Системы линейных уравнений: основные понятия

2. Системы линейных уравнений 2.1. Основные понятия С истемой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида мa11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn = b1 , п пa21 x1 + a22 x2 +  + a2n xn = b2 , н п, пa x + a x +  + a x = b , mn n m о m1 1 m 2 2 где aij — коэффициенты системы; bi — свободные члены; x j — неизвестные значения; i = 1, m, j = 1, n. Запишем систему в матричной форме: A Ч X = B, где А — матрица коэффициентов системы или основная матрица си‑ стемы: ж a11 a12 з a a22 A = з 21 з ... ... зз и am1 am 2 ... a1n ц ч ... a2n ч , ... ... ч ч ... amn чш X — вектор-столбец из неизвестных x j : ж x1 ц з ч x X = з 2 ч, з  ч зз чч и xn ш 29 2. Системы линейных уравнений B — вектор-столбец из свободных членов bi : ж b1 ц з ч b B = з 2 ч. з  ч зз чч и bm ш Расширенной матрицей системы называется матрица вида ж a11 a12 з a a22 A = з 21 з ... ... зз и am1 am 2 ... a1n ... a2n ... ... ... amn b1 ц ч b2 ч . ... ч ч bm чш Решением системы называется n значений неизвестных x1 = c1 , x2 = c2 , ..., xn = cn , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система уравнений называется несовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение. Совместная система называется неопределенной, если она имеет более одного решения. Каждое решение неопределенной системы называется частным ре‑ шением этой системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением системы. 2.2. Решение невырожденных линейных систем Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными: мa11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn = b1 , п пa21 x1 + a22 x2 +  + a2n xn = b2 , н п, пa x + a x +  + a x = b , nn n n о n1 1 n 2 2 30 (2.1) 2.2. Решение невырожденных линейных систем или в матричной форме: A Ч X = B . a11  a1n D = det A =    — определитель системы. an1  ann Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной. Рассмотрим способы решения системы (2.1). Матричный метод решения Умножим обе части уравнения A Ч X = B слева на матрицу A -1: A -1 Ч A Ч X = A -1 Ч B . Так как A -1 Ч A = E , то X = A -1 Ч B . Пример. Решить матричным способом систему: м2 x + y + 2z = 3, п н x + z = 1, п2 x + y + 3z = 2. о Решение. Решение системы найдем по формуле X = A -1 Ч B . Основная матрица системы имеет вид ж 2 1 2ц з ч A = з 1 0 1 ч. з2 1 3ч и ш Обратная матрица для матрицы А: A Тогда -1 ж 1 1 -1 ц з ч = з 1 -2 0 ч . з -1 0 1 ч и ш ж 1 1 -1 ц ж 3 ц ж 3 + 1 - 2 ц ж 2 ц X = A B = зз 1 -2 0 чч Ч зз 1 чч = зз 3 - 2 + 0 чч = зз 1 чч . з -1 0 1 ч з 2 ч з -3 + 0 + 2 ч з -1 ч и ш и ш и ш и ш -1 31 2. Системы линейных уравнений ж2ц з ч X = Итак, з 1 ч. з -1 ч и ш Формулы Крамера Запишем матричное равенство X = A -1 Ч B в следующем виде: ж x1 ц ж A11 з ч з з x2 ч = 1 з A12 з  ч D з ... зз чч зз и xn ш и A1n то есть A21 A22 ... A2n ... An1 ц ж b1 ц ч з ч ... An 2 ч з b2 ч Ч , ... .... ч з  ч ч з ч ... Ann чш зи bn чш ж A11b1 + A21b2 +  + An1bn з D ж x1 ц з з ч з A12b1 + A22b2 +  + An 2bn з x2 ч = з D з  ч з зз чч з  и xn ш з A b + A b +  + A b 2n 2 nn n з 1n 1 и D ц ч ч ч ч. ч ч ч ч ш Отсюда следует, что A11b1 + A21b2 +  + An1bn , D  A b + A2nb2 +  + Annbn . xn = 1n 1 D Но A11b1 + A21b2 +  + An1bn есть разложение определителя