Решение уравнений и систем уравнений MathCAD

Решение уравнений и систем уравнений в Mathcad Классификация уравнений Классификационный признак: предлагаемый характер и число решений Алгебраические и трансцендентные уравнения Одно уравнение Линейное (одно решение) Система уравнений Нелинейное Алгебраическое (n решений) Линейное (одно решение) Трансцендентные (неопределенное число решений) Нелинейное (несколько решений) Нелинейные уравнения • Алгебраические уравнения – уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. • Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными. Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы: • Точные методы позволяют получить корни в виде некоторого конечного соотношения - формулы • Итерационные методы позволят получить корни с заданной точностью путем сходящихся итерационных процессов • Большинство употребляющихся приближенных методов решения уравнений являются, по существу, способами уточнения корней. Для их применения необходимо знание интервала изоляции [a,b], в котором лежит уточняемый корень уравнения Решение уравнения: уточнение корней, т.е. сужение интервала [a,b] до величины равной заданной степени точности . 5 Методы уточнения приближенных значений корней: • Метод подбора параметра; • графический метод; • метод простых итераций (последовательных приближений); • метод половинного деления (метод дихотомии); • метод Ньютона (метод касательных); • метод хорд. 6 Решение нелинейных уравнений • В MathCAD имеются средства для отыскания корней уравнения с одной и многими переменными. • Используются встроенные функции. – Root() – Polyroots() Для решения нелинейного уравнения f(x) используется функция root: root ( f (x), x, [a,b] ), – х – имя переменной, относительно которой решается уравнение, – a, b – левый и правый концы отрезка, на котором находится корень уравнения (необязательные параметры, но a должно < b ) – Если интервал [a,b] не указан, то перед использованием функции root() используют метод секущей. Функция root • Поиск корня уравнения осуществляется итерационным методом с заданной точностью (TOL). – Перед использованием функции root необходимо задать начальное значение переменной (первое приближение при поиске корня). – Если процесс сходится, то итерация заканчивается, когда значение f(x) становится меньше TOL. – Если процесс расходится и MathCAD не может найти корень, итерация прекращается и выдается сообщение – «Невозможно вычислить точно по одной или более переменным, которые указаны». Алгоритм нахождения корня уравнения с помощью встроенной функции root() Дан полином 3-й степени: – Задать точность TOL=10-4 – Построить двумерный график функции f(x) – Выбрать отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков (пересечение с осью абсцисс). – Применить функцию root (полином, переменная, начало отрезка, конец отрезка). Отсутствие сходимости root • Уравнение не имеет корней. • Корни уравнения расположены далеко от начального приближения. • Выражение имеет локальные max и min между начальным приближением и корнями. • Выражение имеет разрывы между начальными приближениями и корнями. • Выражение имеет комплексный корень, но начальное приближение было вещественным. Нахождение корней полинома • Если f(x) представляет собой полином и его коэффициенты начиная со свободного члена, можно представить в виде вектора v, то для поиска одновременно всех корней полинома используется функция polyroots(v). vnxn + ... + v2x2 + v1x + v0 Алгоритм нахождения корней полинома с помощью встроенной функции polyroots() • Функция находит все корни уравнения и выводит их в виде вектора. Пример: • Дан полином 3-й степени: • Задать точность TOL=10-4 • Записать коэффициенты полинома в вектор v, начиная с коэффициента, стоящего у неизвестного низшей степени. Вектор v примет вид: polyroots() • Применить функцию polyroots (вектор коэффициентов). • Проверка: необходимо в исходную функцию поочередно подставить корни уравнения. Если вычисления проведены правильно, то значение функции в корнях уравнения должны быть равны 0 или числам близким к 0 (зависит от точности). СЛАУ • Способы решения: – Блок Given  Find – Матричный способ – Функция lsolve() – Метод Гаусса 1. Блок Given–Find () 1. Задать начальное приближение всех неизвестных, входящих в систему уравнений (на основе начального приближения строится последовательность, сходящаяся к искомому решению) 2. Ключевое слово GIVEN (указывает, что далее следует система уравнений) 3. Ввести уравнения или неравенства в любом порядке через символьный знак CTRL + = (<, >,<=,>=) 4. Ввести FIND (x1,x2,x3) возвращает решение системы уравнений, число аргументов должно быть равно числу неизвестных Недопустимые выражения внутри блока решения • Ограничения со знаком  • Дискретный аргумент или выражения, содержащие дискретный аргумент в любой форме • Неравенства вида a < b < c – Блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга Пример: блок GIVEN-FIND 2. Матричный способ • Дана СЛАУ: – – – – Ввести матрицу системы (А) Ввести вектор правых частей (b) Вычислить определитель |A| Применить формулу матричного метода: X:=A–1*B – Вывести вектор неизвестных х. – Сделать проверку A*X–B 3. Использование функции lsolve() – – – – Ввести матрицу системы (А) Ввести вектор правых частей (b) Применить функцию lsolve(A, b) Сделать проверку 4. Метод Гаусса – Ввести матрицу системы (А) – Ввести вектор правых частей (b) – Произвести слияние матриц при помощи функции augment(A, b) – Обращаемся к методу Гаусса, сформировав единичную матрицу из расширенной rref (Матрица) – Выделить необходимый блок матрицы с помощью submatrix (матрица, н. стр, к. стр, н. стб, к. стб) – Проверка Приближенные решения: блок Given-minerr() • Возвращает приближенное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных. – Если Minerr используется в блоке решения уравнений, необходимо всегда включать дополнительную проверку достоверности результатов. – Minerr(vl, v2, ..., vn) – возвращает значение одной или ряда переменных для приближенного решения. Блок решения нелинейного уравнения 1. Дана система 2. Из каждого уравнения выразить переменную, представить уравнение системы в виде: f 1(x) = y и f 2 (y)= x Решение системы нелинейных уравнений 3. Необходимо выделить корень системы уравнений графически (построить график функций f1(x) и f2(y) ). Решение системы нелинейных уравнений 4. Задать начальное приближение – значения x и y. Начальные значения должны быть максимально приближены к корню системы (точка пересечения двух графиков). Решение системы нелинейных уравнений 5. Далее используется вычислительный блок Given – Minerr (). В вычислительном блоке любое равенство записывается через жирное равно (Ctrl+=). – Параметрами оператора minerr () являются переменные относительно которых решается система Решение системы нелинейных уравнений 6. Проверка (подстановка в уравнение неизвестных). Проверка показала, что решение найдено верно.