Синусоидальный ток

Электрические цепи синусоидального тока Синусоидальный ток — это периодический ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону. Наибольшее распространение в энергетике получили электрические цепи синусоидального тока, которые по сравнению с постоянным током обладают следующими преимуществами: 1) относительная лёгкость преобразования напряжений с помощью трансформатора (получения напряжений разных значений); 2) производство, передача и использования электрической энергии наиболее экономичны при синусоидальном токе; 3) даёт возможность использовать самые простые, надёжные, дешевые и экономичные электрические двигатели трёхфазного тока — асинхронные двигатели. Впервые генератор и трансформатор синусоидального тока создал П. Н. Яблочков для питания изобретённой им электрической «свечи» в 1876 г. После него русский учёный М. О. Доливо - Добровольский разработал все основные системы трёхфазного синусоидального тока: генератор, трансформатор, линию передачи, двигатель и продемонстрировал эту систему на выставке в Париже в 1891 г. Передача электрической энергии Генератор 6 кВ повышающий 220 кВ понижающий 10 кВ пониж 380/220 В Трансформатор трансформатор ЦРП цех. пунктов (РП) Рис. 2 . Передача электрической энергии. На электростанциях установлены генераторы G вырабатывающие электроэнергию при напряжении 6, 10 или 15 кВ. Трансформатор при Т1 повышает напряжение до 35-750 кВ (220 кВ на рис. 2), при котором электроэнергия передаётся по линии передачи (ЛЭП) на большие расстояния потребителям, где поступает на районные распределительные подстанции (РПС). Последние при помощи специальных ЛЭП, объединяются в единую в энергетическую систему, охватывающую огромную территорию, управляемую из одного центрального распределительного пункта. От районной РПС электрическая энергия поступает на понижающий трансформатор Т2 центрального распределительного пункта (ЦРП) крупного предприятия, преобразующий напряжение до 6 или 10 кВ, и далее на цеховые распределительные пункты (РП), где трансформаторы ТЗ понижают напряжение до 380/220 В. ЭДС проводника, , где В — магнитная индукция, l — длина продольного — скорость пересечения магнитных линий. Если v – линей- ная скорость движения проводника, то поворота винта за время , где — угол относительно линии отсчета времени. Тогда изменяется по синусои- дальному закону и — амплитуда ЭДС. График изменения ЭДС при вращении рамки показан на рисунке. Частоту тока в цепи можно выразить через число пар полюса p генератора переменного тока и скорость вращения n [об/мин] Получение синусоидальной ЭДС Простейшим генератором синусоидальной ЭДС является проводник в виде прямоугольной рамки, вращающимся с постоянной угловой скоростью ω в постоянном магнитном поле (рис. 3). Если в момент отсчёта времени t = 0 рамка расположена под углом фаза к плоскости, то в каждом продольном проводнике будет наводиться изменяющаяся ЭДС , где В — маг- нитная индукция, l — длина продольного проводника, — скорость пере- сечения магнитных линий. Если v – линейная скорость движения проводника, то , где тельно линии — угол поворота витка за время отсчета времени. относиТогда изменяется по синусоидальному закону и — амплитуда ЭДС. График изменения ЭДС при вращении рамки показан на рисунке 3. Частоту тока в цепи можно выразить через число пар полюса p генератора переменного тока и скорость вращения n [об/мин] Рис. 3. Получение синусоидальной ЭДС Мгновенные значения (значения в данный момент времени) напряжения, тока и ЭДС в цепях синусоидального тока: Где , , — аргументы синусоидальных функций, называемых фазой или фазовым углом (фаза отсчитывается от точки перехода синусоидальной функции через ноль к положительному значению). В электротехнике при расчете последовательного соединения начальная фаза I принимается равной нулю = 0, а при параллельном — . Каждая синусоидальная функция определяется следующими параметрами: - амплитуда Um , , Em — максимальное значение синусоидальной функ- ции; - угловая частота ω показывает, какой круговой путь совершает виток