x1 = b1 b D1 = 2  bn a12 a22  an 2     a1n a2n  ann по элементам первого столбца. Определитель D1 получается из определителя D путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов. Итак, x1 = 32 D1 . D 2.2. Решение невырожденных линейных систем D2 , где D 2 получен из D путем замены второго столбD D D ца коэффициентов столбцом из свободных членов; x3 = 3 , , xn = n . D D Аналогично x2 = Формулы Крамера имеют вид xi = Di , D где D — определитель основной матрицы системы; Di — определитель, получаемый из определителя D заменой i‑го столбца на столбец свободных членов; i = 1, n. Пример. Решить по формулам Крамера систему м x + y - z = 0, п н2 x + y + z = 7, п x - y + z = 2. о Решение. Запишем формулы Крамера: x= Dx , D y= Dy , z= Dz . D D Найдем определитель системы D и определители неизвестных D x , D y , D z . Здесь D x = D1 , D y = D 2 , D z = D3 . 1 1 -1 D = 2 1 1 = 1 + 1 + 2 + 1 + 1 - 2 = 4, 1 -1 1 0 1 -1 D x = 7 1 1 = 0 + 2 + 7 + 2 - 0 - 7 = 4, 2 -1 1 1 0 -1 D y = 2 7 1 = 7 + 0 - 4 + 7 - 2 - 0 = 8, 1 2 1 1 1 0 D z = 2 1 7 = 2 + 7 + 0 - 0 + 7 - 4 = 12. 1 -1 2 33 2. Системы линейных уравнений Находим по формулам Крамера x, y, z : x= Dx 4 = = 1; D 4 y= Dy D = 8 = 2; 4 z= Dz D = 12 = 3. 4 ж1ц з ч X = Итак, з 2 ч. з3ч и ш 2.3. Решение произвольных систем линейных уравнений Пусть задана система m линейных уравнений с n неизвестными: мa11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn = b1 , п пa21 x1 + a22 x2 +  + a2n xn = b2 , н п пa x + a x +  + a x = b . mn n m о m1 1 m 2 2 Теорема Кронекера-Капелли Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и толь‑ ко тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширен‑ ной матрицы, то есть r ( A ) = r ( A ). Пусть r ( A ) = r ( A ) = r ,то есть система совместна. Утверждение 1. Если r = n, то система является определенной. Утверждение 2. Если r < n, то система является неопределенной. Правила решения произвольной системы линейных уравнений 1. Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если r ( A ) № r ( A ), то система несовместна. 2. Если r ( A ) = r ( A ), то система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка r. Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Главные неизвестные оставить слева, а свободные перенести в правые части уравнений. 34 2.3. Решение произвольных систем линейных уравнений Главные (базисные) неизвестные — неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор. Свободные неизвестные — это n - r неизвестных, коэффициенты которых не входят в базисный минор. 3. Решить систему относительно главных неизвестных, выразив главные неизвестные через свободные. Получить общее решение системы. 4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, найти соответствующие значения главных неизвестных, то есть найти частное решение системы. Пример. Решить систему м x1 + 5x2 + 4 x3 + 3x4 = 1, п н2 x1 - x2 + 2 x3 - x4 = 0, п5x + 3x + 8x + x = 1. 2 3 4 о 1 Решение 1. Найдем ранги основной и расширенной матриц системы. ж1 5 4 3 1 ц з ч A = з 2 -1 2 -1 0 ч  з5 3 8 1 1ч и ш ж1 5 4 3 1 ц з ч A = з 2 -1 2 -1 0 ч з5 3 8 1 1ч и ш (–2) (–5) 4 3 1 ц ж1 5 ч з  з 0 -11 -6 -7 -2 ч (–2) з 0 -22 -12 -14 -4 ч и ш 4 3 1 ц ж1 5 4 3 1 ц з ч ж1 5  з 0 -11 -6 -7 -2 ч  з чЮ 0 -11 -6 -7 -2 ш и з0 0 ч 0 0 0ш и Ю M2 = 1 5 = -11 № 0 Ю r ( A ) = 2 = r ( A ). 