Систематические погрешности — постоянные и переменные

Систематические погрешности и способы их обнаружения и устранения. В зависимости от характера измерения систематические погрешности подразделяются на постоянные и переменные [3]. Постоянные погрешности – погрешности, которые длительное время сохраняют свое значение, например, в течение времени выполнения всего ряда измерений. Они встречаются наиболее часто. Переменные погрешности делятся на прогрессивные, периодические и погрешности, изменяющиеся по сложному закону Прогрессивные погрешности – непрерывно возрастающие или убывающие погрешности. К ним относятся, например, погрешности вследствие износа измерительных наконечников, контактирующих с деталью при контроле ее прибором активного контроля. Периодические погрешности – погрешности, значение которых является периодической функцией времени. Погрешности, изменяющиеся по сложному закону, происходят вследствие совместного действия нескольких систематических погрешностей. Измерения, содержащие систематические погрешности, называются неисправленными, а те, в которых систематическая погрешность стремится к нулю – правильными. Обнаружить и исключить систематические погрешности – это достаточно сложная задача, которая обычно достигается следующими путями [19]: • устранением источников погрешностей и исключение их еще до начала измерений; • определением поправки и внесение ее в результат измерения, если исключить систематическую погрешность не удается; • если первый и второй пути не возможны, то оцениваются границы неисключенных систематических погрешностей, которые учитываются при обработке результатов измерений. Постоянные систематические погрешности обнаруживаются лишь сравнением результатов измерений с другими, результатами, полученными с помощью более высокоточных методов и средств. К наиболее распространенным методам обнаружения постоянных систематических погрешностей можно отнести такие, как метод замещения, метод рандомизации и др. Метод замещения заключается в замене неизвестной измеряемой величины известной величиной, как правило, воспроизводимой мерой. При использовании метода рандомизации искомая величина измеряется различными приборами, при этом с увеличением количества приборов систематические погрешности взаимно компенсируются. Для обнаружения переменных систематических погрешностей используются различные статистические способы, например, способ последовательных разностей, дисперсионный анализ и др. Способ последовательных разностей (критерий Аббе) Суть данного метода заключается в следующем. Дисперсия результатов измерений оценивается двумя способами: обычным: (25) и вычислением суммы квадратов последовательных разностей: (26) Определяется расчетное значение критерия Аббе: (27) Если расчетное значение критерия Аббе меньше критического q, то в результатах измерений обнаруживается переменная систематическая погрешность. Критические значения критерия Аббе приведены в табл. 13. Таблица 13 Значения критерия Аббе q n q при q, равном 0,001 0,01 0,05 9 0,221 0,354 0,512 10 0,241 0,376 0,531 11 0,26 0,396 0,548 12 0,278 0,414 0,564 13 0,295 0,431 0,578 14 0,311 0,447 0,591 15 0,327 0,461 0,603 16 0,341 0,474 0,614 17 0,355 0,487 0,624 18 0,368 0,499 0,633 19 0,381 0,51 0,642 20 0,393 0,52 0,65 Дисперсионный анализ (критерий Фишера) Суть данного метода состоит в следующем. Проводится N измерений, после чего их необходимо разбить на s серий (s > 3), по nj результатов измерений в каждой серии. Затем устанавливается, имеется или отсутствует систематическое расхождение между результатами наблюдение в различных сериях. Рассеяние результатов измерений в пределах каждой серии отражает только случайные влияния и характеризует лишь случайные погрешности измерений в пределах этой серии. Характеристикой случайных внутрисерийных погрешностей будет средняя сумма дисперсий результатов измерений, вычисленных отдельно для каждой серии, т. е. (31) где xij – результат i-го измерения в j-й серии. При этом рассеяние различных серий обусловливается не только случайными погрешностями измерений, но и систематическими различиями (если они существуют) между результатами измерений, сгруппированными по сериям. Таким образом, усредненная межсерийная дисперсия (32) где , выражает силу действия фактора, вызывающего систематические различия между сериями. Критерием оценки наличия систематических погрешностей является дисперсионный критерий Фишера (33) В случае если расчетное значение критерия F будет больше критического Fq, то в результатах измерения присутствует переменная систематическая погрешность. Значения Fq для различной доверительной вероятности приводятся в табл. 