Система статистических показателей. Статистические величины

МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МВД РОССИИ РЯЗАНСКИЙ ФИЛИАЛ Кафедра экономической безопасности КОРОЛЕВ Г. И. СТАТИСТИКА Тема 4. Система статистических показателей. Статистические величины Лекция по курсу « СТАТИСТИКА» Для специальности 080101.65 – Экономическая безопасность Рязань - 2014 СОДЕРЖАНИЕ Введение……………………………………………………………2 1. Классификация статистических показателей……………………3 2. Абсолютные показатели…………………………………………..5 3. Относительные показатели……………………………………….6 4. Средние величины………………………………………………..10 4.1. Средняя арифметическая величина………………………10 4.2. Свойства средней арифметической………………………12 4.3. Средняя гармоническая величина………………………..15 4.4. Средняя геометрическая величина…………...................16 4.5. Средняя квадратическая величина……………………….17 5. Графическое представление статистических показателей……………………………………………………….18 Контрольные вопросы……………………………….......................22 Введение. Любое статистическое исследование предусматривает проведение расчетов с различными по виду и форме статистическими показателями. Статистический показатель есть количественная оценка объекта, процесса или явления в условиях качественной определенности, то есть определенности по изучаемой совокупности, месту, времени, единицам измерения и т. д. В показателе отражаются: а) классификационная принадлежность к совокупности объектов (промышленность, образование, предприятие, нанесенный ущерб и пр.); б) содержание (население, объем прибыли, трудоемкость и пр.); в) единица измерения (человек, рубль, час, килограмм); г) время, дата, интервал времени; д) математическая форма (абсолютные или относительные единицы, средние значения, проценты и пр.); е) специальные уточнения (в ценах какого года, по прошлому году, с учетом условий и т. д). Разумеется, полно и качественно отразить свойства изучаемой совокупности с помощью отдельного показателя невозможно. Используется система статистических показателей, то есть совокупность взаимосвязанных показателей. Она предназначена для решения конкретной статистической задачи и имеет как одноуровневую, так и многоуровневую структуру. Например, оценка эффективности деятельности предприятия может быть проведена только на основании совокупности трудовых, материальных, финансовых и других показателей. Различают конкретный статистический показатель и показателькатегорию. Первый показатель характеризует размер, величину признака с указанием места и времени. Показатель-категория отражает лишь общие отличительные черты и свойства конкретных показателей. Он объединяет их в некото2 рые группы. Например, конкретные показатели товарооборота магазинов объединяются показателем-категорией «Товарооборот предприятий торговли». Статистические показатели различают по ряду классификационных признаков. 1. Классификация статистических показателей В основном классификация статистических показателей осуществляется по следующим признакам: по охвату единиц совокупности; по математической форме выражения; по отражению фактора времени; по принадлежности к объектам; по пространственной определенности. Классификация схематично изображена на рис. 1. По охвату единиц совокупности статистические показатели классифицируются следующим образом. Поскольку изучаемая совокупность состоит из отдельных единиц, они характеризуются индивидуальными показателями. Группа единиц характеризуется сводными показателями. Сводные показатели, полученные путем суммирования значений признака отдельных единиц, называются объемными. Сводные показатели, рассчитанные по различным формулам в целях проведения анализа и выявления закономерностей, так и называются – расчетными. Например, кражи, регистрируемые ежедневно, являются индивидуальными показателями, а просуммированные за месяц – сводными объемными. Если для выявления тенденции рассчитывается среднее значение краж за каждые три месяца, то это уже сводные расчетные показатели. По математической форме выражения статистические показатели делят на абсолютные, относительные и средние. Они заслуживают более подробной характеристики, поэтому их мы рассмотрим несколько позже. Статистическое наблюдение может осуществляться относительно одного объекта и все полученные данные будут характеризовать только этот объект. Такие показатели называются однообъектными. Если показатели получены для сравнения характеристик двух и более объектов, они называются многообъектными. Например, объем товарной продукции двух предприятий является для каждого из них однообъектным показателем. Отношение же этих показателей, характеризующее превышение одного показателя над другим, будет показателем двухобъектным. Важнейшим классификационным признаком является фактор времени. Если показатели отражают характеристики объекта или явления на определенный момент времени (дату, час, начало или коней месяца, квартала, года), то они называются моментными. Если же они отражают те же характеристики за определенный период, (за день, неделю, месяц, квартал, год), то они называются интервальными. 