Системы эконометрических уравнений

Лекция 3 Системы эконометрических уравнений Общее понятие о системах уравнений Объектом статистического изучения в социальных науках яв­ляются сложные системы. Измерение тесноты связей между пе­ременными, построение изолированных уравнений регрессии недостаточны для описания таких систем и объяснения механиз­ма их функционирования. При использовании отдельных урав­нений регрессии, например, для экономических расчетов в боль­шинстве случаев предполагается, что аргументы (факторы) мож­но изменять независимо друг от друга. Однако это предположе­ние является очень грубым: практически изменение одной пере­менной, как правило, не может происходить при абсолютной не­изменности других. Ее изменение повлечет за собой изменения во всей системе взаимосвязанных признаков. Следовательно, отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные влияния отдель­ных признаков на вариацию результирующей переменной. Именно поэтому в экономических, биометрических и социоло­гических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между переменными системой так называемых одновременных уравнений или структурных уравнений. Напри­мер, если изучается модель спроса как соотношение цен и коли­чества потребляемых товаров, то одновременно для прогнозиро­вания спроса необходима модель предложения товаров, в кото­рой рассматривается также взаимосвязь между количеством и ценой предлагаемых благ. Это позволяет достичь равновесия между спросом и предложением. В еще большей степени возрастает потребность в использова­нии системы взаимосвязанных уравнений, если мы переходим от исследований на микроуровне к макроэкономическим расчетам. Модель национальной экономики включает в себя следующую систему уравнений: функции потребления, инвестиций заработ­ной платы, тождество доходов и т.д. Это связано с тем, что макро­экономические показатели, являясь обобщающими показателя­ми состояния экономики, чаще всего взаимозависимы. Так, рас­ходы на конечное потребление в экономике зависят от валового национального дохода. Вместе с тем величина валового нацио­нального дохода рассматривается как функция инвестиций. Система уравнений в эконометрических исследованиях мо­жет быть построена по-разному. Возможна система независимых уравнений, когда каждая зави­симая переменная у рассматривается как функция одного и того же набора факторов х: Набор факторов хi в каждом уравнении может варьировать. Например, модель вида также является системой независимых уравнений с тем лишь от­личием, что набор факторов в ней видоизменяется в уравнениях, входящих в систему. Отсутствие того или иного фактора в уравне­нии системы может быть следствием как экономической нецеле­сообразности его включения в модель, так и несущественности его воздействия на результативный признак (незначимо значение F-критерия или частного F-критерия для данного фактора). Примером такой модели может служить модель экономической эффективности сельскохозяйственного производства, где в качест­ве зависимых переменных выступают показатели, характеризую­щие эффективность сельскохозяйственного производства, — продуктивность коров, себестоимость 1 ц молока, а в качестве факторов — специализация хозяйства, количество голов на 100 га пашни, затраты труда и т. п. Каждое уравнение системы независимых уравнений может рассматриваться самостоятельно. Для нахождения его парамет­ров используется метод наименьших квадратов. По существу, каждое уравнение этой системы является уравнением регрессии. Поскольку никогда нет уверенности, что факторы полностью объясняют зависимые переменные, в уравнениях присутствует свободный член а0. Так как фактические значения зависимой пе­ременной отличаются от теоретических на величину случайной ошибки, в каждом уравнении присутствует величина случайной ошибки. В итоге система независимых уравнений при трех зависимых переменных и четырех факторах примет вид: Однако если зависимая переменная у одного уравнения вы­ступает в виде фактора х в другом уравнении, то исследователь может строить модель в виде системы рекурсивных уравнений: В данной системе зависимая переменная у включает в каждое последующее уравнение в качестве факторов все зависимые пе­ременные предшествующих уравнений наряду с набором собст­венно факторов х. Примером такой системы может служить мо­дель производительности труда и фондоотдачи вида: где у1 — производительность труда; у2 — фондоотдача; х1 — фондовооруженность труда; х2 — энерговооруженность труда; х3 — квалификация рабочих. Как и в предыдущей системе, каждое уравнение может рас­сматриваться самостоятельно, и его параметры определяются ме­тодом наименьших квадратов. Наибольшее распространение в эконометрических