0 -11 2. Так как r ( A ) = r ( A ) = r = 2, то система совместна. Выберем базисный минор: M2 = 1 5 = -11. 2 -1 35 2. Системы линейных уравнений Возьмем первые два уравнения, из коэффициентов которых составлен базисный минор: м x1 + 5x2 + 4 x3 + 3x4 = 1, н о2 x1 - x2 + 2 x3 - x4 = 0; x1 , x 2 — главные неизвестные, так как их коэффициенты входят в ба- зисный минор; x3 , x 4 — свободные неизвестные, так как коэффициенты при этих неизвестных не входят в базисный минор. Главные неизвестные оставим слева, а свободные перенесем в правые части уравнений: м x1 + 5x2 = 1 - 4 x3 - 3x4 , н о2 x1 - x2 = -2 x3 + x4 . 3. Выразим главные неизвестные через свободные. Решим последнюю систему относительно x1 и x 2 по формулам Крамера: x1 = D= D1 = 1 - 4 x3 - 3 x 4 -2 x3 + x4 D2 = D1 ; D x2 = D2 . D 1 5 = -11; 2 -1 5 = -1 + 4 x3 + 3x4 + 10 x3 - 5x4 = -1 + 14 x3 - 2 x4 ; -1 1 1 - 4 x3 - 3 x 4 = -2 x3 + x4 - 2 + 8x3 + 6 x4 = -2 + 6 x3 + 7 x4 . 2 -2 x3 + x4 x1 = D1 -1 + 14 x3 - 2 x4 1 14 2 = = - x3 + x 4 ; D -11 11 11 11 x2 = D 2 -2 + 6 x3 + 7 x4 2 6 7 = = - x3 - x 4 . D -11 11 11 11 Итак, 1 14 2 м пп x1 = 11 - 11 x3 + 11 x4 , н пx = 2 - 6 x - 7 x . по 2 11 11 3 11 4 36 2.4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Общее решение системы имеет вид 1 14 2 м п x1 = 11 - 11 c1 + 11 c2 , п пx = 2 - 6 c - 7 c , н 2 11 11 1 11 2 п п x3 = c1 , пx = c . о 4 2 - Ґ < c1 , c2 < +Ґ, 4. Найдем частное решение системы. Пусть c1 = c2 = 0, тогда частное решение системы имеет вид 1 м п x1 = 11 п пx = 2 н 2 11 п п x3 = 0 п x = 0. о 4 2.4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных. Пусть дана система линейных уравнений мa11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn = b1 , п пa21 x1 + a22 x2 +  + a2n xn = b2 , н п, пa x + a x +  + a x = b . mn n m о m1 1 m 2 2 (2.2) Решение происходит в два этапа. 1 этап. Прямой ход С помощью элементарных преобразований строк система (2.2) приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду: 37 2. Системы линейных уравнений мa11 x1 + a12 x2 +  + a1k xk +  + a1n xn = b1 п a22 x2 +  + a2k xk +  + a2n xn = b2 п н   п п akk xk +  + akn xn = bk , о где k Ј n, aii № 0, i = 1, k . (2.3) Коэффициенты aii называют главными элементами системы. Опишем, как привести систему (2.2) к виду (2.3). Пусть a11 № 0. Если a11 = 0, то первым в системе запишем уравнение, в котором коэффициент при x1 отличен от нуля. С помощью элементарных преобразований преобразуем систему (2.2). Исключим неизвестное x1 во всех уравнениях, кроме перво- го. Для этого умножим обе части первого уравнения на - a21 и сложим a11 почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на - a31 и сложим с третьим уравнением системы. a11 Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему где aij(1) , bi(1) мa11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn = b1 , п (1) a22 x2 +  + a2(1n) xn = b2(1) , п н п , (1) п am(12) x2 +  + amn xn = bm(1) , о (i = 2, m; j = 2, n) — новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после первого шага. Далее аналогично, считая главным элементом a22(1) № 0, исключим неизвестное x2 из всех уравнений системы, кроме первого и второго, и так далее. Если в процессе приведения системы (2.2) к ступенчатому виду появляются нулевые уравнения, т. е. равенства вида 0 = 0, то их отбрасывают. Если же появляются уравнения вида 0 = bi , а bi № 0, то система несовместная. 