Регрессия и корреляция
Выбери формат для чтения
Загружаем конспект в формате pdf
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
Конспекты лекций по дисциплине Эконометрика
Оглавление
1. Парная регрессия и корреляция……………..………………………2
1.1. Линейная модель парной регрессии и корреляции………..……….9
1.2. Нелинейные модели парной регрессии и корреляции…………..…22
2. Множественная регрессия и корреляция………………….………34
2.1. Спецификация модели. Отбор факторов при построении уравнения
множественной регрессии…………………………….……..34
2.2. Метод наименьших квадратов (МНК). Свойства оценок на основе
МНК………………………………………………………...….40
2.3. Проверка существенности факторов и показатели
Качества регрессии………………………………………………..47
2.4.
Линейные
регрессионные
модели
с
гетероскедастичными
остатками……………………………....60
2.5. Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК)…….……….69
2.6. Регрессионные модели с переменной структурой
(фиктивные переменные)…………………………………………………76
3. Системы эконометрических уравнений…………...………………83
3.1. Структурная и приведенная формы модели………………………..85
3.2. Проблема идентификации…………………………………………...88
3.3. Методы оценки параметров структурной формы модели…………94
4. Временные ряды……………………………………………………..98
4.1. Автокорреляция уровней временного ряда……………………….100
4.2. Моделирование тенденции временного ряда……………………..107
4.3. Моделирование сезонных колебаний……………………………...108
4.4. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона…….....118
Приложение B. Тестовые задания……………………………………123
Приложение C. Вопросы к экзамену………………………………...135
Приложение D. Варианты индивидуальных заданий……………..142
Приложение E. Математико-статистические таблицы…………...165
Литература………...…………………………………………………….168
Лекция 1. Парная регрессия и корреляция
Эконометрика
–
одна
из
базовых
дисциплин
экономического
образования во всем мире. Однако до недавнего времени она не была
признана в СССР и России. Это было связано с тем, что из трех основных
составляющих эконометрики – экономической теории, экономической
статистики и математики – две первые были представлены в нашей стране
неудовлетворительно. Но теперь ситуация изменилась коренным образом.
Существуют различные варианты определения эконометрики:
1)
расширенные, при которых к эконометрике относят все, что
связано с измерениями в экономике;
2)
узко инструментально ориентированные, при которых понимают
определенный набор математико-статистических средств, позволяющих
верифицировать
модельные
соотношения
между
анализируемыми
экономическими показателями.
На наш взгляд, наиболее точно объяснил сущность эконометрики один
из основателей этой науки Р.Фриш, который и ввел этот название в 1926 г.:
«Эконометрика – это не то же самое, что экономическая статистика. Она не
идентична и тому, что мы называем экономической теорией, хотя
значительная
часть
этой
теории
носит
количественный
характер.
Эконометрика не является синонимом приложений математики к экономике.
Как показывает опыт, каждая из трех отправных точек – статистика,
экономическая теория и математика – необходимое, но не достаточное
условие для понимания количественных соотношений в современной
экономической жизни. Это единство всех трех составляющих. И это единство
образует эконометрику»1.
Эконометрика
–
это
самостоятельная
научная
дисциплина,
объединяющая совокупность теоретических результатов, приемов, методов и
моделей, предназначенных для того, чтобы на базе экономической теории,
1
Frisch R. Editorial. Econometrica. – 1933. – № 1. – P. 2.
2
экономической статистики и экономических измерений, математикостатистического инструментария придавать конкретное количественное
выражение
общим
(качественным)
закономерностям,
обусловленным
экономической теорией.
Эконометрический метод складывался в преодолении следующих
трудностей,
искажающих
результаты
применения
классических
статистических методов (сущность новых терминов будет раскрыта в
дальнейшем):
1.
асимметричности связей;
2.
мультиколлинеарности связей;
3.
эффекта гетероскедастичности;
4.
автокорреляции;
5.
ложной корреляции;
6.
наличия лагов.
Для описания сущности эконометрической модели удобно разбить весь
процесс моделирования на шесть основных этапов2:
1-й
этап
(постановочный)
–
определение
конечных
целей
моделирования, набора участвующих в модели факторов и показателей, их
роли;
2-й этап (априорный) – предмодельный анализ экономической
сущности изучаемого явления, формирование и формализация априорной
информации, в частности, относящейся к природе и генезису исходных
статистических данных и случайных остаточных составляющих;
3-й этап (параметризация) – собственно моделирование, т.е. выбор
общего вида модели, в том числе состава и формы входящих в нее связей;
4-й этап (информационный) – сбор необходимой статистической
информации, т.е. регистрация значений участвующих в модели факторов и
показателей на различных временных или пространственных тактах
функционирования изучаемого явления;
2
Подробнее см. [9], с. 31-37.
3
5-й этап (идентификация модели) – статистический анализ модели и в
первую очередь статистическое оценивание неизвестных параметров модели;
6-й этап (верификация модели) – сопоставление реальных и модельных
данных, проверка адекватности модели, оценка точности модельных данных.
