Сигналы и сообщения электросвязи. Сигналы как элементы функциональных пространств

Сигналы и сообщения электросвязи Сигналы как элементы функциональных пространств 2 курс осенний семестр 2020/2021 учебный год ЛЕКЦИЯ 13 Сигналы и сообщения электросвязи https://siblec.ru/radiotekhnika-i-elektronika/teoriya-elektricheskikh-tsepej/7-operatornyj-metod-analiza-perekhodnykh-protsessov-v-linejnykh-tsepyakh/71 2-teorema-razlozheniya Разложение сигналов в обобщенный ряд Фурье Введем в пространстве L2(T) ортонормированный базис {ψi(t)}. .   ( Ψi , Ψ j )  1 при i  j i (t ) j (t )dt    0 при i  j T / 2 T /2 Тогда любую функцию х(t) из бесконечномерные пространства L2(T) можно представить через проекции Ci вектора на оси базиса – функции {ψi(t)}  обобщённым рядом Фурье x (t )   Ci i (t ) i 1 Проекции Cj называются коэффициентами разложения х(t) в обобщённый T /2 ряд Фурье   C j  (x, Ψ j )   x(t )j(t )dt T / 2 Совокупность коэффициентов Cj (проекций векторов сигнала на оси координат) {с0, с1,..., ск,...,} полностью определяет исходный сигнал х(t) и называется его спектром (от лат. spectrum — образ). Сигналы и сообщения электросвязи 2 Обобщенный ряд Фурье Выбор рациональной ортогональной системы координатного базиса функций зависит от цели исследований и определяется стремлением упрощения математического аппарата анализа, преобразований и обработки данных. В качестве базисных функций в настоящее время используются полиномы Чебышева, Эрмита, Лагерра, Лежандра, Уолша и др. Наибольшее распространение получило преобразование сигналов в базисах гармонических функций: комплексных экспоненциальных exp(j2лft) и вещественных тригонометрических синусно-косинусных функций, связанных формулой Эйлера e j  cos   j sin  1, exp(jωt), exp(j2ωt), exp(j3ωt), exp(j4ωt) … exp(jnωt) 1, cos(ωt), sin(ωt), cos(2ωt), sin(2ωt), cos(3ωt), sin(3ωt)… cos(nωt), sin(nωt) Это объясняется тем, что гармоническое колебание теоретически полностью сохраняет свою форму при прохождении через линейные цепи с постоянными параметрами, а изменяются при этом лишь его амплитуда и начальная фаза. Операцию представления детерминированных сигналов в виде совокупности постоянной составляющей и суммы гармонических колебаний с кратными частотами принято называть спектральным разложением. Распространенное использование обобщенного ряда Фурье связано с его важным свойством: при выбранной ортонормированной системе функций {ψi(t)} и фиксированном числе слагаемых ряда он обеспечивает наилучшее 3 представление заданного сигнала. Сигналы и сообщения электросвязи Обобщенный ряд Фурье в базисе гармонических функций Сигналы и сообщения электросвязи 4 Многочлены Лагерра e j  cos   j sin  Сигналы и сообщения электросвязи 5 Многочлены Чебышева Сигналы и сообщения электросвязи 6 Многочлены Эрмита Сигналы и сообщения электросвязи 7 Многочлены Лежандра Сигналы и сообщения электросвязи 8 Функции Уолша Сигналы и сообщения электросвязи 9 Пример Задача. Найти норму wal(1,t) и wal(3,t), вычислить скалярные произведения функций Уолша (wal(0,t), wal(2,t)), (wal(1,t), wal(2,t)) и (wal(2,t), wal(3,t)). Дано: wal(n,t) || wal (1, t ) ||2  ? || wal (3, t ) ||2  ? ( wal (0, t ), wal (2, t ))  ? ( wal (1, t ), wal (2, t ))  ? ( wal (2, t ), wal (3, t ))  ? Сигналы и сообщения электросвязи 10 Пример 1. Выполним поинтервальное описание первых четырёх функций Уолша: wal (0, t )  1, 0  t  1  1, 0  t  0,5 wal (1, t )    1, 0,5  t  1   1, 0  t  0,25  wal (2, t )   1, 0,25  0,75  1, 0,75  t  1   1,   1, wal (3, t )   1,    1 0  t  0,25 0,25  t  0,5 0,5  t  0,75 0,75  t  1 Сигналы и сообщения электросвязи 11 Пример 2. Найдём норму функции Уолша || wal (1, t ) ||:2  ?  