Случайные события. Пространство случайных событий. Алгебра случайных событий

Лекции. 1. Гроссман С., Тернер Дж. «Математика для биологов» М–1983 г. 2. Б.Е. Гмурман «Тория вероятности и математическая статистика» М–72 г. 3. И.А. Зайцев «Высшая математика» М–91 г. Теория вероятности – математическая наука, изучающая количественные закономерности случайных явлений. Случайные события. Пространство случайных событий. Алгебра случайных событий. Опр. Всякий опыт, эксперимент или наблюдение называется испытанием. (Бросание монет. Выстрел из винтовки. Подбрасывание игральной кости.) Эксперименты делятся на два класса. Если результат эксперимента заранее предсказуем, исходя из естественных законов и условий, то мы имеем дело с классом детерминированных экспериментов. Если же при выполнении одних и тех же условий возможно наступление исключающих друг друга результатов, то такой класс называется класс случайных или вероятностных экспериментов. Конечно же мы чаще всего имеем дело с последним классом. Опр. Событием называется результат или исход испытания. (Выпадение герба при подбрасывании монет. При выстреле: попадание или промах.) Все события можно разделить на три вида: 1) невозможные 2) достоверные 3) случайные Опр. Событие называется невозможным если оно, в данном опыте произойти не может (выпадение 7 при падении кости, рождение львенка у тигров). Опр. Событие называется достоверным, если оно в данном опыте обязательно произойдет (при нагревании воды до 1000С, при нормальном атмосферном давлении, произойдет закипание – достоверное событие, если порежем палец – пойдет кровь). Опр. Событие называется случайным, если оно в данном опыте может произойти, а может и не произойти (рождение мальчика, выпадение орла). Случайные события будем обозначать большими лат буквами (м.б. с индексами) А, В1. Пример: Беременная женщина. При родах обозначим события: А– родится девочка, В – мальчик, С – ребенок, Д – котенок. А, В – случайные, С – достоверное, Д –невозможное. И – обозначают достоверные события V – невозможные события. События бывают составными и элементарными. Событие С- выпадение шести очков при подбрасывании игральной двух игральных костей это составное событие, состоящее из пяти элементарных (С1- выпадение (1,5) С2- (2,4) С3 (3,3) С4 – (5,1) С5 (4,2)) Т.е. если исход один то мы имеем с элементарным событием. Опр. Два события называются несовместимыми если они в данном опыте произойти одновременно не могут, в противном случае они называются совместными. Т.е. появление одного исключает появление другого (несовместные –А выпадение герба и В выпадение решки, совместные А–числа делящиеся на 3 и В – числа делящиеся на 5) Опр. Суммой двух событий А и В называется событие состоящее в том что наступает хотя бы одно из этих событий. А+В (А–число кратное 3, В–число кратное 5, А+В–число кратное либо 3 либо 5). Опр. Произведением двух событий называется событие состоящее в наступлении А и В одновременно. А*В (А–число кратное 3, В–число кратное 5, А*В–число кратное 15). Опр. Событие состоящее в том что происходит событие А, а В не происходит, наз-ся разностью событий. А–В (А–число кратное 5, В–число четное, А–В–число оканчивается на 5) Опр. Событие состоящее в ненаступлении событие А, называется противоположным событием события А, обозначается А . (А–число четное, А –число нечетное) Несколько событий образуют полную группу событий, тогда и только тогда, когда их сумма есть достоверное событие. Т.е. другими словами в результате эксперимента произойдет непременно хотя бы одно из этих событий. При подбрасывании игральной кости А1 – 1,2 А2- 2,3,4 А3- 4,5,6 образуют полную группу т.к. А1+А2+А3 (1,2,3.4,5,6) достоверное событие. Основные формулы комбинаторики. Когда мы перейдем к вычислению вероятностей по определению нас будет интересовать число способов которыми можно упорядочить некоторое множество. Например: сколькими способами можно посадить 5 человек за стол. Сколько имеется путей через лабиринт. Для их вычисления и применяют основные формулы комбинаторики. Комбинаторика – это раздел теории вероятности в которой изучаются различные соединения (комбинации): размещения, перестановки, сочетания. При решении задач используют следующие правила: Основной принцип перечислений (правило произведения): Если объект А м.б. выбран n способами, а объект В м.б. выбран m способами то выбор упорядоченной пары (А,В) м.