Случайные события

4 Ëåêöèÿ 1. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Ëåêöèÿ 1. Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ. Àêñèîìû âåðîÿòíîñòåé. Âåðîÿòíîñòíûå ñõåìû. Êëàññè÷åñêîå è ñòàòèñòè÷åñêîå îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè. Äåéñòâèÿ íàä ñîáûòèÿìè. Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêè è ïðèìåíåíèå èõ äëÿ íàõîæäåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé. Çàäà÷à î âûáîðêå. Ãåîìåòðè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè. Çàäà÷à î âñòðå÷å. 1.1. Ïðåäìåò òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé ÿâëÿåòñÿ ðàçäåëîì ìàòåìàòèêè, èçó÷àþùèì çàêîíîìåðíîñòè â ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèÿõ. Ðàçäåë òåîðèè âåðîÿòíîñòåé  ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà, çàíèìàåòñÿ îöåíêîé õàðàêòåðèñòèê ýòèõ çàêîíîìåðíîñòåé íà îñíîâàíèè íàáëþäåíèé. Ðàññìîòðèì ïðèìåð. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè îäíîêðàòíîì áðîñàíèè ìîíåòû íåâîçìîæíî òî÷íî ïðåäñêàçàòü, êàê îíà óïàä¼ò  îðëîì èëè ðåøêîé íà âåðõíåé ñòîðîíå. Îäíàêî áûëî äàâíî îòìå÷åíî, ÷òî åñëè ìíîãî ðàç áðîñàòü ñèììåòðè÷íóþ ìîíåòó, îðåë äîëæåí âûïàäàòü â 50% ñëó÷àåâ, ïðè÷¼ì, ÷åì áîëüøå ÷èñëî îïûòîâ, òåì áëèæå (â îïðåäåë¼ííîì ñìûñëå) ðåàëüíûé ðåçóëüòàò ê ïðåäñêàçàííîìó. Ïîäîáíûå ¾ñòàòèñòè÷åñêèå¿ çàêîíîìåðíîñòè íàáëþäàþòñÿ âñåãäà, êîãäà èìåþò äåëî ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì îäíîðîäíûõ ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé. Ïðîÿâëÿþùèåñÿ ïðè ýòîì çàêîíîìåðíîñòè îêàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè îò èíäèâèäóàëüíûõ îñîáåííîñòåé îòäåëüíûõ ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, êîòîðûå êàê áû âçàèìíî ïîãàøàþòñÿ è óñðåäí¼ííûé ðåçóëüòàò îêàçûâàåòñÿ ïðàêòè÷åñêè íå ñëó÷àéíûì. Ýòà ïîäòâåðæä¼ííàÿ îïûòîì óñòîé÷èâîñòü ìàññîâûõ ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ñëóæèò îñíîâîé äëÿ ïðèìåíåíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ. Ìåòîäû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïðåäíàçíà÷åíû äëÿ ïðåäñêàçàíèÿ ñðåäíåãî, ñóììàðíîãî ðåçóëüòàòà ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé è íå äàþò âîçìîæíîñòè ïðåäñêàçàòü èñõîä îòäåëüíîãî ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ, êîòîðûé îñòà¼òñÿ íåîïðåäåë¼ííûì, ñëó÷àéíûì. Öåëü ïðèìåíåíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ ìåòîäîâ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû, íå èçó÷àÿ îòäåëüíîå ñëó÷àéíîå ÿâëåíèå, ÷òî ñëîæíî è èíîãäà íåâîçìîæíî, óñòàíîâèòü çàêîíû, ïðîÿâëÿþùèåñÿ â ìàññå ýòèõ ÿâëåíèé. Òàê, â ïðèìåðå ñ áðîñàíèåì ìîíåòû âìåñòî îïèñàíèÿ òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ îòäåëüíîé ìîíåòû ñðåäñòâàìè ìåõàíèêè, ÷òî î÷åíü ñëîæíî èëè Ëåêöèÿ 1. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 5 ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî, èçó÷àþò äîëþ ñëó÷àåâ, â êîòîðûõ âûïàäàåò îð¼ë. 1.2. Îïåðàöèè íàä ñëó÷àéíûìè ñîáûòèÿìè Îïðåäåëåíèå 1.1. ßâëåíèå, êîòîðîå ìîæåò ïðîèçîéòè èëè íå ïðîèçîéòè ïðè îñóùåñòâëåíèè íåêîòîðîãî êîìïëåêñà óñëîâèé, íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíûì ñîáûòèåì. Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ áóäåì îáîçíà÷àòü áîëüøèìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè: A,B,C,. . . Âñÿêîå îñóùåñòâëåíèå êîìïëåêñà óñëîâèé, ïðè êîòîðûõ èçó÷àåòñÿ ñëó÷àéíîå ñîáûòèå, áóäåì íàçûâàòü èñïûòàíèåì. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå êëàññè÷åñêèå äëÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïðèìåðû ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé. Ïðèìåð 1.1. Èñïûòàíèå: áðîñàíèå ìîíåòû. Ñîáûòèÿ: • A  âûïàäåíèå ¾îðëà¿, • B  âûïàäåíèå ¾ðåøêè¿. 1.2. Èñïûòàíèå: áðîñàíèå èãðàëüíîé êîñòè (êóáèêà ñ ïðîíóìåðîâàííûìè îò 1 äî 6 ãðàíÿìè). Ñîáûòèÿ: • C  âûïàäåíèå ÷èñëà 6, • D  âûïàäåíèå ÷¼òíîãî ÷èñëà, • E  âûïàäåíèå íå÷¼òíîãî ÷èñëà, • F  âûïàäåíèå ÷èñëà, ìåíüøåãî 7, • G  âûïàäåíèå ÷èñëà, áîëüøåãî 6. Ïðèìåð Ïðèìåð 1.3. Èñïûòàíèå: ðîçûãðûø òèðàæà ëîòåðåè. Ñîáûòèÿ: • H  íà äàííûé áèëåò âûïàë âûèãðûø, • K  äàííûé áèëåò áåç âûèãðûøà. Ïðèìåð 1.4. Èñïûòàíèå: ïðîâåðêà èñïûòàíèÿ ðàáîòîñïîñîáíîñòè ïðèáîðà. Ñîáûòèÿ: • L  ïðèáîð èñïðàâåí, • M  ïðèáîð íå èñïðàâåí. Ïðèìåð 1.5. Èñïûòàíèå: âûíèìàíèå øàðà èç óðíû. 6 Ëåêöèÿ 1. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À.  óðíå (íåïðîçðà÷íûé ÿùèê) èìåþòñÿ øàðû ïðîíóìåðîâàííûå èëè ðàçíûõ öâåòîâ, íàïðèìåð  áåëûå è ÷¼ðíûå. Ñëó÷àéíûì îáðàçîì âûíèìàåòñÿ øàð, êîòîðûé ïîñëå îñìîòðà âîçâðàùàåòñÿ èëè íå âîçâðàùàåòñÿ â óðíó. Ñîáûòèÿ: • N  âûíóòûé øàð áåëûé, • Ð  âûíóòûé øàð ÷¼ðíûé. 