Комплексный метод расчета цепей синусоидального тока

Краткое содержание 3.2. Комплексный метод расчета цепей синусоидального тока. 3.2.1. Комплексная плоскость и комплексные числа 3.1.2. Компонентные уравнения в комплексной форме. Законы Кирхгофа в комплексной форме. Комплексные схемы замещения. , Для расчета напряжений и токов в цепи с синусоидальными источниками токов и напряжений могут быть использованы законы Кирхгофа для мгновенных значений. При дополнении компонентными уравнениями получаем полную систему алгебро – дифференциально – интегральных уравнений. Для линейной цепи параметры R, L и С идеализированных резистивного, индуктивного и емкостного элементов не зависят от значений и направлений токов и напряжений в цепи. Уравнения Кирхгофа для мгновенных значений i1 (t ) = iL (t ) + iC (t ) 1 iC (t )dt + iC (t ) R2  C diL e(t ) = i1 (t ) R1 + L + iL (t ) R3 dt 1 di uC =  iC (t )dt uL (t ) = L L C dt e(t ) = i1 (t ) R1 + ? 2 Рассмотрим простейший пример использования уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа для расчета мгновенного значения тока и показания приборов: А1 А2 3,535 A А3 1, 414 A 5  3,535 A Дано: i1 (t ) = 5sin(t + 30) A А1 2 i2 (t ) = 2sin(t − 90) A А2 I = 2  1,414 A 2 2 Определить: А3 i3 (t ) = i1 (t ) + i2 (t ) ? i3 (t ) = I m 3 sin(t + 3 ) I1 = ? I m3 ? Расчет во временной области не удобен и труден 3 Для расчета синусоидальных величин (токов, напряжений, ЭДС), т.е. для выполнения алгебраических операций над ними, переходят в комплексную расчетную область. Метод, основанный на использовании комплексных чисел, был предложен американским электротехником Штейнмецом в 1893 г. Штейнмец предложил представлять синусоидально изменяющиеся величины, характеризуемые тремя параметрами: амплитудой, угловой частотой и начальной фазой, векторами на комплексной плоскости с двумя параметрами: модулем вектора и фазным углом. При этом математические операции с изменяющимися по синусоидальному закону токами и напряжениями заменяются математическими операциями над векторами (комплексными числами), что существенно упростило расчеты цепей переменного тока. Использование комплексного метода позволяет рассчитывать цепи синусоидального тока с использованием алгебраических уравнений аналогично цепям постоянного тока. 4 Расположим вектор длиной (модулем) М в координатной плоскости X0Y под углом  к оси X, как показано на рисунке. Из курса математики известно, что при вращении вектора против часовой стрелки с угловой скоростью  его координаты меняются по закону x(t ) = M cos(t + ) и y (t ) = Msin(t + ) . M sin  M x(t ) = M cos(t + ) t y (t ) = M sin(t + ) 5 Дано мгновенное значение синусоидального тока i (t ) = 1sin(t + 30) Изобразим окружность радиусом, определяемым амплитудой, и отметим точку на окружности в соответствии с заданной начальной фазой; построим радиус-вектор (длина определяется амплитудой, положение начальной фазой). Отмечаем проекции положения точки (вектора)при вращении на вертикальную ось. 1 t=0 1 300 6 Временная диаграмма (осциллограмма) определяет взаимное положение кривых мгновенных значений тока и напряжения, временной диаграмме соответствует векторная диаграмма. Выбор начала отсчета не меняет взаимного расположения векторов. Синусоидальное напряжение отстает от синусоидального тока  = t i (t ) = I m sin(t ) i = 0 u (t ) = U m sin(t − ) Um Im i(t) -φ векторная диаграмма u(t) t 2p t ωt временная диаграмма 7 Временная диаграмма (осциллограмма) определяет взаимное положение кривых мгновенных значений тока и напряжения, временной диаграмме соответствует векторная диаграмма. Выбор начала отсчета не меняет взаимного расположения векторов. i (t ) = I m sin(t + ) u (t ) = U m sin t u = 0 Синусоидальное напряжение опережает от синусоидальный ток  = t Um Im φ u(t) i(t) t 2p векторная диаграмма t ωt временная диаграмма 8 Поместим вектор на комплексную плоскость, образованную вещественной (Real) и мнимой (Jmage) осями. Начальный угол  определим по отношению к действительной оси на комплексной плоскости. j M = Me = M  ω Image α 1  (длина вектора) - угол поворота a = Re  M  = M cos  M Im[M] оператор поворота M -модуль комплексного числа t=0 b e j = cos  + j sin  1 Re[M] b = Im  M  = M sin  a Real 1 Me j M  координаты конца вектора - единичный вектор по горизонтальной оси j - единичный вектор по вертикальной оси 9 1 - единичный вектор по горизонтальной оси Real j - единичный вектор по вертикальной оси Jmage 10 = e j 0 = cos0 + j sin 0 = 1 Jmage 190 = e j 90 = cos90 + j sin 90 = j j  j = 1180 = −1 j j  j  j = 1270 = − j -1 1 -j Real j  j  j  j = 1360 = 1 j 2 = 1180 = −1 −1 =  j 10 M = Me j = M cos  + jM sin  = a + jb a = Re  M  = M cos  b = Im  M  = M sin  Pol ω Image t=0 b M Im[M] α 1 1 Re[M] a Real Rec Rec M 2 = a 2 + b2 -модуль комплексного числа b Pol угол поворота tg  = a 1 - единичный вектор по горизонтальной оси j - единичный вектор по вертикальной оси M = a +(1)jb 11 Сложение и вычитание M 1  M 2 = ( a1 + jb1 )  ( a2 + jb2 ) = ( a1  a2 ) + j ( b1  b2 ) Умножение и деление M 1  M 2 = M 1e j1  M 2e j2 = ( M 1  M 2 )e j ( 1 +2 ) = = ( M 1  M 2 ) ( 1 + 2 ) M 1 M 1e j1 M 1 j ( 1 −2 ) M 1 = = e =  ( 1 − 2 ) j 2 M 2 M 2e M2 M2 * Умножение на комплексно-сопряженный вектор M = Me j ( − ) * M  M = Me j  Me j ( −) = M 2 = a 2 + b 2 12 +j +j 5,964 2,5 M1 M1-M2 1 -2 2,33 1 -0,964 4,33 2,5 +1 M1 M1+M2 M2 1 -2 1 4,33 6,33+1 M1-M2 -3,464 правило «параллелограмма» M2 -3,464 правило «треугольника» 13 Вращение вектора против часовой стрелки с угловой скоростью  можно представить с использованием оператора поворота: e jt  +j M t=0 t=T  +1 Me jt = Me j ( t + ) Me jt = Me j ( t + ) = = M cos(t + ) + jM sin(t + ) Re  Me jt  Im  Me jt  Мгновенному значению тока (напряжения, ЭДС) с заданной амплитудой и начальной фазой в любой фиксированный момент времени t соответствует значение координаты, вращающегося вектора, длина которого равна амплитуде и фазный угол определяется начальной фазой i (t ) = Im  Ime jt  = Im  I me ji e jt  = I m sin(t + i ) 14 Поскольку все синусоидальные токи, напряжения, ЭДС имеют одинаковую частоту , то взаимное расположение этих векторов в любой момент времени остается неизменным, следовательно расчеты можно вести по положению векторов в момент t=0. Мгновенному значению тока (напряжения, ЭДМ) ставится в соответствие комплексная амплитуда i (t ) = I m sin(t + i ) Im = I m e ji = I m i u (t ) = U m sin(t + u ) U m = U m e ju = U m u e(t ) = Em sin(t + e ) Em = Em e je = Em e Амплитуда i (t ) = I m sin(t + i ) Комплексная амплитуда Модуль Im = I mi угол начальная фаза 15 Мгновенному значению тока и напряжения поставить в соответствие комплексные амплитуды. Изобразить вектора на комплексной плоскости (построить векторную диаграмму) u (t ) = 7,07sin(628t + 17,5) B i (t ) = 0,112sin 628t A Временная диаграмма U m = 7,0717,5 B Im = 0,1120 A Векторная диаграмма 16 Как правило, расчет проводится в действующих значениях. Действующее значение соответствует показанию приборов и определяет тепловые потери. Im I= i = I i 2 Um U= u = U u 2 Em Em = e = Ee 2 Комплексы действующего значения Модуль (длина) вектора равен действующему значению (показанию прибора), фазный угол соответствует начальной фазе 17 Мгновенному значению тока и напряжения поставить в соответствие комплексные напряжение и ток. u (t ) = 7,07sin(628t + 17,5) B i (t ) = 0,112sin 628t A