Системы эконометрических уравнений

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА «БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЕТ, АНАЛИЗ И АУДИТ» Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Тверь 2009 ________________________________________________________________________________ Раздел 6. Системы эконометрических уравнений Тематические вопросы: Виды систем эконометрических уравнений. Независимые системы. Рекурсивные системы. Системы одновременных (совместных) уравнений. Структурная и приведенная формы эконометрической модели. Проблемы идентификации. Косвенный и двухшаговый метод наименьших квадратов, общая схема алгоритма расчетов. Применение эконометрических моделей. Минимум содержания в соответствии с ГОС: система линейных одновременных уравнений; косвенный, двухшаговый и трехшаговый МНК. 6.1.Основные понятия систем эконометрических уравнений.....................1 6.2.Проблема идентификации системы эконометрических уравнений.........3 6.3.Оценка системы эконометрических уравнений...................................6 6.1.Основные понятия систем эконометрических уравнений Ряд экономических процессов моделируется не одним, а несколькими уравнениями, содержащими как повторяющиеся, так и собственные переменные. В силу этого возникает необходимость использования систем уравнений. Кроме того, в одних уравнениях определенная переменная может рассматриваться как объясняющая (независимая), но в то же время она входит в другое уравнение как зависимая (объясняемая) переменная. ◊Система эконометрических уравнений – способ моделирования экономических процессов взаимосвязанными регрессионными уравнениями. • Модель «Спрос-предложение»:  qt Функция спроса  S Функция преложения  qt Условие равновесия  q D D  t = α 0 + α 1 pt + ε t 1 , α 1 < 0 = β 0 + β 1 pt + ε t 2 , β 1 > 0 , = qtS  qt Функция спроса  S или Функция преложения  qt Условие равновесия  q D D  t = α 0 + α 1 pt + α 2 y t + ε t 1 , α = β 0 + β 1 pt + ε t 2 , β 1 > 0 = qtS 1 < 0 , где QD – спрос, QS – предложение, P-цена, Y – доход потребителей. Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 6. Системы эконометрических уравнений ________________________________________________________________________________ • Модель формирования доходов (закрытая экономика без государственных расходов):  сt Функция потребления  Макроэкономическое тождество  y t • = β 0 + β 1y t + ε t , = c t + it где Y – совокупный выпуск, C – объем потребления, I – объем инвестиций. Модель равновесия на рынке товаров и денег IS-LM: c = β + β y t 1 (d)t Функция потребления τ = α + α y 1 t Функция налогов  t  i = γ + γ r Функция инвестиций  t 1 t  Распологаемый доход  y (d)t = y t − τ t Государственные расходы  gt = g Макроэкономическое тождество  EMBED Equation.3  y t = c t + it + gt IS : y t = π π = + π 1 rt , β 0 + α 0β 1 + γ 0 + g ,π 1 − β 1 (1 − α 1 ) Функция спроса на деньги Функция преложения денег Условие равновесия 1 = 1 1 − β 1 (1 − α 1 )  MtD = a + by t − crt  S  Mt = M  MD = MS t  t LM : y t = λ 0 + λ 1 M + λ 2 rt , λ 0 = − a / b, λ 1 = 1 / b, λ 2 = c / b Составляющие систем эконометрических уравнений: • Эндогенные переменные - это переменные, значения которых определяются внутри модели. • Экзогенные переменные - это внешние по отношению к модели переменные. Их значения определяются вне модели и поэтому они считаются фиксированными. • Структурные уравнения модели - уравнения, составляющие исходную модель. Обычно их подразделяют на поведенческие уравнения (описывают взаимодействия между переменными) и уравнения-тождества (соотношения, которые должны выполняться во всех случаях, причем не содержат подлежащие оценке параметры и случайные составляющие). • Уравнения в приведенной форме (приведенные уравнения) уравнения, в которых отражена схема определения эндогенных переменных. Это уравнения, в которых эндогенные переменные выражены только через экзогенные или предопределенные 2 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 6. Системы эконометрических уравнений ________________________________________________________________________________ переменные, а также случайные составляющие. Предопределенными переменными называются лаговые эндогенные переменные, значения которых определены до рассмотрения данного соотношения. Переменные модели Эндогенные (переменные, значения которых определяются внутри модели) Экзогенные (переменные, внешние по отношению к модели, значения которых определяются вне модели, т.