Синтез САУ. Методы синтеза корректирующих устройств

Тема 8 СИНТЕЗ САУ. МЕТОДЫ СИНТЕЗА КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ Лекция 16. Стандартные настройки и их применение Общая проблема синтеза представляет собой комплекс задач, которые решаются в процессе проектирования САУ. Синтез САУ заключается в выборе структуры и параметров системы с целью обеспечения заданных требований к показателям качества процесса управления. На первом этапе производится анализ системы исходных данных, намечаются пути обеспечения точности и быстродействия при отработке задающего воздействия в условиях влияния различных помех и возмущений, рассчитываются параметры объекта управления, производится выбор и расчет исполнительных элементов и измерительных преобразователей (датчиков положения, датчиков скорости и т.д.) системы. Система исходных данных формируется в техническом задании на проект и в общем случае включает: параметры объекта управления, в том числе, максимальные значения скорости y max и ускорения ymax управляемой величины; законы изменения задающего u з и возмущающего f воздействий; максимально допустимую установившуюся ошибку umax ; время регулирования t р ; перерегулирование ; диапазоны изменения рабочих температур, давлений, влажности; максимально допустимые перегрузки, вибрации и акустические шумы. При расчете параметров объекта управления необходимо учитывать физические процессы, происходящие в объекте и ограничения при которых можно получить его математическую модель. Математическая модель объекта управления может быть представлена в виде дифференциальных, интегро-дифференциальных или разностных уравнений. Выбор измерительных преобразователей рекомендуется осуществлять на основании серийно производимых элементов по каталогам и справочникам. На втором этапе устанавливается общая структурная схема САУ. В связи с общепринятым делением синтезируемая система разделяется на изменяемую и неизменяемую части. К неизменяемой части относятся исполнительные элементы, объект управления, усилители мощности и датчики информационно-измерительных каналов системы. К изменяемой части относятся элементы, которые вводятся для придания системе требуемого качества – это регуляторы. От того, как включен регулятор зависит общая конфигурация САУ. На третьем этапе производится синтез регулятора с применением различных инженерных методик. Синтезированный регулятор должен обеспечить требуемые показатели качества и, по возможности, оптимальность переходного процесса. К современным методикам относится синтез регуляторов с применением стандартных настроек: настройка на оптимум по модулю и настройка на симметричный оптимум [10]. Данная методика относится к методам последовательной коррекции, то есть исправления динамических свойств САУ с целью обеспечения требуемых показателей качества. При последовательной коррекции синтезированный регулятор включается последовательно с элементами усилительно-преобразовательного устройства. В процессе синтеза определяется структура регулятора, и рассчитываются его параметры. На четвертом этапе проводят моделирование синтезированной САУ с применением моделирующих программ и построение переходных процессов системы для различных типовых воздействий. По результатам моделирования рассчитываются показатели качества процесса управления. Если результаты моделирования соответствуют сформулированной в техническом задании системе исходных данных, то процесс синтеза САУ заканчивается. Настройка на оптимум по модулю. Настройкой контура на ОМ называется синтез регулятора с целью получения динамических характеристик замкнутого контура, близких к характеристикам колебательного звена с относительным коэффициентом затухания ξ = 0,707, перерегулированием σ = 4,3 %, запасом устойчивости по фазе θ з  63 , временем нарастания tн= 4,7ТΣ. При настройке контура на ОМ осуществляется компенсация больших постоянных времени САУ и динамические процессы будут определяться суммарными малыми постоянными времени m   j контура. j 1 Любой контур считается настроенным на ОМ, если его передаточная функция в разомкнутом состоянии имеет вид 1 , (2.65) W ( s)  2T s(T s  1) где T  m  j . j 