно малое приращение аргумента 𝑥. Рассмотрим ниже узкую полоску под графиком плотности: 𝑓(𝑥) x x+Δ𝑥 x Площадь заштрихованной фигуры равна 𝑃(𝑥 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥 + Δ𝑥). Но при малых Δ𝑥 эту площадь можно найти приближенно, заменяя криволинейную трапецию прямоугольником со сторонами 𝑓(𝑥) и Δ𝑥: 𝑃(𝑥 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥 + Δ𝑥) ≈ 𝑓(𝑥)Δ𝑥. (27) Таким образом, для случайной величины 𝑋 вероятность попасть в произвольный малый интервал [𝑥, 𝑥 + Δ𝑥] приблизительно равна произведению плотности в точке 𝑥 на длину интервала Δ𝑥. Если мы зафиксируем некоторую малую длину интервала Δ𝑥 и будем перемещать точку 𝑥 по оси 𝑂𝑥, то плотность 𝑓(𝑥) характеризует вероятность для случайной величины 𝑋 попасть в интервал [𝑥, 𝑥 + Δ𝑥]. 7