б. осуществлен m*n способами. Пример: Из трех потоков студентов 32, 28, 30 выбрать по одному представителю: 32*28*30=26880 Правило суммы. Если объект А м.б. выбран n способами, а объект В м.б. выбран m способами, то выбор либо А либо В, м.б. осуществлен m+n способами. Пример: Сколькими способами из трех потоков студентов 32, 28, 30 выбрать одного представителя: 32+28+30=90 1. Перестановки. Опр. Перестановкой из n-объектов множества называют всякую упорядоченную конечную последовательность, которая получается при некотором упорядочении элементов этого множества (т.е.комбинации состоящие из тех же самых n различных элементов отличающиеся только порядком их расположения). Пример: Перечислить все возможные перестановки из букв а,б,с Абс асб бас бса саб сва – 6 перестановок. Теорема: Число различных перестановок из n элементов равно n! Рn=n! Пример: Сколькими способами м-но разместить 5 человек за столом за которым 5 стульев. Р5=5!=1*2*3*4*5=120 Но часто нас интересует возможные упорядочения не всех n объектов, а лишь некоторых к объектов из n. 2. Размещения. Опр. Размещением из n элементов по к есть любой выбор k объектов, взятых в определенном порядке из множества n. Пример: Дано множество из трех элементов {а,б,с} составим всевозможные размещения из этих элементов по 2. аб ба ас са бс сб всего 6 размещений. Теорема: Число всевозможных размещений из n элементов по к равно Аnk=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)= n! (n  k )! Пример: Сколькими способами можно рассадить 5 человек за стол с 3 стульями 5! А53=  3 * 4 * 5  60 (5  3)! 3. Сочетания. Существует другой тип задач в которых порядок объектов нас не интересует. Например выбрать 100 животных из популяции в 1000 животных. Порядок, в котором выбирают этих животных не важен, нас интересует число способов которыми м.б. выбрана группа животных. Пример: Перечислить все возможные сочетания из букв а,б,с по 2 аб ас бс Мы приходим к определению: Опр. Сочетание из n объектов взятых по к – это любой выбор объектов из n безотносительно к порядку выбора. Теорема: Число сочетаний из n объектов взятых по к равно Сnk = Аnk n!  Pk k!(n  k )! договариваются Сn0 = 1, Сnn = 1, Заметим что число размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством: Аnk = Рn* Сnk Пример: Выбрать из 25 студентов а) выбрать старосту 1-го заместителя и 2-го заместителя б) 3 студентов на конференцию А) порядок существенен получаем размещение по три А25 3 = 25! 25!   23 * 24 * 25  13800 (25  3)! 22! Б) порядок не важен получаем сочетание Сnk = Аnk 13800   2300 Pk 3! 4. Перестановки с повторением. Ранее предполагалось что все n-элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае число различных перестановок с повторением из n элементов вычисляется Рn (n1 , n2 ,..., nk )  n! n1!n2 !...nk ! Пример: Сколько различных перестановок можно составить из букв слова мама. n=4 М – n1=2 А – n2=2 Р4 (2,2)  4! 6 2!2! Сколько различных перестановок можно составить из букв слова математика 10! Р10 (2,3,2,1,1,1)   2!3!2!1!1!1! 5. Размещение с повторением. Пример: Дано множество из трех элементов {а,б,с} составим всевозможные размещения из этих элементов по 2 с повторением. Аа бб сс аб ба ас са бс сб всего 9 размещений с повторением. Аnk  n k Пример: Сколько всего двухзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3. N=32=9 Параграф 3. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности. Наблюдая за какими-нибудь событиями, мы убеждаемся, что одни из них более возможны, чем другие, т.е. каждое событие обладает той или иной мерой возможности. Если каждому возможному событию ставить в соответствии положительное число, то логично приписывать большее число более возможному событию. Число, выражающее меру возможности события, называется вероятностью этого события. Вероятность это мера возможности наступления события. Опр Вероятностью события А вычисляется как отношение числа исходов благоприятствующих появлению данного события, к числу всех элементарных исходов. Р(А)=m/n m-благоприятные исходы, n-число всех исходов Здесь предполагается что все исходы попарно-несовместны, единственно-возможны и равновозможные. Пример: 1. найдем вероятность выпадения 3 при подбрасывании кости Р(А)=1/6 2. вероятность рождения мальчика =1/2. 3. какова вероятность вынуть из колоды карт карту пиковой масти. 9/36=1/4 4. В ящике 6 зеленых и 4 синих карандаша. Чему равна вероятность достать зеленый карандаш. Р(А)=6/10=3/5 Заметим что 1. 0  Р(А)  1 (т.к. 0mn) 2. Р(И)=1 (т.