Эконометрическое моделирование реальных социально-экономических
процессов и систем обычно преследует два типа конечных прикладных целей
(или одну из них): 1) прогноз экономических и социально-экономических
показателей,
характеризующих
состояние
и
развитие
анализируемой
системы; 2) имитацию различных возможных сценариев социальноэкономического
развития
анализируемой
системы
(многовариантные
сценарные расчеты, ситуационное моделирование).
При постановке задач эконометрического моделирования следует
определить их иерархический уровень и профиль. Анализируемые задачи
могут относиться к макро- (страна, межстрановой анализ), мезо- (регионы
внутри страны) и микро- (предприятия, фирмы, семьи) уровням и быть
направленными на решение вопросов различного профиля инвестиционной,
финансовой или социальной политики, ценообразования, распределительных
отношений и т.п.
Парная регрессия представляет собой регрессию между двумя
переменными – y и x , т. е. модель вида:
y f x,
где y – зависимая переменная (результативный признак); x – независимая,
или объясняющая, переменная (признак-фактор). Знак «^» означает, что
между переменными x и y нет строгой функциональной зависимости,
поэтому практически в каждом отдельном случае величина y складывается
из двух слагаемых:
y yx ,
4
где y – фактическое значение результативного признака; y x – теоретическое
значение результативного признака, найденное исходя из уравнения
регрессии; – случайная величина, характеризующая отклонения реального
значения результативного признака от теоретического, найденного по
уравнению регрессии.
Случайная величина называется также возмущением. Она включает
влияние не учтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей
измерения. Ее присутствие в модели порождено тремя источниками:
спецификацией
модели,
выборочным
характером
исходных
данных,
особенностями измерения переменных.
От правильно выбранной спецификации модели зависит величина
случайных ошибок: они тем меньше, чем в большей мере теоретические
значения результативного признака y x , подходят к фактическим данным y .
К ошибкам спецификации относятся неправильный выбор той или
иной математической функции для y x и недоучет в уравнении регрессии
какого-либо существенного фактора, т. е. использование парной регрессии
вместо множественной.
Наряду с ошибками спецификации могут иметь место ошибки
выборки, которые имеют место в силу неоднородности данных в исходной
статистической совокупности, что, как правило, бывает при изучении
экономических процессов. Если совокупность неоднородна, то уравнение
регрессии не имеет практического смысла. Для получения хорошего
результата обычно исключают из совокупности единицы с аномальными
значениями исследуемых признаков. И в этом случае результаты регрессии
представляют собой выборочные характеристики.
Использование временной информации также представляет собой
выборку из всего множества хронологических дат. Изменив временной
интервал, можно получить другие результаты регрессии.
5
Наибольшую опасность в практическом использовании методов
регрессии представляют ошибки измерения. Если ошибки спецификации
можно уменьшить, изменяя форму модели (вид математической формулы), а
ошибки выборки – увеличивая объем исходных данных, то ошибки
измерения практически сводят на нет все усилия по количественной оценке
связи между признаками.
Особенно велика роль ошибок измерения при исследовании на
макроуровне. Так, в исследованиях спроса и потребления в качестве
объясняющей переменной широко используется «доход на душу населения».
Вместе с тем, статистическое измерение величины дохода сопряжено с рядом
трудностей и не лишено возможных ошибок, например, в результате наличия
скрытых доходов.
Предполагая, что ошибки измерения сведены к минимуму, основное
внимание
в
эконометрических
исследованиях
уделяется
ошибкам
спецификации модели.
В парной регрессии выбор вида математической функции y x f x
может быть осуществлен тремя методами:
1)
графическим;
2)
аналитическим, т.е. исходя из теории изучаемой взаимосвязи;
3)
экспериментальным.
При изучении зависимости между двумя признаками графический
метод подбора вида уравнения регрессии достаточно нагляден. Он основан
на
поле
корреляции.
Основные
типы
кривых,
количественной оценке связей, представлены на рис. 1.1:
6
используемые
при
y x a b x c x2
yx a b x
y x a b x c x 2 d x3
yx a b x
y x a xb
y x a bx
Рис. 1.1. Основные типы кривых, используемые при
количественной оценке связей между двумя переменными.
7
Значительный интерес представляет аналитический метод выбора типа
уравнения регрессии. Он основан на изучении материальной природы связи
исследуемых признаков.
При обработке информации на компьютере выбор вида уравнения
регрессии обычно осуществляется экспериментальным методом, т. е. путем
сравнения величины остаточной дисперсии
2
, рассчитанной при разных
ост
моделях.
Если уравнение регрессии проходит через все точки корреляционного
поля, что возможно только при функциональной связи, когда все точки лежат
на линии регрессии y x f x , то фактические значения результативного
признака совпадают с теоретическими
y y x , т.е. они полностью
обусловлены влиянием фактора x . В этом случае остаточная дисперсия
2
ост
0.