2 этап. Обратный ход На втором этапе решаем ступенчатую систему. В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное xk через остальные неизвестные ( xk +1 , , xn ). Затем подставляем полученное значение xk 38 2.4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса в предпоследнее уравнение системы и выражаем xk -1 через ( xk +1 , , xn ), далее последовательно находим xk -2 , , x1 . Придавая свободным неизвестным ( xk +1 , , xn ) произвольные значения, получим множество решений системы. Замечания 1. Если ступенчатая система оказывается треугольной, то есть k = n, то исходная система имеет единственное решение. 2. На практике удобнее работать не с системой (2.2), а с ее расширенной матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Пример. Решить систему методом Гаусса: м x1 - 2 x2 + x4 = -3, п п3x1 - x2 - 2 x3 = 1, н п2 x1 + x2 - 2 x3 - 4 x4 = 4, п x + 3x - 2 x - 2 x = 7. 2 3 4 о 1 Решение. Составим расширенную матрицу системы: ж 1 -2 0 1 -3 ц з ч 3 -1 -2 0 1 ч з A= . з 2 1 -2 -1 4 ч з ч и 1 3 -2 -2 7 ш 1 этап. Приведем матрицу к ступенчатому виду: ж 1 -2 0 1 -3 ц з ч. и 0 5 -2 -3 10 ш 2 этап. Восстановим систему: + x4 = -3, м x1 - 2 x2 н 5x2 - 2 x3 - 3x4 = 10. о Из второго уравнения найдем x2 : x2 = 2 3 x3 + x4 + 2. 5 5 Подставим x2 в первое уравнение и найдем x1 : x1 = 4 1 x 3 + x 4 + 1. 5 5 39 2. Системы линейных уравнений Общее решение системы будет иметь вид 4 1 м п x1 = 5 c1 + 5 c2 + 1, п п x = 2 c + 3 c + 2, н 2 5 1 5 2 п п x3 = c1 , пx = c . о 4 2 2.5. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю: мa11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn = 0, п пa21 x1 + a22 x2 +  + a2n xn = 0, н п, пa x + a x +  + a x = 0. mn n о m1 1 m 2 2 (2.4) Однородная система всегда совместна, то есть r ( A ) = r ( A ). Она имеет нулевое (тривиальное) решение: x1 = x2 =  = xn = 0. Теорема 1. Для того чтобы система однородных уравнений (2.4) име‑ ла ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основ‑ ной матрицы был меньше числа n неизвестных, то есть r < n. Пусть дана однородная система n линейных уравнений с n неизвестными: мa11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn = 0, п пa21 x1 + a22 x2 +  + a2n xn = 0, н п, пa x + a x +  + a x = 0. nn n о n1 1 n 2 2 40 2.5. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений Теорема 2. Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю, то есть D = 0. Пример. Решить систему м x1 + x2 - 2 x3 = 0, п н3x1 - x2 + 2 x3 = 0, п x + 2 x + x = 0. 2 3 о 1 Решение. Вычислим определитель системы: 1 1 -2 D = 3 -1 2 = -1 + 2 - 12 - 2 - 3 - 4 = -20. 1 2 1 Так как D № 0, то система имеет, согласно теореме 2, только одно (нулевое) решение: x1 = x2 = x3 = 0. Запишем решение системы (2.4) x1 = k1 , x2 = k2 , , xn = kn в виде строки e1 = (k1 , k2 , , kn ). Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами. 1. Если строка e1 = (k1 , k2 , , kn ) — решение системы (2.4), то и строка le1 = (lk1 , lk2 , ј, lkn ) — также решение этой системы. 