1 Рассмотрим синтез регулятора применительно к неизменяемой части САР, которая описывается передаточной функцией K Wн ( s)  , (2.66) n m i 1 j 1  Ti s  1   j s  1 где Тi – компенсируемые большие постоянные времени контура. При выполнении условия Ti  m  j , j 1 второй сомножитель (2.66) можно записать как m  ( j s  1)  T s  1 , j 1 тогда передаточная функция неизменяемой части ЭП K Wн ( s)  . n (2.67) T s  1 Ti s  1 i 1 При последовательной коррекции передаточная функция регулятора W ( s) . (2.68) Wр ( s)  Wн ( s) После подстановки в (2.68) выражений (2.66) и (2.67), получим n T s  1 Ti s  1 Wр ( s)  i 1 , 2 KT s(T s  1) или n K р  ( рi s  1) Wр ( s)  где K p  Tp i 1 Tр s , ;  pi  Ti ; Тp – параметры регулятора. 2 KT В качестве примера настройки на ОМ рассмотрим настройку контура скорости (КС). ССДМ КС изображена на рис. 2.60. Рис. 2.60. Структурная схема динамической модели контура скорости Передаточная функция неизменяемой части КС запишется в виде произведения передаточных функций блока питания, двигателя и тахогенератора K бп K дв К тг Wн ( s)  . (Tбп s  1)(Tм s  1)(Tтг s  1) Электромеханическая постоянная времени двигателя Тм является постоянной времени, подлежащей компенсации. Постоянные времени блока питания Тбп и тахогенератора Ттг являются малыми постоянными времени, и их влияние сказывается на высоких частотах. Поэтому произведение инерционных звеньев с малыми постоянными времени можно заменить одним инерционным звеном 1 1 1 ,  Tбп s  1 Tтг s  1 T s  1 где Т∑ = Тбп+Ттг – суммарная малая постоянная времени КС. С учетом приближенного равенства передаточная функция неизменяемой части K бп K дв К тг Wн ( s)  . (Tм s  1)(T s  1) С применением формулы (2.68) определяем передаточную функцию регулятора скорости (РС) W ( s) , Wрс ( s)  Wн ( s) где передаточная функция настроенного на ОМ разомкнутого КС  ( s) 1 W ( s)  Wкс ( s)  дв  . U  ( s) 2Т  s(Т  s  1) Тогда (Tм s  1)(T s  1) Wрс ( s)  . K бп K дв К тг 2T s(T s  1) Переписывая передаточную функцию РС в стандартном виде, получим Wрс ( s)  где Трс = Тм, K рс  Т рс К бп К дв К тг 2Т   , K рс Т рсs  1 Т рсs . Полученная передаточная функция РС описывает динамические свойства пропорционально-интегрального регулятора (ПИ-регулятора). Передаточная функция замкнутого КС  ( s) 1/ K тг Ф кс ( s)  дв  U цр ( s) 2Т  s(Т  s  1)  1 или Ф кс ( s)  1/ К тг 2 2 Т кс s  2Т кс s  1 , 2 = 0,707. 2 На рис. 2.61, 2.62 показаны стандартные графики ЛЧХ и переходной характеристики при настройке на ОМ, полученные по передаточным функциям разомкнутого и замкнутого контура скорости соответственно. где Т кс 2T - постоянная времени КС;   Рис. 2.61. Стандартный график ЛЧХ при настройке на оптимум по модулю Рис. 2.62. Переходная характеристика Ω(t) при настройке на оптимум по модулю По графикам определяем показатели качества КС, настроенного на ОМ: запас устойчивости по фазе θ з  65,5 º, перерегулирование σ= 4,32 % и время нарастания переходного процесса tн ≈4,7Т∑ = 0,47 с. Настройка на ОМ позволяет получить достаточное быстродействие при небольшом перерегулировании. В ряде случаев, когда требуется получить повышенное быстродействие и точность системы, применяют настройку на симметричный оптимум. Настройка на симметричный оптимум. Настройкой контура на СО называется синтез регулятора с целью получения динамических характеристик контура, близких к типовым характеристикам контура с астатизмом второго порядка (ν=2), перерегулированием σ=43 %, запасом устойчивости по фазе  з  37  и временем нарастания переходного процесса tн ≈3,1Т∑ . В основе процедуры настройки на СО лежит допущение о том, что в рабочем диапазоне частот выражение (2.67), с учетом Тi  1 , T можно представить в виде Wн ( s)  K n . (T s  1)  Ti s i 1 Применительно к ССДМ КС (рис. 2.60) передаточная функция неизменяемой части K K К Wн ( s)  бп дв тг . Tм s(T s  1) Для получения желаемых результатов нужно выбрать ПИ-регулятор с параметрами Тм К рс  и Трс = 4Т∑. К бп К дв К тг 2Т  Тогда передаточная функция КС, настроенного на СО (4Ts  1) . (2.69) Wкс ( s)  2 2 8T s (T s  1) Из выражения (4.69) видно, что свойства КС соответствуют свойствам контура с астатизмом 2-го порядка. Динамические