В практических исследованиях, как правило, имеет место некоторое
рассеяние точек относительно линии регрессии. Оно обусловлено влиянием
прочих, не учитываемых в уравнении регрессии, факторов. Иными словами,
имеют место отклонения фактических данных от теоретических
y y .
x
Величина этих отклонений и лежит в основе расчета остаточной дисперсии:
2
ост
1
y yx
n
.
2
Чем меньше величина остаточной дисперсии, тем меньше влияние не
учитываемых в уравнении регрессии факторов и тем лучше уравнение
регрессии подходит к исходным данным.
Считается, что число наблюдений должно в 7-8 раз превышать число
рассчитываемых параметров при переменной x . Это означает, что искать
линейную регрессию, имея менее 7 наблюдений, вообще не имеет смысла.
Если
вид
функции
усложняется,
то
требуется
увеличение
объема
наблюдений, ибо каждый параметр при x должен рассчитываться хотя бы по
8
7 наблюдениям. Значит, если мы выбираем параболу второй степени
y x a b x c x 2 , то требуется объем информации уже не менее 14
наблюдений.
1.1. Линейная модель парной регрессии и корреляции
Рассмотрим простейшую модель парной регрессии – линейную
регрессию.
Линейная
регрессия
находит
широкое
применение
в
эконометрике ввиду четкой экономической интерпретации ее параметров.
Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида
y x a b x или y a b x .
(1.1)
Уравнение вида y x a b x позволяет по заданным значениям
фактора x находить теоретические значения результативного признака,
подставляя в него фактические значения фактора x .
Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – a и
b . Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии
основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить
такие оценки параметров a и b , при которых сумма квадратов отклонений
фактических значений результативного признака y от теоретических y x
минимальна:
y y
n
i 1
i
2
xi
n
i 1
2
i
min .
(1.2)
Т.е. из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается
так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой
линией была бы минимальной (рис. 1.2):
9
Рис. 1.2. Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков.
Как известно из курса математического анализа, чтобы найти минимум
функции (1.2), надо вычислить частные производные по каждому из
параметров a и b и приравнять их к нулю. Обозначим
2
i
через S a, b ,
i
тогда:
S a, b y a b x .
2
S
a 2 y a b x 0;
S 2 x y a b x 0.
b
(1.3)
После несложных преобразований, получим следующую систему
линейных уравнений для оценки параметров a и b :
a n b x y;
2
a x b x x y.
(1.4)
Решая систему уравнений (1.4), найдем искомые оценки параметров a
и b . Можно воспользоваться следующими готовыми формулами, которые
следуют непосредственно из решения системы (1.4):
10
a y b x ,
b
cov x, y
2
x
,
(1.5)
______
где cov x, y y x y x – ковариация признаков x и y ,
____
2
x x2 –
2
x
дисперсия признака x и
____
______
1
1
1
1
x x , y y , y x y x , x2 x2 .
n
n
n
n
Ковариация – числовая характеристика совместного распределения
двух случайных величин, равная математическому ожиданию произведения
отклонений этих случайных величин от их математических ожиданий.
Дисперсия – характеристика случайной величины, определяемая как
математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее
математического
произведений
ожидания.
значений
Математическое
случайной
величины
ожидание
на
–
сумма
соответствующие
вероятности3.
Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина
показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну
единицу.
Возможность четкой экономической интерпретации коэффициента
регрессии
сделала
линейное
уравнение
регрессии
достаточно
распространенным в эконометрических исследованиях.
Формально a – значение y при x 0 . Если признак-фактор x не
может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка свободного
члена a не имеет смысла, т.е. параметр a может не иметь экономического
содержания.
Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи.
При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя
3
Более подробно смотри Приложение A.
11
выступает
линейный
коэффициент корреляции
rxy , который можно
рассчитать по следующим формулам:
rxy b
Линейный
x cov x, y
.
y
x y
коэффициент
(1.6)
корреляции
находится
в
пределах:
1 rxy 1 . Чем ближе абсолютное значение rxy к единице, тем сильнее
линейная
связь
между
факторами
(при
rxy 1
имеем
строгую
функциональную зависимость). Но следует иметь в виду, что близость
абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю еще не
означает отсутствия связи между признаками. При другой (нелинейной)
спецификации модели связь между признаками может оказаться достаточно
тесной.
Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается
квадрат
линейного
коэффициента
корреляции
rxy2 ,
называемый
коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации характеризует
долю дисперсии результативного признака y , объясняемую регрессией, в
общей дисперсии результативного признака:
2
ост
r 1 2 ,
y
2
xy
где
2
ост
1
y yx
n
,
2
(1.7)
2
y
1
2
y
y
y2 y 2 .
n
2
Соответственно величина 1 rxy характеризует долю дисперсии y ,
вызванную влиянием остальных, не учтенных в модели, факторов.
После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится
оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.
Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить,
соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между
переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в
12
уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания
зависимой переменной.
Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных
отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку
аппроксимации:
A
y yx
1
100% .
n
y
(1.8)
Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 8–10%.
Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на
основе F -критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ.
В математической статистике дисперсионный анализ рассматривается как
самостоятельный инструмент статистического анализа. В эконометрике он
применяется
как
вспомогательное
средство
для
изучения
качества
регрессионной модели.
Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма
квадратов
отклонений
переменной
y
от
среднего
значения
y
раскладывается на две части – «объясненную» и «необъясненную»:
y y y
2
где
y y
2
x
y
y y ,
2
2
x
– общая сумма квадратов отклонений;
yx y
2
– сумма
квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная сумма
квадратов отклонений);
y yx
2
– остаточная сумма квадратов
отклонений, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов.
Схема дисперсионного анализа имеет вид, представленный в таблице
1.1 ( n – число наблюдений, m – число параметров при переменной x ).
Таблица 1.1
Компоненты
дисперсии
Сумма квадратов
Число степеней
свободы
13
Дисперсия на одну
степень свободы
y y
Общая
y
Факторная
x
y
y y
Остаточная
x
n 1
2
2
Sобщ
2
m
2
n m 1
2
Sфакт
S
2
ост
y y
n 1
yx y
m
y y
x
2
2
2
n m 1
Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии
к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в
расчете на одну степень свободы, получим величину F -критерия Фишера:
2
Sфакт
F
2
Sост
.
(1.9)
Фактическое значение F -критерия Фишера (1.9) сравнивается с
табличным значением Fтабл ; k1; k2 при уровне значимости и степенях
свободы k1 m и k2 n m 1. При этом, если фактическое значение F критерия больше табличного, то признается статистическая значимость
уравнения в целом.
Для парной линейной регрессии m 1 , поэтому
y y n 2
.
y y
2
F
S
2
факт
2
ост
S
x
2
(1.10)
x
2
Величина F -критерия связана с коэффициентом детерминации rxy , и
ее можно рассчитать по следующей формуле:
F
rxy2
1 rxy2
n 2 .
(1.11)
В парной линейной регрессии оценивается значимость не только
уравнения в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по
каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: mb и ma .
14
Стандартная
ошибка
коэффициента регрессии
определяется
по
формуле:
2
Sост
mb
где Sост
2
x x
y yx
n2
Величина
2
Sост
,
x n
(1.12)
2
– остаточная дисперсия на одну степень свободы.
стандартной
Стьюдента при
ошибки
совместно
с
t -распределением
n 2 степенях свободы применяется для проверки
существенности коэффициента регрессии и для расчета его доверительного
интервала.
Для оценки существенности коэффициента регрессии его величина
сравнивается с его стандартной ошибкой, т.е. определяется фактическое
значение t -критерия Стьюдента: tb
b
которое затем сравнивается с
mb
табличным значением при определенном уровне значимости и числе
степеней свободы
n 2 .
Доверительный интервал для коэффициента
регрессии определяется как b tтабл mb . Поскольку знак коэффициента
регрессии указывает на рост результативного признака y при увеличении
признака-фактора x ( b 0 ), уменьшение результативного признака при
увеличении признака-фактора ( b 0 ) или его независимость от независимой
переменной ( b 0 ) (см. рис. 1.3), то границы доверительного интервала для
коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов,
например, 1,5 b 0,8 . Такого рода запись указывает, что истинное
значение коэффициента регрессии одновременно содержит положительные и
отрицательные величины и даже ноль, чего не может быть.
15
Рис. 1.3. Наклон линии регрессии в зависимости от значения параметра b .
Стандартная ошибка параметра a определяется по формуле:
x
n x x
2
2
ma Sост
Процедура
отличается
от
оценивания
Sост
выше
для
2
x n
существенности
рассмотренной
Вычисляется t -критерий: ta
2
x
.
данного
(1.13)
параметра
коэффициента
не
регрессии.
a
, его величина сравнивается с табличным
ma
значением при n 2 степенях свободы.
Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на
основе величины ошибки коэффициента корреляции mr :
1 r2
.
mr
n2
Фактическое значение
tr
(1.14)
t -критерия Стьюдента определяется как
r
.
mr
16
Существует связь между t -критерием Стьюдента и F -критерием
Фишера:
tb tr F .
(1.15)
В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется
предсказываемое y p значение как точечный прогноз y x при x p xk , т.е.
путем подстановки в уравнение регрессии y x a b x соответствующего
значения x . Однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он
дополняется расчетом стандартной ошибки y p , т.е. m y , и соответственно
p
интервальной оценкой прогнозного значения y p :
y p y y p y p y ,
p
где
y my tтабл , а
p
p
p
my
–
средняя
ошибка
прогнозируемого
p
индивидуального значения:
m y Sост 1
p
1
n
xp x
n x2
2
.
(1.16)
Рассмотрим пример. По данным проведенного опроса восьми групп
семей известны данные связи расходов населения на продукты питания с
уровнем доходов семьи.