15. Таблица 15 Значения критерия Фишера k2 Fq при k1, равном 1 2 3 4 5 6 8 12 16 2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,37 19,41 19,43 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,04 5,91 5,84 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,15 4,00 3,92 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,44 3,28 3,20 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,07 2,91 2,82 12 4,75 3,88 3,49 3,26 3,11 3,00 2,85 2,69 2,60 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,70 2,53 2,44 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,59 2,42 2,33 18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,51 2,34 2,25 20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,45 2,28 2,18 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,27 2,09 1,99 Примечание: k1 = s – 1, k2 = N – s. Грубые погрешности и способы их исключения Грубая погрешность – это погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда [3]. Иногда вместо термина грубая погрешность измерений применяют термин «промах». Промахи как правило связаны с ошибками, неправильными действиями операторов. Грубую погрешность при однократном измерении обнаружить невозможно, ее можно обнаружить после проведения многократных измерений с последующей математической обработкой полученных результатов наблюдений с использованием специальных критериев, например, критерий «трех сигм», критерий Шовенэ, Романовского, Шарлье, Диксона, Граббса. Критерий Романовского Критерий Романовского применяется, если число измерений n < 20. При этом вычисляется отношение , (38) где – проверяемое значение, – среднее арифметическое значение измеряемой величины, Sx – среднее квадратическое отклонение. Далее расчетное значение  сравнивается с критерием т, выбранным по табл. 17. Если   т, то результат xi считается промахом и отбрасывается. Таблица 17 Значения критерия Романовского т=f(n) q n = 4 n = 6 n = 8 n = 10 n = 12 n = 15 n = 20 0,01 1,73 2,16 2,43 2,62 2,75 2,90 3,08 0,02 1,72 2,13 2,37 2,54 2,66 2,80 2,96 0,05 1,71 2,10 2,27 2,41 2,53 2,64 2,78 0,10 1,69 2,00 2,17 2,29 2,39 2,49 2,62 Критерий Шарлье Критерий Шарлье используется, если число измерений велико (n > 20). Пользуясь данным критерием, отбрасывается результат, для значения которого выполняется неравенство Значения критерия Шарлье n 5 10 20 30 40 50 100 Кш 1,3 1,65 1,96 2,13 2,24 2,32 2,58 Критерий Диксона При использовании данного критерия полученные результаты измерений записываются в вариационный возрастающий ряд x1 50 для идентификации закона распределения используется критерий Пирсона. При 50 > n > 15 для проверки нормальности закона распределения применяется составной критерий. При n < 15 принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется. 4. Определение доверительных границ случайной погрешности Если удалось идентифицировать закон распределения результатов измерений, то с его использованием находится квантильный множитель zp при заданном значении доверительной вероятности Р. В этом случае доверительные границы случайной погрешности Здесь – СКО среднего арифметического значения. При n < 30 часто используется распределение Стьюдента, при этом доверительные границы случайной погрешности Здесь tP – коэффициент Стьюдента, приведенный в табл. 22, n – количество измерений. Таблица 22 Величина tP при различных уровнях значимости n Уровни значимости 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,005 0,002 0,001 2 3,08 6,31 12,71 31,82 63,66 127,32 318,30 636,61 3 1,84 2,92 4,30 6,96 9,99 14,09 22,33 31,60 4 1,64 2,35 3,18 4,54 5,84 7,45 10,21 12,92 5 1,53 2,13 2,78 3,75 4,60 5,60 7,17 8,61 6 1,48 2,02 2,57 3,36 4,03 4,77 5,89 6,87 7 1,44 1,94 2,45 3,14 3,71 4,32 5,21 5,96 8 1,41 1,89 2,36 3,00 3,50 4,03 4,74 5,41 9 1,40 1,80 2,31 2,90 3,36 3,83 4,50 5,04 10 1,38 1,83 2,26 2,82 3,25 3,64 4,30 4,78 11 1,37 1,81 2,23 2,76 3,17 3,50 4,14 4,59 1. Определение границ неисключенной систематической погрешности результата измерения Под этими границами понимаются найденные нестатистическими методами границы интервала, внутри которого находится неисключенная систематическая погрешность. На практике, как правило, границы неисключеной систематической погрешности принимаются равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если их случайные составляющие пренебрежимо малы. 2. Определение доверительных границ погрешности результата измерения Данная операция осуществляется путем суммирования границ случайной составляющей и границ неисключенной систематической составляющей θ в зависимости от соотношения . 7. Запись результата измерения Результат измерения записывается в виде при доверительной вероятности Р = Рд.