3 СТАТИСТИЧЕСКИЕ По охвату единиц совокупности Индивидуальные Объемные ПОКАЗАТЕЛИ По математической форме выражения Сводные Абсолютные Расчетные Однообъектные Относительные Средние По отражению временного фактора Моментные По принадлежности к объектам По пространственной определенности Региональные Общетерриториальные Местные Интервальные (локальные) Рис.1. Классификация статистических показателей. 88 Многообъектные Статистические наблюдения имеют различные масштабы по охвату территории, поэтому статистические показатели подразделяются на общетерриториальные (в целом по стране), региональные (часть территории, субъект Федерации) и местные или локальные (масштаб района, одного или нескольких предприятий района). Поскольку в экономическом анализе используются в основном расчетные показатели, рассмотрим их подробнее по матемтаической форме выражения. 2. Абсолютные показатели При проведении статистического наблюдения исходная информация выражается в абсолютных единицах. Они характеризуют либо численность совокупности, либо объем каких-то признаков совокупности, Например, численность рабочих предприятия, количество торговых точек, размер заработной платы, величина инвестиций и т. д. Абсолютные статистические показатели всегда имеют единицы измерения – натуральные, условно-натуральные и стоимостные. Натуральные измеряются в килограммах, часах, метрах, штуках и пр. В ряде случаев единицы измерения абсолютных показателей формируются из двух натуральных: тонно-километр, киловатт-час, человеко-день и т. д. Условно-натуральные измерители используются тогда, когда необходимо определить общий объем нескольких разновидностей одного продукта, например, топлива. В этом случае устанавливается некоторая условная величина, к которой приводятся показатели всех изучаемых разновидностей. Так при анализе топливных ресурсов за условное принимается топливо с теплотворной способностью в 7 000 Ккал/кг. Положим, на некотором топливноэнергетическом комплексе обнаружено хищение 5 000 тонн мазута и 3 200 тонн качественного каменного угля. Непосредственно сложить тонны мазута и угля нельзя, поэтому вычисляются объемы условного топлива. Теплотворность мазута составляет 9 500 Ккал/кг, следовательно, 5 000 тонн мазута соответствуют 6 785,7 тоннам условного топлива. Теплотворность качественного каменного угля составляет ровно 7 000 Ккал/кг, так что 3 200 тонн качественного каменного угля соответствуют 3 200 тоннам условного топлива. Таким образом, общий ущерб от хищения топливных ресурсов можно определить в 9 985,7 тонн условного топлива. Поскольку каждое жидкое, твердое и газообразное топливо имеет свою теплотворность, общий объем условного топлива всегда можно определить при любых их натуральных количественных соотношениях. Условной единицей для консервов является условная банка объемом в 353,4 куб. см. Положим, на склад поступили 600 трехлитровых, 800 литровых и 450 полулитровых банок консервированных овощей. Они будут соответствовать 5 093,4 + 2 263,7 + 636,7 = 7 993,8 условных банок консервов. 5 Для алкогольной продукции условной единицей является 1 декалитр, то есть 10 литров. Расчеты здесь очень просты: условные декалитры получают делением общего объема алкогольной продукции на десять. Таким образом, введением условно-натуральных величин достигается и сопоставимость, и возможность получения сводных объемных и весовых показателей. Стоимостные показатели комментариев не требуют. Это показатели, выраженные в денежной форме. 3. Относительные показатели По отношению к абсолютным относительные показатели являются производными, вторичными. Они представляют собой результат деления одного абсолютного показателя на другой. С помощью относительных единиц проводится сопоставление различных характеристик объектов и явлений, изучаются изменения показателей, их структура и динамика развития. При делении величина, которая стоит в числителе, является сравниваемой, а в знаменателе стоит величина, с которой сравнивают. Ее еще называют основанием или базой сравнения. Результат деления – относительная величина – показывает, во сколько раз сравниваемый показатель больше (или меньше) базисного. Если базис принять за единицу, то относительная величина выражается в виде коэффициента; если за 100 – в процентах (%); если за тысячу – в промилле (‰); если за 10 000 – в продецимилле (0/000). Таким образом, процент – это одна сотая часть числа, промилле – одна тысячная часть и продецимилле – одна десятитысячная. Вычисления в промилле или в продецимилле позволяют избавиться от многих нулей после запятой при заполнении статистических таблиц и уменьшить погрешность расчетов при округлении. Существуют такие практические рекомендации. Если сравниваемая величина больше базы в два и более раза, то относительную величину выбирают в виде коэффициента. Если относительная величина близка к единице или составляет десятые и сотые доли единицы, то ее измеряют процентами. Если относительная величина представляет собой тысячные доли от базы, то ее измеряют в промилле. Если относительная величина представляет собой десятитысячные доли от базы, то ее измеряют в продецимилле. Приведем ряд коротких примеров. 