1.2. Ñîáûòèå íàçûâàåòñÿ äîñòîâåðíûì (â äàëüíåéøåì Ω), åñëè îíî îáÿçàòåëüíî ïîÿâèòñÿ, è íåâîçìîæíûì (â äàëüíåéøåì Ø), åñëè îíî íèêîãäà íå ïîÿâèòñÿ â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ. Îïðåäåëåíèå 1.1. ×àñòî äîñòîâåðíîå ñîáûòèå îáîçíà÷àþò áóêâîé U, à íåâîçìîæíîå  V. Çàìå÷àíèå 1.3. Ñîáûòèÿ A è B íàçûâàþòñÿ íåñîâìåñòíûìè, åñëè îíè íå ìîãóò ïîÿâèòüñÿ â îäíîì èñïûòàíèè. Åñëè ñîáûòèé áîëüøå äâóõ, îíè ìîãóò áûòü ïîïàðíî íåñîâìåñòíûìè, åñëè ëþáûå äâà èç íèõ íåñîâìåñòíû. Ïðîòèâîïîëîæíûì ñîáûòèþ À íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå A, ñîñòîÿùåå â íåïîÿâëåíèè À. Îïðåäåëåíèå  ïðèâåä¼ííûõ ïðèìåðàõ ñîáûòèå F ÿâëÿåòñÿ äîñòîâåðíûì, G  íåâîçìîæíûì, ñîáûòèÿ A è B íåñîâìåñòíû, òàêæå, êàê H è K. Ñîáûòèå  ÿâëÿåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûì ê À: B = A. Î÷åâèäíî, ÷òî ñîáûòèÿ À è A íåñîâìåñòíû. Îïðåäåëåíèå 1.4. Ñóììîé äâóõ ñîáûòèé A + B íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â íàñòóïëåíèè õîòÿ áû îäíîãî èç ýòèõ ñîáûòèé. Ïðîèçâåäåíèåì äâóõ ñîáûòèé A·B íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â íàñòóïëåíèè êàæäîãî èç ýòèõ ñîáûòèé. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñóììà è ïðîèçâåäåíèå äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ÷èñëî ñëàãàåìûõ èëè ñîìíîæèòåëåé áîëüøå äâóõ. Ïðèìåð 1.6. Èñïûòàíèå: èç êîëîäû ñëó÷àéíûì îáðàçîì èçâëåêàåòñÿ îäíà êàðòà. Ñîáûòèÿ: • R  ïîÿâëåíèå äàìû, • S  ïîÿâëåíèå êàðòû ïèêîâîé ìàñòè. Òîãäà ñîáûòèå R · S  ïîÿâëåíèå ïèêîâîé äàìû, R + S  ïîÿâëåíèå êàðòû èëè ïèêîâîé ìàñòè, èëè ëþáîé äàìû, â òîì ÷èñëå  ïèêîâîé äàìû. Ëåêöèÿ 1. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 7 Îïåðàöèè íàä ñîáûòèÿìè îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè, âûâîäèìûìè èç îïðåäåëåíèé. A + B = B + A, A · B = B · A, A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C, A · (B · C) = (A · B) · C = A · B · C, A · (B + C) = A · B + A · C, A + Ω = Ω, A · Ω = A, A + Ø = A, A · Ø = Ø, A + A = Ω, A + B = A · B, A · A = Ø, A · B = A + B. Çàìå÷àíèå 1.2.  ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì 1.2 ñîáûòèÿ A è B íåñîâìåñòíû ⇐⇒ A · B = Ø. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî â ãðóïïå ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé îäíîâðåìåííîå íàñòóïëåíèå ëþáûõ èç ýòèõ ñîáûòèé íåâîçìîæíî, ò.å. îíè íåñîâìåñòíû. 1.5. Íåñêîëüêî ñîáûòèé A1 , A2 , . . . , An ñîñòàâëÿþò ïîëíóþ ãðóïïó, åñëè â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ îáÿçàòåëüíî ïîÿâèòñÿ îäíî èç íèõ: n X Ai = Ω. Îïðåäåëåíèå i=1 Î÷åâèäíî, ÷òî ñîáûòèÿ A è Ā íåñîâìåñòíû è îáðàçóþò ïîëíóþ ãðóïïó. 8 Ëåêöèÿ 1. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 1.3. Îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà è å¼ ñâîéñòâà Ðàññìîòðèì n îäèíàêîâûõ èñïûòàíèé, â êàæäîì èç êîòîðûõ ìîæåò ïîÿâèòüñÿ íåêîòîðîå ñîáûòèå A. Îïðåäåëåíèå 1.6. Ïóñòü â N èñïûòàíèÿõ ñîáûòèå A ïîÿâèëîñü M ðàç. Îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòîé èëè ïðîñòî ÷àñòîòîé ñîáûòèÿ A â äàííîé ñåðèè èñïûòàíèé íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ÷èñëà èñïûòàíèé, â êîòîðûõ ñîáûòèå A ïîÿâèëîñü, ê îáùåìó ÷èñëó èñïûòàíèé: M P ∗ (A) = . (1.1) N Ïðèìåð 1.7. Åñëè èãðàëüíàÿ êîñòü áðîñàëàñü 10 ðàç (N = 10), à øåñò¼ðêà âûïàäàëà 3 ðàçà (M = 3), òî ÷àñòîòà ñîáûòèÿ A (ïîÿâëåíèÿ øåñò¼ðêè) ðàâíà P ∗ (A) = 3/10 = 0, 3. Îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà P ∗ (A) îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: (1) 0 6 P ∗ (A) 6 1. (2) P ∗ (Ω) = 1, P ∗ (Ø) = 0. (3) Äëÿ íåñîâìåñòíûå ñîáûòèé A è B . P ∗ (A + B) = P ∗ (A) + P ∗ (B). (1.2) Âûâåäåì ýòè ñâîéñòâà. Ñâîéñòâà 1 è 2 ïîëó÷àþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ 1.6. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâà 3 îáîçíà÷èì M  ÷èñëî ïîÿâëåíèé ñîáûòèÿ A, L  ÷èñëî ïîÿâëåíèé ñîáûòèÿ B , N  îáùåå ÷èñëî ïðîâåM L ä¼ííûõ èñïûòàíèé. Òîãäà: P ∗ (A) = , P ∗ (B) = , P ∗ (A + B) = N N M +L , åñëè ñîáûòèÿ A è B íåñîâìåñòíû. = N Îòñþäà ñëåäóåò ñâîéñòâî 3: P ∗ (A + B) = P ∗ (A) + P ∗ (B). Çàìå÷àíèå 1.3. Ñâîéñòâî 3 èíîãäà íàçûâàþò òåîðåìîé ñëîæåíèÿ ÷àñòîò.  îáùåì âèäå, äëÿ ëþáûõ ñîáûòèé A è B îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ñóììû äâóõ ñîáûòèé ðàâíà ñóììå èõ ÷àñòîò ìèíóñ ÷àñòîòà èõ ïðîèçâåäåíèÿ: P ∗ (A + B) = P ∗ (A) + P ∗ (B) − P ∗ (A · B). (1.3) Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ñîáûòèå A ïîÿâèëîñü â M , à ñîáûòèå B â L èñïûòàíèÿõ èç N , à îäíîâðåìåííî ñîáûòèÿ A è B (ò.å. A·B) â K Ëåêöèÿ 1. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 9 èñïûòàíèÿõ. Î÷åâèäíî: M +L−K M L K = + − = P ∗ (A) + P ∗ (B) − P ∗ (A · B). N N N N  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ðàññìàòðèâàòü íåñêîëüêî ñîáûòèé â èõ âçàèìîñâÿçè, íàïðèìåð, êîãäà íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü êàê âëèÿåò ïîÿâëåíèå èëè íåïîÿâëåíèå îäíîãî ñîáûòèÿ íà ÷àñòîòó äðóãîãî.  