в секунду где α – фаза синусоидального тока, t — время, с. - начальная фаза , — значения α в момент начала отсчета времени t , = 0, в радианах или градусах; - период – наименьший интервал времени, по истечении которого повторяются мгновенные значения периодической величины; - частота f = 1/ T – число периодов в секунду, единица измерения частоты 1 Гц = 1с-1, в России частота f = 50 Гц, тогда T = 1/f = 0,02с, ω = 314 с-1; - сдвиг фаз между напряжением и током φ – алгебраическая величина, определяемая как разность начальных фаз напряжения и тока . - действующее значение U, I, E – среднеквадратичное значение (эффективное) значение переменного тока, численно равно эквивалентной по тепловому действию силе постоянного тока, т. е. такому току, который за то же время, на том же сопротивлении выделит такое же количество теплоты, что и переменный ток одинаковой силы ,, , - среднее значение Uср , Iср , Eср — среднее значение синусоидальной функции за период равно нулю (одинаковые площади положительной и отрицательной полуволн синусоиды), поэтому условились под средним значением синусоидальной функции понимать её среднее значение за положительный полупериод: , , Рис. 4. Метод векторных диаграмм Изобразим ину оидальную функцию с помощью вектора (амплиту- да), который вращается вокруг начала координат против часовой стрелки постоянной угловой скоростью ω (рис. 4). Угол наклона вектора к оси абсцисс равен начальной фазе тока . Его проекция на ось ординат равна мгновенному значению тока в момент времени t = 0, т.е. За время t вектор . повернется на угол ωt относительно начального положе- ния, так, что угол наклона к оси абсцисс станет равным вращающего вектора на ось ординат . Проекция и представляет со- бой мгновенное значение тока – синусоидальную функцию (рис. 4). В электротехнике векторы изображают не вращающимися, а неподвижными, для момента времени t = 0, рис. 4. При этом длина его равна действительному значению (амплитудному), угол наклона к оси абсцисс равен начальной фазе тока ψi, угловая частота ω должна быть известна Рис. 7 (Угол между вектором напряжения и вектором тока равен углу сдвига фаз . Если (как на рис. 7), то φ > 0 и напряжение опере- жает по фазе ток на угол сдвига фаз φ. В противном случае φ < 0 и напряжение отстает по фазе от тока. Угол φ всегда откладывается от вектора к век- тору напряжения U). Совокупность векторов ЭДС, напряжений и токов, изображенной в общей системе координат, называется векторной диаграммой, которая дает информацию о действующих значениях, начальных фазах и углах сдвига фаз. Символический(комплексный) метод расчёта цепей переменного тока (Расчёт цепей переменного тока может проводиться не только с помощью векторных диаграмм, но и используя комплексные числа, символически изображающие синусоидальные ЭДС и токи). Комплексное число А может быть представлено в алгебраической, показательной и тригонометрической формах: , где — мнимая единица; — вещественная часть комплексного числа; — мнимая часть комплексного числа; — аргумент комплексного числа; – модуль комплексного числа. Теорема Эйлера (Комплексные числа геометрически изображаются на комплексной плоскости. По оси абсцисс откладываем действительную часть комплексного числа a1 , а по оси ординат – мнимую часть a2 .). На рисунке 8 показан вектор с модулем и аргументом α. Рис. 8 Сложение комплексных чисел (Вектор, соответствующий полученному комплексному числу находится геометрическим сложением векторов А и А . Умножение и деление комплексных чисел обычно проводят, преобразовывая их в показательную форму.) При умножении комплексных чисел на ремножаются, а аргументы складываются, т. е. Комплексно-сопряженные числа модули пе- = Пример 1. Найти частное Домножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателю число Решение. . С целью единообразия принято на комплексной плоскости изображать векторы синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени При этом вектор равен , где Im - комплексная величина, модель ее равен , а угол, под которым век- тор Im проведен к оси +1 