1. До реконструкции производственная мощность предприятия составляла 1200 приборов в месяц, а после реконструкции - 2800. Производственная мощность возросла в 2,33 раза (2800:1200 = 2,33). 2. В мае месяце бригада произвела 40 устройств, тогда как в апреле – 36. Производительность труда возросла в 1,111раза и составила 111,1% (40:36)*100%. Прирост производительности труда составил 11,1%. 6 3.При проверке готовых изделий на каждую тысячу оказалось в среднем 8, не прошедших контроль. Брак составил (8:1000) = 0,008, то есть 0,008*1000 = 8‰ (8 промилле). 4. При перекачке 60000 литров горючего потери составили 36 литров, то есть (36:60000 ) = 0,0006 = 0,0006*10000 = 60/000 (6 продицемилле). Если сравниваются одноименные показатели (измеренные в одних единицах) то относительная величина является безразмерной. В тех случаях, когда соотносятся разноименные показатели, относительная величина должна быть поименованной – км/час, килограмм на душу населения и так далее. В экономической практике основные относительные статистические показатели принято делить на следующие виды, вычисляемые по общей методике. 1. Относительный показатель динамики (ОПД) Он представляет собой отношение текущего уровня (значения) показателя (ТУ) к предшествующему или базовому уровню (БУ): ОПД  ТУ ДУi 1  , БУ ДУi (1) где ДУi+1 - достигнутый уровень в текущем, (i+1) – м периоде; ДУi - достигнутый уровень в предшествующем (базовом периоде). Таким образом, этот показатель связан с фактором времени. База сравнения может быть постоянной (месяц или год, выбранные за базу) или переменной, когда сравнение осуществляется только с предшествующим периодом и база последовательно меняется с течением времени. Поскольку со временем изменяются условия протекания процессов, при расчете относительного показателя динамики это необходимо учитывать, чтобы обеспечить сопоставимость показателей. К относительным показателям динамики относят коэффициент (темп) роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента прироста и др. Более подробно мы поговорим о показателях динамики в лекции, посвященной анализу динамических рядов. 2.Относительный показатель плана и реализации плана Относительный показатель плана (ОПП) определяется как отношение планируемого уровня (ПУ) на (i + 1) –й период к достигнутому уровню (ДУ) в i - м периоде. Он характеризует напряженность плана: ОПП  ПУi  1 ДУi (2) Относительный показатель реализации плана (ОПРП) вычисляется как отношение достигнутого в (i+1) – м периоде уровня к планируемому ранее на этот период уровню: 7 ОПРП  ДУi  1 ПУi  1 Между относительным показателем плана, относительным показателем реализации плана и относительным показателем динамики существует взаимосвязь: ОПП * ОПРП = ОПД (3) Эта взаимосвязь позволяет найти при необходимости один из трех показателей по известным двум другим. Пример1. В базовом периоде прибыль предприятия составила 52 млн. руб. На последующий год прибыль была запланирована в объеме 54,2 млн. руб. Фактически прибыль превысила план и составила 54,8 млн. руб. Вычислить относительные показатели динамики, плана, реализации плана и проверить справедливость их аналитического соотношения. Решение. ОПД  54 ,8  1,054  105 ,4% 52 ОПП  54 ,2  1,042  104 ,2% 52 ОПРП  54 ,8  1,011  101.1% 54 ,2 ОПП * ОПРП  1,042 * 1,011  1,053  ОПД Взаимосвязь показателей доказана, поскольку расхождение в 0,001 объясняется процедурой округления результатов деления. 3. Относительный показатель структуры (ОПС) Этот показатель дает информацию о том, какую долю составляет та или иная часть в общем итоге, в совокупности в целом: ОПС  ПЧС ( показатель части совокупности )  ПСЦ ( показатель совокупности в целом ) (4) Показатель позволяет сопоставлять структуры совокупности в различные моменты времени и выявлять тенденции и закономерности структурных изменений. Он же используется для сравнения структур совокупностей, объемы которых различны. Пример2. Объем товарной продукции мебельной фабрики составил 21,5 млн. руб., в том числе за счет производства кухонных гарнитуров – 10,8 млн. руб., письменных столов – 6,2 млн. руб. и комплектов дачной мебели – 4,5 млн. 8 руб. Рассчитать относительные показатели структуры произведенной продукции. Решение. 