Таблица 1.2
Расходы на продукты
питания, y , тыс. руб.
Доходы семьи, x , тыс. руб.
0,9
1,2
1,8
2,2
2,6
2,9
3,3
3,8
1,2
3,1
5,3
7,4
9,6
11,8 14,5 18,7
Предположим, что связь между доходами семьи и расходами на
продукты питания линейная. Для подтверждения нашего предположения
построим поле корреляции.
17
Рис. 1.4.
По графику видно, что точки выстраиваются в некоторую прямую
линию.
Для удобства дальнейших вычислений составим таблицу.
Таблица 1.3
1
1
2
3
4
5
6
7
8
Итого
Среднее
значение
2
x
y
x y
x
2
1,2
3,1
5,3
7,4
9,6
11,8
14,5
18,7
71,6
3
0,9
1,2
1,8
2,2
2,6
2,9
3,3
3,8
18,7
4
1,08
3,72
9,54
16,28
24,96
34,22
47,85
71,06
208,71
8,95
2,34
5,53 0,935
30,56 0,874
Рассчитаем
y yx
2
y2
yx
y yx
5
1,44
9,61
28,09
54,76
92,16
139,24
210,25
349,69
885,24
6
0,81
1,44
3,24
4,84
6,76
8,41
10,89
14,44
50,83
7
1,038
1,357
1,726
2,079
2,449
2,818
3,272
3,978
18,717
8
–0,138
–0,157
0,074
0,121
0,151
0,082
0,028
–0,178
–0,017
9
0,0190
0,0246
0,0055
0,0146
0,0228
0,0067
0,0008
0,0317
0,1257
10
15,33
13,08
4,11
5,50
5,81
2,83
0,85
4,68
52,19
26,09
110,66
6,35
2,34
–
0,0157
6,52
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
уравнения
парной
параметры
2
линейного
y x a b x . Для этого воспользуемся формулами (1.5):
18
Ai , %
регрессии
b
cov x, y
x2
x y x y
x2 x 2
26,09 8,95 2,34
0,168 ;
30,56
a y b x 2,34 0,168 8,95 0,836 .
Получили уравнение:
y x 0,836 0,168 x . Т.е. с увеличением
дохода семьи на 1000 руб. расходы на питание увеличиваются на 168 руб.
Как было указано выше, уравнение линейной регрессии всегда
дополняется показателем тесноты связи – линейным коэффициентом
корреляции rxy :
rxy b
x
5,53
0,168
0,994 .
y
0,935
Близость коэффициента корреляции к 1 указывает на тесную линейную
связь между признаками.
Коэффициент детерминации rxy 0,987 (примерно тот же результат
2
получим, если воспользуемся формулой (1.7)) показывает, что уравнением
регрессии объясняется 98,7% дисперсии результативного признака, а на долю
прочих факторов приходится лишь 1,3%.
Оценим качество уравнения регрессии в целом с помощью F -критерия
Фишера. Сосчитаем фактическое значение F -критерия:
F
rxy2
1 r
2
xy
n 2
0,987
6 455,54 .
1 0,987
Табличное значение ( k1 1 , k2 n 2 6 , 0,05 ): Fтабл 5,99 .
Так как Fфакт Fтабл , то признается статистическая значимость уравнения в
целом.
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и
корреляции рассчитаем t -критерий Стьюдента и доверительные интервалы
каждого из показателей. Рассчитаем случайные ошибки параметров
19
линейной
регрессии
S 2 y yx
ост
n2
mb
2
и
коэффициента
корреляции
0,1257
0, 021 :
82
Sост
0,021
0,0093 ,
x n 5,53 8
ma Sост
x
2
x n
0,021 885,24
0,0975 ,
5,53 8
1 r2
1 0,987
mr
0,0465 .
n2
6
Фактические
ta
значения
0,836
8,574 ,
0,0975
tr
t -статистик:
0,994
21,376 .
0,0465
tb
0,168
18,065 ,
0,0093
Табличное
значение
t-
критерия Стьюдента при 0,05 и числе степеней свободы n 2 6
есть tтабл 2,447 . Так как tb tтабл , ta tтабл и tr tтабл , то признаем
статистическую значимость параметров регрессии и показателя тесноты
связи. Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии a и
b:
a t ma
b t mb .
и
Получим,
что
a 0,597; 1,075
и
b 0,145; 0,191 .
Средняя ошибка аппроксимации (находим с помощью столбца 10
таблицы 1.3; Ai
yi y xi
yi
100% ) A 6,52% говорит о хорошем качестве
уравнения регрессии, т.е. свидетельствует о хорошем подборе модели к
исходным данным.
20
И, наконец, найдем прогнозное значение результативного фактора y p
при значении признака-фактора, составляющем 110% от среднего уровня
x p 1,1 x 1,1 8,95 9,845 , т.е. найдем расходы на питание, если доходы
семьи составят 9,85 тыс. руб.
y p 0,836 0,168 9,845 2, 490 (тыс. руб.)