2. Если строки e1 = (k1 , k2 , , kn ) и e2 = (l1 , l2 , , ln ) — решения системы (2.4), то при любых c1 и c2 их линейная комбинация c1e1 + c2e2 = (c1k1 + c2l1 , c c1e1 + c2e2 = (c1k1 + c2l1 , c1k2 + c2l2 +  + c1kn + c2ln ) — также решение данной системы. Из сформулированных свойств следует, что всякая линейная комбинация решений системы линейных однородных уравнений также является решением этой системы. Система линейно независимых решений e1 , e2 , , ek называется фун‑ даментальной, если каждое решение системы (2.4) является линейной комбинацией решений e1 , e2 , , ek. Теорема. Если ранг r основной матрицы системы линейных однородных уравнений (2.4) меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы (2.4) состоит из n–r решений. 41 2. Системы линейных уравнений Общее решение системы (2.4) линейных однородных уравнений может быть представлено в виде c1e1 + c2e2 +  + ck ek , где e1 , e2 , , ek — любая фундаментальная система решений (ФСР), c1 , c2 , , ck — произвольные постоянные и k = n - r . Решения e1 , e2 , , ek можно получить, придавая свободным неизвестным поочередно значение 1, полагая остальные свободные неизвестные равными 0. Пример. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы уравнений м x1 + 2 x2 + 4 x3 - 3x4 = 0, п п3x1 + 5x2 + 6 x3 - 4 x4 = 0, н п4 x1 + 5x2 - 2 x3 + 3x4 = 0, п3x + 8x + 24 x - 19 x = 0. 2 3 4 о 1 Решение. Найдем ранг системы r: ж1 з з3 з4 з и3 2 4 -3 ц (–3) ч 5 6 -4 ч 5 -2 3 ч ч 8 24 -19 ш -3 ц 4 ж1 2 з ч 0 -1 -6 5 ч (–3) з  з 0 -3 -18 15 ч з ч и 0 2 12 -10 ш (–4) (+2) (–3) ~ ж 1 2 4 -3 ц з ч 0 -1 -6 5 ч з  з0 0 0 0 ч з ч и0 0 0 0 ш Оставим первые два уравнения системы: м x1 + 2 x2 + 4 x3 - 3x4 = 0, н о3x1 + 5x2 + 6 x3 - 4 x4 = 0; м x1 + 2 x2 = -4 x3 + 3x4 , н о3x1 + 5x2 = -6 x3 + 4 x4 . 42 2.5. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений Решим полученную систему по формулам Крамера: x1 = D1 , D D= D1 = -4 x3 + 3x4 -6 x3 + 4 x4 D2 = x1 = x2 = D2 . D 1 2 = -1; 3 5 2 = -20 x3 + 15x4 + 12 x3 - 8 x4 = -8 x3 + 7 x4 ; 5 1 -4 x3 + 3x4 = -6 x3 + 4 x4 + 12 x3 - 9 x4 = 6 x3 - 5x4 ; 3 -6 x3 + 4 x4 -8x3 + 7 x4 = 8 x3 - 7 x 4 , -1 x2 = 6 x3 - 5 x 4 = -6 x3 + 5x4 . -1 Общее решение системы будет иметь вид м x1 = 8c1 - 7c2 , п п x2 = -6c1 + 5c2 , н п x3 = c1 , пx = c . о 4 2 Из общего решения находим фундаментальную систему решений: ж -7 ц ж8ц з ч з ч 5 -6 e1T = з ч , eT2 = з ч . з1 ч з0ч з ч з ч и1 ш и0ш С помощью фундаментальной системы общее решение может быть записано в виде X (c1 , c2 ) = c1 Ч e1 + c2 Ч e2 . Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных уравнений. Общее решение совместной неоднородной системы линейных уравнений равно сумме какого-либо ее частного решения и общего реше‑ ния однородной системы, соответствующей данной неоднородной. Частное решение неоднородной системы можно получить, приравняв к нулю все свободные неизвестные. Такое решение называется ба‑ зисным решением (в выбранном базисе). 43 2. Системы линейных уравнений Пример. Найти общее решение системы линейных уравнений м x1 + 2 x2 + 4 x3 - 3x4 = 1, п н3x1 + 5x2 + 6 x3 - 4 x4 = 2, п 2 x + 3 x + 2 x - x = 1. 2 3 4 о 1 Решение. Ранг этой системы равен 2, так как минор 1 2 = -1 № 0, 3 5 а все окаймляющие его миноры равны нулю: 1 2 4 1 2 -3 1 2 1 3 5 6 = 0, 3 5 -4 = 0, 3 5 2 = 0. 