Рекурсивный способ реализации КИХ фильтров.

Цифровая обработка сигналов; лекция 10 апреля 2017 г. МФТИ 4.8.3. Рекурсивный способ реализации КИХ фильтров. Метод частотной выборки Рассмотренная ранее схема нерекурсивного трансверсального фильтра (рис. 4.11) требует задания последовательности отсчетов его импульсной характеристики {h(k)} k = 0, 1,…, N –1 и интервала дискретизации Δt. Рис. 4. 11. Цифровой трансверсальный фильтр Теперь рассмотрим другой, рекурсивный, способ реализации, основанный на задании коэффициентов ДПФ его импульсной характеристики {H(n)} n = 0, 1,…, N –1 и частотной сетки fn= n/NΔt. Для этого h(k) представим через выборочные значения H(n) частотной характеристики с помощью обратного ДПФ hk   1 N N 1  j 2πnk  , N   H  n  exp  n 0 где частотные выборки берутся с шагом 1/NΔt. Подставим это в H z  N 1  h  k  z k . k 0 Тогда H z  N 1  H  n  N 1 n 0 N  z k exp k 0 j 2πnk N 1 H  n  1 zN  . N N 1  z 1 exp  j 2πn N  n 0 (4.20) Произведя оценку (4.20) на единичной окружности, где z = exp(2πfΔt), получаем частотную характеристику фильтра Hf  N 1 H n n 0 N  N 1 H n n 0 N  e 1  exp   j 2πfN t  1  exp   j 2π  f t  n / N    exp   jπfN t    Sin πfN t exp   jπ  f t  n / N    Sin π  f t  n / N   jπf t  N 1 N 1 H n n 0 N  e jπn / N 1 Sin nπfN t . Sin nπ  f t  n / N   (4.21) Цифровая обработка сигналов; лекция 10 апреля 2017 г. МФТИ Отметим, что при f = n/NΔt имеет место H(f) = N. Соотношения (4.20) и (4.21) можно интерпретировать следующим образом: частотный отклик КИХ-фильтра есть сумма частотных откликов вида Sin nNx/Sin nx, каждый из которых имеет комплексный весH(п) и центральную частоту n/NΔt, где п = 0, 2, 2,…, N– 1 (рис. 4.12). |H(0) | |H(1) | 1 |H(N– 1)| |H(2) | п N–1 2 N Рис. 4.12. Формирование частотного отклика КИХ-фильтра Фильтр с передаточной функцией (4.20) реализуется в виде H(0)/N 1 1  z 1W 0 x(k) H(1)/N 1 1 zN y(k) 1  z 1W 1 ∑ H(N-1)/N 1 1  z 1W N 1 W=ехр(j2π/N) Рис.4.13. Реализация КИХ-фильтра методом частотной выборки (W=ехр(j2π/N) ;z–1 –задержка на один такт Δt) Блок с передаточной функцией (1 – z–N) является общим и может быть выделен перед набором подфильтров. Импульсная и частотная характеристики этого блока приведены на рис. 4.14. По виду частотной характеристики он называется гребенчатым фильтром. в) б) а) 1 |Hгр(f)| hгр(k) 2π/N k N –1 1/N 2/N N–1/N fΔt Рис. 4.14. Характеристики гребенчатого фильтра: а) расположение нулей передаточной функции: б) импульсная характеристика; в) частотная характеристика Идущий следом рекурсивный фильтр с передаточной функцией 1 1 z 1W n 2 Цифровая обработка сигналов; лекция 10 апреля 2017 г. МФТИ Имеет полюс в точке z = Wn и импульсный отклик бесконечной длительности ехр(j2πk/N), n = 0, 1, 2, …, N – 1; 0 ≤ k< ∞. Такой БИХ-фильтр называется комплексным резонатором (импульсный отклик в виде комплексной экспоненты).Благодаря действию гребенчатого фильтра результирующая импульсная характеристика каждого подфильтра является конечной. 1 Рисунок поясняет этот факт на примере действительной части N –1 экспоненты. Таким образом, в каждом подфильтре полюс рекурсивного фильтра в точке z = ехр(j2πn/N) компенсируется нулем гребенчатого фильтра в этой же точке, в результате образуется полосовой фильтр с соответствующей центральной частотой. Схема фильтра на рис. 4.13 способна обрабатывать непрерывно поступающий поток данных {x(k)}. При этом отклик фильтра y(l) в момент lΔt вычисляется по предшествующим этому моменту N выборкам бесконечной входной последовательности. Фильтр обладает строго линейной ФЧХ и конечной задержкой NΔt/2. Блок схема и схема реализации полосового КИХ-фильтра, состоящего из последовательного соединения гребенчатого фильтра и комплексного резонатора приведены на рис. 4.15. а) x(k) 1 1  z 1W n 1 zN q(k) б) ∑ q(k) ∑ –1 Wn z–N z–1 Рис. 4.15. Полосовой рекурсивный КИХ-фильтр: а) блок-схема; б) реализация Схема реализации непосредственно следует из разностного уравнения q(k) = x(k) – x(k – N) + ехр(j2πn/N)q(k – 1). 