Символьные вычисления

Системы компьютерной алгебры снабжаются специальным процессором для выполнения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю совокупность формул и формульных преобразований, с помощью которых производятся аналитические вычисления. Символьные вычисления в Mathcad можно осуществлять в двух различных вариантах: 1. C помощью команд меню Symbolics  Способ удобен, когда требуется быстро получить какой‐либо аналитический результат для однократного использования, не сохраняя сам ход вычислений.  Аналитические преобразования, проводимые через меню, касаются только одного, выделенного в данный момент, выражения. Символьные вычисления в Mathcad можно осуществлять в двух различных вариантах: 2) с помощью оператора символьного вывода , ключевых слов символьного процессора и обычных формул (вычисление в реальном времени).  Используется панель символьных ключевых слов ‐ Symbolic.  Способ более нагляден, т. к. позволяет записывать выражения в традиционной математической форме и сохранять символьные вычисления в документах Mathcad. Типовые операции символьной математики выполняются: Команды меню С выделенным выражением Для выполнения символьных операций необходимо указать процессору над каким С выделенной переменной выражением эти операции Требуется указать должны производиться, т. е. переменную, по отношению надо выделить выражение. к выполняется С выделенными матрицами которой Представлены позицией операция. Для этого подменю Matrix достаточно установить на переменной курсор ввода. Интегральных преобразований Палитра символьных операций  С плавающей точкой (float) преобразование в формат чисел с плавающей точкой).  «Плавающая точка» – точка в позиционном представлении числа может быть помещена где угодно относительно цифр в строке. Complex (rectangular)  Вычисления с представлением результата в комплексном виде  Многие вычисления имеют смысл, только если задан режим комплексных вычислений. Например, вычисление квадратного корня из выражения, дающего отрицательное значение. Simplify (упростить)  Позволяет упрощать математические выражения, содержащие алгебраические и тригонометрические функции, а также выражения со степенными многочленами (полиномами)  Упрощение означает замену сложных фрагментов выражения простыми. Expand (расширить)  Система старается более простые функции представить через более сложные; свести алгебраические выражения, представленные в сжатом виде, к выражениям в развернутом виде. Factor (разложить)  Разложение выражений или чисел на простые множители.  Разложить на множители можно только не очень сложные алгебраические выражения Привести дробь к общему знаменателю Collect (приведение подобных слагаемых)  Обеспечивает замену указанного выражения выражением, скомплектованным по базису указанной переменной, если такое представление возможно.  Имена переменных указываются через запятую в маркере оператора в той последовательности, в которой они должны быть вынесены за скобку. Coeffs (коэффициенты полинома)  Если выражение является полиномом относительно некоторой переменной х, заданным как произведение простых полиномов, то коэффициенты легко определяются.  Данная операция полезна при решении задач полиномиальной аппроксимации и регрессии. Вычисление коэффициентов полинома для выражения Solve (решить)  Решить уравнение или неравенство относительно выделенной переменной, т.е. найти значение выделенной переменной, при которых содержащее ее выражение обращается в ноль. Решение квадратного уравнения в общем виде Substitute (замена)  Возвращает новое выражение, полученное путем подстановки вместо указанной переменной некоторого другого выражения.  Оператор позволяет замещать переменные, функции и даже целые выражения. Подстановка выражения на место переменной Подстановка числа на место переменной Series (Разложить в ряд)  Разложение функции в ряд Тейлора (степенной ряд).  Данный оператор может содержать три маркера. В первый вводится функция или ее имя. Во второй – переменная, по которой должно быть проведено разложение. В третий – количество членов ряда (что соответствует порядку точности).  По умолчанию разложение имеет вид полинома шестого порядка. Вычисление ряда Тейлора для функции sin(x)/x , с заданным по запросу числом членов ряда=5 Parfrac (разложение на простые дроби)  Разложение сложного дробного выражения на более простые линейные дроби.  Одна из основных операций, использующихся при упрощении выражений. Совместное использование нескольких символьных операторов Выполнить разложение в ряд и затем найти его сумму при некотором значении переменной с какой‐то определенной точностью Решение уравнения Директивы символьного оператора для матричных операций  МТ → ‐ транспонирование матрицы;  М‐1 → ‐ инвертирование матрицы;  |M| → ‐ вычисление детерминанта (определителя) матрицы. Задание стиля символьных операций (стиль эволюции)  Меню Symbolics – команда Evaluation Style служит для настройки стиля вывода выражений:  для вывода результата символьной операции под основным выражением (со вставкой между исходным выражением и результатом пустой строки и без нее) или рядом с ним.  опции Show Comments для вставки комментариев, вывод результирующего выражения вместо исходного Evaluate in Place. Задание операторов пользователя  ( A  B)  A B  ( 6  2)  3 задание нового оператора деления применение функции деления 6  2  3 применение нового оператора деления  Встроенные в систему операторы нельзя переопределить  Ввод символа нового оператора  Help  Quick Sheets  Extra Math Symbols (дополнительные математические символы)  Таблица символов Windows (стандартные  служебные ) Панель Evaluation (операторы пользователя)  xfy – использование унарного оператора пользователя  xfy – использование бинарного оператора пользователя в виде дерева Задание оператора шаблон xfy шаблон xfy Символьные операции с выделенными матрицами  Transpose (транспонировать) – получить транспонированную матрицу (перестановка строк и столбцов);  Invert (Обратить) – получить обратную матрицу;  Determinant (Определитель) – вычислить детерминант (определитель) матрицы Интегральные преобразования  Во многих прикладных задачах спектрального анализа и синтеза, в анализе сигналов важное значение имеют интегральное преобразование Фурье, Лапласа , а также Z‐преобразования  Фурье – позволяет получать в аналитическом виде функцию частоты от временной функции  Лапласа – позволяют решать линейные дифференциальные уравнения