е. фиксированные) Уравнения модели Приведенные уравнения (уравнения, в которых отражена схема определения эндогенных переменных: эндогенные переменные выражаются только через экзогенные или предопределенные (лаговые эндогенные) переменные, а также случайные составляющие) Структурные уравнения (уравнения, составляющие исходную модель) Уравнения-тождества (соотношения, которые должны выполняться во всех случаях; не содержат подлежащие оценке параметры и случайные составляющие) Поведенческие уравнения (описывают взаимодействия между переменными) 6.2.Проблема идентификации системы эконометрических уравнений ◊Проблема идентификации - возможность численной оценки параметров структурных уравнений по оценкам коэффициентов приведенных уравнений. • Исходную систему уравнений называют идентифицируемой (точно определенной), если по коэффициентам приведенных уравнений можно однозначно определить значения коэффициентов структурных уравнений. Обычно это удается сделать тогда, когда количество 3 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 6. Системы эконометрических уравнений ________________________________________________________________________________ уравнений для определения коэффициентов структурных уравнений в точности равно количеству этих коэффициентов. • Исходную систему уравнений называют неидентифицируемой (недоопределенной), если по коэффициентам приведенных уравнений можно получить несколько вариантов значений коэффициентов структурных уравнений. Обычно это происходит тогда, когда количество уравнений для определения коэффициентов структурных уравнений меньше числа определяемых коэффициентов. • Исходную систему уравнений называют сверхидентифицируемой (переопределенной), если по коэффициентам приведенных уравнений невозможно определить значения коэффициентов структурных уравнений. В этом случае система, связывающая коэффициенты структурных уравнений с коэффициентами приведенных уравнений, является несовместной. Обычно в этих случаях число уравнений для оценки коэффициентов структурных уравнений больше числа определяемых коэффициентов. Необходимые и достаточные условия идентифицируемости: Принятые обозначения: Пусть система одновременных уравнений включает в себя N уравнений относительно N эндогенных переменных. Пусть в системе имеется М экзогеннных либо предопределенных переменных. Пусть количество эндогенных и экзогенных переменных в проверяемом на идентифицируемость уравнении равно n и m соответственно. Переменные, не входящие в данное уравнение, но входящие в другие уравнения системы, называются исключенными переменными (из данного уравнения): их количество равно N-n для эндогенных и М-m для экзогенных переменных соответственно. • Первое необходимое условие: Уравнение идентифицируемо, если оно исключает, по крайней мере, N-1 переменную (эндогенную или экзогенную), присутствующую в модели: (N - n) + (М - m) ≥ N - 1. Знак равенства соответствуют точной идентификации уравнения. • Второе необходимое условие: Уравнение идентифицируемо, если количество исключенных из уравнения экзогенных переменных не меньше количества эндогенных переменных в этом уравнении, уменьшенном на единицу: М - m ≥ n - 1. Знак равенства соответствуют точной идентификации уравнения. • Необходимое и достаточное условие идентифицируемости: В модели, содержащей N уравнений относительно N эндогенных переменных, условие идентифицируемости выполняется тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленной из исключенных из данных уравнений переменных, но входящих в другие уравнения системы, равен N - 1. 4 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 6. Системы эконометрических уравнений ________________________________________________________________________________ Система уравнений Идентифицируемая (точно определенная): по коэффициентам приведенных уравнений можно однозначно определить значения коэффициентов структурных уравнений Неидентифицируемая (недоопределенная): по коэффициентам приведенных уравнений можно получить несколько вариантов значений коэффициентов структурных уравнений обычно в таких случаях Количество уравнений для определения коэффициентов структурных уравнений равно числу определяемых коэффициентов структурных уравнений П выполняется условие: Количество уравнений для определения коэффициентов структурных уравнений меньше числа определяемых коэффициентов структурных уравнений Пример Сверхидентифицируемая (переопределенная): по коэффициентам приведенных уравнений невозможно определить значения коэффициентов структурных уравнений Пример Количество уравнений для определения коэффициентов структурных уравнений больше числа определяемых коэффициентов структурных уравнений Пример Необходимые условия идентифицируемости уравнения модели Второе необходимое