Значит, если доходы семьи составят 9,845 тыс. руб., то расходы на
питание будут 2,490 тыс. руб.
Найдем доверительный интервал прогноза. Ошибка прогноза
1 9,845 8,95 2
1 xp x
Sост 1
0,021 1
0,154 ,
8
n
n x2
8
30,56
2
my
p
а доверительный интервал ( y p y y p y p y ):
p
p
2,113 y p 2,867 .
Т.е. прогноз является статистически надежным.
Теперь на одном графике изобразим исходные данные и линию
регрессии:
Рис. 1.5.
21
1.2. Нелинейные модели парной регрессии и корреляции
Если между экономическими явлениями существуют нелинейные
соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных
функций.
Различают два класса нелинейных регрессий:
1.
Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ
объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам,
например
– полиномы различных степеней – y x a b x c x ,
2
y x a b x c x 2 d x3 ;
– равносторонняя гипербола – y x a b x ;
– полулогарифмическая функция – y x a b ln x .
2.
Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, например
– степенная – y x a x ;
b
– показательная – y x a b ;
x
– экспоненциальная – y x e
a bx
.
Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к
линейному виду простой заменой переменных, а дальнейшая оценка
параметров производится с помощью метода наименьших квадратов.
Рассмотрим некоторые функции.
Парабола
второй
степени
y x a b x c x2
приводится
к
линейному виду с помощью замены: x x1 , x x2 . В результате приходим
2
к двухфакторному уравнению y x a b x1 c x2 , оценка параметров
которого при помощи МНК, как будет показано в параграфе 2.2 приводит к
системе следующих нормальных уравнений:
22
a n
b x1
c x2
y;
2
c x1 x2 x1 y;
a x1 b x1
2
x2 y.
a x2 b x1 x2 c x2
А после обратной замены переменных получим
a n
b x c x 2 y;
2
3
a x b x c x x y;
2
3
4
2
a x b x c x x y.
(1.17)
Парабола второй степени обычно применяется в случаях, когда для
определенного интервала значений фактора меняется характер связи
рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или
обратная на прямую.
Равносторонняя гипербола y x a b x может быть использована для
характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива от
объема выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины
товарооборота, процента прироста заработной платы от уровня безработицы
(например, кривая А.В. Филлипса), расходов на непродовольственные
товары от доходов или общей суммы расходов (например, кривые Э. Энгеля)
и в других случаях. Гипербола приводится к линейному уравнению простой
заменой: z 1 . Система линейных уравнений при применении МНК будет
x
выглядеть следующим образом:
1
a
n
b
x y;
a 1 b 1 1 y.
x
x2
x
(1.18)
Аналогичным образом приводятся к линейному виду зависимости
y x a b ln x , y x a b x и другие.
23
Несколько иначе обстоит дело с регрессиями нелинейными по
оцениваемым параметрам, которые делятся на два типа: нелинейные модели
внутренне
линейные
соответствующих
(приводятся
к
преобразований,
нелинейные модели
линейному
например,
виду
с
помощью
логарифмированием)
внутренне нелинейные (к
и
линейному виду не
приводятся).
К внутренне линейным моделям относятся, например, степенная
функция – y x a x , показательная – y x a b , экспоненциальная –
b
x
y x e a bx , логистическая – y x
a
1
y
,
обратная
–
.
x
1 b e cx
a b x
К внутренне нелинейным моделям можно, например, отнести
следующие модели: y x a b x , y x a 1
c
1
.
1 xb
Среди нелинейных моделей наиболее часто используется степенная
функция
y a xb ,
которая
приводится
к
линейному
виду
логарифмированием:
ln y ln a xb ;
ln y ln a b ln x ln ;
Y A b X ,
где Y ln y, X ln x, A ln a, ln . Т.е. МНК мы применяем для
преобразованных данных:
A n b X Y ,
2
A
X
b
X
X Y ,
а затем потенцированием находим искомое уравнение.
Широкое использование степенной функции связано с тем, что
параметр b в ней имеет четкое экономическое истолкование – он является
коэффициентом эластичности. (Коэффициент эластичности показывает, на
24
сколько процентов измениться в среднем результат, если фактор изменится
на 1%.) Формула для расчета коэффициента эластичности имеет вид:
x
Э f x .
y
(1.19)
Так как для остальных функций коэффициент эластичности не является
постоянной величиной, а зависит от соответствующего значения фактора x ,
то обычно рассчитывается средний коэффициент эластичности:
Э f x
x
.
y
(1.20)
Приведем формулы для расчета средних коэффициентов эластичности
для наиболее часто используемых типов уравнений регрессии:
Таблица 1.5
Вид функции, y
Первая производная,
y
1
2
y a b x
b
y a b x c x2
b 2c x
b
x
y a xb
y a bx
b
x2
a b xb1
a ln b b x
b
x
a b c e cx
ya
y a b ln x
b x
a b x
b 2c x x
y
a
1 b e cx
1 b e
y
1
a b x
cx 2
b
a b x
25
Средний коэффициент
эластичности, Э
3
2
a b x c x2
b
ax b
b
x ln b
b
a b ln x
bc x
b ecx
b x
a b x
Возможны случаи, когда расчет коэффициента эластичности не имеет
смысла. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков
бессмысленно определение изменения в процентах.
