Система одновременных уравнений в матричном виде

Эконометрика (использование в стратегировании) Раздел 2. Применение системы одновременных уравнений при разработке стратегий Тема. Практическое применение точечного и интервального прогноза эндогенных переменных модели в стратегировании Власюк Людмила Ивановна, канд. экон. наук, доцент, E-mail: [email protected] 1 Список литературы: 1. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. М.: Дело, 2004. – 576 с. Глава 9. Системы одновременных уравнений, С. 220. 2. Прикладная Статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: в 2 т. Т.2: Айвазян С.А. Основы эконометрики. М., 2001. – 432 с. Глава 4. Системы одновременных линейный уравнений, С. 331 3. Эконометрика: Учебник/ Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2003. С. 344. Глава 4. Системы одновременных уравнений, С. 177 Можно использовать более поздние издания учебников, страницы приведены для электронных вариантов, которые Вам были разосланы. 2 Применение эконометрических моделей в виде систем одновременных уравнений 1. Получение сведений о структурных параметрах модели и/или коэффициентах приведенной формы модели. Обычно применяют, когда параметры модели имеют четкую экономическую интерпретацию (эластичности, мультипликаторы, «склонность к сбережению» и т.д.). Для анализа и прогнозирования внутренней и внешней среды объекта стратегирования. Для установления количественных характеристик и оценочных показателей производства, продаж, работников и всех других ресурсов, требуемых для внедрения стратегии на стадии определения задач. Для ресурсной оценки стратегии. 2. Условный прогноз эндогенных переменных (при определенных условиях, накладываемых на значения предопределенных переменных); многовариантные (в соответствии с различными вариантами условий) сценарные расчеты, показывающие, как меняются эндогенные переменные при различных условиях, касающихся значений предопределенных переменных. Для оценки последствий реализации приоритетов, сценариев. Для оценки результатов внедрения стратегии. 3 Система одновременных уравнений в матричном виде Структурная форма модели: – вектор эндогенных переменных, – вектор предопределенных переменных, в состав которых при необходимости включен свободный член, – матрица коэффициентов при эндогенных переменных, – матрица коэффициентов при предопределенных переменных, – вектор-столбец случайных остатков, они имеют нулевые средние значения, постоянные дисперсии и не коррелированы с предопределенными переменными . Приведенная форма модели: – коэффициенты приведенной формы, – случайные остатки, они имеют нулевые средние значения, постоянные дисперсии и не коррелированы с предопределенными переменными . 4 1-е условие идентифицируемости (необходимое) : Число уравнений системы должно быть равно числу анализируемых эндогенных переменных, а матрица должна быть невырожденной, то есть . Тогда приведенная форма анализируемой системы будет иметь вид: = П, где – матрица размерности коэффициентов приведенной формы, а , — вектор-столбец остатков. – коэффициенты приведенной формы Необходимым условием возможности оценить все коэффициенты матрицы П параметров приведенной формы является требование, чтобы предопределенные переменные не были мультиколлинеарны. Проверка и соблюдение 1-го условия идентифицируемости производится на стадии составления уравнений системы и на стадии анализа результатов статистического оценивания неизвестных параметров системы (в части обратимости матрицы В). 5 2-е условие идентифицируемости (необходимое) : Матрица наблюдений предопределенных переменных – размерности должна иметь полный ранг (при этом число наблюдений должно существенно превышать общее число анализируемых переменных ). Можно доказать, что если не дополнить структурную форму модели никакими априорными ограничениями относительно числовых значений её параметров, то ни одно из уравнений не может быть идентифицируемо. При этом априорные ограничения носят чаще всего исключающий характер, т.е. они определяют в каждом (i-м) уравнении «адреса» (i,j) и (i,k) (i тех коэффициентов, которые априори считаются нулевыми (априорные ограничения могут быть сформулированы и в виде определенных линейных связей, априори существующих между оцениваемыми коэффициентами). Проверка и соблюдение 2-го условия идентифицируемости производится на .6 стадии формирования массива исходных статистических данных 3-е условие идентифицируемости (необходимое) : Среди исключенных, априорных ограничений не должно быть одинаковых. Поставим в соответствие каждому (i-му) уравнению структурной формы модели (m + р) – мерный булевский (т.е. состоящий только из нулей и единиц) вектор задающий исключающие априорные ограничения для параметров этого уравнения по следующему правилу: нулевые значения компонент определяют «адреса» отсутствующих в уравнении переменных, или, что то же, априори равных нулю параметров i-го уравнения структурной формы. Проверка и соблюдение 3-го условия идентифицируемости производится на стадии составления уравнений системы .7 4-е условие идентифицируемости (необходимое) : Правило порядка H – эндогенные переменные в уравнении, D – предопределенные переменные, отсутствующие в уравнение, но присутствующие в системе. D+1=Н уравнение точно идентифицуруемо, D+1< Н уравнение неидентифицуруемо, D+1>Н уравнение сверхидентифицуруемо, Число исключенных (при спецификации модели) из –го уравнения системы предопределенных переменных должно быть не меньше числа включенных в него эндогенных переменных, уменьшенного на единицу. Проверка и соблюдение 4-го условия идентифицируемости производится на стадии составления уравнений системы. .8 5-е условие идентифицируемости (достаточное) : Ранговое правило Определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы. Проверка и соблюдение 5-го условия идентифицируемости производится на стадии составления уравнений системы и на стадии анализа результатов статистического оценивания неизвестных параметров системы. .9 Задача 1. Анализируется модель, представленная следующей системой двух одновременных уравнений , где – некоторые (неизвестные) коэффициенты структурной формы, – эндогенные переменные, – предопределённые переменные, – взаимнонекоррелированные последовательности, каждая из которых является «белым шумом», то есть Требуется: 1. Выписать приведенную форму системы. Выразить коэффициенты структурной формы через коэффициенты приведенной формы. 2. Проверить выполнение всех известных Вам условий идентифицируемости системы в целом и каждого уравнения в отдельности. 3. Вычислить ковариации и . При каких условиях на коэффициенты уравнений МНК-оценки коэффициентов каждого из уравнений структурной формы будут состоятельными? 4. Предложите состоятельный метод оценивания коэффициентов каждого из уравнений структурной формы в отдельности, когда условие состоятельности МНК-оценок не выполняется. Кратко опишите план реализации предложенного метода. 10 2. Проверка выполнения всех условий идентифицируемости системы в целом и каждого уравнения в отдельности Решение. Приведенная форма: Проверка первого условия идентификации: два уравнения и две эндогенных переменных, определитель матрицы не равен «нулю» (при канонической записи системы): Для проверки второго условия достаточно убедиться, что наблюдения не связаны пропорциональной зависимостью, то есть что и т.д. Для проверки третьего условия: Векторы исключающих ограничений различны. 11 2. Проверка выполнения всех условий идентифицируемости системы в целом и каждого уравнения в отдельности Проверка четвертого условия идентификации (правило порядка) H-эндогенные, D –предопределенные, отсутствующие в уравнение, но присутствующие в системе. Для первого уравнения имеем: Количество эндогенных переменных, входящих в это уравнение, – две (, ), H=2. Количество предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, но имеющихся в системе – две (,), D=2, 2<2+1, H