1. Кухонные гарнитуры: ОПСгарн.  10 ,8  0 ,5023  50 ,23% 21,5 2. Письменные столы: ОПСписьм.ст .  6 ,2  0 ,2884  28 ,84% 21,5 ОПСдач.меб .  4 ,5  0 ,2093  20 ,93% 21,5 3. Дачная мебель: Таким образом в структуре товарной продукции фабрики кухонные гарнитуры составляют 50,23%, письменные столы – 28,84% и дачная мебель – 20,93%. Примечание. Результаты расчетов ОПС необходимо проверять их суммированием. Сумма ОПС должна равняться 100%. 4. Относительный показатель координации (ОПК) Часто приходится сравнивать между собой отдельные части совокупности. В качестве базы сравнения обычно выбирается та часть совокупности (ее структурная часть), которая имеет наибольший удельный вес или имеет приоритет с экономической или социальной точки зрения. В первом случае это есть та часть совокупности, которая имеет наибольший ОПС. Общая расчетная формула: ОПК  ПЧС ( показатель части совокупности )  ПБЧС ( показатель базовой части совокупности ) (5) Например, если принять за базу в предыдущем примере товарную продукцию по кухонным гарнитурам, имеющим максимальный ОПС, то ОПК для письменных столов будет равен: ОПКписьм.ст .  6 ,2  0 ,574 10 ,8 5. Относительный показатель интенсивности (ОПИ) Показатель применяется тогда, когда необходимо сопоставить разноименные признаки одной совокупности или объекты двух взаимосвязанных совокупностей. Еще говорят, что относительные показатели интенсивности характеризуют степень распространения изучаемого процесса. Чаще всего он является поименованной величиной, но может быть выражен и в процентах, и в промилле. К относительному показателю интенсивности относятся, например, плотность населения (чел./кв. км.), фондоотдача (продукция, произведенная на 1 рубль основных фондов), коэффициент рождаемости (на 1000 жителей) и т. д. 9 Например, а) фондоотдача: ФО  Стоимость произведен ной продукции Стоимость активной части основных фондов б) фондорентабельность: ФР  Объем прибыли Стоимость активной части основных фондов 6. Относительный показатель сравнения (ОПСр) Его применяют при сопоставлении одноименных абсолютных показателей разных совокупностей, например, при сопоставлении показателей промышленности двух и более регионов, уровней потребления на душу населения в нескольких регионах и пр. При сравнении показателей двух регионов один показатель делится на другой, а при сравнении показателей нескольких регионов один из них выбирается в качестве базового: ОПСр  АП1 АП 2 ОПСр  АП1 АП баз . (6) или (7) 4. Средние величины. Статистическая совокупность состоит из отдельных индивидуальных значений. Значения признака под влиянием различных факторов колеблются в ту или иную сторону. Средний показатель (средняя величина) является отражением того общего, что присуще всем единицам совокупности, в нем взаимопогашаются отклонения значений признака под воздействием случайных факторов. Таким образом, средняя величина отражает типичный уровень признака. Однако это отражение возможно только для однородной совокупности. Если совокупность неоднородна, то должны быть выделены однородные группы и для них рассчитаны типические средние. На основании типических средних уже может быть рассчитана общая, системная средняя. В статистике применяются различные формы средних величин. В основе всех форм лежит формула средней степенной: xk где x k  xi mi ,  mi – средняя степенная; 10 (8) xi – значение варианты; k – показатель степени, определяющий вид средней; mi – частота появления варианты, ее статистический вес. Каждому значению k = (-1, 0, 1, 2) соответствует своя форма средней величины. 4.1. Средняя арифметическая величина Из всех видов средних она является самой распространенной. В зависимости от характера данных статистического наблюдения она может быть простой и взвешенной. Простая средняя арифметическая рассчитывается тогда, когда данные не сгруппированы и среди них нет повторяющихся значений. Если же отдельные данные в массиве повторяются по два и более раза, то они участвуют в расчете средней арифметической как самостоятельные значения. Формулу для расчета простой средней арифметической можно получить из формулы (8), положив в ней k = 1 и m1 = m2 = m3 … = mn = 1: xa  где  xi , n (9) – средняя арифметическая величина; xi – значение i – й варианты; n – число единиц совокупности. xa ►Пример 3. Бригада из семи рабочих изготавливает втулки. Производительности их труда соответственно равны 25, 30, 20, 27, 28, 32 и 21 втулок за смену. Найти среднюю производительность труда рабочих за смену. Решение. Исходные данные представляют собой несгруппированную последовательность отдельных не повторяющихся значений. Среднюю арифметическую находим по формуле простой средней: xa  25  30  20  27  28  32  21 183   26 ,1  26 7 7 Таким образом, средняя производительность труда бригады равна 26 втулок в смену. Если значения признака повторяются по нескольку раз, то рассчитывается средняя арифметическая взвешенная: xa   xi mi ,  mi где mi – частота повторения i-й варианты. 