исследо­ваниях получила система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в ле­вую часть, а в других уравнениях — в правую часть системы: Система взаимозависимых уравнений получила название система совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные у одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений также называется структурной формой модели. В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим. С этой целью используются специальные приемы оценивания. Примером системы одновременных уравнений может служить модель динамики цены и заработной платы вида: где у1 — темп изменения месячной заработной платы; у2 — темп изменения цен; х1 — процент безработных; х2 — темп изменения постоянного капитала; х3 — темп изменения цен на импорт сырья. Структурная и приведенная формы модели Система совместных, одновременных уравнений (или струк­турная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзоген­ные переменные. Эндогенные переменные обозначены в приведенной ранее системе одновременных уравнений как у. Это зависимые пере­менные, число которых равно числу уравнений в системе. Экзогенные переменные обозначаются обычно как х. Это пре­допределенные переменные, влияющие на эндогенные перемен­ные, но не зависящие от них. Простейшая структурная форма модели имеет вид: Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретической концепции принятой модели. Эконо­мические переменные могут выступать в одних моделях как эн­догенные, а в других — как экзогенные переменные. Внеэконо­мические переменные (например, климатические условия) вхо­дят в систему как экзогенные переменные. В качестве экзоген­ных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые пере­менные). Так, потребление текущего года (уt) может зависеть не только от ряда экономических факторов, но и от уровня потреб­ления в предыдущем году (уt-1). Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изме­нений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регу­лирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целе­вые значения эндогенных переменных. Структурная форма модели в правой части содержит при эн­догенных и экзогенных переменных коэффициенты bi и aj (bi ‒ коэффициент при эндогенной переменной, aj ‒ коэффициент при экзогенной переменной), которые называются структурные коэффициенты модели. Все переменные в модели выражены в от­клонениях от среднего уровня, т. е. под х подразумевается , а под у — соответственно . Поэтому свободный член в каждом уравнении системы отсутствует. Использование МНК для оценивания структурных коэффи­циентов модели дает, как принято считать в теории, смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели. Приведенная форма модели представляет собой систему линей­ных функций эндогенных переменных от экзогенных: где ‒ коэффициенты приведенной формы модели. По виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которой оценива­ются традиционным методом наименьших квадратов. Применяя МНК, можно оценить , а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные. Коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели. Рассмотрим это положение на примере простейшей структурной модели, выразив коэффициенты приведенной фор­мы модели () через коэффициенты структурной модели (bi и aj). Для упрощения в модель не введены случайные переменные. Для структурной модели вида: приведенная форма модели имеет вид: в которой у2 из первого уравнения структурной модели можно выразить следующим образом: Тогда система одновременных уравнений будет представлена как: Отсюда имеем равенство: или . Тогда: или . Таким образом, мы представили первое уравнение структур­ной формы модели в виде уравнения приведенной формы мо­дели: Из уравнения следует, что коэффициенты приведенной фор­мы модели представляют собой нелинейные соотношения коэф­фициентов структурной формы модели, т. е. и . Аналогично можно показать, что коэффициенты приведен­ной формы модели второго уравнения системы ( и ) также нелинейно связаны с коэффициентами структурной модели. Для этого выразим переменную у1 из второго структурного уравнения модели как Запишем это выражение у1 в левой части первого уравнения структурной формы модели: . Отсюда: что соответствует уравнению приведенной формы модели: , т. е. и . Эконометрические модели обычно включают в систему не только уравнения, отражающие взаимосвязи между отдельными переменными, но и выражения тенденции развития явления, а также разного рода тождества. Например, Т. Хаавелмо в 1947 г., исследуя линейную зависимость потребления (с) от дохода (у), предложил одновременно учитывать тождество дохода. В этом случае модель имеет вид: где a и b — параметры линейной зависимости с от у; х — инвестиции