2 3 2 2 3 -1 2 3 1 Эквивалентная система содержит два уравнения: м x1 + 2 x2 + 4 x3 - 3x4 = 1, н о3x1 + 5x2 + 6 x3 - 4 x4 = 2. В качестве главных (базисных) неизвестных возьмем x1 , x2 . Тогда x3 , x4 — свободные неизвестные. 1. Найдем частное решение системы, приравняв свободные неизвестные к нулю: м x1 + 2 x2 = 1, п п3x1 + 5x2 = 2, н п x3 = 0, п x = 0; о 4 1 2 1 2 1 1 D= = -1, D1 = = 1, D 2 = = -1, 3 5 2 5 3 2 D D x1 = 1 = -1, x2 = 2 = 1. D D e = ( 1 , 1 , , ) Решение 0 — базисное решение в базисе из неизвест- ных ( x1 , x2 ). Это частное решение данной системы. 2. Рассмотрим однородную систему, соответствующую данной неоднородной. Поскольку ранг системы равен 2, сразу возьмем эквивалентную систему, содержащую два линейно независимых уравнения: м x1 + 2 x2 + 4 x3 - 3x4 = 0, н о3x1 + 5x2 + 6 x3 - 4 x4 = 0. 44 2.5. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений Перенесем свободные неизвестные в правую часть: м x1 + 2 x2 = -4 x3 + 3x4 , н о3x1 + 5x2 = -6 x3 + 4 x4 . Найдем первое решение из фундаментальной системы, положив x3 = 1, x4 = 0 : м x1 + 2 x2 = -4, н о3x1 + 5x2 = -6; D = -1, D1 = -4 2 1 -4 = -8, D 2 = = 6, -6 5 3 -6 x1 = 8, x2 = -6 Ю e1 = (8, - 6, 1, 0). Второе решение из ФСР найдем, взяв x3 = 0, x4 = 1 : м x1 + 2 x2 = 3, н о3x1 + 5x2 = 4; D = -1, D1 = 3 2 1 3 = 7, D 2 = = -5, 4 5 3 4 x1 = -7, x2 = 5 Ю e1 = (-7, 5, 0, 1). Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений найдена. Общее решение однородной системы, соответствующей данной неоднородной системе, имеет следующий вид: c1e1 + c2e2 , где c1 , c2 — произвольные постоянные. 3. Общее решение данной неоднородной системы: X (c1 , c2 ) = e0 + c1e1 + c2e2 или ж x1 ц ж -1 ц ж -7 ц ж8ц з ч з ч з ч з ч з x2 ч = з 1 ч + c з -6 ч + c з 5 ч , т. е. з x3 ч з 0 ч 1 з 1 ч 2 з 0 ч з ч з ч з ч з ч и1 ш и0ш и x4 ш и 0 ш 45 2. Системы линейных уравнений м x1 = -1 + 8c1 - 7c2 , п п x2 = 1 - 6c1 + 5c2 , н п x3 = c1 , пx = c ; о 4 4 -Ґ < c1 , c2 < +Ґ. 2.6. Метод Жордана — Гаусса С помощью элементарных преобразований над строками и перестановки столбцов расширенная матрица системы (2.1) может быть приведена к виду: ж1 з з0 з з0 з0 з з0 з з ... з0 и 0 ... 0 aў1,r +1 1 aў2,r +1 ... 0 ... ... ... ... 0 ... 1 aўr ,r +1 0 ... 0 ... ... ... 0 ... 0 ... ... aў1n bnў ц ч ў ... aў2 n bn ч ч ... ... ... ч ў ч ... aўrn br ч ў ... 0 b r +1 чч ... ... ... ч ч ... 0 bmў чш (2.5) Матрица (2.5) является расширенной матрицей системы м x1 + a1ў ,r +1 xr +1 + ... + a1ў n xn = b1ў , п п x2 + a2ў ,r +1 xr +1 + ... + a2ў n xn = b2ў , п .............................................. п п xr + arў ,r +1 xr +1 + ... + arnў xn = brў , н п 0 = brў +1 , п п ... п п 0 = bmў , о (2.6) которая с точностью до обозначения неизвестных эквивалентна исходной системе. Если хотя бы одно из чисел brў +1 , ..., bmў отлично от нуля, то система (2.6), а следовательно, и исходная система (2.1) несовместны. 46 2.6. Метод Жордана — Гаусса Если же brў +1 = ...bmў = 0, то система совместна и формула (2.6) дает по существу явное выражение для базисных неизвестных x1 , ..., xr через свободные неизвестные xr +1 , ..., xn . Пример. Методом Жордана — Гаусса найти общее решение системы линейных уравнений м x1 - 2 x2 + x4 = -3, п п3x1 - x2 - 2 x3 = 1, н п2 x1 + x2 - 2 x3 - x4 = 4, п x + 3x - 2 x - 2 x = 7. 