4.8.4 Набор полосовых КИХ-фильтров и ДПФ Покажем теперь, что с помощью набора из N полосовых КИХ-фильтров (рис. 4.15) можно вычиcлить коэффициенты ДПФ отрезков входной последовательности {x(k)} длиной в N отсчетов каждый. С учетом импульсной реакции гребенчатого фильтра и комплексного резонатора можем написать для выходного отклика в момент lΔt: q l    W nl l l n l  k     x  k W k  l k  l  x  k W nk   k  k  n l k x k  N  W        x  k  N  W nk . Сделаем замену m = k – N. Тогда, учитывая, что WN = 1, будем иметь 3 Цифровая обработка сигналов; лекция 10 апреля 2017 г. МФТИ q  l   W nl  W nl l  k  l  k l ( N 1) x  k W nk  lN  m  x(m)W nm  x  k W nk Этот отклик можно рассматривать как колебание ехр(j2πn/N) с амплитудой, равной (с точностью до масштабирующего множителя 1/N) коэффициенту ДПФ, вычисленному по последним N отсчетам входного сигнала. Очевидно, что набор таких полосовых фильтров для n = 0, 1, 2, …, N – 1 позволяет вычислить все N коэффициентов ДПФ. Обращаясь снова к схеме КИХ-фильтров на рис. 4.13, можно сделать следующий важный вывод: фильтрация методом частотной выборки эквивалентна вычислению коэффициентов ДПФ по текущим N отсчетам c последующим умножением на выборочные значения частотной характеристики фильтра H(nΔf), n = 0, 1, 2, …, N –1, взятые с шагом Δf =1/NΔt. Как уже отмечалось, эти выборочные значения представляют собой (с точностью до множителя 1/N) коэффициенты ДПФ импульсной характеристики КИХ-фильтра. 4.8.5. КИХ-фильтры с целыми коэффициентами Если коэффициенты фильтра, на которые умножаются выборки x(k) и y(k), небольшиецелые числа, то операции умножения значительно сокращаются по сравнению со случаем, когда эти коэффициенты представляются числами с плавающей запятой и 5 ÷ 6 десятичными разрядами.Рассмотрим некоторые практические примеры таких фильтров. Фильтр скользящего среднего Импульсная характеристика такого фильтра имеет вид h(k) 1 1 2 N–1 k Для физической реализуемости необходимо, чтобы h(k) = 0, k< 0. Пусть N – нечетное, тогда h(k) обладает четной симметрией на интервале N (условие линейности ФЧХ). Фазовая задержка, вносимая фильтром, будет (N –1)Δt/2 (см. 4.18). Передаточная функция H z  N 1  h k  z k  1  z  ...  z  N 1 k 0  1 zN 1  z 1 имеет N нулей, равномерно распределенных на единичной окружности, и однократный полюс в точке z = 1. Разностное уравнение y(k) = y(k– 1) + x(k) – x(k – N) содержит только 3 члена. Соответствующий нерекурсивный (трансверсальный) фильтр требует задания N отсчетов импульсной характеристики (N может быть 4 Цифровая обработка сигналов; лекция 10 апреля 2017 г. МФТИ большим) x(k) z–N a) |H(ω)| – + z–1 б) • 2π/Δt ω Рис. 4.15 Фильтр текущего среднего:а) схема, б) частотная характеристика Увеличить крутизну спада H(ω) и уменьшить уровень боковых лепестков можно, если увеличить порядок нулей и полюсов передаточной функцииH(z). В качестве примера рассмотрим фильтр с треугольной импульсной N характеристикой длиной 2N + 1 отсчетов. h(k) 3 Такая характеристика получается как результат 2 сложения совокупности сдвинутых 1 последовательностей из N единичных отсчетов. k Используя теорему сдвига для Z-преобразования, 2N 0 1 2 получаем соответствующую передаточную функцию H z  1 zN 1 z 1 1  z 1  z 2 ...  