Уравнение нелинейной регрессии, так же, как и в случае линейной
зависимости, дополняется показателем тесноты связи. В данном случае это
индекс корреляции:
2
ост
xy 1 2 ,
y
где y
2
2
ост
(1.21)
1
2
y y – общая дисперсия результативного признака y ,
n
1
y yx
n
2
– остаточная дисперсия.
Величина данного показателя находится в пределах: 0 xy 1 . Чем
ближе значение индекса корреляции к единице, тем теснее связь
рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.
Квадрат индекса корреляции носит название индекса детерминации и
характеризует долю дисперсии результативного признака y , объясняемую
регрессией, в общей дисперсии результативного признака:
2
2
ост
объясн
1 2
,
y
y2
2
xy
т.е.
имеет
2
объясн
тот
1
yx y
n
же
смысл,
(1.22)
что
и
в
линейной
регрессии;
.
2
Индекс детерминации
xy2 можно сравнивать с коэффициентом
2
детерминации rxy для обоснования возможности применения линейной
2
функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величина rxy меньше
xy2 . А близость этих показателей указывает на то, что нет необходимости
усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную
функцию.
26
Индекс детерминации используется для проверки существенности в
целом уравнения регрессии по F -критерию Фишера:
xy2
n m 1
,
F
2
1 xy
m
(1.23)
где xy – индекс детерминации, n – число наблюдений, m – число
2
параметров при переменной x . Фактическое значение F -критерия (1.23)
сравнивается с табличным при уровне значимости и числе степеней
свободы k2 n m 1 (для остаточной суммы квадратов) и k1 m (для
факторной суммы квадратов).
О качестве нелинейного уравнения регрессии можно также судить и по
средней ошибке аппроксимации, которая, так же как и в линейном случае,
вычисляется по формуле (1.8).
Рассмотрим пример из параграфа 1.1, предположив, что связь между
признаками носит нелинейный характер, и найдем параметры следующих
нелинейных
уравнений:
y a b ln x ,
y a b x
и
y a xb .
Для нахождения параметров регрессии y x a b ln x делаем замену
z ln x и составляем вспомогательную таблицу ( y y x ).
Таблица 1.5
1
1
2
3
4
5
6
7
8
Итого
Среднее
значение
2
x
2
z
3
y
z y
4
1,2
3,1
5,3
7,4
9,6
11,8
14,5
18,7
71,6
0,182
1,131
1,668
2,001
2,262
2,468
2,674
2,929
15,315
8,95
–
–
9
Ai
11
0,499
1,508
2,078
2,433
2,709
2,929
3,148
3,418
18,720
0,401
-0,308
-0,278
-0,233
-0,109
-0,029
0,152
0,382
-0,020
0,1610
0,0947
0,0772
0,0541
0,0119
0,0008
0,0232
0,1459
0,5688
44,58
25,64
15,43
10,57
4,20
0,99
4,62
10,05
116,08
6,35
–
–
0,0711
14,51
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
5
y2
7
yx
8
0,9
1,2
1,8
2,2
2,6
2,9
3,3
3,8
18,7
0,164
1,358
3,002
4,403
5,881
7,157
8,825
11,128
41,918
0,033
1,280
2,781
4,006
5,116
6,092
7,151
8,576
35,035
0,81
1,44
3,24
4,84
6,76
8,41
10,89
14,44
50,83
1,914
2,34
5,240
4,379
0,846
0,716
0,935
0,874
–
–
–
–
27
2
10
z2
6
Найдем уравнение регрессии:
b
cov z, y
z2
5,240 1,914 2,34
1,063 ,
0,716
a y b z 2,34 1,063 1,914 0,305 .
Т.е. получаем следующее уравнение регрессии: y x 0,305 1,063 ln x .
Теперь заполняем столбцы 8-11 нашей таблицы.
Индекс корреляции находим по формуле (1.21):
2
ост
0,0711
xy 1 2 1
0,958 ,
y
0,874
а индекс детерминации
xy2 0,918 , который показывает, что 91,8%
вариации результативного признака объясняется вариацией признакафактора, а 8,2% приходится на долю прочих факторов.
Средняя ошибка аппроксимации:
A 14,51% , что недопустимо
велико.
F -критерий Фишера:
xy2
n m 1
0,919 8 1 1
F
68,07 ,
1 xy2
m
1 0,919
1
значительно превышает табличное Fтабл 5,99 .
Изобразим на графике исходные данные и линию регрессии:
28
Рис. 1.6.
Для нахождения параметров регрессии y x a b x делаем замену
z x и составляем вспомогательную таблицу ( y y x ).