3 4 2 о 1 Решение. Составляем расширенную матрицу исходной системы: ж 1 -2 0 1 -3 ц з ч 3 -1 -2 0 1 ч A =з . з 2 1 -2 -1 4 ч зз чч и 1 3 -2 -2 7 ш Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы, получаем ж 1 -2 0 1 -3 ц (–3) ч з з 3 -1 -2 0 1 ч з 2 1 -2 -1 4 ч чч зз и 1 3 -2 -2 7 ш (–2) (–1) ж 4 з1 0 5 з 2 з з0 1 5 и ж 1 -2 0 з з0 1 - 2 з 5 и 1 -3 3 -10 5 5 ц ч ч (+2) ч ш 1 1ц ч 5 ч . 3 ч 2ч 5 ш - По последней расширенной матрице составляем систему 4 1 м пп x1 - 5 x3 - 5 x4 = 1, н п x - 2 x - 3 x = 2. по 2 5 3 5 4 Считая x1 , x2 базисными неизвестными, а x3 , x4 — свободными, получим общее решение в виде 47 2. Системы линейных уравнений 4 1 ц ж 1 + c1 + c2 ч ж x1 ц з 5 5 ч з ч з x 2 3 ч з X (c1 , c2 ) = з 2 ч = з 2 + c1 + c2 ч . з x3 ч 5 5 ч з ч з c1 ч и x4 ш з з ч c 2 и ш Пример. Методом Жордана — Гаусса найти общее решение системы линейных уравнений м x1 + x2 - 3x + 2 x4 = 6, п п x1 - 2 x2 - x4 = -6, н п x2 + x3 + 3x4 = 16, п2 x - 3x + 2 x = 6. 2 3 о 1 Решение. Составляем расширенную матрицу исходной системы: ж 1 1 -3 2 6 ц з ч 1 -2 0 -1 -6 ч з A= з 0 1 1 3 16 ч зз чч и 2 -3 2 0 6 ш Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы, получаем ж 1 1 -3 2 6 ц (–1) ч з з 1 -2 0 -1 -6 ч з 0 1 1 3 16 ч чч зз и 2 -3 2 0 6 ш ж 1 1 -3 2 6 ц з ч 0 1 1 3 16 ч ~з з 0 -3 3 -3 -12 ч зз чч и 0 -5 8 -4 -6 ш ж1 з ~з з0 зз и0 48 (+3) 1 -3 2 6 ц ч 1 1 3 16 ч 0 1 1 6 ч (–13) ч 0 13 11 74 чш (–2) ж 1 1 -3 2 6 ц з ч 0 -3 3 -3 -12 ч з ~ з0 1 1 3 16 ч зз чч и 0 -5 8 -4 -6 ш (+5) ж1 з ~з з0 зз и0 ж1 з ~з з0 зз и0 1 -3 2 6 ц ч 1 1 3 16 ч 0 6 6 36 ч ч 0 13 11 74 чш 1 -3 2 6 ц ч 1 1 3 16 ч 0 1 1 6ч ч 0 0 -2 -4 чш (1/6) ~ (–1/2) ~ 2.6. Метод Жордана — Гаусса ж1 з ~з з0 зз и0 ж1 з ~з з0 зз и0 1 -3 1 1 0 1 0 0 1 -3 1 0 0 1 0 0 1 2 6ц ч 3 16 ч 1 6ч ч 1 2 чш (–1) ж1 2ц ч з 6ч ~з з0 4 ч (+3) ч зз 2 чш и0 (–3) 1 1 ж1 з ~з з0 зз и0 (–2) 1 0 14 ц ч 0 6ч 0 4ч ч 1 2 чш 1 -3 1 1 0 1 0 0 (–1) 0 2ц ч 0 10 ч 0 4 ч (–1) ч 1 2 чш ж1 з ~з з0 зз и0 1 1 1 8ц ч 6ч . 4ч ч 2 чш По последней расширенной матрице составляем систему м1x1 + 0 x2 + 0 x3 + 0 x4 п п0 x1 + 1x2 + 0 x3 + 0 x4 н п0 x1 + 0 x2 + 1x3 + 0 x4 п 0 x + 0 x + 0 x + 1x 2 3 4 о 1 = 8, = 6, = 4, = 2. Таким образом, задача имеет единственное решение: ж x1 ц ж 8 ц з ч з ч x 6 X = з 2 ч = з ч. з x3 ч з 4 ч з ч з ч и x4 ш и 2 ш Пример. Методом Жордана — Гаусса найти общее решение системы линейных уравнений м6 x1 - 5x2 + 7 x3 + 8x4 = 3, п п3x1 + 11x2 + 2 x3 + 4 x4 = 6, н п3x1 + 2 x2 + 3x3 + 4 x4 = 1, п x + x + x = 0. 2 3 о 1 Решение. Составляем расширенную матрицу ж 6 -5 з 3 11 A =з з3 2 зз и1 1 7 2 3 1 8 4 4 3ц ч 6ч . 1ч ч 0 чш 49 2. Системы линейных уравнений Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы, получаем ж 6 -5 з з 3 11 з3 2 зз и1 1 7 2 3 1 8 4 4 ж1 1 1 з 8 1 ~з з 0 -1 0 зз и 0 -11 1 3ц ч 6ч 1ч ч 0 чш ж1 1 1 0 з 3 11 2 4 ~з з3 2 3 4 зз и 6 -5 7 8 4 4 8 0ц ч 6ч 1ч ч 3 чш ж1 1 1 0 0ц ч з 0 -4 -1 ч з0 1 з 0 8 -1 4 6 ч чч зз и 0 -11 1 8 3 ш ж1 з ~з з0 зз и0 (–1) (–8) 1 1 0 ц ч 1 0 -4 -1 ч 0 -1 36 14 ч ч 0 1 -36 -30 чш 0 ц (–3) ч 6ч 1ч ч 3 чш (–3) (–6) ~ ж1 1 1 0 0ц з ч 8 1 4 6ч з з0 1 0 -4 -1 ч зз чч и 0 -11 1 8 3 ш ж1 1 1 0 0ц з ч 0 1 0 -4 -1 ч ~з з 0 0 -1 36 14 ч зз чч и 0 -11 1 8 3 ш (+1) ж1 з ~з з0 зз и0 ~ (–11) ~ 1 1 0 0 ц ч 1 0 -4 -1 ч . 