на комплексной плоскости, равен начальной фазе ψi . Величину Im называют комплексной амплитудой тока i. Комплексная амплитуда изображает ток i на комплексной плоскости для момента времени ω t = 0. Пример 2 Мгновенное значение тока Записать выражение комплексной амплитуды этого тока: следовательно . Пример 3 Комплексная амплитуда тока . Записать выражение мгновенного значения этого тока. Решение: A. Под комплексом действующего значения тока или комплексом тока (комплексным током) I понимают частное от деления комплексной амплитуды на . ЗАКОНЫ КИРХГОФА ДЛЯ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА (В цепи переменного тока направления ЭДС, токов и напряжений изменяется 2 раза за период. Однако при расчёте цепи синусоидального тока необходимо составлять уравнения по законам Кирхгофа, а они требуют задания определённых направлений указанных величин. Поэтому положительные направления токов, как и для цепи постоянного тока, выбираются произвольно. После расчетов токов комплексным методом можно записать их мгновенные значения. Действительное направление тока совпадает с положительным в те моменты времени, когда мгновенные значения тока положительны (i > 0). Положительное направление напряжения на пассивном элементе цепи будем выбирать совпадающим с положительным направлением тока. Первый закон Кирхгофа выражает тот факт, что в узле электрической цепи электрические заряды не накапливаются; поэтому суммарный заряд притекающий к узлу в единицу времени, равен суммарному заряду, оттекающем от узла за это же время. Ток равен скорости изменения заряда, поэтому алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узле равна нулю где n – число ветвей, соединенных в узле. Первый закон Кирхгофа в комплексной форме: алгебраическая сумма комплексных токов в узле электрической цепи равна нулю: Пример: Рис. 21 Токи, положительные направления которых относительно рассматриваемого узла одинаковы, записываются с одинаковым знаком, например с плюсом, токи противоположного направления – с другим одинаковым знаком. Так для узла на рис. 21, по первому закону Кирхгофа Второй закон Кирхгофа основан на том факте, что после обхода контура и возвращения в исходную точку должен получиться тот же потенциал. II закон Кирхгофа для мгновенных значений: Алгебраическая сумма напряжений на резистивных, индуктивных и ёмкостных элементах (R, L, C) замкнутого контура в данный момент времени равна алгебраической сумме ЭДС в том же контуре в тот же момент времени где к – порядковый номер напряжения; Р – порядковый номер ЭДС, n – суммарное число резистивных, индуктивных и ёмкостных элементов в контуре; m – число ЭДС в контуре. II закон Кирхгофа в комплексной форме: Алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равняется алгебраической сумме ЭДС вдоль того же контура Рис. 22 –uR1 – uR2 – uL2 + uR3 + uC3 = e1 – e3 + e4 , ЗАКОН ОМА ДЛЯ УЧАСТКА ЦЕПИ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ R, L И C Рис. 22 К участку с последовательным соединением элементов R, I и С приложено синусоидальное напряжение , ток ). Падение напряжение на элементах цепи . По II закону Кирхгофа для мгновенных значений Заменив мгновенные значения их комплексными выражениями, получим Так как Поэтому Закон Ома в комплексной форме , где — комплексное сопротивление , — реактивное сопротивление. Комплексное сопротивление в показательной форме Модуль комплексного сопротивления – полное сопротивление Аргумент комплексного сопротивления Рис. 23. Треугольник сопротивлений Знак угла сдвига фаз определяется знаком реактивного сопротивления X. Если , то участок имеет активно индуктивный характер, т.е. ток, по фазе отстает от напряжения на угол 0º < φ < 90º. Если , то участок имеет активно-емкостной характер, т. е. ток по фазе опережает напряжение (0º < φ < -90º). Когда и , то в цепи наступает – резонанс напряжений, при котором, сопротивление участка чисто активное. Для упрощения вычислений начальную фазу I или U выбирают равный нулю: при последовательном соединении т.