11 (10) ►Пример 4. В течение рабочего дня на фондовой бирже продано 510 акций по 850 руб. за акцию, 650 акций – по 800 руб., 1200 акций – по 750 руб. Найти среднюю величину курса продажи. Решение. Представим исходные данные в табличном виде. Таблица 1. Сделка 1 2 3 Продано по цене, руб., (xi) 850 800 750 Продано акций, шт.(mi) 510 650 1200 Средняя цена (курс) продажи рассчитывается по формуле (10), как средняя арифметическая взвешанная: xa  850  510  800  650  750  1200  785 ,381 510  650  1200 Итак, средний курс продажи акций составил 785 руб. 38 коп. Для того, чтобы умело пользоваться средней арифметической величиной, необходимо знать ее основные свойства. 4.2. Свойства средней арифметической 1. Средняя арифметическая постоянной величины С равна этой же постоянной величине: C  C . Это свойство в комментариях не нуждается. 2. Произведение средней арифметической величины на сумму частот равна сумме произведений вариант на соответствующие им частоты: x a  mi   xi mi Это свойство средней непосредственно вытекает из формулы (10). 3. Сумма отклонений вариант от средней арифметической равна нулю:  ( xi  x a )mi  0 Поскольку mi ≠ 0 (в совокупности должна быть хотя бы одна единица), то справедливо и следующее выражение для простой средней:  ( xi  x a )  0 Проверим это свойство. ►Пример 5. В сборочном цехе работают 45 человек, среди которых 10 человек в возрасте 25 лет, 15 человек в возрасте 30 лет, 12 человек в возрасте 35 лет и 8 человек в возрасте 40 лет. Найти средний возраст работающих и проверить третье свойство средней арифметической. Решение. Средняя арифметическая по формуле (10): 12 25  10  30  15  35  12  40  8 1440   32 года 45 45 Проверка третьего свойства: xa  (25-32)10+(30-32)15+(35-32)12+(40-32)8 = -70-30+36+64=0◄ Третье свойство надо использовать как проверочное при расчете средних арифметических величин. В примере 5 для упрощения расчетов мы оперировали «круглыми» числами. При практических расчетах средняя величина чаще всего получается дробной, округленной до десятых или сотых долей. В этом случае проверочная сумма может отличаться от нуля. Считается, что средняя найдена верно, если проверочная сумма отличается от нуля не более, чем на ± 0,1 при значениях признака в десятки единиц. 4. Если все исходные варианты хi уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на то же число:  ( xi  A )mi  xa  A  mi (11) Обратимся к примеру 5 и прибавим к значениям возрастов 5 лет, оставив тем же количество работников. Тогда новая средняя арифметическая будет равна: xa  30  10  35  15  40  12  45  8 1665   37  (32+5), 45 45 то есть средняя арифметическая тоже увеличилась на 5 лет. Это свойство используется для упрощения расчетов, когда варианты велики или имеют различные знаки (и «плюсы», и «минусы»). Вычитая из вариант некоторое постоянное число, можно свести расчеты к операциям с малыми значениями чисел, а прибавляя – избавиться от отрицательных вариант. Чтобы получить истинную среднюю арифметическую для исходных вариант, необходимо провести обратные действия: от полученного результата отнять (если А прибавлялось) или к нему прибавить (если А вычиталось) число А. Варианты, полученные в результате алгебраической суммы с постоянным числом А, называются условными, а сама процедура вычисления называется расчетом в условных вариантах. 5. Если все исходные варианты хi умножить или разделить на постоянное число k, то средняя арифметическая соответственно увеличится (если k>1) или уменьшится (если k<1) в k раз: 13  k  xi  mi  k xa  mi (12) Проверка этого свойства не представляет труда и читатель сможет это сделать самостоятельно. Чтобы получить истинную среднюю арифметическую для исходных вариант, необходимо провести обратные действия: полученный результат разделить на число k. Варианты, полученные в результате их умножения на число k, также называются условными, а процедура вычисления средней арифметической также называется расчетом в условных вариантах. Очень часто четвертое и пятое свойства используются совместно, когда варианты хi представляют собой сотни, тысячи и десятки тысяч. При этом постоянная величина С выбирается так, чтобы одна из вариант обратилась в нуль, а величина k приводила бы к вариантам, равным всего нескольким единицам. При совместном использовании четвертого и пятого свойств условные варианты рассчитываются по формуле: x C ui  i (13) k Поскольку С выбирается так, чтобы одна из вариант обратилась в нуль, ее называют ложным нулем. После расчета условной средней u a проводится обратное преобразование и находится искомая