1, 0  t  0,5 wal (1, t )    1, 0,5  t  1  T T 2   2 x  (x, x)   x (t ) x * (t )dt   x (t ) dt T wal (1, t )   wal (1, t ) dt 2 2 0,5 1 wal (1, t )   1 dt   | 1 |2 dt 2 2 wal (1, t )  t 2 0,5 0,5 t 1 0,5  (0,5  0)  (1  0,5)  1 wal (1, t )  1 2 || wal (1, t ||2  1 Сигналы и сообщения электросвязи 12 Пример 3. Найдём норму функции Уолша  1,   1, wal (3, t )   1,    1 || wal (3, t ) ||2 :? 0  t  0,25 0,25  t  0,5 0,5  t  0,75 0,75  t  1 T wal (3, t )   wal (3, t ) dt 2 2 0 , 25 wal (3, t )  2  1 dt  2 wal (3, t )  t 2 0 , 25 t 0,5 2 |  1 |  dt  0 , 25 t 0 , 25 0,5 0 , 75 0,5 0 , 75  1 | 1 |2 dt  0,5 t 2 |  1 | dt  0 , 75 1 0 , 75 wal (3, t )  (0,25  0)  (0,5  0,25)  (0,75  0,5)  (1  0,75)  1 2 wal (3, t )  1 2 || wal (3, t ||2  1 Сигналы и сообщения электросвязи 13 T   (x, y )   x (t ) y * (t )dt Пример 4. Вычислим скалярное произведение функций Уолша [wal(0,t), wal(2,t)]: wal (0, t )  1, 0  t  1  1, 0  t  0,25  wal (2, t )   1, 0,25  0,75  1, 0,75  t  1  T ( wal (0, t ), wal (2, t ))   wal (0, t )  wal (2, t )dt ( wal (0, t ), wal (2, t ))  0 , 25 0 , 75 1 0 , 25 0 , 75  11dt   1 (1)dt   11dt ( wal (0, t ), wal (2, t ))  t 0 , 25 t t 0 , 25 0 , 75 1 0 , 75 ( wal (0, t ), wal (2, t ))  (0,25  0)  (0,75  0,25)  (1  0,75)  0 ( wal (0, t ), wal (2, t ))  0 Сигналы и сообщения электросвязи 14 Пример 5. Вычислим скалярное произведение функций Уолша [wal(1,t), wal(2,t)]:  1, 0  t  0,5 wal (1, t )    1, 0,5  t  1  T   (x, y )   x (t ) y * (t )dt  1, 0  t  0,25  wal (2, t )   1, 0,25  0,75  1, 0,75  t  1  T ( wal (1, t ), wal (2, t ))   wal (1, t )  wal (2, t )dt ( wal (1, t ), wal (2, t ))  0 , 25 0,5 0 , 75 1 0 , 25 0,5 0 , 75  11dt   1 (1)dt   (1)  (1)dt   (1) 1dt ( wal (1, t ), wal (2, t ))  t 0 , 25 t 0,5 0 , 25 t 0 , 75 0,5 t 1 0 , 75 ( wal (1, t ), wal (2, t ))  (0,25  0)  (0,5  0,25)  (0,75  0,5)  (1  0,75)  0 ( wal (1, t ), wal (2, t ))  0 Сигналы и сообщения электросвязи 15 Пример 5. Вычислим скалярное произведение функций Уолша [wal(2,t), wal(3,t)]:  1, 0  t  0,25  wal (2, t )   1, 0,25  0,75  1, 0,75  t  1   1,   1, wal (3, t )   1,    1 T   (x, y )   x (t ) y * (t )dt T ( wal (2, t ), wal (3, t ))   wal (2, t )  wal (3, t )dt 0  t  0,25 0,25  t  0,5 0,5  t  0,75 0,75  t  1 ( wal (2, t ), wal (3, t ))  0 , 25 0,5 0 , 75 1 0 , 25 0,5 0 , 75  11dt   (1)  (1)dt   (1) 1dt   1 (1)dt ( wal (2, t ), wal (3, t ))  t 0 , 25 t t 0 , 25 0,5 0 , 75 0,5 t 1 0 , 75 ( wal (2, t ), wal (3, t ))  (0,25  0)  (0,5  0,25)  (0,75  0,5)  (1  0,75)  0 ( wal (2, t ), wal (3, t ))  0 Сигналы и сообщения электросвязи 16 Разложение в ряд функций Уолша   1 при i  j (Ψ i , Ψ j )   i (t ) j (t )dt   0 при i  j T / 2 T /2 1 при i  j ( wal (i, t ), wal ( j , t )   wal (i, t )  wal ( j , t )dt   0 при i  j T / 2 T /2 Функцию х(t) можно представить через проекции коэффициенты Ci   x(t )   Ci wal (i, t ) x (t )   Ci i (t ) T /2 i 1  x(t )  wal ( j, t )dt Cj  C j   x(t )  wal ( j , t )dt T / 2 T i 1 T T T C0   x(t )  wal (0, t )dt   x(t ) 1 dt   x(t )dt T C1   x(t )  wal (1, t )dt  T C2   x(t )  wal (2, t )dt  T T /4   T x(t ) 1 dt   x(t )dt   T x(t )dt  Т  x(t )dt T /2  x(t )dt 3T / 4 Т /2 T /4 x(t )  (1)dt  x(t )dt  T /4   T /2 T /2 3Т / 4 x(t )dt  C3   x(t )  wal (3, t )dt  T /2  3Т / 4 x(t )dt  Сигналы и сообщения T / 4электросвязи  T /2 Т x(t )dt   x(t )dt 3Т / 4 17