к. при этом сдвиг фа , при параллельном не изменяется. Для расчета цепей сину- соидального тока важны только сдвиги фаз. На рис. 24, а представлен график мгновенных значений напряжения и тока для активно-индуктивной нагрузки ( активно - ёмкостной нагрузки ), а на рис.24, б для ). На рис. 25 показаны вектор- ные диаграммы для этих случаев. Начальная фаза тока диаграммы построены в соответствии с I законом Кирхгофа . Рис. 24 Рис. 25 . Векторные (Вектор тока на активном сопротивлении совпадает по направлению с вектором напряжения UR = Uа и называется активной составляющей Uа общего напряжения U, вектор тока на индуктивности IL отстаёт от напряжения UL на 90º, а на ёмкости опережает напряжение UC. на угол – 90º. Вектор общего напряжения U получим, суммированием векторов на участках схемы. Складывая UL с UC получаем реактивную составляющую напряжения U = UL + UC , которая опережает по фазе ток на угол 90º при активно-индуктивной нагрузке (рис. 25, а) и отстаёт по фазе от тока на угол 90º при активно-ёмкостной нагрузке (рис. 25, б). Диагональ прямоугольника со сторонами Uа и U – это вектор общего напряжения.) Из векторной диаграммы получаем треугольник напряжений. Рис. 26 Откуда получаем Найдём мгновенную мощность участка (рис. 22). Активная мощность (Средняя за период мощность зависит от угла сдвига фаз между напряжением и током и не равна нулю, если участок имеет активное сопротивление). Реактивная мощность, равная амплитуде мгновенной мощности реактивных элементов Для индуктивного элемента реактивная мощность , ёмкостного . Если индуктивный и ёмкостной элементы соединены последовательно (как в нашем случае), то . Полная мощность — это максимально возможная мощность при заданных напряжениях U и токе I. Максимальная мощность получается при , т.е. угле сдвига фаз . Рис. 27. Треугольник мощностей Необходимость введения этой мощности S объясняется тем, что при конструировании электрических устройств, аппаратов, сетей т. п. их рассчитывают на определенное номинальное напряжение Uном. и определенный номинальный ток Iном. и их произведение Uном. Iном. = Sном. даёт максимально возможную мощность данного устройства (полная мощность Sном. указывается в паспорте большинства электрических устройств переменного тока). Мощность в комплексной форме Напряжение на некотором участке цепи обозначим через ток по этому участку , . Угол между напряжением и током . Умножим комплекс напряжения на сопряженный комплекс тока и обозначим полученный комплекс через S Таким образом, активная мощность есть действительная часть (Rе), а реактивная мощность Q - мнимая часть (Im) произведения ) Теорема о балансе активных и реактивных мощностей: В любой линейной электрической цепи сумма активных мощностей источников ЭДС равна сумме активных мощностей приёмников, а сумма реактивных мощностей источников ЭДС – сумме реактивных мощностей приёмников энергии. Также равны суммы полных мощностей источников и приёмников. ; ; Правила расчёта цепей с последовательным соединением R, L и C 1) В последовательной цепи однотипные сопротивления суммируются арифметически (рис. 28). Рис. 28 RЭ = R1 + R2 + … + Rn ; XLЭ = XL1 + XL2 +…+ XLn ; XСЭ = XС1 + XС2 +…+ XСn ZЭ = Z1 + Z2 +…+ Zn 2) При помощи эквивалентных преобразований цепь можно свести к эквивалентной с тремя элементами RЭ, LЭ и CЭ . 3) Так как XL = 2 π f L, то LЭ = L1 + L2 +…….+ Ln, т. е. в последовательной цепи индуктивности складываются. 4) Так как XС = 1/(2 π f С), то 1/ CЭ = 1/ C1 + 1/ C2 + …..+ 1/Сn , т.е. в последовательной цепи складываются величины, обратные ёмкостям. 5) Если, в частном случае, какой – либо элемент цепи отсутствует, его сопротивление принимается равным нулю. Резонанс напряжений (при последовательном соединении) Резонансом в электрических цепях называют режим участка электрической цепи, содержащий индуктивный и ёмкостной элементы, при котором разность фаз (угол сдвига фаз) напряжения и тока участка равны нулю. Резонанс напряжений можно получить: изменением индуктивности, ёмкости С или частоты напряжения питания. При резонансе т.