в основной капитал и в запасы экспорта и импорта. Проблема идентификации При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Иден­тификация — это единственность соответствия между приведен­ной и структурной формами модели. Рассмотрим проблему идентификации для случая с двумя эн­догенными переменными. Пусть структурная модель имеет вид: где y1 и y2 — совместные зависимые переменные. Из второго уравнения можно выразить у1 следующей фор­мулой: . Тогда в системе имеем два уравнения для эндогенной пере­менной у1 с одним и тем же набором экзогенных переменных, но с разными коэффициентами при них: Наличие двух вариантов для расчета структурных коэффици­ентов в одной и той же модели связано с неполной ее идентифи­кацией. Структурная модель в полном виде, состоящая в каждом уравнении системы из n эндогенных и m экзогенных перемен­ных, содержит n(n – 1 + m) параметров. Так, при n = 2 и m = 3 полный вид структурной модели составит: Как видим, модель содержит восемь структурных коэффици­ентов, что соответствует выражению n(n – 1 + m). Приведенная форма модели в полном виде содержит nm пара­метров. Для нашего примера это означает наличие шести коэф­фициентов приведенной формы модели. В этом можно убедить­ся, обратившись к приведенной форме модели, которая будет иметь вид: Действительно, она включает в себя шесть коэффициентов . На основе шести коэффициентов приведенной формы моде­ли требуется определить восемь структурных коэффициентов рассматриваемой структурной модели, что, естественно, не мо­жет привести к единственности решения. В полном виде струк­турная модель содержит большее число параметров, чем приве­денная форма модели. Соответственно n(n – 1 + m) параметров структурной модели не могут быть однозначно определены из nm параметров приведенной формы модели. Для того чтобы получить единственно возможное решение для структурной модели, необходимо предположить, что некото­рые из структурных коэффициентов модели ввиду слабой взаи­мосвязи признаков с эндогенной переменной из левой части си­стемы равны нулю. Тем самым уменьшится число структурных коэффициентов модели. Так, если предположить, что в нашей модели a13 = 0 и a21 = 0, то структурная модель примет вид: В такой модели число структурных коэффициентов не пре­вышает число коэффициентов приведенной модели, которое равно шести. Уменьшение числа структурных коэффициентов модели возможно и другим путем: например, приравниванием некоторых коэффициентов друг к другу, т. е. путем предположе­ний, что их воздействие на формируемую эндогенную перемен­ную одинаково. На структурные коэффициенты могут наклады­ваться, например, ограничения вида bij + aij = 0. С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида: • идентифицируемые; • неидентифицируемые; • сверхидентифицируемые. Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффици­енты определяются однозначно, единственным образом по коэф­фициентам приведенной формы модели, т. е. если число парамет­ров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты моде­ли оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель идентифицируема. Рассмотренная выше структурная мо­дель с двумя эндогенными и тремя экзогенными (предопределенными) переменными, содержащая шесть структурных ко­эффициентов, представляет собой идентифицируемую модель. Модель неидентифицируема, если число приведенных коэф­фициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в ре­зультате структурные коэффициенты не могут быть оценены че­рез коэффициенты приведенной формы модели. Структурная модель в полном виде содержащая n эндогенных и m предо­пределенных переменных в каждом уравнении системы, всегда неидентифицируема. Модель сверхидентифицируема, если число приведенных ко­эффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно по­лучить два или более значений одного структурного коэффици­ента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы. Так, если в структур­ной модели полного вида предположить нулевые значения не только коэффициентов a13 и a21, но и a22 = 0, то система уравнений станет сверхидентифицируемой: В ней пять структурных коэффициентов не могут быть одно­значно определены из шести коэффициентов приведенной фор­мы модели. Сверхидентифицируемая модель в отличие от неидентифицируемой модели практически решаема, но требует для этого специальных методов исчисления параметров. Структурная модель всегда представляет собой систему сов­местных уравнений, каждое из которых необходимо проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель счи­тается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение. Выполнение условия идентифицируемости модели проверя­ется для каждого уравнения системы. Для того чтобы уравнение