к. m=n) 3. Р(V)=0 (т.к. m=0) Опр События называют равновозможными, если ни одно из этих событий не является более достоверным, чем другое. Пример: если мы подбрасываем кубик, то выпадение 1,2,..6 события равновозможные а если мы в ящике 3 белых и 8 черных шаров, то наиболее возможно событие что мы достанем черный шар, а не белый и такие события не равновозможные Параграф 4. Сложение вероятностей. Теорема 1. (сложения вероятностей несовместных событий). Вероятность появления одного из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) Замечание: Данная теорема распространяется на любое число слагаемых. Пример: В клетке 10 белых, 5 черных, 15 серых мышей. Из клетки берется одна мышь какова вероятность, что она окажется не белой. Р(А)=5/30=1/6 (вероятность появления черной мыши) Р(В)=15/30=1/2 (вероятность появления серой мыши) Искомая вероятность Р(А+В)=1/6+1/2=4/6=2/3 Опр. Событие состоящее в не наступлении события А называется противоположным событию А. Обозначается А (А–число четное, А –число нечетное, А–студент сдал все 3 экзамена, А –не сдал хотя бы один экзамен) Р(А) + Р( А ) =1 Р( А )=1-Р(А) Пример: Если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8, то вероятность промаха равна 1–0,8 = 0,2 Опр. События образуют полную группу, если при данном испытании, может произойти любое из этих событий, и не может произойти какое либо другое событие не совместное с ним. Пример: А-выпадение герба, В-выпадение решки. А и В образуют полную группу. Замечание: Если случайные события образуют полную группу несовместных событий (А1…Ак), то сумма их вероятностей равна единице Р(А1)+…+Р(Ак)=1. Теорема 2. (сложения вероятностей совместных событий). Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного исхода: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А*В) Параграф 5. Условная вероятность. Независимость событий. Умножение вероятностей. Опр. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность появления события А зависит от того произошло ли В или нет. Пример: В клетке 10 черных и 5 белых кроликов. Вынимаем первого, а затем второго кролика. Какова вероятность что второй будет черным? Если мы не знаем каким был первый, то не сможем вычислить вероятность Р(А), что второй черный, т.к. м.б. два случая. 1. 1-ый черный Р(А)=9/14 2. 1-ый белый Р(А)=10/14 Опр. Условной вероятностью события А при условии события В, обозначается Р(А/В), называется вероятность события А, в предположении что произошло событие В. В примере если обозначить А-2-й черный, В-1-й черный, С-1-й белый, то Р(А/В)=9/14, а Р(А/С)=10/14 Условная вероятность обладает теми же свойствами что и обычная. Теорема. Вероятность совместного исхода двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность 2-го, вычисленную при условии, что 1-е произошло. Р(А*В) = Р(В)*Р(А/В) = Р(А)*Р(В/А) Р(А/В) = Р(А*В) / Р(В) – формула для вычисления условной вероятности Расширенная теорема умножения вероятностей. Р(А1,А2…Аn) = Р(А1) * Р(А2/А1) * Р(А3/А1А2)…Р(Аn/A1…An-1) Пример: Из 14 карточек составлено слово параллелограмм, карточки перемешиваются и какова вероятность что получится слово ЛОМ. А1- первая Л Р(А1)=3/14 А2- вторая О Р(А2/А1)=1/13 А3- третья М Р(А3/А1А2)=2/12 Р(А)=3/14 * 1/13 * 2/12= 1/364 Независимость событий. Опр. События называются независимыми, если появление одного из них не зависит от того произошло ли другое. Т.е. Р(А/В) = Р(А) Р(В/А) = Р(В) Пример: События А-выпадение герба и В- выпадение решки зависимы, т.к. при наступлении одного вероятность другого ноль. Теорема (умножения вероятностей двух независимых событий). Вероятность совместного исхода двух независимых событий равна произведению вероятности одного из этих событий на вероятность 2-го. Р(А*В) = Р(А) * Р(В) Замечание: Данная теорема справедлива для любого количества независимых событий. Пример: Стреляем в цель из двух орудий. Вероятность попадания из первого =9/10, а второго = 5/6. Какова вероятность попадания одновременно из двух орудий? Р(А*В)=9/10 * 5/6 =3/4 Параграф 6. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Формула полной вероятности (формула объединяет теоремы сложения и умножения) Пусть В1, В2…Вn полная группа несовместных событий, а событие А может произойти лишь только с одним из этих событий, тогда вероятность наступления события А= n Р(А)= Р(В1)*Р(А/В1) + Р(В2)*Р(А/В2) +….