ýòîì ñëó÷àå, êðîìå ÷àñòîòû ñîáûòèÿ A âî âñåé ñåðèè èñïûòàíèé, âû÷èñëÿþò òàêæå ÷àñòîòó ñîáûòèÿ A, ó÷èòûâàÿ òîëüêî òå èñïûòàíèÿ, â êîòîðûõ ïîÿâèëîñü äðóãîå èíòåðåñóþùåå íàñ ñîáûòèå B . Èíûìè ñëîâàìè, ïåðåä îïðåäåëåíèåì ÷àñòîòû ñîáûòèÿ A ó÷èòûâàþò òîëüêî òå èñïûòàíèÿ, â êîòîðûõ êðîìå A ïîÿâèëîñü è B . Ýòà õàðàêòåðèñòèêà íàçûâàåòñÿ óñëîâíîé ÷àñòîòîé ñîáûòèÿ A ïðè óñëîâèè ïîÿâëåíèÿ B è îáîçíà÷àåòñÿ P ∗ (A/B) èëè PB∗ (A). P ∗ (A + B) = Îïðåäåëåíèå 1.7. Óñëîâíîé ÷àñòîòîé ñîáûòèÿ A ïðè óñëîâèè ïîÿâëåíèÿ B P ∗ (A/B) = PB∗ (A) íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ÷èñëà èñïûòàíèé, â êîòîðûõ ïîÿâèëèñü îáà ñîáûòèÿ A è B , ê ÷èñëó èñïûòàíèé, â êîòîðûõ ïîÿâèëîñü ñîáûòèå B . Åñëè â N èñïûòàíèÿõ ñîáûòèå B ïîÿâèëîñü L ðàç, à ñîáûòèå A ïîÿâèëîñü ñîâìåñòíî ñ ñîáûòèåì B K ðàç, òî K , L L P ∗ (B) = , N K P ∗ (AB) = . N Èç ôîðìóë (1.4)  (1.6) âûòåêàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà: P ∗ (A/B) = (1.4) (1.5) (1.6) Òåîðåìà 1.1 (óìíîæåíèÿ ÷àñòîò). Îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ñîáûòèé ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ óñëîâíîé ÷àñòîòû îäíîãî èç íèõ ïðè óñëîâèè ïîÿâëåíèÿ äðóãîãî íà îòíîñèòåëüíóþ ÷àñòîòó äðóãîãî ñîáûòèÿ: P ∗ (AB) = P ∗ (B) · P ∗ (A/B). (1.7) Åñëè ñîìíîæèòåëåé áîëüøå äâóõ, òî: P ∗ (A1 · A2 · · · Ak ) = P ∗ (A1 ) · P ∗ (A2 /A1 ) · P ∗ (A3 /A1 · A2 ) · · · · · · P ∗ (Ak /A1 · A2 · · · Ak−1 ). (1.8) 10 Ëåêöèÿ 1. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Ñðàâíèâàÿ óñëîâíûå ÷àñòîòû P ∗ (A/B) è P ∗ (A/B), ìîæíî ñóäèòü î âçàèìîñâÿçè ñîáûòèé A è B. Åñëè P ∗ (A/B) = P ∗ (A/B) = P ∗ (A) , (1.9) òî ÷àñòîòà ñîáûòèÿ A íå çàâèñèò îò òîãî, ïðîèçîøëî èëè íå ïðîèçîøëî ñîáûòèå B . Ýòî áóäåò ñïðàâåäëèâî äëÿ òàê íàçûâàåìûõ ¾íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé¿ A è B , äëÿ êîòîðûõ óñëîâíûå ÷àñòîòû (1.9) ðàâíû ÷àñòîòå P ∗ (A), êîòîðóþ ìîæíî íàçâàòü áåçóñëîâíîé. Äëÿ íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé ôîðìóëà (1.7) ïðèìåò âèä P ∗ (AB) = P ∗ (A) · P ∗ (B) , (1.10) à âìåñòî (1.8) èìååì ôîðìóëó: P ∗ k Y i=1  Ai = k Y P ∗ (Ai ). (1.11) i=1 1.4. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü Ïðè íåáîëüøîì ÷èñëå èñïûòàíèé ÷àñòîòà ìîæåò ñèëüíî êîëåáàòüñÿ è ÿâëÿåòñÿ ïîýòîìó ïëîõîé õàðàêòåðèñòèêîé ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ. Îäíàêî, ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ ÷èñëà èñïûòàíèé ÷àñòîòà ïîñòåïåííî ñòàáèëèçèðóåòñÿ, ò.å. ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ, ìàëî îòëè÷àþùèåñÿ îò íåêîòîðîãî âïîëíå îïðåäåë¼ííîãî ÷èñëà, òî åñòü ÷åì áîëüøå ÷èñëî èñïûòàíèé, òåì ðåæå áóäóò âñòðå÷àòüñÿ çíà÷èòåëüíûå îòêëîíåíèÿ ýòîé ÷àñòîòû îò ýòîãî ÷èñëà. Òàêèì îáðàçîì, ñ ðàññìàòðèâàåìûì ñîáûòèåì ìîæíî ñâÿçàòü íåêîòîðîå ÷èñëî, îêîëî êîòîðîãî ãðóïïèðóþòñÿ ÷àñòîòû è êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ìåðîé îáúåêòèâíîé âîçìîæíîñòè ïîÿâëåíèÿ äàííîãî ñîáûòèÿ. Ýòî ÷èñëî íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ.  íåêîòîðûõ ó÷åáíèêàõ ýòî íàçûâàåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòè. Ñâîéñòâî óñòîé÷èâîñòè ÷àñòîò, ìíîãîêðàòíî ïðîâåðåííîå ýêñïåðèìåíòàëüíî è ïîäòâåðæäàþùååñÿ âñåì îïûòîì ïðàêòè÷åñêîé äåÿòåëüíîñòè ëþäåé, åñòü îäíà èç íàèáîëåå õàðàêòåðíûõ çàêîíîìåðíîñòåé, íàáëþäàåìûõ â ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèÿõ. Õàðàêòåðèçóÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ êàêèì-òî ÷èñëîì, ìû íå ìîæåì ïðèäàòü ýòîìó ÷èñëó èíîãî ðåàëüíîãî çíà÷åíèÿ è èíîãî ïðàêòè÷åñêîãî ñìûñëà, ÷åì îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ñîáûòèÿ ïðè áîëüøîì ÷èñëå èñïûòàíèé. Ñâîéñòâà òàê îïðåäåë¼ííîé âåðîÿòíîñòè äîëæíû áûòü àíàëîãè÷íû ïðèâåä¼ííûì â ïóíêòå 1.3 ñâîéñòâàì îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòû. Ëåêöèÿ 1. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 11 ×èñëåííàÿ îöåíêà ñòåïåíè âîçìîæíîñòè ñîáûòèÿ ïîñðåäñòâîì âåðîÿòíîñòè èìååò ïðàêòè÷åñêèé ñìûñë èìåííî ïîòîìó, ÷òî áîëåå âåðîÿòíûå ñîáûòèÿ ïðîèñõîäÿò â ñðåäíåì ÷àùå, ÷åì ìåíåå âåðîÿòíûå. Ïðîâåðèòü òàêîå ïðåäïîëîæåíèå ìû ìîæåì òîëüêî äëÿ òàêèõ ñîáûòèé, âåðîÿòíîñòè êîòîðûõ ìîæíî âû÷èñëèòü äðóãèì ïóòåì (íåïîñðåäñòâåííî). Ìíîãî÷èñëåííûå îïûòû, ïðîèçâîäèâøèåñÿ ñî âðåìåí âîçíèêíîâåíèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòè, ïîäòâåðæäàþò ýòî ïðåäïîëîæåíèå. Òàê, ïðè áîëüøîì n ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ, íàïðèìåð, öèôðû 6 íà âåðõíåé ãðàíè èãðàëüíîé êîñòè, áëèçêà ê 1/6, à ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ ¾îðëà¿ ïðè áðîñàíèè ìîíåòû áëèçêà ê 0,5. Êëàññè÷åñêèì ïðèìåðîì, ïîäòâåðæäàþùèì óêàçàííûé ïðèíöèï, ÿâëÿþòñÿ ïðèâåäåííûå â òàáëèöå 1.1 ðåçóëüòàòû îïûòîâ ñ ìíîãîêðàòíûì ïîäáðàñûâàíèåì ìîíåòû, âûïîëíåííûõ Æ.Áþôôîíîì1 è Ê. Ïèðñîíîì2. Êàê âèäíî, ïðè áîëüøîì ÷èñëå èñïûòàíèé îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ïðèáëèæ¼ííîå çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ A. Êàê âèäíî, ïðè áîëüøîì ÷èñëå èñïûòàíèé îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ P ∗ (A) ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ïðèáëèæ¼ííîå çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ A. Îïûòû n m Áþôôîíà 4040 2048 Ê.Ïèðñîíà 12000 6019 Ê.