свойства КС иллюстрируются графиками (рис. 2.63, 2.64). Показатели качества КС, настроенного на СО, имеют следующие значения: θ з  37 , перерегулирование σ = 43 % и время нарастания переходного процесса tн≈3,1Т∑ = 0,31 с. Рис. 2.63. Переходная характеристика Ω(t) при настройке на симметричный оптимум Рис. 2.64. Стандартный график ЛЧХ при настройке на симметричный оптимум Пример 2.21. Синтезировать регулятор частоты, обеспечивающий настройку ССЧСГ на ОМ. Данные для расчёта принять из примера 2.15. Провести моделирование системы: получить графики переходных функций по задающему воздействию f0, по моменту сопротивления нагрузки Мн, а также по линейно возрастающему изменению напряжения на якоре Uя = 2t В; оценить установившиеся ошибки системы; построить графики ЛЧХ разомкнутой ССЧСГ; провести анализ результатов моделирования. Решение. Приравниваем передаточную функцию разомкнутой ССЧСГ с учётом включенного последовательно с усилителем регулятора частоты к передаточной функции контура, настроенного на ОМ K иу Кu K дв K сг 1 , Wрч ( s)  Т у.с.п.s  1 Т м s  1Т в s  1 2Т  s(Т  s  1)   где суммарная малая постоянная времени Т   Т у.с.п.  Т в . Тогда передаточная функция регулятора частоты Tм s  1 . Wрч ( s)  2 K иу Кu K дв K сг T s Полученное выражение соответствует передаточной функции ПИ-регулятора. Подставив в формулу численные значения, получим 0,4s  1 0,4s  1 Wрч ( s)   . 2  5  4,22  1,706  0,48  (0,0125  0,02) s 1,123s Построим ССДМ ССЧСГ (см. рис. 2.48) с регулятором частоты. ССДМ ССЧСГ в системе Simulink представлена на рис. 2.65. Рис. 2.65. Структурная схема динамической модели ССЧСГ в системе Simulink Для моделирования в блоке Step задаём входное воздействие f 0  500 Гц, а в блоках Step 1 и Step 2 значения момента нагрузки Мн и изменения напряжения на якоре Uя равными нулю. На рис. 2.66 изображена соответствующая переходная характеристика. f(t), Гц t, c Рис. 2.66. Переходная характеристика контура скорости по задающему воздействию f 0 Для построения переходной характеристики по моменту нагрузки Мн устанавливаем в блоках Step и Step 2 нулевые значения, а в блоке Step 1 – момент сопротивления М н0  0,2 Н  м . Полученная переходная характеристика представлена на рис. 2.67. f(t), Гц t, c Рис. 2.67. Переходная характеристика контура скорости по моменту нагрузки Мн Для построения переходной характеристики по изменению напряжения на якоре Uя устанавливаем в блоках Step и Step 1 нулевые значения. Линейно возрастающее воздействие моделируется при помощи блока Ramp, находящегося в библиотеке блоков Sources, в диалоговом окне которого устанавливаем значение U я  2 В/с. Переходная характеристика представлена на рис. 2.68. f(t), Гц t, c Рис. 2.68. Переходная характеристика контура скорости по изменению напряжения на якоре Uя Переходим к анализу полученных графиков. По графику на рис. 2.66 определяем максимальное значение частоты синхронного генератора fmax = 523 Гц и установившееся значение частоты fуст = 500 Гц. По этим данным рассчитываем перерегулирование  f max  f уст 523  500  100 %   100 %  4,6 % . f уст 500 Время нарастания tн определяется в первой точке пересечения графика переходной функции и установившегося значения fуст и составляет tнкс  0,14 с. Проверяем соответствие полученного значения требованиям настройки на ОМ tнкс  4,7Т   4,7  0,0325  0,15 с. Из анализа графика на рис. 2.67 следует, что при воздействии неизменного по величине момента нагрузки Мн моментная составляющая ошибки f стМ примерно через 2 с становится равной нулю. Увеличение точности обусловлено наличием в структуре регулятора частоты интегральной составляющей. При воздействии на систему линейно возрастающего напряжения на якоре U яt появляется ошибка регулирования. Из графика на рис. 2.68 следует, что f стu  14,16 Гц. Рассчитаем установившуюся ошибку по формуле U я u f стu  lim s  f ( s) 2 . s 0 s С учётом регулятора частоты передаточная функция замкнутой ССЧСГ по ошибке F (s) относительно возмущающего воздействия U я (s) примет вид u  f ( s )     2 2T K я K сг K иу К u K дв Т у.с.п.s  1 Т в s  1s  2T K иу К u K дв K сг Т у.с.п.s  1 Т м s  1Т в s  1s     1 .  