Ряды динамики

1 Лекция 7. Ряды динамики 1. Ряды динамики: понятие и классификация 2. Показатели рядов динамики и методы их исчисления 3. Основные приемы анализа рядов динамики 1. Ряды динамики: понятие и классификация Статистика изучает общественные явления и процессы в двух разрезах: статическом и динамическом. Ряды распределения, полученные в результате сводки и группировки данных, относятся к одному периоду или моменту времени и изучаются в статике. Для того, чтобы изучать изменение явлений во времени необходимо иметь статистические данные за ряд промежутков времени или на ряд моментов времени. Динамический ряд (хронологический или временной ряд) представляет собой последовательность сопоставимых значений статистических величин, расположенных в хронологической последовательности. Из этого определения следует, что ряд динамики имеет две составляющих: время, к которому относятся статистические показатели, и сами показатели. Элементами динамического ряда являются: уровни ряда – статистические показатели, характеризующие изучаемый объект и время – моменты или периоды времени, к которым относятся уровни ряда. По времени построения различают моментные и интервальные ряды динамики. Моментный динамический ряд – ряд, в котором временная составляющая характеризует дату, на которую зафиксировано значение показателя (Таблица 1). Таблица 1 – Кредиторская задолженность на начало месяца В тыс. руб. 01.01. 25 561 01.02. 23 862 01.03. 28 354 01.04. 22 452 Интервальный динамический ряд – ряд, в котором значения показателя приводятся за определенный промежуток времени (Таблица 2). Таблица 2 – Поквартальный объем реализованной продукции, тыс. руб. I квартал 43 560 II квартал 42 756 III квартал 44 320 IV квартал 45 230 Всего за год 175 866 2 Отличительной особенностью интервальных рядов является то, что их уровни можно суммировать. Это позволяет получить представление об изменении изучаемого явления за более длительный промежуток времени. Сумма же уровней моментных рядов никакого содержательного значения не имеет. По способу выражения данных различают: Ряды динамики абсолютных величин – это ряды, уровни которых выражены абсолютными величинами. Они являются первичными и позволяют судить об изменении абсолютных показателей. Ряды динамики относительных величин – это ряды, уровни которых выражены в долях или процентах. Ряды динамики средних величин – это ряды, уровни которых выражены средними величинами. Например, ряд динамики среднемесячной заработной платы или среднедушевых денежных доходов населения. В зависимости от расстояния между уровнями ряда различают ряды с равноотстоящими и неравноотстоящими по времени уровнями. В рядах с равноотстоящими уровнями статистические показатели фиксируются через равные, следующие друг за другом отрезки времени. Ряды динамики, построенные за неравные или прерывающиеся промежутки времени являются рядами с неравноотстоящими уровнями. В зависимости от наличия основной тенденции изучаемого процесса – стационарные и не стационарные. Стационарные ряды – ряды, у которых значения признака и дисперсия постоянны и не зависят от времени. Значения признака в стационарном ряду динамики колеблются вокруг фиксированного уровня, не имея четко выраженной тенденции к возрастанию или убыванию. На практике стационарные ряды встречаются очень редко. Ряды динамики, уровни которых характеризуются устойчивой тенденцией к возрастанию или убыванию являются нестационарными. По числу показателей различают изолированный и комплексный ряды динамики. Изолированным называется ряд, характеризующий изменение одного статистического показателя во времени. Ряд, содержащий несколько показателей, связанных между собой единством процесса, называется комплексным. Наглядное представление о развитии явления во времени позволяет получить графическое изображение рядов динамики. Для аналитических целей чаще всего строят линейные и столбиковые диаграммы. При построении рядов динамики необходимо соблюдать ряд требований: 1. Статистические данные должны быть сопоставимы. Для этого необходимо, чтобы состав изучаемой совокупности относился к одной и той же терри- 3 тории, к одному и тому же кругу объектов, исчислялся по одной и той же методологии, чтобы уровни ряда измерялись в одних и тех же единицах измерения, а промежутки времени ними были по возможности одинаковы. 