было идентифицируемо, нужно, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутству­ющих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного. Если обозначить число эндогенных переменных в j-м уравнении системы через Н, а число экзогенных (предопределенных) переменных, которые содержатся в системе, но не входят в дан­ное уравнение, — через D, то условие идентифицируемости моде­ли может быть записано в виде следующего счетного правила: D + 1 = Н — уравнение идентифицируемо; D + 1 < Н — уравнение неидентифицируемо; D + 1 > Н — уравнение сверхидентифицируемо. Предположим, рассматривается следующая система одновре­менных уравнений: Первое уравнение точно идентифицируемо, ибо в нем при­сутствуют три эндогенные переменные ‒ у1, у2, у3, т. е. Н = 3, и две экзогенные переменные – х1 и х2, число отсутствующих экзоген­ных переменных равно двум — х3 и х4, D = 2. Тогда имеем равен­ство: D + 1 = Н, т. е. 2 + 1 = 3, что означает наличие идентифици­руемого уравнения. Во втором уравнении системы Н = 2 (у1 и у2) и D = 1 (х4). Ра­венство D + 1 = H, т.е. 1 + 1 = 2. Уравнение идентифицируемо. В третьем уравнении системы H = 3 (у1, у2, у3), а D = 2 (x1 и х2). Следовательно, по счетному правилу D + 1 = H, и это уравнение идентифицируемо. Таким образом, рассмотренная система в целом иденти­фицируема. Предположим, что в рассматриваемой модели a21 = 0 и a33 = 0. Тогда система примет вид: Первое уравнение этой системы не изменилось. Система по-прежнему содержит три эндогенные и четыре экзогенные пе­ременные, поэтому для него D = 2 при Н = 3, и оно, как и в предыдущей системе, идентифицируемо. Второе уравнение имеет Н = 2 и D = 2 (х1 и х4), так как 2 + 1 > 2. Данное уравнение сверхидентифицируемо. Также сверхидентифицируемым оказывается и третье уравнение системы, где Н = 3 (у1, у2, у3) и D = 3 (x1, х2, х3), т.е. счетное правило составляет неравенство: 3 + 1 > 3 или D +1 >Н. Модель в целом является сверхидентифицируемой. Для оценки параметров структурной модели система должна быть идентифицируема или сверхидентифицируема, если же хотя бы одно из уравнений неидентифицировано, то модель в целом признается неидентифицируемой. Рассмотренное счетное правило отражает необходимое, но недостаточное условие идентификации. Более точно условия идентификации определяются, если накладывать ограничения на коэффициенты матриц параметров структурной модели. Урав­нение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем перемен­ным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определи­тель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем чис­ло эндогенных переменных в системе без одного. Целесообразность проверки условия идентификации модели через определитель матрицы коэффициентов, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в других уравнениях, объясняется тем, что возможна ситуация, когда для каждого уравнения системы выполнено счетное правило, а определитель матрицы названных коэффициентов равен нулю. В этом случае соблюдается лишь необходимое, но недостаточное условие иден­тификации. Обратимся к следующей структурной модели: Проверим каждое уравнение системы на необходимое и до­статочное условия идентификации. Для первого уравнения Н=3 (у1, у2, у3) и D = 2 (x3 и х4 отсутствуют), т. е. D + 1 = Н, необходи­ма условие идентификации выдержано, поэтому уравнение точ­но идентифицируемо. Для проверки на достаточное условие идентификации заполним следующую таблицу коэффициентов при отсутствующих в первом уравнении переменных, в которой определитель матрицы коэффициентов равен нулю. Матрица коэффициентов (1) Уравнение Переменные х3 х4 2 3 а23 а24 Следовательно, достаточное условие идентификации не выполняется и первое уравнение нельзя считать идентифици­руемым. Для второго уравнения Н = 2 (у1, у2), D = 1 (отсутствует х1) счетное правило дает утвердительный ответ: уравнение иденти­фицируемо D + 1 = Н. Достаточное условие идентификации выполняется. Коэффи­циенты при отсутствующих во втором уравнении переменных со­ставят. Матрица коэффициентов (2) Уравнение Переменные у3 х1 1 3 b23 -1 а11 a31 Согласно таблице определитель матрицы не равен 0, а ранг матрицы равен 2, что соот­ветствует следующему критерию: ранг матрицы коэффициентов должен быть не меньше числа эндогенных переменных в системе без одной. Итак, второе уравнение точно идентифицируемо. Третье уравнение системы содержит Н = 3 и D = 2, т. е. по не­обходимому условию идентификации оно точно идентифицируе­мо (D + 1 = Н). Противоположный вывод имеем, проверив уравнение на достаточное условие идентификации. Составим таблицу коэффициентов при переменных, отсутствующих в тре­тьем уравнении, в которой определитель матрицы равен нулю. Матрица коэффициентов (3) Уравнение