Ïèðñîíà 24000 12012 P ∗ (A) 0,5080 0,5016 0,5005 Òàáëèöà 1.1 1Áþôôîí Æîðæ Ëóè Ëåêëåðê (07.09.1707  16.04.1788) - ôðàíöóçñêèé åñòåñòâîèñïûòàòåëü. 2Ïèðñîí Êàðë (27.03.1857  27.04.1936)  àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê 12 Ëåêöèÿ 1. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 1.5. Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè  ïðèëîæåíèÿõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé èìååòñÿ ðÿä çàäà÷, â êîòîðûõ âåðîÿòíîñòü ìîæíî âû÷èñëèòü ñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìîé êëàññè÷åñêîé ôîðìóëû. Ýòî çàäà÷è, â êîòîðûõ ðåçóëüòàòû îïûòîâ îáëàäàþò îïðåäåë¼ííîé ñèììåòðèåé è ÿâëÿþòñÿ ðàâíîâîçìîæíûìè. Êàæäûé èç âîçìîæíûõ ðåçóëüòàòîâ èñïûòàíèÿ íàçîâåì ýëåìåíòàðíûì èñõîäîì èëè ýëåìåíòàðíûì ñîáûòèåì. Íàïðèìåð, ïðè áðîñàíèè ìîíåòû âîçìîæíû äâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäà: âûïàäåíèå ¾îðëà¿ è âûïàäåíèå ¾ðåøêè¿; ïðè áðîñàíèè èãðàëüíîé êîñòè âîçìîæíû 6 ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ: âûïàäåíèå ÷èñëà 1, ÷èñëà 2 è ò.ä. äî 6; ïðè îäíîêðàòíîì ðîçûãðûøå òèðàæà ëîòåðåè ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ñòîëüêî, ñêîëüêî áèëåòîâ ëîòåðåè ó÷àñòâóåò â òèðàæå. Îïðåäåëåíèå 1.8. Ýëåìåíòàðíûå èñõîäû, â êîòîðûõ èíòåðåñóþùåå íàñ ñîáûòèå íàñòóïàåò, íàçîâåì èñõîäàìè, áëàãîïðèÿòñòâóþùèìè ýòîìó ñîáûòèþ. Òàê, ïðè áðîñàíèè èãðàëüíîé êîñòè ñîáûòèþ D: ¾âûïàëî ÷¼òíîå ÷èñëî o÷êîâ¿ áëàãîïðèÿòñòâóþò 3 ýëåìåíòàðíûõ èñõîäà  âûïàäåíèå 2, 4 èëè 6 î÷êîâ. Òàêèì îáðàçîì, ñîáûòèå D íàáëþäàåòñÿ, åñëè â èñïûòàíèè íàñòóïàåò îäèí èç ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ åìó; â ýòîì ñìûñëå ñîáûòèå D ¾ïîäðàçäåëÿåòñÿ¿ íà íåñêîëüêî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, ñàìè æå ýëåìåíòàðíûå ñîáûòèÿ â äàííîé çàäà÷å íå ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà äðóãèå ñîáûòèÿ. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ðàâíîâîçìîæíûå ýëåìåíòàðíûå ñîáûòèÿ, îáðàçóþùèå ïîëíóþ ãðóïïó ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé. Îïðåäåëåíèÿ ïîñëåäíèõ äâóõ òåðìèíîâ ïðèâåäåíû âûøå, ÷òî æå êàñàåòñÿ ðàâíîâîçìîæíîñòè, òî, êàê ïðàâèëî, ýòî ñâîéñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé î÷åâèäíî âûòåêàåò èç èõ ¾ðàâíîïðàâíîñòè¿. Òàê, íàïðèìåð, åñëè èãðàëüíàÿ êîñòü ñèììåòðè÷íàÿ, òî âûïàäåíèå ëþáîãî ÷èñëà î÷êîâ îò 1 äî 6 ðàâíîâîçìîæíî. Îïèñàííàÿ ñõåìà íîñèò íàçâàíèå ñõåìû ñëó÷àåâ, à ñàìè ýëåìåíòàðíûå ñîáûòèÿ, îáëàäàþùèå ïåðå÷èñëåííûìè ñâîéñòâàìè, íàçûâàþòñÿ ñëó÷àÿìè. Âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòè ïî ôîðìóëå (1.12) âåðíî òîëüêî äëÿ ñõåìû ñëó÷àåâ, êîòîðàÿ íåïðèìåíèìà, íàïðèìåð, åñëè ÷èñëî âîçìîæíûõ èñõîäîâ áåñêîíå÷íî. Ôîðìóëà (1.12) âî ìíîãèõ ó÷åáíèêàõ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé íàçûâàåòñÿ ¾êëàññè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòè ¿. Ëåêöèÿ 1. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 13 Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ ðàâíà îòíîøåíèþ ÷èñëà áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ýòîìó ñîáûòèþ èñõîäîâ ê îáùåìó ÷èñëó âñåõ èñõîäîâ äàííîãî èñïûòàíèÿ: m , (1.12) n ãäå m  ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ A; n  ÷èñëî âñåõ ðàâíîâîçìîæíûõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ îïûòà, îáðàçóþùèõ ïîëíóþ ãðóïïó ñîáûòèé. Èç ýòîé ôîðìóëû âûòåêàþò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè, àíàëîãè÷íûå ñâîéñòâàì P ∗ (A): Âåðîÿòíîñòü ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ çàêëþ÷åíà ìåæäó 0 è 1: P (A) = 0 6 P (A) 6 1. (1.13) Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáîãî ñîáûòèÿ 0 6 m 6 n, ïîýòîìó: 0 6 m/n 6 1. Âåðîÿòíîñòü äîñòîâåðíîãî ñîáûòèÿ ðàâíà åäèíèöå: P (Ω) = 1. (1.14) Äåéñòâèòåëüíî, â ñëó÷àå äîñòîâåðíîãî ñîáûòèÿ m = n è P (Ω) = n/n = 1. Âåðîÿòíîñòü íåâîçìîæíîãî ñîáûòèÿ ðàâíà íóëþ: P (Ø) = 0. (1.15) Ñëåäóþùåå î÷åíü âàæíîå ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ: ¾Òåîðåìà ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé äëÿ íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé¿. Òåîðåìà 1.2. Âåðîÿòíîñòü ñóììû äâóõ íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé ðàâíà ñóììå èõ âåðîÿòíîñòåé : P (A + B) = P (A) + P (B), åñëè A · B = Ø. (1.16) Äåéñòâèòåëüíî, îáîçíà÷èì m  ÷èñëî èñõîäîâ, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ A, l  ÷èñëî èñõîäîâ, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ B , n  îáùåå ÷èñëî èñõîäîâ äàííîãî èñïûòàíèÿ. Òîãäà: m l m+l P (A) = , P (B) = , P (A + B) = , n n n åñëè ñîáûòèÿ íåñîâìåñòíû. Îòñþäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî (1.16): P (A + B) = P (A) + P (B). Íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåì ýòîé òåîðåìû ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà: 14 Ëåêöèÿ 1. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Òåîðåìà 1.3. Âåðîÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíîãî ê A ñîáûòèÿ ðàâíà åäèíèöå ìèíóñ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A: P (A) = 1 − P (A). (1.17) Äåéñòâèòåëüíî, ñîáûòèå A è A íåñîâìåñòíû, à èõ ñóììà åñòü äîñòîâåðíîå ñîáûòèå: A · A = Ø, A + A = Ω. Ïîýòîìó: 1 = P (A + A) = P (A) + P (A) =⇒ P (A) = 1 − P (A). Ñ ïîìîùüþ êëàññè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ìîæíî âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòè â òåõ çàäà÷àõ, ãäå ïðèìåíèìà ñõåìà ñëó÷àåâ. 1.8. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè áðîñàíèè èãðàëüíîé êîñòè âûïàäàåò ÷¼òíîå ÷èñëî î÷êîâ. Ïðèìåð I  ñîîòâåòñòâèè ñ êëàññè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòè m P (A) = .  äàííîì ïðèìåðå îáùåå ÷èñëî âîçìîæíûõ èñõîäîâ n = 6, n êîëè÷åñòâî èñõîäîâ, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ íàñòóïëåíèþ ñîáûòèÿ A, m = 3 (ýòî âûïàäåíèå 2, 4 è 6 î÷êîâ). Îêîí÷àòåëüíî 3 P (A) = = 0,5.J 6 Îòâåò: P (A) = 0,5 . 1.9. Øèôðçàìîê ñîñòîèò èç 4-õ êîë¼ñèêîâ ïî 10 öèôð íà êàæäîì. Íàéòè âåðîÿòíîñòü îòêðûòü çàìîê ñ ïåðâîé ïîïûòêè ïðè ñëó÷àéíîì íàáîðå øèôðà. Ïðèìåð IÎáùåå ÷èñëî âîçìîæíûõ êîìáèíàöèé èç 4-õ öèôð n = 104  âñå ÷èñëà îò 000 äî 9999. Áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ èñõîäîâ  îäèí, m = 1.J 1 Îòâåò: P (A) = 4 = 0,0001. 10 Ïðèìåð 1.10. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè ñëó÷àéíîì âûáîðå êàðòû èç êîëîäû â 36 êàðò ïîÿâèòñÿ äàìà. IÎáùåå ÷èñëî âîçìîæíûõ èñõîäîâ n = 36, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ èñõîäîâ  ÷åòûðå: m = 4. 4 1 = ≈ 0,111.J P (A) = 36 9 1 Îòâåò: P (A) = . 9 Äëÿ ðåøåíèÿ áîëåå ñëîæíûõ çàäà÷ ïîçíàêîìèìñÿ ñ íåêîòîðûìè ýëåìåíòàìè êîìáèíàòîðèêè. Ëåêöèÿ 1. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 15 1.6. Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêè Äëÿ íåïîñðåäñòâåííîãî ïîäñ÷¼òà âåðîÿòíîñòè ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ íà îñíîâå êëàññè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ ïðèìåíÿþòñÿ, êàê ïðàâèëî, ôîðìóëû êîìáèíàòîðèêè (ðàçäåëà ìàòåìàòèêè, èçó÷àþùåãî âîïðîñû î òîì, ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ êîìáèíàöèé (ñîåäèíåíèé) ìîæíî ñîñòàâèòü èç çàäàííîãî ÷èñëà îáúåêòîâ). Áîëüøèíñòâî çàäà÷ êîìáèíàòîðèêè ðåøàåòñÿ ñ ïîìîùüþ äâóõ îñíîâíûõ ïðàâèë: ïðàâèëà ñóììû è ïðàâèëà ïðîèçâåäåíèÿ. Ïðàâèëî ñóììû . Åñëè ýëåìåíò a èç íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ìîæíî âûáðàòü n1 ñïîñîáàìè, à äðóãîé ýëåìåíò b ìîæíî âûáðàòü n2 ñïîñîáàìè, òî âûáîð ¾èëè a èëè b¿ ìîæíî îñóùåñòâèòü n1 +n2 ñïîñîáàìè. Ïðè ýòîì ñïîñîáû âûáîðà ýëåìåíòîâ a è b íå äîëæíû ñîâïàäàòü ìåæäó ñîáîé.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå áóäåò m + k − l ñïîñîáîâ âûáîðà, ãäå l  ÷èñëî ñîâïàäåíèé. Ïðàâèëî ïðîèçâåäåíèÿ. Ïóñòü äàíû äâà óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâà A è B : A ñîäåðæàùåå n1 ýëåìåíòîâ {a1 , a2 , . . . , an1 } ∈ A è B, ñîäåðæàùåå n2 ýëåìåíòîâ {b1 , b2 , . . . , bn2 } ∈ B . Òîãäà ìîæíî îáðàçîâàòü ðîâíî n1 n2 ðàçëè÷íûõ ïàð {(ai , bj ) i = 1, n1 , j = 1, n2 }, ñîäåðæàùèõ ïî îäíîìó ýëåìåíòó èç êàæäîãî ìíîæåñòâà. Ýòî ïðàâèëî ìîæíî îáîáùèòü íà ñëó÷àé ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ. Ïðèìåð 1.11. Èìåþòñÿ 3 ïàðòèè äåòàëåé.  ïåðâîé 12, âî âòîðîé  14, â òðåòüåé  5 äåòàëåé. Ñêîëüêî ìîæíî îáðàçîâàòü êîìïëåêòîâ èç òð¼õ äåòàëåé, ñîäåðæàùèõ ïî îäíîé äåòàëè èç êàæäîé ïàðòèè? IÏîëàãàÿ n1 = 12, n2 = 14 è n3 = 5 ïî ïðàâèëó ïðîèçâåäåíèÿ êîìáèíàòîðèêè ïîëó÷èì n = n1 n2 n3 = 12 · 14 · 5 = 840 êîìïëåêòîâ.J Ïðèìåð 1.12. Ñêîëüêî ïàðîëåé ñîñòîÿùèõ èõ äâóõ ñèìâîëîâ ìîæíî ïîëó÷èòü èç èìåþùèõñÿ òð¼õ áóêâ a, b, c, åñëè: à) áóêâû íå ïîâòîðÿþòñÿ? á) åñëè áóêâû ïîâòîðÿþòñÿ? à)In1 = 3, n2 = 2. Ñëåäîâàòåëüíî, n = 2 · 3 = 6. Ïåðå÷èñëèì èõ: {ab, ab, ac, ba, bc, cb}.J á) IÒàê êàê ñèìâîëû ìîãóò ïîâòîðÿòñÿ, òî n1 = 3, n2 = 3. Ñëåäîâàòåëüíî, n = 3 · 3 = 9: {aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc}.J 16 Ëåêöèÿ 1. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Ïðèìåð 1.13. ×åòûð¼õçíà÷íûé ïàðîëü ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé ïî äâà ñèìâîëà â êàæäîé (áåç ïîâòîðåíèé ñèìâîëîâ). Ïðè ýòîì ïåðâàÿ ÷àñòü íàáèðàåòñÿ èç ÷åòûð¼õ áóêâ a,b,c,d, à âòîðàÿ èç òð¼õ öèôð 1,2,3. Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ ïàðîëåé ìîæíî íàáðàòü? IÏî ïðàâèëó óìíîæåíèÿ ïåðâàÿ ÷àñòü ïàðîëÿ èìååò 4 · 3 = 12 êîìáèíàöèé: ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc, à âòîðàÿ  3 · 2 = 6 êîìáèíàöèé: 12, 13, 21, 23, 31, 32. Åù¼ ðàç ïðèìåíÿåì ïðàâèëî óìíîæåíèÿ n = 12 · 6 = 72.J 1.9. Ôàêòîðèàëîì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n íàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèå âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî n: n! = 1 · 2 · . . . · n (n! ÷èòàåòñÿ ¾ýí ôàêòîðèàë¿). Ôàêòîðèàë íóëÿ ñ÷èòàåòñÿ ðàâíûì åäèíèöå: 0! = 1. Îïðåäåëåíèå Îïðåäåëåíèå 1.10. Ïåðåñòàíîâêàìè íàçûâàþòñÿ ðàçëè÷íûå ñïîñîáû óïîðÿäî÷èâàíèÿ n ðàçëè÷íûõ ïðåäìåòîâ (íàïðèìåð, ïðîíóìåðîâàííûõ êàðòî÷åê) ïðè èõ ðàñïîëîæåíèè ñëåâà íàïðàâî. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê Pn = n!. (1.18) Äåéñòâèòåëüíî, ïåðâûé èç ýòèõ n ïðåäìåòîâ ìîæíî ðàñïîëîæèòü íà ëþáîì èç n ìåñò (n âîçìîæíûõ ñïîñîáîâ ðàñïîëîæåíèÿ), äëÿ âòîðîãî îñòà¼òñÿ n − 1 ñâîáîäíîå ìåñòî. Êàæäûé ñïîñîá ðàñïîëîæåíèÿ ïåðâîãî ïðåäìåòà ìîæåò ñî÷åòàòüñÿ ñ îäíèì èç ñïîñîáîâ ðàñïîëîæåíèÿ âòîðîãî, çíà÷èò ýòè äâà ïðåäìåòà ìîæíî ðàñïîëîæèòü n(n − 1) ñïîñîáàìè. Ïîâòîðÿÿ ýòî ðàññóæäåíèå, ïîëó÷èì ôîðìóëó (1.18). 1.14. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè ñëó÷àéíîì ðàñêëàäå êàðòî÷åê ñ áóêâàìè Ð È Ì ïîëó÷èòñÿ ñëîâî ¾MÈп. Ïðèìåð IÎáùåå ÷èñëî âîçìîæíûõ èñõîäîâ n = 3! = 6, ÷èñëî áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ m = 1.  ñîîòâåòñòâèè ñ êëàññè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì m 1 âåðîÿòíîñòè P (A) = = ≈ 0,167.J n 6 1 Îòâåò: P (A) = . 6 Ïðèìåð 1.15. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè ñëó÷àéíîì ðàñêëàäå êàðòî÷åê ñ áóêâàìè À À Ï Ï ïîëó÷èòñÿ ñëîâî ¾ÏÀÏÀ¿. IÏîñêîëüêó, â îòëè÷èå îò ïðèìåðà 1.14, çäåñü èìåþòñÿ êàðòî÷êè ñ îäèíàêîâûìè áóêâàìè, ïðîíóìåðóåì èõ: Ëåêöèÿ 1. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 17 À1 À2 Ï 1 Ï 2 . Îáùåå ÷èñëî âîçìîæíûõ èñõîäîâ n = 4! = 24, áëàãîïðèÿòíûìè áóäóò èñõîäû, â êîòîðûõ áóêâà À ñòîèò íà 2-ì è 4-ì ìåñòàõ (òàêèõ èñõîäîâ 2! = 2), à áóêâà Ï ñòîèò íà 1-ì è 3-ì ìåñòàõ (òàêèõ èñõîäîâ òîæå 2! = 2). Êàæäûé ñïîñîá ðàñïîëîæåíèÿ áóêâ À ìîæåò ñî÷åòàòüñÿ ñ ëþáûì ñïîñîáîì ðàñïîëîæåíèÿ áóêâ Ï. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ m = 2! · 2! = 4. Îêîí÷àòåëüíî: 4 1 P (A) = = ≈ 0,167.J 24 6 1 Îòâåò: P (A) = ≈ 0,167. 6 Îïðåäåëåíèå 1.11. Ðàçìåùåíèÿìè èç n ïî m íàçûâàþòñÿ ðàçëè÷íûå ñïîñîáû âûáîðà m ïðåäìåòîâ èç n, îòëè÷àþùèåñÿ ñàìèìè ïðåäìåòàìè èëè ïîðÿäêîì èõ ðàñïîëîæåíèÿ â âûáîðêå. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ÷èñëî ðàçìåùåíèé èç n ïî m, îáîçíà÷àåìîå îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå: Am n, Am n = n(n − 1) · . . . · (n − m + 1) = n! . (n − m)! (1.19) Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì äëÿ A3n . Ïåðâûé èç n ïðåäìåòîâ ìîæíî ðàçìåñòèòü íà ëþáîì èç n ìåñò, ò.å. n ñïîñîáàìè, äëÿ âòîðîãî îñòà¼òñÿ (n − 1) ñïîñîá ðàçìåùåíèÿ è, ïîñêîëüêó êàæäûé ñïîñîá ðàçìåùåíèÿ ïåðâîãî ïðåäìåòà ìîæåò ñî÷åòàòüñÿ ñ ëþáûì ñïîñîáîì ðàçìåùåíèÿ âòîðîãî, ïåðâûå äâà ïðåäìåòà ìîæíî ðàçìåñòèòü n(n − 1) ñïîñîáàìè. Äëÿ òðåòüåãî ïðåäìåòà îñòà¼òñÿ (n−2) ìåñòà, ïîýòîìó âñåãî 3 ïðåäìåòà ìîæíî ðàçìåñòèòü n(n − 1)(n − 2) ñïîñîáàìè: A3n = n(n − 1)(n − 2). Íåñëîæíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè äîêàçûâàåòñÿ è âòîðàÿ èç ôîðìóë (1.19): n! n(n − 1)(n − 2)(n − 3) · . . . · 1 = = n(n − 1)(n − 2). (n − 3)! (n − 3) · . . . · 1 (1.20) Ðàçìåùåíèÿ îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: Ann = n! = Pn , A0n = 1, A1n = n. (1.21) 18 Ëåêöèÿ 1. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Äåéñòâèòåëüíî, ÷èñëî ñïîñîáîâ ðàçìåùåíèÿ n ðàçëè÷íûõ ïðåäìåòîâ íà n ìåñòàõ (Ann ) ðàâíî ÷èñëó ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ èõ óïîðÿäî÷èâàíèÿ, ò.å. ðàâíî ÷èñëó ïåðåñòàíîâîê (Pn ). 0 ïðåäìåòîâ ìîæíî ðàçìåñòèòü íà n ìåñòàõ åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì (¾íè÷åãî íå ðàçìåùàòü¿), à 1 ïðåäìåò  n ñïîñîáàìè (èëè íà 1-ì ìåñòå, èëè íà 2-ì è ò.ä.). Óêàçàííûå ñâîéñòâà âûòåêàþò òàêæå èç ôîðìóëû (1.19). Ðàçìåùåíèÿ ñ ïîâòîðåíèÿìè âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå: m Am n = n . Ïðèìåð 1.16. Íà êàðòî÷êàõ íàïèñàíû áóêâû: À (1.22) Á Ä Å Î Ï Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè ñëó÷àéíîì âûáîðå 4-õ èç ýòèõ êàðòî÷åê è ðàñïîëîæåíèè ñëåâà íàïðàâî ïîëó÷èòñÿ ñëîâî: ¾ÎÁÅÄ¿. IÎáùåå ÷èñëî âîçìîæíûõ èñõîäîâ n = A46 = 6 · 5 · 4 · 3 = 360, ò.ê. ïîðÿäîê áóêâ â ñëîâå íàðÿäó ñ èõ êîëè÷åñòâîì îïðåäåëÿåò åãî ñìûñë. ×èñëî áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ m = 1. 1 ≈ 0,003 .J Îêîí÷àòåëüíî P (A) = 360 1 Îòâåò: P (A) = ≈ 0,003 . 360 Ïðèìåð 1.17. Ðåáåíîê èãðàåò ñ 10-þ áóêâàìè ìàãíèòíîé àçáóêè À, À, À, Á, Á, Á, Á, Î, Î, Î. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âûíóâ íàóãàä è ðàçëîæèâ ïîñëåäîâàòåëüíî íà äîñêå 6 áóêâ, îí ïîëó÷èò ñëîâî ¾ÁÀÎÁÀÁ¿. I×èñëî âñåõ ñëó÷àåâ n ðàâíî ÷èñëó ðàçìåùåíèé èç 10 ýëåìåíòîâ 10! ïî 6: n = A610 = = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5. ×èñëî ñëó÷àåâ m, áëàãî(10 − 6)! ïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ À, íàéäåì, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñëîâî ¾ÁÀÎÁÀÁ¿ íå èçìåíèòñÿ, åñëè äâå åãî áóêâû À âûáèðàòü èç òð¼õ äàííûõ áóêâ À ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. ×èñëî èõ ðàâíî A23 . Àíàëîãè÷íî è äëÿ áóêâ Á è Î. Ïîýòîìó m = A23 · A34 · A13 . Ñëåäîâàòåëüíî, m A2 · A3 · A1 1 P (A) = = 3 64 3 = .J n A10 350 Åñëè â ìíîæåñòâå èç n ýëåìåíòîâ èìåþòñÿ k ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ, n1 îäèíàêîâûõ ýëåìåíòîâ îäíîãî òèïà, n2 îäèíàêîâûõ ýëåìåíòîâ äðóãîãî òèïà, ni  ÷èñëî îäèíàêîâûõ ýëåìåíòîâ i ãî òèïà, òî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ Ëåêöèÿ 1. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 19 ðàâíî n! . (1.23) n1 !n2 ! . . . nk ! Åñëè â ìíîæåñòâå èç n ýëåìåíòîâ èìåþòñÿ m ïîâòîðÿþùèõñÿ ýëåìåíòîâ, òî ÷èñëî ðàçìåùåíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ ïî m ýëåìåíòîâ ðàâíî m A n = nm . (1.24) Pn (n1 , n2 , . . . , nk ) = 1.18. Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ ïÿòèçíà÷íûõ ÷èñåë ìîæíî ñîñòàâèòü èç öèôð 2, 2, 2, 5, 5, 7. Ïðèìåð IÈñïîëüçóåì ôîðìóëó (1.23). Çäåñü òðè äâîéêè, äâå ïÿòåðêè è îäíà ñåìåðêà. Ïîýòîìó n = 6, n1 = 3, n2 = 2, n3 = 1. Ïîëó÷àåì 6! 6·5·4 P6 (3, 2, 1) = = = 60.J 3! · 2! · 1! 2 Îïðåäåëåíèå 1.12. Ñî÷åòàíèÿìè èç n ïî m íàçûâàþòñÿ ðàçëè÷íûå ñïîñîáû âûáîðà m ïðåäìåòîâ èç n, îòëè÷àþùèåñÿ ñàìèìè ïðåäìåòàìè. ×èñëî ñî÷åòàíèé èç n ïî m îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå: n! Cnm = . m!(n − m)! (1.25) Äåéñòâèòåëüíî, ÷èñëî ðàçìåùåíèé èç n ïî m (Am n ) â m! ðàç áîëüøå ÷èñëà ñî÷åòàíèé Cnm , ò.ê. â ñî÷åòàíèÿõ íå ó÷èòûâàþòñÿ ðàçëè÷íûå ïåðåñòàíîâêè m ïðåäìåòîâ íà çàíèìàåìûõ èìè ìåñòàõ (ïîðÿäîê ðàñïîëîæåíèÿ ïðåäìåòîâ äëÿ ñî÷åòàíèé íåñóùåñòâåíåí): Am n! n m m Am = C · m! =⇒ C = = . n n n m! m!(n − m)! Ñî÷åòàíèÿ îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: (1) Cnm = Cnn−m , (2) Cn0 = Cnn = 1, Cn1 = Cnn−1 = n, n X
(3) Cni = Cn0 + Cn1 + . . . + Cnn−1 + Cnn = (1 + 1)n = 2n . i=0 Ïåðâîå è âòîðîå ñâîéñòâà íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàþò èç ôîðìóëû 1.25 èëè îïðåäåëåíèÿ 1.12 (ñäåëàéòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òðåòüåãî ñâîéñòâà íàïîìíèì ôîðìóëó áèíîìà Íüþòîíà: n X n (a + b) = (1.26) Cni ai bn−i . i=0 20 Ëåêöèÿ 1. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Ïîëàãàÿ a = b = 1, ïîëó÷àåì ñâîéñòâî 3. ×èñëî ñî÷åòàíèé ñ ïîâòîðåíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ ïî m ýëåìåíòîâ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (n + m − 1)! m m C n = Cn+m−1 = . (1.27) m!(n − 1)! Ïðèìåð 1.19. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè ñëó÷àéíîì âûáîðå 5 øàðîâ èç óðíû, ñîäåðæàùåé 10 øàðîâ, èç êîòîðûõ 3 áåëûõ è 7 êðàñíûõ, ñðåäè âûáðàííûõ îêàæåòñÿ 2 áåëûõ è 3 êðàñíûõ. IÇàïèøåì óñëîâèÿ êðàòêî: 10ø = 3á + 7êð, 5ø = 2á +3êð . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî øàðû â óðíå ïðîíóìåðîâàíû îò 1 äî 10, ïðè÷¼ì øàðû ñ 1 ïî 3  áåëûå, à ñ 4 ïî 10  êðàñíûå. Îáùåå ÷èñëî âîçìîæíûõ èñõîäîâ n ðàâíî ÷èñëó ñïîñîáîâ, êîòîðûìè èç 10 øàðîâ ìîæíî âûáðàòü 5: 10! 10! 5 = = 252. n = C10 = 5! · (10 − 5)! 5! · 5! ×èñëî áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ èñõîäîâ m ðàâíî ÷èñëó ñïîñîáîâ, êîòîðûìè èç 3 áåëûõ øàðîâ ìîæíî âûáðàòü 2 áåëûõ, à èç 7 êðàñíûõ øàðîâ ìîæíî âûáðàòü 3 êðàñíûõ. Òàê êàê êàæäûé ñïîñîá âûáîðà áåëûõ øàðîâ ìîæåò ñî÷åòàòüñÿ ñ ëþáûì ñïîñîáîì âûáîðà êðàñíûõ, ïîëó÷èì: 3! 7! m = C32 · C73 = · = 105. 2! · 1! 3! · 4! m C2 · C3 105 Îêîí÷àòåëüíî: P (A) = = 3 5 7 = ≈ 0,417 .J n C10 252 Îòâåò: P (A) ≈ 0,417 . Äàííóþ çàäà÷ó ìîæíî çàïèñàòü â îáùåì âèäå.  óðíå íàõîäÿòñÿ n áåëûõ è m ÷¼ðíûõ øàðîâ. Èç óðíû ñëó÷àéíûì îáðàçîì âûáðàëè k+l øàðîâ. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè íèõ îêàæåòñÿ ðîâíî k áåëûõ è l ÷¼ðíûõ øàðîâ. P (A) = C kn · C lm . C k+l n+m (1.28) 1.4. Âìåñòî óðíû ìîæåò áûòü ëþáîé äðóãîé îáúåêò (êîëîäà êàðò, ýêçàìåíàöèîííûå áèëåòû, êíèãè, êàðàíäàøè è ò.ä.), à âìåñòî øàðîâ äðóãèå ïðåäìåòû, ïðè÷¼ì èõ ìîæåò áûòü íåñêîëüêî. Çàìå÷àíèå Ëåêöèÿ 1. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 21 Ýòó çàäà÷ó ìîæíî îáîáùèòü íà k ãðóïï. Ïóñòü èìååòñÿ n1 ïðåäìåòîâ ïåðâîãî òèïà, n2 ïðåäìåòîâ âòîðîãî òèïà,..., nk ïðåäìåòîâ k -ãî òèïà. Èç ýòèõ N = n1 + n2 + · · · nk ïðåäìåòîâ âûáèðàþò M ïðåäìåòîâ. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè âûáðàííûõ ïðåäìåòîâ áóäåò m1 ïðåäìåòîâ ïåðâîãî òèïà, m2 ïðåäìåòîâ âòîðîãî òèïà,..., mk ïðåäìåòîâ k -ãî òèïà. Î÷åâèäíî, ÷òî M = m1 + m2 + · · · mk . Òîãäà âåðîÿòíîñòü èñêîìîãî ñîáûòèÿ A áóäåò ðàâíà P (A) = m2 mk 1 Cm n1 · C n2 · · · C nk CM N . (1.29) Ïðèìåð 1.20. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè ñëó÷àéíîì âûáîðå 10 øàðîâ èç óðíû, ñîäåðæàùåé 20 øàðîâ, èç êîòîðûõ 6 áåëûõ è 14 ÷¼ðíûõ , ñðåäè âûáðàííûõ îêàæåòñÿ 4 áåëûõ è 6 ÷¼ðíûõ. 6 C64 · C14 . 10 C20 Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ÷èñëîâîãî çíà÷åíèÿ ïðèìåíÿåì ôîðìóëó (1.25) 6 6! · 14! · 10! · 10! C64 · C14 = . 10 C20 4! · 2! 6! · 8! · 20! Ïîñëå ñîêðàùåíèÿ ïîëó÷èì 315 .J P (A) = 1292 IÐåøåíèå äàííîé çàäà÷è ìîæíî çàïèñàòü â âèäå P (A) =  ñîâðåìåííóþ ýïîõó ðàçâèòèÿ êîìïüþòåðíîé òåõíèêè, êîãäà áîëüøèíñòâî ñòóäåíòîâ èìåþò ñìàðòôîíû, ïîçâîëÿþùèå ïðèìåíÿòü ñòàíäàðòíûå ïàêåòû êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè, íåîáõîäèìî îáó÷àòü èõ èñïîëüçîâàòü ýòè ïàêåòû è äîâîäèòü ðåøåíèå, äàæå ñëîæíûõ çàäà÷, äî ÷èñëîâîãî çíà÷åíèÿ. Çàñòàâëÿòü ñòóäåíòà ïîêóïàòü êîììåð÷åñêèå ïàêåòû ïðåïîäàâàòåëü íå èìååò ïðàâî, ïîýòîìó â äàëüíåéøåì áóäóò ïðèâåäåíû ïðèìåðû ïðîãðàìì äëÿ ñâîáîäíîãî ïàêåòà maxima, ðàáîòàþùåãî â îïåðàöèîííûõ ñèñòåìàõ Android, Windows è Linux. Ñòóäåíò ìîæåò, ïðÿìî íà ïåðâîì çàíÿòèè, å¼ ñêà÷àòü è óñòàíîâèòü çà 5 ìèíóò.  