к. ; UL = UC; ; . Резонансная частота Сопротивление реактивного элемента при резонансной частоте называется характеристическим сопротивлением последовательного контура Отношение характеристического сопротивления к активному сопротивлению контура называется добротностью последовательного контура Рассмотрим R характерные особенности режима резонанса напряжений: 1) Полное сопротивление при резонансе минимально и равно активному сопротивлению . 2) Ток - максимален 3)Т.к. при резонансе том , то напряжение на участке с активным элемен- равно напряжению питания на выводах контура и совпадает с ним по фазе Если ,то , т.е. напряжение на участках с реактивными элементами больше, чем напряжение питания. Это свойство широко используется в технике. Явление резонанса напряжений используется в радиоприёмнике при настройке на определённую частоту радиостанции: вращением ручки изменяется ёмкость конденсатора и меняется резонансная частота (Значительное повышение напряжения на реактивных элементах может привести к пробою изоляции и опасно для обслуживающего персонала). 4)Активная мощность при резонансе максимальна , т.к. ток максимален . Реактивные мощности равны . Общая реактивная мощность равна нулю Q = QL – QC = Iрез2 (XL- XC) = 0 Равны и противоположны по знаку мгновенные активные мощности: Стр. 24 - sin 2ωt , sin 2ωt. Это значит, что в те же интервалы времени, в течение которых энергия накапливается в магнитном поле индуктивного элемента, она поступает из электрического поля ёмкостного элемента. Происходит обмен энергией между реактивными элементами контура. Источник питания в этом обмене не участвует, от него поступает только энергия, компенсирующая потери на активном сопротивлении. φ0 = 0; =- Рис. 29 Векторная диаграмма Если при разности увеличить в одинаковое число раз n индуктивное и емкостное сопротивление, т.е выбрать =n и =n , то так в це- пи не изменится, а напряжение не индуктивном и емкостном элементах увеличатся в n раз: =n и =n . Следовательно, в принципе можно безгранично увеличивать напряжение на индуктивном и емкостном элементах при том же: I= = . Физическая причина воздействия повышенных напряжений это колебания значительной энергии, занимаемой попеременное в электрическом поле емкостном и в магнитном поле индуктивности. Частотной характеристикой наз. зависимость параметров в цепи от частоты. Реактивное сопротивление Rмл частоты не зависит (при низких частотах) кривые зависимости реактивных сопротивлений , , X от угловой частоты (ω=2 π f) показаны на рис. 30. Они определяются по формулам =ωL, = . Рис 30. Частотная характеристика и резонансные кривые последовательного контура Реактивное сопротивление контура X= - . При 0 < ω < реактивное сопротивление X носит емкостной характер. При ω = наступает резонанс напряжений ( = ) и сопротивление контура чисто активное, при <ω< > и реактивное сопротивление носит индуктивный характер. Проводимость Проводимость Y = = где = = b= [См] — активная проводимость — реактивная проводимость b= = - Комплексная проводимость Y== = -j = J= -jb в показательной форме Y= = Где Y = = =Y - модуль или полная проводимость φ=arctg = arctg – аргумент Рис. 31. Треугольник проводимостей Стр. 25 Стр. 25 Закон Ома для цепи синусоидального тока I= Или при использовании комплексной проводимости = Y или = - b= α+ ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ВЕТВЕЙ Рис. 25 Рассмотрим цепь с двумя параллельными ветвями. Из первого закона Кирхгофа следует, что = + Где , - токи в параллельных ветвях; - общий ток Запишем выражение каждого тока по закону Ома , , Подставим их в записанное выше равенство , откуда = + и или используя комплексные проводимости Y = Y1 + Y2= Следовательно = jb= - + + =( )- ( ; b= Представим комплексную проводимость Y в показательной форме Y=Y , Где J= - полная проводимость -φ = - arctg – аргумент полной проводимости Построим векторную диаграмму (рис. 26). За опорный вектор принимаем вектор , т.