средняя арифметическая: (14) xa  k  u a  C ►Пример 6. Зарегистрированы 100 случаев неправомерного получения денег через банкоматы. В 24 случаях было снято по 1000 руб., в 56 случаях – по 5 000 руб. и в 20 случаях – по 10 000 руб. Найти среднюю величину неправомерно снятых денежных средств. Решение. Поскольку расчеты средней в исходных данных приводят к весьма масштабным числам (например, 5 000×56 = 280 000) , используем метод расчета в условных вариантах. Выберем С = 5 000 и k = 1000. Рассчитаем условные варианты: u1  1000  5000  4 1000 u2  5000  5000 0 1000 u3  10000  5000 5 1000 14 Для наглядности представим данные в условных вариантах в табличном виде. Таблица 2. Усл. вариата -4 0 5 Частота 24 56 20 Находим условную среднюю:  4  24  0  56  5  20 ua   0 ,04 100 Находим истинную среднюю арифметическую: x a  1000  0 ,04  5 000  5040 руб.◄ Нетрудно видеть, что расчеты по условным вариантам просты, поскольку лишены громоздкости. Замечание. Расчет средней арифметической по условным вариантам может показаться не очень актуальным, поскольку на практике исходные данные будут не такими «круглыми». Тем не менее в любом случае достигается значительное упрощение расчетов. Как мы увидим позднее, этот метод оказывается весьма полезным при расчетах характеристик вариации статистических данных, когда варианты необходимо возводить в квадрат. 6. Если все частоты (веса) вариант уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая величина не изменится:  xi ( A  mi ) A xi mi  xi mi    xa A mi  A  mi  mi (15) Если совокупность разбита на несколько групп, то для нахождения общей средней необходимо сначала вычислить средние величины для каждой группы, а затем найти общую среднюю по формуле: x общ.  где  xi  ni ,  ni (16) – средняя арифметическая i-й группы; ni – число вариант i-й группы. 7. Сумма квадратов отклонений вариант от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой произвольной величины С: xi 4.3. Средняя гармоническая величина На практике нередки случаи, когда в исходной статистической информации отсутствуют сведения о весах (частотах) вариант, но известны сами варианты и произведения вариант на количество единиц совокупности, обладающих этим значением. В этом случае среднее значение рассчитывается по формуле средней гармонической величины, которая получается из формулы средней степенной (8), если в ней положить k = - 1. Тогда формула для простой средней гармонической будет иметь следующий вид: 15  1 1   xi  xi x гарм.   1   n n         1  n 1  xi (17) Соответственно для взвешенной средней гармонической x гарм.   mi m  i xi (18) Как показывают полученные формулы, средняя гармоническая вычисляется тогда, когда необходимо суммировать величины, обратные вариантам. ►Пример 7. Трое служащих обрабатывают заявки на заказы. На обработку одного заказа у первого уходит 8 мин., у второго – 14 мин., у третьего -15 мин. Найти среднее время обработки одного заказа. Решение. Выберем интервал работы, равный одному часу – 60 мин. За 60 минут будет получено заказов: первым – 60/8, вторым – 60/14, третьим – 60/15.Общие затраты времени составят 180 мин. Тогда среднее время обслуживания: x гарм.  60  60  60 3   11,4 мин. 60 60 60 0 ,263   8 14 15 Пример 8. В таблице 3 приведены данные о продаже пяти партий товара. Найти среднюю цену продаж. Таблица 3 Партия Объем продаж, Цена продажи, товара тыс. руб. тыс. руб. 1 800 2 2 750 1,5 3 1350 3 4 1400 4 5 1312,5 3,5 Решение. Известны варианты (цены), но неизвестны веса вариант (количество товара).Расчет осуществляем по формуле средней гармонической: Ц ср  x гарм.  800  750  1350  1400  1312 ,5 5612? 5   2 ,7 тыс. руб . 800 750 1350 1400 1312 ,5 2075     2 1,5 3 4 3,5 4.4. Средняя геометрическая величина Формула для расчета средней геометрической величины получается при подстановке в формулу средней степенной k = 0: n mi x геом .   m П xi i 1 16 (19) Таким образом, чтобы найти простую среднюю геометрическую величину n показателей, необходимо извлечь корень n-й степени из их произведения: (20) x геом.  n x1  x2  x3  ... xn Взвешенная средняя геометрическая находится по формуле: (21) x геом.   m x1 1  x2 2  x3 3  ... xnmn В экономике средняя геометрическая величина используется при анализе динамики процессов, в частности, по ее величине определяют средний коэффициент (темп) роста показателей. Предварительно индивидуальные значения признаков представляются в виде относительных значений цепных величин. Пример 9. Располагая информацией об объеме продаж за шесть месяцев (табл.4), определить средний темп его роста. m m m Таблица 4. Янв. Февр. Март Апр. Май Июнь Месяц Объем продаж, 12,2 14,0 млн. руб. Цепные значения 1,0 1,15 11,8 10,5 13,2 0,84 0,89 1,26 15,1 1,14 Решение. Вычислим цепные значения объема продаж и заполним третью строку таблицы 4. Относительно базисного месяца (январь) нами получены пять (!) значений темпа роста. Тогда средний темп роста равен: Т ср  x геом.  5 1,15  0 ,84  0 ,89  1,26  1,14  1,043 Итак, средний темп роста составил 104,3%. Прирост в среднем составлял 4,3% в месяц. Замечание. Типичной ошибкой при расчетах темпа роста является то, что степень корня выбирают по количеству лет или месяцев (их в нашем примере шесть) и вносят под корень показатель базисного года – единицу. Степень корня при расчете простой средней геометрической всегда должна соответствовать количеству стоящих под ним относительных чисел без базисного значения, равного единице. В нашем случае – пять значений. 