+ Р(Вn)*Р(А/Вn)=  P( Bi ) P( A / Bi ) i 1 Пример: Даны четыре клетки В1– 6 белых и 4 черных мыши, В2– 7 белых, В3– 9 черных, В4–3 белых и 3 черных. Наугад берем клетку и вынимаем мышь и какова вероятность Р(А) что она окажется белой. Событие А может произойти только после того как мы выберем клетку и мы можем рассчитать вероятность по формуле полной вероятности. Р(А)= Р(В1)*Р(А/В1) + Р(В2)*Р(А/В2) + Р(В3)*Р(А/В3) + Р(В4)*Р(А/В4) Р(В1)=Р(В2)=Р(В3)=Р(В4)=1/4 вероятность выбрать 1 ящик Р(А/В1)= 6/10=3/5 Р(А/В2)=1 Р(А/В3)=0 Р(А/В4)=3/6=1/2 Р(А)=1/4(3/5+1+0+1/2)=21/40 В тесной связи с формулой полной вероятности находится формула Байеса. Пусть В1, В2…Вn полная группа несовместных событий, а событие А может произойти лишь только с одним из этих событий, которые называют гипотезами, будем считать что событие А уже произошло, тогда чему равна вероятность гипотез Р(В1), Р(В2)… Р(Вn) Т.е. нам нужно определить Р(Вi/A)=? По теореме умножения вероятностей Р(А*Вi)= Р(А)*Р(Вi/А)=Р(Вi)*Р(А/Вi), отсюда следует Р(Вi/A)= P( Bi )  P( A / Bi ) P( B )  P( A / Bi )  n i Р( А)  P( B j ) P( A / B j ) формула Байеса j 1 Пример: Внесем изменения в предыдущую задачу. Пусть известно, что вытащенная мышь белая. Какова вероятность что эта мышь из первого ящика. Р(В1/А) = ? 1 3 P( B1 )  P( A / B1 ) 3  40 6 2 Р(В1/A)=  4 5   21 Р( А) 20  21 21 7 40 Параграф 7. Повторные испытания. Формула Бернулли. Ранее нас интересовала вероятности связанные с проведением одного испытания. А какова вероятность всевозможных исходов если испытания проводятся несколько раз подряд. Пусть производится n независимых испытаний, вероятность наступления события А в каждом испытании равна Р, тогда вероятность неудачи равна q=1-р. (такая последовательность испытаний называется серией испытаний удовлетворяющих условию Бернулли). Тогда вероятность того что событие А наступит m раз в n испытаниях равна Pn (m)  Cnm  P m  q nm , q=1-p – формула Бернулли Формула Бернулли применима к повторным испытаниям с двумя исходами. Пример: Какова вероятность что при подбрасывании монеты 8 раз, 5 раз выпадет герб? N=8, m=5, P=1/2, q=1/2 P8 (5)  C85  (1/ 2) 5  (1/ 2)85  8! 1 1 56 7     , q=1-p 5!3! 32 8 256 32 Следствие: Вероятность того, что событие наступит хотя бы один раз при проведении n испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли равна: Pn (m  1)  1  Рn (0)  1  Cn0  P 0  q n  1  q n Опр. Число m0 называется наивероятнейшим числом наступления события А, если вероятность того, что событие А наступит m0 раз превышает все остальные вероятности. Теорема: Наивероятнейшее число наступления события А при проведении n-независимых испытаний (с двумя исходами) вычисляется по формуле np–q  m0  np+р Пример: Найти наивероятнейшее число выпадение герба при 6 подбрасываниях. 1 способ: Можно найти вероятности выпадения герба при каждом подбрасывании и потом сравнить их (где вероятность больше то и решение), но это громоздкое решение. Р6(0)=С60(1/2)0 (1/2)6 =1/64 Р6(1)=6/64 Р6(2)=15/64 Р6(3)=20/64 Р6(4)=15/64 Р6(5)=6/64 Р6(6)=1/64 m=3, наивероятнейшее число выпадения герба. 2 способ: Применим теорему. N=6, p=1/2, q=1-1/2=1/2, 6*1/2-1/2  m0  6*1/2+1/2 2,5  m0  3,5 m0=3 Параграф 8. Локальная и интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пользоваться формулой Бернулли для вычисления Pn (m) не всегда просто, т.к. при большом числе испытаний (n) возникает громоздкость в вычислениях: Пример: Вероятность попадания стрелком в мишень при 1 выстреле равна 0,8. Найти вероятность того что при 200 выстрелах стрелок попадет 170 раз. Схема Бернулли выполняется Р200(170)=С200170 * 0,8170 * 0,230 –сложные вычисления. возникает вопрос, а можно ли не пользуясь формулой Бернулли вычислить значение другим способом. Ответ на этот вопрос дает формула, которая позволяет вычислить значения при большом числе испытаний. Теорема: Если вероятность появления события А в каждом испытании равна Р (Р0, Р1), то вероятность того, что событие А в условиях схемы Бернулли появится ровно m раз, вычисляется по формуле Pn (m)  1   ( x) npq x2 1 2  ( x)  e 2 где x  m  np npq для вычисления  (х) имеются готовые таблицы. функция (х)-четная т.е. (-х)=(х) Эту формулу впервые получил Муавр, для р=0,5, а затем для произвольной Р была обобщена Лапласом. Применим локальную теорему Муавра–Лапласа для решения задачи x m  np 170  200 * 0,8   1,77 npq 200 * 0,8 * 0,2 Р200(170) 1 1   ( x)    (1,77)  0,768 * 0,0833  0,0147 200  0,8  0,2 200  0,8  0,2 Интегральная теорема Муавра-Лапласа.  Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна 0