условие идентифицируемости уравнения: Mm≥n-1 Первое необходимое условие идентифицируемости уравнения: (N-n)+(M-m)≥N-1 где N - количество эндогенных переменных системы, n - количество эндогенных переменных уравнения, M - количество экзогенных (предопределенных) переменных системы, m - количество экзогенных (предопределенных) переменных уравнения где N - количество эндогенных переменных системы, n - количество эндогенных переменных уравнения, M - количество экзогенных (предопределенных) переменных системы, m - количество экзогенных (предопределенных) переменных уравнения Знаки равенства в необходимых условиях соответствуют точной идентификации уравнений! Необходимое и достаточное условие идентифицируемости модели Ранг матрицы, составленной из исключенных из данных уравнений переменных, но входящих в другие уравнения системы, равен N-1 5 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 6. Системы эконометрических уравнений ________________________________________________________________________________ 6.3.Оценка системы эконометрических уравнений Проблема смещенности и несостоятельности оценок: непосредственное использование МНК для оценки параметров каждого из уравнений регрессии, входящих в систему одновременных уравнений, в большинстве случаев приводит к неудовлетворительному результату. Обычно это происходит вследствие коррелированности одной или нескольких объясняющих переменных со случайным отклонением. Метод инструментальных переменных, суть которого состоит в замене коррелирующей со случайным отклонением переменной на другую - инструментальную переменную, которая обладает следующими свойствами: должна коррелировать (желательно сильно) с заменяемой переменной и не должна коррелировать со случайным отклонением. МНК для рекурсивных моделей основан на поэтапной МНК-оценке эндогенных переменных, последовательно (рекурсивно) связанных друг с другом (Y1=f1(X), Y2=f2(X,Y1), Y3=f3(X,Y1,Y2) и т.д.). Применение МНК для таких моделей позволяет получить несмещенные и состоятельные оценки. Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), основанный на использовании приведенных уравнений. Оценки, полученные по КМНК, являются состоятельными, а следовательно, при больших выборках велика вероятность, что они будут близки к истинным значениям параметров. Косвенный МНК позволяет построить состоятельную оценку коэффициентов структурных уравнений с помощью оценок коэффициентов приведенных уравнений, включает следующие этапы: 1. Исходя уравнения. из структурных уравнений, строятся приведенные 2. Оцениваются по МНК параметры уравнений в приведенной форме. 3. На основе оценок, найденных на этапе 2, оцениваются параметры структурных уравнений. Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК) основан на использовании в качестве инструментальных переменных оценки переопределенной переменной, полученной на базе экзогенных (или предопределенных) переменных. Как правило, применяется для сверхидентифицируемой модели, если модель точно идентифицируема, оценки, полученные двухшаговым МНК, совпадают с оценками косвенного МНК. Оценки, полученные двухшаговым МНК, являются эффективными. 6 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 6. Системы эконометрических уравнений ________________________________________________________________________________ Двухшаговый МНК включает следующие этапы: 1. Переход от структурных уравнений к приведенным уравнениям, оценка коэффициентов приведенных уравнений обычным МНК. 2. По соответствующим приведенным уравнениям определение предсказанных значений эндогенных переменных, входящих в правую часть структурного уравнения. 3. Обычным МНК определение параметров структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и предсказанные значения эндогенных переменных в правой части уравнения. ДМНК обладает определенными свойствами, привлекательным для практического применения: делающими его • В данном методе первый этап (этап построения приведенных уравнений) применяется для конкретных уравнений, не затрагивая оставшиеся уравнения модели. Это позволяет минимизировать объем вычислений. • При наличии переопределенных уравнений ДМНК в отличие от МНК определяет единственные оценки параметров модели. • При использовании данного метода достаточно использовать лишь экзогенные и предопределенные переменные модели. Трехшаговый метод наименьших квадратов как процедура последовательного применения обобщенного и двухшагового МНК, включает следующие этапы: 1. К исходной модели применяется устранения корреляции ошибок измерения обобщенный МНК 2. К полученным уравнениям применяют двухшаговый МНК. 7 с целью