äàëüíåéøåì ïàêåò maxima ÷àñòî áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ âû÷èñëåíèé è ãðàôè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ðàçëè÷íûõ çàäàíèé. Îôèöèàëüíûé èíòåðíåò-àäðåñ äëÿ ñêà÷èâàíèÿ ñâîáîäíîãî ïàêåòà maxima: https://sourceforge.net/projects/maxima/les/Maxima-Windows  îïåðàöèîííûõ ñèñòåìàõ Android ïðèëîæåíèå íàçûâàåòñÿ  Maxima on Android. 22 Ëåêöèÿ 1. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. Maxima-ïðîãðàììà, ðåøàþùàÿ ïîñòàâëåííóþ âûøå çàäà÷ó, èìååò âèä: (%i1) P:binomial(6, 4)*binomial(14, 6)/binomial(20, 10); 315 (P ) 1292 Ïðè ìíîãîêðàòíîì èñïîëüçîâàíèè âñòðîåííîé ôóíêöèè binomial, ïðîãðàììó ìîæíî óêîðîòèòü, çàìåíèâ èìÿ ôóíêöèè íà áîëåå êîðîòêîå. Íàïðèìåð, ïðèñâîèòü åé áîëåå ïðèâû÷íîå íàçâàíèå C(n,m):=binomial(n, m); È òîãäà âî âñåõ êîìàíäàõ ìîæíî èñïîëüçîâàòü äàííóþ ôóíêöèþ P:C(6, 4)*C(14, 6)/C(20, 10); Pn:P,numer; Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ÷èñëà ðàçìåùåíèé ìîæíî ââåñòè ôóíêöèþ: A(n,m):= n!/(n-m)!; Åñëè ðåçóëüòàò íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü â âèäå ïðèáëèæ¼ííîãî äåñÿòè÷íîãî ÷èñëà, òî ïîäà¼ì òàêóþ êîìàíäó: P:binomial(6, 4)*binomial(14, 6)/binomial(20, 10); Pn:P,numer; 315 (P) (Pn) 0.2438080495356 1292 315 Îòâåò: P (A) = ≈ 0,244 . 1292 Ëåêöèÿ 1. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 23 1.7. Ïîíÿòèå îá àêñèîìàòèêå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé  ïåðâîé ïîëîâèíå XX â. íàøèì ñîîòå÷åñòâåííèêîì À. Í. Êîëìîãîðîâûì áûëî ïðåäëîæåíî ñòðîãîå àêñèîìàòè÷åñêîå ïîñòðîåíèå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé ñòðîèòñÿ íà îñíîâàíèè ðÿäà àêñèîì, íåêîòîðûå èç êîòîðûõ ïðèâåäåíû íèæå. (1) Ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé è îïåðàöèé íàä íèìè, âêëþ÷àÿ ñóììó áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé. (2) P (A) > 0. (3) Äëÿ äîñòîâåðíîãî ñîáûòèÿ Ω, P (Ω) = 1. (4) Äëÿ ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé A1 , . . . , An , . . ., âåðîÿòíîñòü ñóììû (êîíå÷íîé èëè áåñêîíå÷íîé) ðàâíà ñóììå âåðîÿòíîñòåé: X  X p Ai = p(Ai ). i i Èç ýòèõ àêñèîì âûâîäÿòñÿ óæå èçâåñòíûå íàì ñâîéñòâà: 0 6 p(A) 6 1, p(Ā) = 1 − p(A) è âñå îñòàëüíûå òåîðåìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Äëÿ ñõåìû ñëó÷àåâ âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòè ñâîäèòñÿ ê óæå èçâåñòíîìó êëàññè÷åñêîìó îïðåäåëåíèþ âåðîÿòíîñòè. Îäíàêî òàêîå ïîñòðîåíèå ïîçâîëèëî ïîëó÷èòü ñòðîãèé ìàòåìàòè÷åñêèé ïîäõîä è ðåøàòü ëþáûå çàäà÷è, îòíîñÿùèåñÿ ê ñôåðå äåéñòâèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. 24 Ëåêöèÿ 1. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 1.8. Ãåîìåòðè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè íåïðèìåíèìî ê èñïûòàíèÿì, â êîòîðûõ ýëåìåíòàðíûå èñõîäû îïûòà íå ðàâíîâîçìîæíû è êîãäà ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ áåñêîíå÷íî. Çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñ òàêèìè èñïûòàíèÿìè, ñâîäÿòñÿ ê ñëó÷àéíîìó áðîñàíèþ òî÷êè â íåêîòîðóþ îáëàñòü. Ïóñòü íà ïëîñêîñòè èìååòñÿ íåêîòîðàÿ îáëàñòü F è â íåé ïîäîáëàñòü f. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé òî÷êè â ïîäîáëàñòü f íå çàâèñèò íè îò åe ôîðìû, íè îò åe ðàñïîëîæåíèÿ â îáëàñòè F, à ïðîïîðöèîíàëüíà ïëîùàäè f, îïðåäåëèì âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé òî÷êè â çàäàííóþ ïîäîáëàñòü êàê îòíîøåíèå ìåð îáëàñòåé: mes f P (M ∈ F ) = . mes F Çäåñü mes  ìåðà îáëàñòè: â îäíîìåðíîì ñëó÷àå  äëèíà îòðåçêà, â äâóìåðíîì  ïëîùàäü, â òð¼õìåðíîì - îáú¼ì. Îïðåäåë¼ííàÿ òàêèì îáðàçîì âåðîÿòíîñòü íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé âåðîÿòíîñòüþ. Ïðèìåð 1.21. Äâà äðóãà ðåøèëè âñòðåòèòüñÿ íà àâòîáóñíîé îñòàíîâêå ñ 14:00 äî 15:00 ÷àñîâ, ïðè ýòîì äîãîâîðèëèñü îæèäàòü òîëüêî â òå÷åíèå 5 ìèíóò. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü âñòðå÷è äðóçåé? y A 60 B 5 O 5 C 60 x Ðèñ. 1. Çàäà÷à î âñòðå÷å IÎáîçíà÷èì çà x è y âðåìÿ ïðèõîäà ïåðâîãî è âòîðîãî äðóãà, ñîîòâåòñòâåííî, 0 6 x, y 6 60 (ìèíóò).  ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ýòîìó óñëîâèþ óäîâëåòâîðÿþò òî÷êè, ëåæàùèå âíóòðè êâàäðàòà OABC . Äðóçüÿ âñòðåòÿòñÿ, åñëè ìåæäó ìîìåíòàìè èõ ïðèõîäà ïðîéäåò íå áîëåå 5 ìèíóò, òî åñòü |y − x| 6 5. Ëåêöèÿ 1. ÐÒÓÌÈÐÝÀ, êàôåäðà ÂÌ-2, Áåðêîâ Í.À. 25 Çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû íåðàâåíñòâ. y − x 6 5, x − y 6 5, x ∈ [0, 60], y ∈ [0, 60]. Ýòèì íåðàâåíñòâàì óäîâëåòâîðÿþò òî÷êè, ëåæàùèå âíóòðè çàêðàøåííîé îáëàñòè G, ðèñ. 1. Òîãäà âåðîÿòíîñòü âñòðå÷è ðàâíà îòíîøåíèþ ïëîùàäåé îáëàñòè G è êâàäðàòà OABC , òî åñòü SG 602 − 552 5 · 115 23 P (A) = = = = = 0,16.J 2 2 SOABC 60 60 144 Îòâåò: 0,16.