z  N 1 1  z    1  z  N 2 1 2 . H(z) имеет N нулей второго порядка, равномерно расположенных на единичной окружности, а также полюс второго порядка в точке z = 1. |H(ω)| ω 2π/Δt Разностное уравнение фильтра y(k) = – y(k– 2) + 2y(k–1) + x(k) – 2x(k – N) + x(k – 2N) содержит только 5 членов с небольшими целыми коэффициентами, в то время как треугольная весовая функция нерекурсивного фильтра содержит 2N + 1 отсчетов. При большом N выигрыш рекурсивной реализации в числе операций умножения и суммирования может быть значительным. Рассмотренные в этом пункте КИХ-фильтры могут быть использованы в качестве фильтров интерполяторов. Такие интерполяторы целесообразно использовать при fд >> 2fв. В этом случае неравномерность А(ω) = |H(ω)| в рабочей полосе незначительна. 5 Цифровая обработка сигналов; лекция 10 апреля 2017 г. МФТИ Примеры решения задач 1. Определить и изобразить последовательность x  k  по ее z-преобразованию X  z  1  z 1  z 2 . 1  z 1 Решение. X  z  1  z 1  z 2 z 2  z 1  1 .  1  z 1  z 1  1 После деления столбиком получаем 3 . 1  z 1 Последнее слагаемое есть остаток от деления. Отсюда при k  0 x  k   1  k  1  21  k   3   k  . X  z    z 1  2  Здесь k  0 , 1  k   единичный импульс,   k   дискретная функция включения. Последовательность x  k  принимает значения x  k   1 при k  0, x  k   2 при k  1, x  k   3 при k  1. 2. Вычисление свертки через z-преобразование. Найти свертку y  k   x1  k   x2  k  , где x1  k   a k   k  , x2  k     k  . Находим  1 , z a 1  az 1 k 0  1 X 2  z    z k  , z 1 1  z 1 k 0 Если |а|<1, то по теореме о свертке дляz-преобразования. 1 Y  z  . |z| >1. 1 1  az 1  z 1 X1  z    a k z k     Im z Re z Область сходимости РазложимY(z)на сумму простых дробей. Для этого применяем метод неопределенных коэффициентов. 6 Цифровая обработка сигналов; лекция 10 апреля 2017 г. МФТИ z2  z  a a2  =A .  z  a  z  1 z a a  1 1 z2  z  a  z  a  z  1  z 1 1 =A2 . 1 a Следовательно Y  z  A1 A2  . 1 1  az 1  z 1     Т.к.z – преобразование линейно, то y k    a2 k 1 1   k   a k  2  k  . a k   k   1 a 1 a 1 a 3. Спроектировать цифровой фильтр, который обеспечивает такую же функцию обработки сигнала, как и RC -фильтр нижних частот, импульсная характеристика которого h  t   1 RC e  t RC . R C x(t) y(t) Рис.1. RC -фильтр нижних частот RC -фильтр описывается уравнением t y t   x t   h t    x   h t   d   1 t  x   e RC 0  t  RC d . Переходя к дискретному времени t  k t ,   mt, получаем t k y k    x  m t  e RC m0  k m  t RC . (1) Уравнения Кирхгофа dy dy , RC +y  t   x  t  . dt dt Наличие производной указывает на то, что соответствующее разностное уравнение будет иметь вид y  k   by  k  1  ax  k  , x  k   0 при k  0. i  t  =С В терминах z –преобразования это уравнение будет 7 (2) Цифровая обработка сигналов; лекция 10 апреля 2017 г. МФТИ Y  z   z 1bY  z   aX  z  . Отсюда передаточная функция эквивалентного цифрового фильтра Y  z a H  z   . X  z  1  bz 1 (3) Обратное z-преобразование от передаточной функции ест ь импульсная характеристика h(k )  abk . С учетом этого уравнение дискретной свертки будет y k   k k m 0 m 0  h  k  m x  m  a  b k  m x m , h k   0 при k  0. (4) Сравнивая (1) и (4), получаем a t RC , be  t RC . Из (2) следует функциональная схема цифрового фильтра x(k) a y(k) ∑ z−1 b Рис. 2. Цифровой фильтр, имитирующий RC –фильтр нижних частот. Это рекурсивный фильтр первого порядка.  t  t Из(3) видим, что фильтр имеет полюс в точке z  b  e RC . Если b  e RC  1 то полюс внутри единичного круга, фильтр устойчивый. Для этого необходимо выполнить условие RC>Δt . Задачи к лекции 10 апреля 2017 г. 1. Найти последовательность по ее z-преобразованию 1 X  z  .  1 1  1 1  1  z 1  z   4  2  2. Импульсная характеристика цифровогоКИХ-фильтра имеет вид  h(k )     exp( j 2 k ) при k  0,1,2, , N 1, N при других k. Найти передаточную функцию, изобразить положение нулей и полюсов. Изобразить амплитудно-частотную характеристику фильтра. Написать разностное уравнение и изобразить блок-схему рекурсивной реализации. 3. Определить отклик на единичный импульс и дискретную функцию включения фильтра, разностное уравнение которого y  k   0,5 y  k  1  x(k ), y  1  0. 8