2. Величины временных интервалов должны соответствовать интенсивности изучаемых явлений или процессов. Чем быстрее меняются уровни ряда, тем чаще необходимо проводить их регистрацию. Например, индекс цен меняется ежемесячно, а численность населения можно определять раз в несколько лет. 3. Уровни ряда необходимо упорядочить во времени. В динамических рядах не должно быть пропущенных данных. 2. Показатели рядов динамики и методы их исчисления Показатели интенсивности рядов динамики Анализ динамического ряда в аспекте интенсивности изменений в его уровнях предполагает сравнение уровней ряда: 1) с уровнем ряда, принятым за базу сравнения. Такое сравнение называется сравнением с постоянной базой. Базисные показатели (показатели динамики с постоянной базой) характеризуют конечный результат всех изменений уровней за весь изучаемый период; 2) уровнем ряда предшествующего периода. Такое сравнение называется сравнением с переменной базой. Цепные показатели (показатели динамики с переменной базой) – характеризуют интенсивность изменения уровня от одного временного интервала к другому в пределах изучаемого периода. В таблице 3 дана характеристика цепных и базисных показателей интенсивности рядов динамики, а также приведены формулы их расчета. Между цепными и базисными показателями абсолютного прироста и коэффициентов роста существует следующая взаимосвязь: 1. Сумма цепных показателей абсолютного прироста строго равна базисному показателю абсолютного прироста за весь изучаемый период: n Yi  Y0  Y   (Yi  Yi 1 ) . (1) i 1 2. Произведение цепных показателей коэффициента роста строго равно базисному показателю коэффициента роста за весь изучаемый период: n Yi Y  КрY   i . Y0 i 1 Yi 1 (2) 4 Таблица 3 – Цепные и базисные показатели интенсивности Показатель Абсолютный прирост Коэффициент роста или темп роста, если значение выражено в процентах Характеристика показателя и формулы расчета с постоянной базой (базисные) с переменной базой (цепные) Y  Yt  Y0 , показывает, на сколько единиц данный уровень ряда больше или меньше базисного Y Y КрY  t или ТрY  t 100% , Y0 Y0 показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше или меньше базисного Y  Yt  Yt 1 , показывает, на сколько единиц данный уровень ряда больше или меньше предыдущего Y Y КрY  t или ТрY  t 100% , Yt 1 Yt 1 показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше или меньше предыдущего Коэффициент Yt Y или КпрY  t  1 или прироста или КпрY  Y  1 Yt 1 темп прироста Y Y (%) ТпрY  ( t  1)100% , ТпрY  ( t  1)100% , Yt 1 Y0 показывает, на сколько % данный показывает, на сколько % данный уровень ряда больше или меньше уровень ряда больше или меньше базисного предыдущего Абсолютное знаYt 1 Y0 АЗ  , АЗ  , 1 % пр 1 % пр чение 1% приро100 100 ста показывает абсолютное значение показывает абсолютное значение 1% 1% прироста за весь изучаемый прироста по отношению к предыдущему периоду период где Y0, Yt и Yt-1 – уровень базисного, сравниваемого и предшествующего периода. Средние характеристики рядов динамики Средние показатели динамики можно классифицировать следующим образом:  средние показатели уровня ряда;  средние показатели изменения уровня ряда. При расчете среднего показателя уровня ряда необходимо учитывать тип ряда. Для моментного ряда средний уровень вычисляется по формуле средней хронологической: Y ( Y Y1  Y2  Y3  ...  Yn1  n ) /( n  1) . 