Системы технологического управления

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Системы технологического управления Лекция №6 Доц., к.ф.-м.н. Ефремов А. А. Санкт-Петербург Математические модели Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений ( ( ) ) ( )  F1 t , x1 , x1,..., x1( m1 ) , x2 , x2 ,..., x2( m2 ) ,..., xn , xn ,..., xn( mn ) = 0,   F t , x , x,..., x ( m1 ) , x , x ,..., x ( m2 ) ,..., x , x ,..., x ( mn ) = 0,  2 1 1 1 2 2 2 n n n  ...   m m m Fn t , x1 , x1,..., x1( 1 ) , x2 , x2 ,..., x2( 2 ) ,..., xn , xn ,..., xn( n ) = 0,   В системе (1) t – независимая переменная, F1, F2 ,..., Fn – известные функции. x1, x2 ,..., xn (1) – искомые функции, Независимой переменной в системе дифференциальных уравнений может выступать не только время, но и другие физические величины: координата, цена продукта и т.д. 2 Математические модели Системы дифференциальных уравнений применяются для описания различных процессов человеческой деятельности. Это могут быть различного рода физические и химические процессы, процессы нефте- и газодобычи, геологии, экономики и т. д. Если некоторые физические величины (перемещение тела, пластовое давление жидкости в фиксированной точке с тремя координатами, концентрация веществ, объемы продаж продуктов) оказываются меняющимися со временем под воздействием тех или иных факторов, то, как правило, закон их изменения по времени описывается именно системой дифференциальных уравнений, т. е. системой уравнений, связывающей исходные переменные как функции времени и производные этих функций. 3 Математические модели В подавляющем числе случаев, дифференциальные уравнения ограничены первым  F1 ( t , x1 , x1, x2 , x2 ,..., xn , xn ) = 0,   F2 ( t , x1 , x1, x2 , x2 ,..., xn , xn ) = 0,  ...   Fn ( t , x1 , x1, x2 , x2 ,..., xn , xn ) = 0,  или вторым  F1 ( t , x1 , x1, x1 , x2 , x2 , x2 ,..., xn , xn , xn ) = 0,    F2 ( t , x1 , x1, x1 , x2 , x2 , x2 ,..., xn , xn , xn ) = 0,  ...           Fn ( t , x1 , x1 , x1 , x2 , x2 , x2 ,..., xn , xn , xn ) = 0, порядком производных 4 Математические модели Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд., испр. - М.: Физматлит, 2001. -320 с. ISBN 5-9221-0120-Х. 5 Математические модели Задача. Некоторое вещество A разлагается на два вещества P и Q. Скорость образования каждого из этих веществ пропорциональна количеству неразложившегося вещества. Пусть x и y – количества вещества P и Q, образовавшихся к моменту t . Определить закон их изменений, зная, что в начальный момент x = 0, y = 0, а через 1 час 3c c x= ,y= , 8 8 где c – первоначальное количество вещества A. Решение. К моменту t количество неразложившегося вещества A равно (c − x − y) . Тогда, согласно условиям задачи, скорости образования веществ P и Q:  dx  dt = k1 (c − x − y )   dy = k (c − x − y ) 2  dt где k1 и k2 – коэффициенты пропорциональности скорости образования каждого из веществ P и Q , x = x(t) , y = y(t) – искомые функции, описывающие закон изменения количества веществ P и Q. 6 Математические модели Ответ: c  −t x = 1 − 2  4   y = 3c 1 − 2−t  4 ( ) ( ) График искомых функций x(t) и y(t) демонстрирует характер образования веществ P и Q в процессе химической реакции разложения вещества A. 7 Математические модели Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений ( ( ) ) ( )  F1 t , x1 , x1,..., x1( m1 ) , x2 , x2 ,..., x2( m2 ) ,..., xn , xn ,..., xn( mn ) = 0,   F t , x , x,..., y ( m1 ) , x , x ,..., x ( m2 ) ,..., x , x ,..., x ( mn ) = 0,  2 1 1 1 2 2 2 n n n  ...   m m m Fn t , x1 , x1,..., x1( 1 ) , x2 , x2 ,..., x2( 2 ) ,..., xn , xn ,..., xn( n ) = 0,   В системе t – независимая переменная, F1, F2 ,..., Fn – известные функции. x1, x2 ,..., xn – искомые функции, Совокупность n функций x1 = x1 (t ), x2 = x2 (t ),, xn = xn (t ) называется решением системы на интервале (a,b), если она обращает на (a,b) каждое уравнение этой системы в тождество (всегда будем предполагать, что число уравнений системы равно числу неизвестных функций.). 8 Математические модели Система, которая может быть разрешена относительно старших производных всех входящих в нее функций, называется канонической: ( ( ) ) ( )  x1( m1 ) = f1 t , x1 , x1,..., x1( m1 −1) , x2 , x2 ,..., x2( m2 −1) ,..., xn , xn ,..., xn( mn −1) ,   x( m2 ) = f t , x , x,..., y ( m1 −1) , x , x ,..., x ( m2 −1) ,..., x , x ,..., x ( mn −1) ,  2 2 1 1 1 2 2 2 n n n  ...   ( mn ) m −1 m −1 m −1 xn = f n t , x1 , x1,..., x1( 1 ) , x2 , x2 ,..., x2( 2 ) ,..., xn , xn ,..., xn( n ) ,   В системе t – независимая переменная, x1, x2 ,..., xn – искомые функции, f1, f 2 ,..., f n – заданные в некоторой области функции. Совокупность n функций x1 = x1 (t ), x2 = x2 (t ),, xn = xn (t ) называется решением системы на интервале (a,b), если она обращает на (a,b) каждое уравнение этой системы в тождество (всегда будем предполагать, что число уравнений системы равно числу неизвестных функций.). 9 Математические модели Частный случай канонической системы – система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной всех искомых функций, т. е. система вида:  dy1  dt = f1 ( t , y1 , y2 , , yn )   dy2 = f ( t , y , y , , y )  2 1 2 n  dt    dyn = f t , y , y , , y n( 1 2 n)  dt Данная система называется нормальной. Если известные функции f системы не зависят от свободной переменной t, то она называется автономной (стационарной). Число уравнений системы называется ее порядком. Каноническую систему всегда можно заменить эквивалентной ей нормальной системой с помощью замены переменных 10 Математические модели Дифференциальное уравнение первого порядка dy1 = f1 ( t , y1 ) dt можно рассматривать как частный случай системы дифференциальных уравнений. Ее решением будет функция y1 ( t ) = 1 ( t ) , которая с геометрической точки зрения представляет собой кривую на плоскости (в двумерном пространстве). 11 Математические модели Для системы 2-го порядка dy1 = f1 ( t , y1 , y2 ) dt dy2 = f 2 ( t , y1 , y2 ) dt решением будет пара функций  y1 ( t ) = 1 ( t )   y2 ( t ) = 2 ( t ) которые можно рассматривать как уравнения кривой в пространстве трех измерений. 12 Математические модели Обобщая геометрическую терминологию, будем считать, что решение системы  dy1  dt = f1 ( t , y1 , y2 , , yn )   dy2 = f ( t , y , y , , y )  2 1 2 n  dt    dyn = f t , y , y , , y n( 1 2 n)  dt y1 ( t ) = 1 ( t ) , y2 ( t ) =  2 ( t ) ,..., yn ( t ) =  n ( t ) представляет собой интегральную кривую (n +1) -мерного пространства переменных t , y1 , y2 ,..., yn 13