0 -1 36 14 ч ч 0 0 0 -16 чш По последней расширенной матрице составляем систему м1x1 + 1x2 + 1x3 + 0 x4 = 0, п п0 x1 + 1x2 + 0 x3 - 4 x4 = -1, н п0 x1 + 0 x2 - 1x3 + 36 x4 = 14, п0 x + 0 x + 0 x + 0 x № 6. 2 3 4 о 1 Очевидно, что четвертому уравнению не удовлетворяют никакие значения x1 , x2 , x3 , x4 , таким образом, полученная система уравнений и заданная система уравнений несовместны. 50 2.6. Метод Жордана — Гаусса Пример. Применить метод Жордана–Гаусса к определению ранга матрицы ж1 з 2 A=з з3 з и2 2 3 1 2 3 1 2 2 1ц ч 3ч . 5ч ч 3ш Решение. Производя элементарные преобразования над строками определителя, получаем ж1 з з2 з3 з и2 ж1 2 3 з 0 -1 -5 з з 0 -5 -7 з и 0 -2 -4 1ц ч 1ч 2ч ч 1ш 2 3 1 2 (–5) 3 1 2 2 1 ц (–2) ч 3ч 5ч ч 3ш (–2) (–3) (–2) ж1 2 3 1 ц з ч 0 -1 -5 1 ч ~ зз ~ 0 0 18 -3 ч з ч и 0 0 6 -1 ш (–3) ц ж ж1 2 3 1 ц ч з 1 2 3 1 1 2 3 1 ж ц з ч ч з 1 5 1 ч з з ч ~ 0 -1 -5 1 ~ з 0 -1 -5 1 ч ч з 0 0 0 0 ч зз з 1ч з ч и 0 0 6 -1 чш (1/6) з0 0 1 - ч и 0 0 6 -1 ш 6ш и (+5) ж ц 9 ц ж з1 2 3 1 ч з1 2 0 6 ч ч з з ч 1 ч 1 з з ч ~ 0 -1 0 ~ з 0 -1 0 (+2) ~ з 6 ч 6 ч ч з з ч зз 0 0 1 - 1 чч (–3) з0 0 1 - 1 ч з ч 6ш и 6ш и 11 ц ж з1 0 0 6 ч з ч 1 ч ~ зз 0 -1 0 6 ч з ч з0 0 1 - 1 ч з ч 6ш и (–1) 11 ц ж з1 0 0 6 ч з ч 1 ~ зз 0 1 0 - чч 6 з ч з0 0 1 - 1 ч з ч 6ш и 51 2. Системы линейных уравнений Наивысший порядок минора третьего порядка, определитель которого отличен от нуля, 1 0 0 D = 0 1 0 = 1 № 0, 0 0 1 образует ранг матрицы. Следовательно, r ( A ) = 3. Задачи для самостоятельного решения 1. Решить системы методом матричного исчисления: м x1 - x2 + x3 = 6, п a) н x1 - 2 x2 + x3 = 9, п x - 4 x - 2 x = 3; 2 3 о 1 м x1 = -1, п Ответ: a) н x2 = -3, п x = 4; о 3 м3x1 + x2 + 3x3 = 2, п b) н5x1 - 2 x2 + 2 x3 = 1, п 2 x + 2 x + 3 x = 1. 2 3 о 1 м x1 = -9, п b) н x2 = -10, п x = 13. о 3 2. Решить системы по формулам Крамера: 5x3 = 4, м 5x1 + 2 x2 +5 м4 x1 + 2 x2 - x3 = 1, п п a) н5x1 + 3x2 - 2 x3 = 2, b) н 3x1 + 5x2 - 3x3 = -1, п3x + 2 x - 3x = 0; п-2 x - 4 x + 3x = 1. 2 3 1 2 3 о 1 о м x1 = -1, м x1 = -7, п п b) н x2 = 7, Ответ: a) н x2 = 3, п x = 1; п x = 5. о 3 о 3 3. Исследовать совместность и найти общее решение систем м5x1 + 12 x2 + 5x3 + 3x4 = 10, м x1 - x2 + 3x3 + x4 = 6, п п b) н7 x1 + 5x2 - 7 x3 - x4 = 8, a) н4 x1 + 3x2 + x3 + 3x4 = 2, п11x + 11x + 4 x + 8x = 8; п x + 8x - 18x - 5x = -6. 2 3 4 2 3 4 о 1 о 1 м x1 = 8 - 9 x2 - 4 x3 , b) система несовместна. Ответ: a) н о x4 = -10 + 11x2 + 5x3 ; 52 Задачи для самостоятельного решения 4. Найти фундаментальную систему решений для систем м5x1 - 3x2 + 2 x3 + 4 x4 = 0, п a) н2 x1 - x2 + 3x3 + 5x4 = 0, п4 x - 3x - 5x - 7 x = 0; 2 3 4 о 1 м 3x1 + x2 - x3 + x4 = 0, п п x1 + 3x2 + x3 - x4 = 0, b) н п- x1 + x2 + 3x3 + x4 = 0, п x - x + x + 3x = 0. 2 3 4 о 1 Ответ: a) (7,11, -1, 0), (11,17, 0, -1); b) (1, -1,1, -1). 5. Методом Жордана–Гаусса найти общее решение системы линейных уравнений м x1 + 5x2 - 2 x3 - 3x4 = 1, п п7 x1 + 2 x2 - 3x3 - 4 x4 = 2, п н x1 + x2 + x3 + x4 = 5, п2 x + 3x + 2 x - 3x = 4, 2 3 4 п 1 по- x1 - x2 - x3 - x4 = 2. Ответ: система несовместна. 6. Применить метод Жордана — Гаусса к определению ранга матрицы ж 7 -1 3 5 ц з ч 1 3 5 7ч з . A= з4 1 4 6 ч з ч и 3 -2 -1 -1 ш Ответ: r ( A ) = 2. 53