Переменные х3 х4 1 2 a23 a24 Из таблицы видно, что достаточное условие идентификации не выполняется. Уравнение неидентифицируемо. Следовательно, рассматриваемая в целом структурная модель, идентифицируе­мая по счетному правилу, не может считаться идентифицируемой исходя из достаточного условия идентификации. Оценивание параметров структурной модели Коэффициенты структурной модели могут быть оценены раз­ными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение в литературе получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели: • косвенный метод наименьших квадратов (КМНК); • двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК); • трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК); • метод максимального правдоподобия с полной информа­цией (ММПf); • метод максимального правдоподобия при ограниченной информации (ММПs). Косвенный и двухшаговый методы наименьших квадратов подробно описаны в литературе и рассматриваются как традици­онные методы оценки коэффициентов структурной модели. Эти методы достаточно легкореализуемы. Косвенный метод наи­меньших квадратов применяется для идентифицируемой систе­мы одновременных уравнений, а двухшаговый метод наимень­ших квадратов — для оценки коэффициентов сверхидентифииируемой модели. Метод максимального правдоподобия рассматривается как наиболее общий метод оценивания, результаты которого при нормальном распределении признаков совпадают с МНК. Одна­ко при большом числе уравнений системы этот метод приводит к достаточно сложным вычислительным процедурам. Поэтому в качестве модификации используется метод максимального прав­доподобия при ограниченной информации (метод наименьшего дисперсионного отношения), разработанный в 1949 г. Т. Андерсо­ном и Н. Рубиным. В отличие от метода максимального правдоподобия в данном методе сняты ограничения на параметры, связанные с функцио­нированием системы в целом. Это делает решение более про­стым, но трудоемкость вычислений остается достаточно высо­кой. Несмотря на его популярность, к середине 1960-х годов он был практически вытеснен двухшаговым методом наименьших квадратов в связи с гораздо большей простотой последнего. Дальнейшим развитием двухшагового метода наименьших квадратов является трехшаговый МНК (ТМНК), предложенный в 1962 г. А. Зельнером и Г. Тейлом. Этот метод оценивания приго­ден для всех видов уравнений структурной модели. Однако при некоторых ограничениях на параметры более эффективным ока­зывается ДМНК. Как уже отмечалось, косвенный метод наименьших квадра­тов используется в случае точно идентифицируемой структурной модели. Процедура применения КМНК предполагает выполне­ние следующих этапов работы: • структурная модель преобразовывается в приведенную фор­му модели; • для каждого уравнения приведенной формы модели обыч­ным МНК оцениваются приведенные коэффициенты (); • коэффициенты приведенной формы модели трансформиру­ются в параметры структурной модели. Если система сверхидентифицируема, то КМНК не использу­ется, ибо он не дает однозначных оценок для параметров струк­турной модели. В этом случае могут применяться разные методы оценивания, среди которых наиболее распространенным и про­стым является двухшаговый метод наименьших квадратов. Основная идея ДМНК — на основе приведенной формы мо­дели получить для сверхидентифицируемого уравнения теорети­ческие значения эндогенных переменных, содержащихся в пра­вой части уравнения. Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной фор­ме сверхидентифицируемого уравнения. Метод получил назва­ние «двухшаговый метод наименьших квадратов», ибо МНК ис­пользуется дважды: на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэф­фициентов модели по данным теоретических (расчетных) значе­ний эндогенных переменных. Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов: • все уравнения системы сверхидентифицируемы; • система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точ­но идентифицируемые уравнения. Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения исполь­зуется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений. Таким образом, можно сказать, несмотря на важность системы эконометрических уравнений, на практике часто не принимают во внимание некоторые взаимосвязи. Ее использование сопряжено с рядом сложностей, которые связаны с ошибками спецификации модели. Ввиду большого числа факторов, влияющих на экономические переменные, исследователь, как правило, не уверен в точности предлагаемой модели для описания экономических процессов. Набор эндогенных и экзогенных переменных модели соответствует теоретическому представлению исследователя о моделируемой объекте, которое сложилось в конкретный момент времени и может позднее изменится.