2 2 (3) Пример: Рассчитаем средний размер кредиторской задолженности предприятия за первый квартал (Таблица 4). Таблица 4 – Кредиторская задолженность на начало месяца В тыс. руб. 01.01.2013 25 561 01.02.2013 23 862 01.03.2013 28 354 01.04.2013 22 452 5 Y ( 25561 22452  23862  28356  ) /( 4  1)  25408,2 2 2 Для нахождения среднего уровня интервального ряда с равными промежутками времени используется формула средней арифметической: n Y  Y i i 1 . n (4) Расчет среднего уровня интервального ряда с неравными промежутками времени выполняется по формуле средней арифметической взвешенной, где в качестве весов используется продолжительность промежутков времени между датами, в которые происходят изменения в уровнях динамического ряда: n Y  Y t i i i 1 n t i 1 , (5) i где ti – количество дней (месяцев) между смежными датами. Пример: На 01.01.2019 численность работников предприятия составляла 156 человек. В апреле уволились 3 человека, в июне были приняты 2 человека, а в сентябре еще 4 человека. Рассчитать среднегодовую численность работников предприятия. Расчет проведем в таблице 5. Таблица 5 – Расчет среднегодовой численности работников предприятия В чел. Дата 01.01.19 01.05.19 01.07.19 01.10.09 Итого Численность работников, Yi 156 153 155 159 Число месяцев, в которых численность работников не менялась, ti 3 2 3 4 12 Yi · ti 468 306 465 636 1875 Среднегодовая численность работников предприятия составила 156 человек (1875/12). К средним показателям изменения уровня ряда относятся: Средний абсолютный прирост рассчитывается по формуле: Y  Yn  Y1 n 1 . (6) Средний коэффициент роста, рассчитываемый как средняя геометрическая из цепных показателей коэффициента роста для каждого промежутка времени или 6 как корень n-1 степени из базисного показателя коэффициента роста (где n – количество уровней ряда, Y1 , Yn – значение первого и последнего n-го уровня ряда): К р  n Кр1  Кр 2  ...  Кр n  n 1 Yn Y1 . (7) Пример: По данным, приведенным в таблице 6, рассчитать: 1. Абсолютный прирост реализованной продукции за 6 лет 2. Коэффициенты роста и темпы прироста реализованной продукции (цепные и базисные) 3. Среднегодовой абсолютный прирост реализованной продукции 4. Средний коэффициент роста Таблица 6 – Расчет цепных и базисных показателей интенсивности Год 2014 2015 2016 2017 2018 2019 Объем Абсолютный приреализо- рост по сравнению с ванной 2014 Предыпродук- (базис- дущим ции, ный) годом тыс. руб. (цепной) 28 965 31 485 2 520 2 520 37 258 8 293 5 773 33 548 4 583 -3 710 35 836 6 871 2 288 39 714 10 749 3 878 Σ 10 749 Коэффициент роста по сравнению с 2014 Преды(базисдущим ный) годом (цепной) 1,087 1,286 1,158 1,237 1,371 П 1,087 1,183 0,900 1,068 1,109 1,371 Темп прироста (%) по сравнению с 2014 Преды(базисдущим ный) годом (цепной) 8,7 28,6 15,8 23,7 38,1 8,7 18,3 -10 6,8 10,9 Абсолютное значение 1% прироста тыс. руб. 289,65 314,85 372,58 335,48 358,36 397,14 Среднегодовой абсолютный прирост реализованной продукции составит 10749/5=2149,8 тыс. руб. Средний коэффициент роста составит: К р  5 1,087 1,183  0,9 1,068 1,109  5 1,371  1,065. Полученное значение говорит о том, что с 2014 по 2019 гг. объем реализации продукции на предприятии увеличивался ежегодно в среднем в 1, 065 раза или на (1,065 – 1)·100% = 6, 5%. 3. Основные приемы анализа рядов динамики Одна из основных задач, решаемых при изучении рядов динамики, – установление закономерности изменения уровней ряда во времени, именуемой трендом. Закономерность в изменении уровней ряда в одних случаях проявляется наглядно, например, на протяжении всего анализируемого периода в пове- 7 дении изучаемого признака наблюдается устойчивая тенденция роста или снижения его значений. На практике довольно часто встречаются ряды динамики, уровни которых претерпевают самые разные изменения (то убывают, то возрастают) и можно говорить только об общей тенденции развития явления, либо о тенденции к снижению, либо к росту. На формирование уровней ряда оказывают влияние разные факторы, в том числе и случайные. Для того чтобы сделать правильные выводы о закономерностях развития того или иного явления, необходимо исключить влияние случайных воздействий. На основании выделенного тренда можно экстраполировать (прогнозировать) развитие явления в будущем. С этой целью ряды динамики подвергают обработке. Выявление основной тенденции (тренда) называется в статистике выравниванием временного ряда, а методы ее выявления – методами выравнивания или сглаживания, основными из которых являются: метод укрупнения интервалов, методы скользящей средней и аналитического выравнивания. Метод укрупнения интервалов является наиболее простым методом выявления общей тенденции развития явления. Суть его состоит в том, что первоначальный ряд динамики заменяется другим, уровни которого относятся к большим по продолжительности периодам времени. Например, ряд содержащий данные о ежемесячном объеме выпуска продукции может быть заменен на ряд квартальных данных, квартальные данные могут быть заменены годовыми и т.