Случайная компонента и ее оценка

Лекция 4. Случайная компонент а и ее оценка 1 4.1. Основны е определения Случайная компонента ε (t) - это составная часть временного ряда, оставшаяся после выделения систематических компонент. Она отражает воздействие многочисленных факторов случайного характера и представляет собой случайную, нерегулярную компоненту. Она является обязательной составной частью любого временного ряда в экономике, так как случайные отклонения неизбежно сопут­ствуют любому экономическому явлению. Если системати­ческие компоненты временного ряда определены правильно, то остающаяся после выделения из временного ряда этих компонент так называемая остаточная последовательность (ряд остатков) будет случайной компо­нентой ряда. В анализе случайного компонента экономических временных рядов важную роль играет сравнение случайной величины с хо­рошо изученной формой случайных процессов - стационарными случайными процессами. Для оценки адекватности построенных моделей исследуются свойства случайной компоненты, т.е. расхождения уровней, рассчитанных по модели, и фактических наблюдений. 2 Ряд y(t) называется ст рого ст ационарны м (strictly stationarity) в узком смысле, если совместное распределение n наблюдений y(t1), y(t2) ,...y(tn) не зависит от сдвига по времени, т.е. совпадает с распределением y(t1l) , y(t2l) ,...y(tnl) для любых n, l, t1, t2,...tn Ряд y(t) называется слабо ст ационарны м (weak stationarity) стационарным в широком смысле, если такие статистические характеристики временного ряда как его математическое ожидание (среднее), дисперсия (среднеквадратическое отклонение) и ковариация не зависят от момента времени t, т.е. равны константе. Если нарушается хотя бы одно из этих условий, то ряд называется нестационарны м. Строгая стационарность подразумевает слабую стационарность. Стационарность может нарушаться по математическому ожиданию и по дисперсии. В зависимости от выбранной характеристики чаще всего говорят о стационарности временного ряда относительно среднего значения или дисперсии. 3 Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки нулевой гипотезы Н 0 : | |=0 С этой целью строится t-статистика: где - среднее арифметическое значение уровней ряда остатков; Se- среднеквадратическое отклонение для этой последовательности, рассчитанное по формуле для малой выборки (n-1). На уровне значимости α гипотеза отклоняется, если где tα,v – табличное значение критерия распределения Стьюдента с доверительной вероятностью (1 – α) и n-1 степенями свободы. 4 Наиболее важными свойствами случайной компоненты являются - независимость уровней ряда остатков, - случайность уровней ряда остатков, - соответствие нормальному закону распределения. Независимость уровней ряда остатков проверяется с помощью критерия Дарбина – Уотсона, который рассчитывается по формуле: Его значение сравнивается с критическими значениями d1 и d2. Если при этом: d2 < d < (4 - d2), то остатки признаются некоррелированными; 0< d < d1, то имеется положительная автокорреляция остатков; 4 – d1< d < 4, то существует отрицательная автокорреляция; d1 < d < d2 или (4 - d2 )< d < (4 - d1), то это указывает на неопределенность ситуации, и в этом случае рассчитывается коэф фициент автокорреляции остат ков первого порядка 5 Остатки признаются некоррелированными, если коэффициент автокорреляции первого порядка по абсолютной величине |r1|≤ r(1) kp , где r(1)kр — критическое значение коэффициента r1. В противном случае делают вывод об автокорреляции остатков: положительной, если r1 > 0 и отрицательной — если r1 <0 . 6 Случайност ь уровней остатков определяется с помощь критерия пиков или поворотных точек. Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно больше (меньше) соседних с ним элементов. Если остатки случайны , то поворотная точка приходится примерно на каждые 1,5 наблюдения. Если их больше, то возмущения быстро колеблются и это не может быть объяснено только случайностью. Если ж е их меньше, то последовательные значения случайной компоненты положительно коррелированы. Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить как р – фактическое количество поворотных точек в случайном ряду; 1,96 – квантиль нормального распределения для 5%-го уровня значимости. Квадратные скобки здесь так же означают, что от результата вычисления следует взять целую часть. Если неравенство не соблюдается, то ряд остатков нельзя считать случайным (т.е. он содержит регулярную компоненту) и, стало быть, 7 модель не является адекватной. где Для проверки соответствия ряда остатков нормальному закону распределения, что важно с точки зрения правомерности построения доверительных интервалов прогноза, используются коэффициенты асимметрии и эксцесса. Эти коэффициенты позволяют оценить симметричность отклонений ряда относительно модели и преобладание малых по абсолютной величине ошибок над большими ошибками. Кроме рассмотренного метода известен ряд других методов проверки нормальности закона распределения случайной величины: метод Вестергарда, RS-критерий и т.д. Рассмотрим наиболее простой из них, основанный на RS-критерии. Этот критерий численно равен отношению размаха вариации случайной величины R к стандартному отклонению S, т.е. Вычисленное значение критерия сравнивается с табличными (критическими) нижней и верхней границами данного отношения, и если это значение не попадает в интервал между критическими границами, то с заданным уровнем значимости гипотеза о нормальности распределения отвергается; в противном случае эта гипотеза принимается. 8 Для иллюстрации приведем несколько пар значений критических границ RS-критерия для уровня значимости а = 0,05: при п = 10 нижняя граница равна 2,67, а верхняя равна 3,685; при n=16 эти числа равны соответственно 3,01 и 4,24, п = 20 эти числа составляют соответственно 3,18 и 4,49; при п = 30 они равны 3,47 и 4,89. 9 y-S-T=ε ε(t)-ε(t1) (ε(t)-ε(t-1))2 945.254902 1220.538971 275.2841 75781.31844 1169.489706 -51.0493 2606.027427 -30.60122549 -1200.09 1440218.244 -762.4421569 -731.841 535591.1488 -937.1580882 -174.716 30525.65668 -1126.207353 -189.049 35739.62449 -998.2982843 127.9091 16360.72984 -645.1392157 353.1591 124721.3278 -653.8551471 -8.71593 75.96745969 -858.9044118 -205.049 42045.20096 40.00465686 898.9091 808037.5137 253.1637255 213.1591 45436.78854 526.4477941 273.2841 74684.18217 539.3985294 12.95074 167.7215447 ε(t)2 893506.829 7 1489715.37 9 1367706.17 2 936.435001 5 581318.042 6 878265.282 3 1268343.00 2 996599.464 5 416204.607 6 427526.553 3 737716.788 5 1600.37257 1 64091.8719 277147.279 9 290950.773 5 1737934.92 поворотн y-S-T=ε ые точки 945.2549 1220.539 * 1169.49 -30.6012 р= 3 -762.442 р= 6.220558 -937.158 -1126.21 * RS= 2.800422 -998.298 -645.139 -653.855 -858.904 * 40.00466 253.1637 526.4478 539.3985 10 Проверяемое свойство Используемы е ст ат ист ики наименование Случайность ниж верхн няя критерий Независимост ь значение Граница Дарбина–Уотсона DW=0,336 r(1))= 2(1- коэффициент 0,778) автокорреляции Критерий пиков =0,444 3<6 яя 1,10 1,37 Неадекватна 0,497 dn=2(1- r(1) – Вы вод 4 Неадекватна (поворотных точек) Нормальность RS-критерий М( )= 0 ? t-статистика Стьюдента 2,80 0,000 3,01 4,24 Неадекватна - 2,17 2,17 9 Адекватна 9 11