е. принимаем начальную фазу напряжения …. = 0, т. к. при параллельном соединении напряжение на выводах всех ветвей одинаковое. Т. к. сопротивление первой ветви активно-индуктивное, то ток I1 отстаёт по фазе от напряжения на угол …. Т. к. сопротивление второй ветви активноёмкостное, то ток I2 опережает по фазе на угол φ2 < 0, ток Рис. 26 (Разложим векторы на две составляющие, совпадающие по направлению с вектором = + , =Σ - Σ , I= Из векторной диаграммы следует, что = I cosφ, , I sinφ Так как I = , cosφ= , sinφ= , то = U = =U =bU, (т.е. активную и реактивную составляющие тока можно получить, умножая напряжение на соответству3ющие проводимости). Рис. 27. Треугольник токов Рассмотрим цепь с параллельным соединением п – ветвей с параметрами R, L, C , R- номер ветви. Общий ток Y , I= Y U Y = Y1 + Y2+… Yn= Т.к Y= -jb и = b= ,Y= , то = - Рис. 28. РЕЗОНАНС ТОКОВ (ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ R, L, C ) φ= arctg =0, то , Формула -!!!! Стр. 27 После преобразования получаем: f з = · = · Из формулы можно сделать следующие выводы: 1) f з при резонансе токов зависит не только от параметров реактивных элементов, но и от активных сопротивлений и . 2) Резонанс токов возможен, если сопротивления и одновременные или больше [в этом случае подкоренное выражение положительное, в противном случае - невозможен]( f з- мнимая величина). 3) Если = , резонансная частота имеет неопределенное значение, что означает аргумент. 4) При и ; что справедливо для многих цепей, f з = =f з. , т.е. резонансная частота при резонансе токов равна резонансной частоте при резонансе напряжений. Лекция № 6 Основные соотношения при резонансе токов (рис.26) при неизменных и : 1) Полная проводимость контура равна активной проводимости к минимальной Y= = = Полное сопротивление активное и максимальное = 1/Y = 2)Ток в неразветвленной части цепи минимальный и равен активному I= = =U Y=U Токи в ветвях = ; = Если в , , т.е. , ,то и , т.е токи в ветвях значительно больше, чем ток в неразветвленной части цепи. 3) Реактивная мощность равна нулю O= = ( )=0 = = = . Это означает, что при резонансе токов происходит периодический обмен энергией между катушкой и конденсатором, но источник питания в этом обмене не участвует; источник только восполняет потери в активных сопротивлениях контура (рис. 29). Рис. 29 Изменяя изменен и . I=UY=U На рис. 30 показаны резонансные кривые параллельного контура. В емкостном элементе ток = = U2 возрастает пропорционально частоте, в индуктивном элементе так = = обратно пропорционален угловой частоте, в резистивном элементе ток IR = U/R от частоты не зависит (при низких частотах, а при высоких частотах зависит, происходит скип-эффект, вытеснение тока к поверхности проводника). (Резонанс токов и резонанс напряжений применяется в радиотехнике. При настройке радиоприемника на волну радиостанции вращается ручка настройки и изменяется емкость до тех пор, пока не наступит резонанс напряжений при нужной …… (частоте = …), при этом напряжения и ток индуктивности в катушке (антенне) и емкости увеличивается I достиг мах и далее сигнал поступает на усилитель). Резонанс I и U используют в полосовых фильтрах. При 0 < ω < ωрез ток I имеет индуктивный характер, а при ωрез < ω < + ток имеет емкостной характер IС. Рис. 30. Резонансные кривые параллельного контура ТРЁХФАЗНЫЕ ЦЕПИ Трехфазную систему предложил, изготовил и применил на практике выдающийся русский инженер М. О. Доливо-Добровольский (1862-1919 гг.). После демонстрации системы на Парижской выставке 1891 г. она завоевала всемирное признание и стала преобладающей. К её преимуществам относятся меньший расход материала проводов при одинаковой с однофазной системой мощности; простота, надёжность и экономичность генераторов и двигателей (асинхронные двигатели), возможность иметь у потребителей напряжения двух разных значений (например, 380 и 220 В). Получение трёхфазной ЭДС. Три одинаковые по частоте и амплитуде сдвинутые по фазе на 120 0 ЭДС получаются в трёхфазных синхронных генераторах установленных на большинстве крупных электростанциях. Простейший синхронный генератор (рис. 32) имеет на статоре одинаковые обмотки, в пространстве на угол 120 0 относительно друг друга. При вращении ротора обмотка ротора включена в цепь постоянного тока в обмотках статора индуцируется при три синусоидальные ЭДС (EA , EВ, EС) одинаковой частоты и с равными амплитудами сдвинутые по фазе относительно друг друга на 1200. На рис. 33 показаны мгновенные значения трёхфазной системы ЭДС eA, eВ, eС. Каждая ЭДС сдвинута по фазе синусоидально двух других на 1200. Порядок в котором ЭДС проходит через одинаковые значения, например максимум, называется порядком следования или чередования фаз. В России порядок следования фаз определён ГОСТ: А-В-С. Обратный порядок чередования фаз (А-С-В) – недопустим, т.