4.5. Средняя квадратическая величина Средняя квадратическая применяется при изучении вариации признака. При этом в качестве исходного расчетного признака используются отклонения ∆xi фактических значений признака xi от их средней арифметической величины или от какой-либо постоянной величины (нормы). Формулу для расчета средней квадратической величины можно получить из формулы средней степенной , положив в ней k = 2. Простая средняя квадратическая рассчитывается по формуле: x кв  x12  x22  ...  xn2 n где xi  ( xi  x a ) . 17   xi n 2 (22) Формула для расчета взвешенной средней квадратической: x кв  x12 m1  x22 m2  ...  xn2 mn m1  m2  ...  mn   xi mi  mi 2 (23) Пример 10. В игре необходимо попасть теннисным мячом в лунку, находящуюся на расстоянии в 20 м. Пять бросков дали следующие результаты: 20,1 м, 19,8 м, 19,5 м, 20,6 м, 20,2 м. Найти среднее отклонение падения мячей от лунки. Решение. Выполним предварительные расчеты и сведем их в таблицу 5. Таблица 5 Дальность 20,1 19,8 19,5 20,6 20,2 падения, м Отклонения, xi 0,1 -0,2 -0,5 0,6 0,2 Квадрат 0,01 0,04 0,25 0,36 0,04 Отклонения, xi2 Среднее отклонение: ср  x кв.  0 ,01  0 ,04  0 ,25  0 ,36  0 ,04  0 ,374 м  37 ,4см 5 5. Графическое представление статистических показателей. Графический метод представления различных данных используется очень широко, поскольку графики компактны, наглядны и информативны. С помощью графиков не только обобщаются результаты исследований, но и выявляются на качественном уровне взаимосвязи показателей. Статистический график имеет определенную структуру, типовыми элементами которой являются поле графика, графический образ, пространственные и масштабные ориентиры и экспликации. Поясним назначения этих элементов с помощью графика, изображенного на рис. 2. Поле графика – это та физическая площадь, на которой располагаются элементы графика. Считается, что график может быть расположен наилучшим образом, если его поле имеет соотношение сторон (отношение высоты к длине) 1:1,5. На рис. 2 выдержано именно такое соотношение. Размер поля должен быть таким, чтобы на нем четко просматривались все линии и читались все надписи. Графический образ – это те символические знаки, с помощью которых и изображаются статистические данные. На рис.2 графический образ составляют отрезки прямых (ломаная линия) и маркеры в виде ромбов. На практике еще используются точки, круги, квадраты, пунктирные линии и т.д. 18 Динамика себестоимости 1700 1600 1567 Экспликация Графический образ Поле графика 1500 1326 1400 1300 1189 1200 1108 1039 Масштабная ориентация (шкалы) 1100 1000 Пространственная ориентация (оси) 900 Количество к раж, ты с. 800 700 2007 2008 2009 2010 2011 Год Рис. 2. Структура статистического графика. Пространственные ориентиры графика – это его оси координат. В основном используются хорошо нам известные прямоугольные (декартовы) координаты, но применяются и полярные координаты. Они удобны при изображении циклического движения явлений во времени и напоминают круглый циферблат часов, только информацию в них несет не только угол поворота оси ординат, но и длина этой оси. Масштабные ориентиры определяются масштабными шкалами. В правовой статистике обычно используются равномерные шкалы, в которых равным числовым интервалам соответствуют равные графические интервалы (отрезки). Экспликация – это словесное описание графика. Оно включает в себя название графика, надписи вдоль масштабных шкал (год, количество краж), оцифровку точек графика и возможные пояснения к отдельным элементам графика. Все множество видов статистических графиков принято классифицировать по форме графического образа: линейные, плоскостные и объемные. Линейные графики называют статистическими кривыми. При их построении используются линии и совокупности точек различной формы, как на рис. 2. В большинстве случаев построение осуществляется в абсолютных значениях признака, однако это применимо не всегда. В частности, когда на графике необходимо изобразить несколько кривых, значительно отличающихся по абсолютным величинам. Это очевидно демонстрирует график на рис.3. Сравнивается динамика двух показателей за 5 лет – хищения чужого имущества путем краж и разбоев. Абсолютные значения этих показателей отличаются друг от друга в десятки раз. Шкала по оси ординат имеет масштаб в 200 тысяч случаев и график краж выглядит нормально. График же разбоев практически сливается с осью абсцисс и выглядит как постоянная величина, 19 хотя по числовым данным происходит изменение с 45 тыс. до 20 тыс. Графическое сравнение здесь не имеет смысла. Кол-во прест., тыс. Хищения чужого имущества в РФ 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 1567 1326 1189 1108 1039 Кражи Разбои 45 35 2007 2008 30 2009 25 2010 20 2011 Год Рис. 3. Пример неудачного размещения двух кривых на одном графике. Сравнительный анализ в относительных показателях Относительный показатель 1,20 1,00 1,00 1,00 0,85 0,76 0,80 0,71 0,78 0,60 0,66 0,67 0,56 Кражи 0,40 0,44 Разбои 0,20 0,00 2007 2008 2009 2010 2011 Год Рис. 4. Правильное размещение двух показателей на поле графика. В подобных случаях сравнение надо проводить в относительных показателях. Примем 2007 год за базовый и вычислим относительные величины краж и разбоев. Для этого все данные по кражам разделим на значение базового года, то есть на 1567, а все данные по разбоям разделим на 45. Таким образом, относительные показатели базового года будут одинаковыми и равными единице, обе кривые будут исходить из одной точки (рис. 4). Теперь взаимное расположение кривых просматривается четко, очевидно падение обоих показателей, причем визуально заметно, что темп падения количества разбоев выше, чем темп падения числа краж. Точные количественные характеристики темпов падения при подобных исследованиях мы будем рас20 сматривать далее, в главе, посвященной изучению динамики уголовноправовых явлений. Динамика стоимости основных . фондов 6000 5562 5467 Стоимость, млн. руб. 5000 4107 4353 4195 2010 2011 4000 3000 2000 1000 2007 2008 2009 Год Рис. 5. Пример столбиковой диаграммы. Из плоскостных статистических графиков в правовой статистике в основном используют столбиковые, круговые и секторные диаграммы. Пример столбиковой диаграммы приведен на рис. 5. Наглядность такой диаграммы достигается сравнением высоты ее столбиков. Динамика прибыли по 4-м предприятиям Объем прибыли, тыс. руб. 2000 1800 -П1 1600 -П2 -П3 1400 -П4 1200 1000 800 600 400 200 Рис. 6. Пример диа- 2007 2008 2009 Год граммы сравнения. 21 2010 2011 Ширина столбика диаграммы выбирается произвольной, но одинаковой для всех. На поле графика размещение графиков может быть различным: на одинаковом расстоянии друг от друга, вплотную друг к другу (гистограмма) или с частичным наложением друг на друга. С помощью столбиковых диаграмм удобно осуществлять сравнение показателей. Для этого сравниваемые показатели изображаются на одной диаграмме (рис. 6). Здесь можно сравнивать состояние экономики по каждому году, можно сравнительно анализировать динамику за пять лет и др. Рассмотренные виды графиков информативны, строги по изображению, поэтому они широко применяются в научной и практической аналитической работе органов внутренних дел. К ним примыкают круговые и секторные диаграммы, которые являются диаграммами структуры. Пример одной из секторных диаграмм приведен на рис.7. Фигурные, ленточные и объемные диаграммы мало пригодны для строгой аналитической работы. Их основное назначение – демонстрационное сопровождение докладов, справок, материалов для средств массовой информации и т. д. Рис. 7. Пример секторной диаграммы. Контрольные вопросы. 1.Что такое статистический показатель и какая информация в нем отражается? 2. Назовите основные признаки, по которым классифицируются статистические показатели. 3. Дайте характеристику единицам измерения натуральных и условнонатуральных показателей. 4. Как и в каких единицах вычисляются относительные показатели? 5. С какой целью вычисляется относительный показатель структуры? 6. Какие коэффициенты являются относительными показателями динамики? 8. Дайте характеристику относительным показателям координации и сравнения. 9. С какой целью в статистике используются средние величины? 22 10. Какую роль играет формула средней степенной величины? 11. Как вычисляются простая и взвешенная средние арифметические величины? 12. Сформулируйте основные свойства средней арифметической величины. 13. В чем смысл введения в статистические расчеты условных вариант? 14. В каких случаях целесообразно использовать среднюю гармоническую величину? 15. Для получения каких характеристик изучаемой статистической совокупности применяют среднюю геометрическую и среднюю квадратическую величины? 16.Какова структура статистического графика? 17. В каких случаях целесообразно проводить графическое сравнение показателей в относительных единицах? 18. Дайте общее описание столбиковой и секторной диаграммам, диаграмме сравнения. 23