U 7,0717,5 U= m  = 517,5 1,41 2 Временная диаграмма U m = 7,0717,5 B Im = 0,1120 A 0,1120 I= = 0,07950 1,41 Векторная диаграмма 18 Введение вместо синусоидальных функций времени i(t), u(t), e(t) соответствующих комплексов позволяет алгебраизировать компонентные уравнения элементов цепи, векторные диаграммы дают полную информацию об участке электрической цепи, иллюстрирует расчеты в удобной и наглядной форме. Для источников: u (t ) = e(t ) U =E i (t ) = J (t ) I =J 19 Закон Ома и временная диаграмма i(t) R Um u(t) для φu=0 Im i(t) p/2 t T 2p ωt u(t) U m = RI m u (t ) = Ri (t ) U = RI u (t ) = U m sin(t + u ) i (t ) = I m sin(t + i ) u = i совпадают по фазе Закон Ома в комплексной форме и векторная диаграмма I R U вектора сонаправлены I U U = R I 20 Закон электромагнитной индукции и временная диаграмма ULm iL(t) L uL(t) для φi=0 ILm iL(t) t T p/2 2p uL(t) ωt diL u L (t ) = L dt iL (t ) = I mL sin t cos t + 90) u L (t ) = LI mLsin( U mL = LI mL U L = LI L u = i + 90 фазный сдвиг (ток отстает от напряжения) Закон Ома в комплексной форме и векторная диаграмма IL jXL UL U L = jX L  I L Поворот на 90° от комплекса тока X L = L UL IL Индуктивное сопротивление 21 Закон электрической индукции и временная диаграмма iC(t) C UCm uC(t) для φu=0 ICm iC(t) t T p/2 2p ωt uC(t) U mC = duC iC (t ) = C dt uC (t ) = U mC sin t cos t + 90) iC (t ) = CU mC sin( 1 1 I mC U C = I C i = u + 90 фазный сдвиг (ток опережает напряжение) C C Закон Ома в комплексной форме и векторная диаграмма IC -jXC UC U C = − jX C  IC Поворот на 90° от комплекса тока 1 XC = C Емкостное сопротивление IC UC 22 Закон Ома в комплексной форме Комплексные ток и напряжение на пассивном участке цепи связаны соотношением U =ZI U Ue ju U j ( u −i ) Z = = ji = e I Ie I I = Y U Комплексное сопротивление Z = Ze = Z cos  + j Z sin  = R  jX  = u − i j R = Re Z  X = Im Z  Z = R  jX Комплексная проводимость 1 I j ( i −u ) Y= = e = Y cos(−) + jY sin(−) = Z U = Y cos  − jY sin  Y =G G = ReY  B = ImY  jB 23 Комплексное сопротивление Характер участка определяется соотношение комплексов напряжения и тока на этом участке R Z= Резистивный (активное сопротивление) jX L Индуктивный (чисто реактивный) − jX C Емкостной (чисто реактивный) R + jX L Активно-индуктивный R − jX C Активно-емкостной U U I U U =ZI Закон Ома в комплексной форме U U 24 Законы Кирхгофа в комплексной форме Составляют комплексную схему замещения цепи и математическое описание всех ее элементов в комплексной области. Законы Кирхгофа в комплексной форме: I j j =0 U j j =0 E = Z k k I n n n Решив эти уравнения относительно комплексов токов и напряжений цепи, при необходимости переходят к мгновенным значениям (соответствующим синусоидальным функциям токов и напряжений). Представление синусоидальных токов, напряжений и ЭДС комплексными числами позволяет изображать их на комплексной плоскости в виде векторов, отображая действия, производимые над этими числами в процессе расчета цепей, в виде построений соответствующих векторных диаграмм. Удобной иллюстрацией расчета является векторная диаграмма токов (ВДТ) и топографическая диаграмма напряжений (ТДН), отражающая соотношения между комплексами тока и напряжения на любом участке цепи и позволяющая находить графическим путем напряжение между любыми точками электрической цепи без дополнительного расчета. 25 Для мгновенных значений i1 (t ) = iL (t ) + iC (t ) 1 iC (t )dt + iC (t ) R2  C diL e(t ) = i1 (t ) R1 + L + iL (t ) R3 dt e(t ) = i1 (t ) R1 +  Для комплексов I1 = I L + IC E = I1R1 + (− jX C ) IC + IC R2 ( R2 − jX C ) IC ☺ E = I1R1 + ( jX L ) I L + I L R3 ( R3 + jX L ) I L 26 Автор доц. каф. ТОЭ НИУ «МЭИ» Жохова М.П. [email protected] 27