K иу К u K дв K сг Т м s  1 Вычислив соответствующий предел, получим f стu  2T K я Kсг U я  2  0,0325  227  0,48  2  14,16 Гц. Для построения ЛЧХ необходимо написать программу в Command Window системы MatLab. Передаточная функция разомкнутой ССЧСГ с учётом компенсации 1 . W ( s)  2T Т у.с.п.s  1 Т в s  1s   Раскрывая скобки в полученном выражении, запишем программу num = [1]; den = [1.625e-005 2.1125e-003 0.065 0]; sys = tf(num, den); bode(sys) Графики ЛЧХ представлены на рис. 2.69. Рис. 2.69. ЛЧХ ССЧСГ, настроенной на ОМ Запасы устойчивости по фазе и амплитуде составляют Lз = 18,5 дБ (Gain Margin) и  з  63,5 (Phase Margin) соответственно. Результаты моделирования подтверждают правильность расчёта параметров регулятора частоты и позволяют сделать вывод о том, что ССЧСГ настроена на ОМ. Вместе с тем, при отработке линейно возрастающего воздействия по цепи якоря величина погрешности является значительной и равна –14,16 Гц. Для её устранения представляется целесообразным применить настройку на симметричный оптимум, что позволит повысить порядок астатизма системы. Пример 2.22. Синтезировать регулятор для настройки ССЧСГ, схема которой представлена на рис. 2.48, на симметричный оптимум. Провести моделирование системы: получить графики переходных функций по задающему воздействию f0, по моменту сопротивления нагрузки Мн, а также по линейно возрастающему изменению напряжения на якоре U яt ; оценить установившиеся ошибки системы; построить графики ЛЧХ разомкнутой ССЧСГ; провести анализ результатов моделирования. Решение. Передаточную функцию регулятора частоты определим из соотношения K иу Кu K дв K сг (4Ts  1) , Wрч ( s)  Т у.с.п.s  1 Т м s  1Т в s  1 8T2 s 2 (T s  1)   тогда передаточная функция регулятора запишется как Wрч ( s)  Т м s  1(4Ts  1) 8T2 K иу Кu K дв K сг s 2 . Из полученного выражения следует, что структура регулятора частоты представляет собой последовательное соединение двух ПИ-регуляторов. Подставляя численные значения, получим Wрч ( s)  0,4s  1(4  0,0325s  1) 8  0,03252  5  4,22  1,706  0,48s 2  0,052s 2  0,53s  1 0,146s 2 . ССДМ ССЧСГ с рассчитанным регулятором частоты представлена на рис. 2.70. Рис. 2.70. Структурная схема динамической модели ССЧСГ, настроенной на симметричный оптимум В результате моделирования получены: график переходной функции при отработке задающего воздействия f 0  500 Гц (рис. 2.71), график ошибки при отработке линейно возрастающего возмущающего воздействия Uя = 2 В/с (рис. 2.72) и графики ЛЧХ (рис. 2.73). Как видно из анализа графика на рис. 2.71, появление в структуре ССЧСГ второго интегрирующего звена увеличило перерегулирование f max  f уст 523  500   100 %   100 %  46 % f уст 500 и уменьшило время нарастания до величины tнкс  0,1 с, соответствующей расчётному значению tнкс  3,1Т   3,1  0,0325  0,1 с. f(t), Гц t, c Рис. 2.71. Переходная характеристика контура скорости по задающему воздействию f 0 f(t), Гц t, c Рис. 2.72. Переходная характеристика контура скорости при отработке линейно возрастающего напряжения на якоре U яt Рис. 2.73. ЛЧХ ССЧСГ, настроенной на симметричный оптимум Из графика, представленного на рис. 2.72, видно, что за время 2,5 с составляющая ошибки при отработке линейно возрастающего напряжения на якоре Uя становится равной нулю. Это свидетельствует о том, что система, настроенная на СО, стала точнее. Запасы устойчивости по фазе и амплитуде составляют Lз = 16 дБ (Gain Margin) и  з  35,3 (Phase Margin), что подтверждает правильность расчёта параметров регулятора скорости. Контрольные вопросы и задачи 1. С какой целью производится синтез регуляторов? 2. Перечислить стандартные настройки и показатели качества, соответствующие этим настройкам. 3. Записать передаточную функцию разомкнутой системы, настроенной на оптимум по модулю и пояснить её структуру. 4. Записать передаточную функцию разомкнутой системы, настроенной на симметричный оптимум и пояснить её структуру. 5. Синтезировать регулятор, обеспечивающий настройку системы на: а) оптимум по модулю, б) симметричный оптимум. Передаточная функция неизменяемой части 15 Wн ( s)  . (0,01s  1)(0,5s  1)(0,015s  1) Результаты синтеза подтвердить моделированием с применением MatLab Simulink.