д. Укрупненный ряд может содержать либо абсолютные величины, полученные путем суммирования уровней первоначального ряда абсолютных величин, за укрупненные по продолжительности промежутки времени, либо средние величины. Чем меньше период, за который приводятся данные, тем больше влияние случайных факторов, поэтому в ряду с укрупненными интервалами времени закономерность изменения уровней будет более наглядной. Метод скользящей средней заключается в том, что динамический ряд, состоящий из эмпирических данных, заменяется рядом, состоящим из средних величин, вычисленных определенным образом. Сначала формируются укрупненные интервалы, состоящие из одинакового числа уровней. По сформированным интервалам определяется сумма значений уровней, на основании которых рассчитывается скользящая средняя. Число уровней ряда (m), по которым рассчитывается скользящая средняя может быть любым. Например, если принять m = 3, то сначала рассчитывается средняя величина из первых трех уров- 8 ней, затем находится средняя величина из 2-го, 3-го и 4-го уровней, далее из 3го, 4-го и 5-го и т.д. Таким образом, каждый раз в сумме трех уровней появляется новый уровень, а два остаются прежними, что и обусловливает взаимопогашение случайных колебаний в средних уровнях. Скользящие средние, рассчитанные из m членов относятся к середине (центру) каждого рассматриваемого интервала. Несмотря на то, что сглаживание методом скользящей средней можно проводить по любому числу членов m, удобнее, если m – нечетное число, так как в этом случае скользящая средняя сразу относится к конкретной временной точке – середине интервала. Если же m – четное, то скользящая средняя относится к промежутку между временными точками: например, при сглаживании по четырем членам (m=4) средняя из первых четырех уровней будет находиться между второй и третьей временной точкой, следующая – между третьей и четвертой и т.д. Для того чтобы сглаженные уровни относились непосредственно к серединам интервалов, из каждой пары смежных промежуточных значений скользящих средних находят среднюю арифметическую, которую относят к временной точке, находящейся между смежными. Такой прием двойного расчета сглаженных уровней называется центрированием. Техника расчета скользящей средней приведена в таблице 7. В качестве интервала взят период 3 месяца. Таблица 7 – Выравнивание динамического ряда методом скользящей средней Месяц Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь Объем продаж, тыс. руб. 37 785 33 764 28 788 26 875 21 683 20 489 20 964 21 273 27 739 25 684 28 745 35 795 Слагаемые скользящей средней Скользящая средняя, тыс. руб. 37 785+33 764+28 788 33 764+28 788+26 875 28 788+26 875+21 683 26 875+21 683+20 489 21 683+20 489+20 964 20 489+20 964+21 273 20 964+21 273+27 739 21 273+27 739+25 684 27 739+25 684+28 745 25 684+28 745+35 795 33 446 29 809 25 782 23 016 21 045 20 909 23 325 24 897 27389 30 075 Графическое изображение эмпирического ряда и ряда, выровненного методом скользящей средней приведено на рисунке 1. 