к. может привести при включении синхронных генераторов на параллельную работу к авариям, а у двигателей трёхфазного тока – к обратному направлению вращению ротора. Рис. 32 Рис. 33 Если начальную фазу ЭДС eA принять равной нулю, то мгновенные значения ЭДС можно записать следующим образом = sin ωt; = sin (ωt-120 ); = sin (ωt-240 )= sin (ωt+120 ). В комплексной форме =E(1+j·0); =E(- – j· ); =E(- +j· ). Трехфазная система может быть изображена на комплексной плоскости в виде трёх векторов (рис. 34) сдвинутых на угол 1200 относительно друг друга (ось действительных величин +1 при расчёте трехфазных систем принято направлять вертикально). Вектор ЕА (начальная фаза равна нулю) направлен по действительной оси, вектор ЕВ отстаёт от вектора ЕА на 1200, а вектор ЕС опережает на угол 1200 рис. 34. Рис. 34 Несвязная трёхфазная система Если к каждой обмотке трёхфазного синхронного генератора подключить отдельный приёмник (рис. 35), то получим несвязную трёхфазную систему, которая состоит из 3-х независимо работающих однофазных цепей. Каждая из однофазных цепей называется фазой трёхфазной системы. Выводы обмоток генератора А, В, С и приёмников а, в, с называются началами, а Х, У, Z и х, у,z – концами. Напряжения между началами и концами обмоток генератора UAX = Uа, UВY = UB, UСZ = U или началами и концами приёмников Ua, Ub, Uc называются фазными напряжениями. Если пренебречь сопротивлением соединительных проводов, то напряжения на выводах обмоток генератора и приёмниках соответственно равны, т.е. UA = Uа, UВ = Uв, UС = U . Фазные токи IA, IB, IС не зависят друг от друга, т.к. фазы не соединены между собой рис. 35. Рис. 35 В несвязной трёхфазной системе генератор и приёмник соединены между собой шестью проводами. Очевидно, что такая система никаких преимуществ перед однофазной не имеет и по этой причине не нашла практического применения. Соединение обмоток трёхфазных генераторов звездой (Обмотки показаны как источники ЭДС, рис. 36) При соединении обмоток звездой концы обмоток X ,Y ,Z объединяют в общий узел N, называют нейтральной точкой генератора. Провода идущие к приёмникам от начала А, В, С фаз (Аа, Вв,.Сс) называются линейными. От нейтральной точки, к приёмникам также может быть выведен провод (Nn, О´O) — его называют нейтральным (или нулевым). Потенциал нейтральной точки N генератора принимается равным нулю (рис. 36). Рис. 36 Рис. 37 Напряжения между началами и концами фаз генератора: , , , т.е. равны фазным напряжениям генератора с действующим значением. Векторы фазных напряжений показаны на рис. 37. При построении учтено, что потенциал нейтральной точки равен нулю, т.е. точка N находится в начале координат. Напряжения между началами двух фаз или линейными проводами UAB, UBC, UCA называются линейными напряжениями. Как видно из рис. 37 напряжения Построим вектор линейного напряжения на векторной диаграмме: суммируем вектор с вектором . Аналогично строятся векторы и . Из векторной диаграммы видно, что векторы линейных напряжений также образуют симметричную трёхфазную систему, т.е. их действующие значения Uл одинаковы и сдвинуты относительно друг друга по фазе на угол 1200. В комплексной форме линейные напряжения равны . Рассмотрим равнобедренный треугольник на векторной диаграмме (рис. 37), стороны которого равны и . Из треугольника следует, что /2= cos 30 ; =2 = = ; . Рис. 38 т.е. линейное напряжение при соединении обмоток генератора звездой в раз больше фазного. С учётом выведенного соотношения построена шкала стандартных напряжений трёхфазных генераторов: 230/133, 400/230, 590/400 и т.