9 40 000 тыс. руб. 35 000 30 000 25 000 20 000 15 000 10 000 5 000 Объем продаж Усредненный объем продаж Рисунок 7– Эмпирический и выровненный ряды объема продаж Недостатком метода скользящей средней является то, что сглаженный ряд укорачивается по сравнению с фактическим с двух концов: при нечетном числе уровней ряда m на (m-1), а при четном числе m – на m/2 с каждого конца. Применяя этот метод, надо помнить, что он сглаживает только случайные колебания. Изучение основной тенденции методом скользящей средней – это эмпирический прием предварительного анализа. Для построения количественной модели, отражающей общую тенденцию изменений уровней динамического ряда во времени проводится аналитическое выравнивание (или выравнивание ряда динамики по аналитическим формулам). Суть аналитического выравнивания заключается в замене эмпирических (фактических, исходных) уровней уt теоретическими ŷt , рассчитываемыми по определенному уравнению, принятому за математическую модель тренда, где теоретические уровни рассматриваются как функция времени: y t  f (t ) . При этом каждый фактический уровень уi рассматривается обычно как сумма двух составляющих y i  f (t )   t , (8) где f (t )  y t – систематическая составляющая, отражающая тренд и выраженная определенным уравнением;  t – случайная величина, вызывающая колебания уровней вокруг тренда. 10 Задача аналитического выравнивания сводится к следующему: 1) определение на основе фактических данных формы гипотетической функции y t  f (t ) , способной наиболее адекватно отразить тенденцию развития исследуемого показателя; 2) нахождение по эмпирическим данным параметров указанной функции; 3) расчет по найденному уравнению теоретических уровней. В практике статистических исследований для выравнивания динамического ряда чаще всего используются следующие функции: линейная – yˆ t  a  bt ; парабола второго порядка – yˆ t  a  bt  ct 2 ; парабола третьего порядка – yˆ t  a  bt  ct 2  dt 3 ; b t гипербола – yˆ t  a  ; показательная – yˆ t  ab t ; где обозначено ŷ t – теоретические уровни (читается как «игрек, выравненный по t»); t – условное обозначение времени (1, 2, 3 …); a, b, c, d – параметры аналитической функции. Выбор функции для выравнивания ряда динамики осуществляется на основании графического изображения эмпирических данных. Если по тем или иным причинам уровни эмпирического ряда трудно описать одной функцией, следует разбить анализируемый период на отдельные части и затем выровнять каждую часть по соответствующей кривой. Выравнивание по линейной функции yˆ t  a  bt . Параметры уравнения a и b как правило рассчитываются методом наименьших квадратов. При этом методе учитываются все эмпирические уровни и должна обеспечиваться минимальная сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней уt от теоретических уровней ŷt :  ( yˆ t  y) 2  min . (9) Для нахождения a и b необходимо решить систему нормальных уравнений na  b t   y  2 a  t  b t   yt (10) Эта система и, соответственно, расчет параметров a и b упрощаются, если отсчет времени ведется от середины ряда. Например, при нечетном числе 11 уровней серединная точка времени (год, месяц) принимается за нуль, тогда предшествующие периоды обозначаются соответственно –1, –2, –3 и т.д., а следующие за средним (центральным) – соответственно 1, 2, 3 и т.д. При четном числе уровней два серединных момента (периода) времени обозначают –1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно, через два интервала:  3 ,  5 ,  7 и т.д. В результате такого упрощения система нормальных уравнений принимает вид  y na   y  a  n    yt b t 2  yt  b      y2  (11) где n – число членов ряда динамики; у – значения уровней. Уравнение параболы yˆ t  a  bt  ct 2 , t y  t y t где a    , n t   t  t 4 2 i i i 4 i 2 i i 2 i 2 i b  ty , t 2 c n t 2 y   y  t 2 n t 4   t 2  t 2 . Подставляя в уравнение теоретического ряда значения ti, получим уровни теоретического ряда динамики ŷt . Суммы выровненного и эмпирического рядов должны быть равны. В противном случае уравнение решено неверно. Аналитическое выравнивание, выполненное на основе имеющихся данных определенного периода, позволяет делать рассчитать прогнозные значения показателей на будущие периоды. Продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом, называется экстраполяцией. Экстраполяция возможна при следующих условиях: 1) общие закономерности, определяющие тенденцию развития в прошлом, сохранятся в будущем; 2) тенденция развития явления или процесса может быть описана с помощью аналитического уравнения.