д., где первое число – линейное напряжение, второе – фазное напряжение. Учитывая, что напряжение между генератором и приёмниками падает на сопротивлениях проводов линии, стандартными (низкими) напряжениями для приёмников являются 220/127, 380/220 и 660/380. Кроме векторных диаграмм для трёхфазных систем, строят топографические диаграммы напряжений. Примем, как и ранее потенциал точки N равным нулю. Перенесём вектор линейного напряжения (см. рис 37) параллельно самому себе так, чтобы начало вектора переместилось в точку В комплексной плоскости, конец вектора при этом попадает в точку А (рис. 39). Аналогично перенесём векторы и . Векторы , и образуют замкнутый треугольник линейных напряжений; при этом каждой точке на схеме соответствует потенциал на комплексной плоскости (обратите внимание на то, что на схеме стрелка, показывающая положительное направление напряжения между двумя точками, например, , направление от точки А к точке В, а на комплексной плоскости вектор направлен от точки В к точки А, т.е. в точку большего потенциала, как и должно быть на топографической диаграмме). Рис. 39 Рис. 40 Обмотки трёхфазных генераторов, как правило, соединяют звездой, так как такое соединение даёт возможность получить два разных напряжения: линейное и фазное. При соединении обмоток генератора треугольником (рис. 40) начало одной фазы совпадает с концом другой: В с Х, С с У, А с Z. Обмотки образуют замкнутый контур, в котором действуют три ЭДС. Из общих точек А, В. С выводятся провода к приёмникам. Теоретически, алгебраическая сумма синусоидальных фазных ЭДС генератора равна нулю (см. рис. 34), но на самом деле фазные ЭДС практически отличаются от синусоидальных, и алгебраическая сумма ЭДС может и не равняться нулю, вследствие чего возникнет ток в обмотке генератора. Это одна из причин отказа от соединения обмоток генератора треугольником. Соединение звезда- звезда с нейтральным проводом Если в несвязанной трехфазной системе обратные провода всех фаз объединить в один, общий для всех фаз провод, то получим так называемую связанную четырехпроводную систему звезда-звезда с нейтральным проводом (рис. 41). В этой системе нейтральная точка приёмника n соединена с нейтральной точкой генератора N (О'). Так как потенциал этой точки принимаем равным нулю, то и потенциал нейтральной точки приёмника будет равен нулю (сопротивлением нейтрального провода пренебрегаем). Фазные напряжения приёмника будут равны фазным напряжениям генератора: . Соответственно равны и линейные напряжения генератора и приёмника (сопротивления всех проводов принимаем равным нулю). UАВ = Uаb; UВС = Ubc; UСA = Uca = Iл = Iф Это соотношение справедливо также при (несимметричной) системе с нулевым проводом, при этом напряжение смещения нейтрали (между нейтральной точкой приёмника и генератора) Uа = 0. При незначительной несиметрии нагрузки, когда по нулевому проводу протекает большой ток ( ) рис. 41. В этом случае напряжение смещения нейтрали равно произведению этого тока на сохранение нулевого провода ближайшего заземления. IA A U CA a U AB U AO / I0 OI Zc C U CO / U BO / с B U aO Zа O U cO U bO Zb b IB U BC генератор приёмник IC Рис. 41 Токи при несимметричной нагрузке Положительные направления токов в линейных проводах принято выбирать от генератора к приёмнику, а в нейтральном проводе – от приёмника к генератору. Режим каждой фазной системы не зависит от режима двух других фаз – ток определяется параметрами приёмника этой фазы. Токи в фазах рассчитываются по закону Ома: = ; = ; = ; = Ток в (нулевом) нейтральном проводе …. По 1 –му закону Кирхгофа равен сумме токов трёх фаз = Токи при симметричной нагрузке. При симметричной нагрузке = = , (tg = tg ), токи имеют одинаковые значения и сдвинуты фазы относительно соответствующих фазных напряжений на один и тот же угол φ. Их сумма = =0 Поэтому при симметричной нагрузке линия выполняется трехпроводной, без нулевого провода (например, обмотки электродвигателей, соединенные звездой).