Таблица 1.6
z y
4
9
11
0,734
1,353
1,857
2,247
2,599
2,912
3,259
3,740
0,166
-0,153
-0,057
-0,047
0,001
-0,012
0,041
0,060
0,0276
0,0235
0,0033
0,0022
0,0000
0,0001
0,0017
0,0036
18,46
12,77
3,19
2,12
0,05
0,42
1,20
1,58
50,83
18,700
-0,001
0,0619
39,82
8,95
6,35
–
–
0,0077
4,98
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
5
yx
8
0,9
1,2
1,8
2,2
2,6
2,9
3,3
3,8
0,99
2,11
4,14
5,98
8,06
9,96
12,57
16,43
1,2
3,1
5,3
7,4
9,6
11,8
14,5
18,7
0,81
1,44
3,24
4,84
6,76
8,41
10,89
14,44
18,7
60,24
71,6
2,82
2,34
7,53
1,00
1,00
0,935
0,874
–
–
1
1
2
3
4
5
6
7
8
1,2
3,1
5,3
7,4
9,6
11,8
14,5
18,7
Итого
71,6
1,10
1,76
2,30
2,72
3,10
3,44
3,81
4,32
22,5
4
Среднее
значение
8,95
–
–
Найдем уравнение регрессии:
b
cov z, y
z2
2
10
y2
7
z
3
2
y
z2
6
x
2
7,53 2,82 2,34
0,931,
1,00
29
Ai
a y b z 2,34 0,931 2,82 0,286 .
Т.е. получаем следующее уравнение регрессии: y x 0, 286 0,931 x .
Теперь заполняем столбцы 8-11 нашей таблицы.
Индекс корреляции находим по формуле (1.21):
2
ост
0,0077
xy 1 2 1
0,996 ,
y
0,874
а индекс детерминации 0,991 , который показывает, что 99,1%
2
вариации результативного признака объясняется вариацией признакафактора, а 0,9% приходится на долю прочих факторов.
Средняя
ошибка
аппроксимации:
A 0,0498 100% 4,98%
показывает, что линия регрессии хорошо приближает исходные данные.
F -критерий Фишера:
xy2
n m 1
0,991 8 1 1
F
660,67 ,
2
1 xy
m
1 0,991
1
значительно превышает табличное Fтабл 5,99 .
Изобразим на графике исходные данные и линию регрессии:
Рис. 1.7
30
y a xb необходимо
Для нахождения параметров регрессии
провести ее линеаризацию, как было показано выше:
Y A b X ,
где Y ln y, X ln x, A ln a, ln .
Составляем вспомогательную таблицу для преобразованных данных:
Таблица 1.7
1
1
2
3
4
5
6
7
8
Итого
Среднее
значение
2
X Y
4
X2
5
8
Ai
10
0,8149
1,3747
1,8473
2,2203
2,5627
2,8713
3,2165
3,7004
18,608
0,0851
-0,1747
-0,0473
-0,0203
0,0373
0,0287
0,0835
0,0996
0,0919
0,0072
0,0305
0,0022
0,0004
0,0014
0,0008
0,0070
0,0099
0,0595
9,46
14,56
2,63
0,92
1,43
0,99
2,53
2,62
35,14
0,783
–
–
0,0074
4,39
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
yx
7
-0,019 0,033
0,206 1,280
0,980 2,781
1,578 4,006
2,161 5,116
2,628 6,092
3,193 7,151
3,910 8,576
14,637 35,035
0,011
0,033
0,345
0,622
0,913
1,134
1,425
1,782
6,266
0,750
1,830
4,379
0,470
0,221
–
–
–
–
Y
3
0,182
1,131
1,668
2,001
2,262
2,468
2,674
2,929
15,315
-0,105
0,182
0,588
0,788
0,956
1,065
1,194
1,335
6,002
1,914
0,846
0,716
2
9
Y2
6
X
2
Найдем уравнение регрессии:
b
cov X , Y
X2
1,830 1,914 0,750
0,551 ,
0,716
A Y b X 0,750 0,551 1,914 0,305 .
Т.е. получаем следующее уравнение регрессии: Y x 0,305 0,551 X .
После потенцирования находим искомое уравнение регрессии:
y x 0,737 x 0,551 .
Теперь заполняем столбцы 7-10 нашей таблицы.
Индекс корреляции находим по формуле (1.21):
2
ост
0,0074
xy 1 2 1
0,983 ,
y
0,221
31
а индекс детерминации 0,967 , который показывает, что 96,7%
2
вариации результативного признака объясняется вариацией признакафактора, а 3,3% приходится на долю прочих факторов.
Средняя ошибка аппроксимации: A 4,39% показывает, что линия
регрессии хорошо приближает исходные данные.
F -критерий Фишера:
xy2
n m 1
0,967 8 1 1
F
175,82 ,
1 xy2
m
1 0,967
1
значительно превышает табличное Fтабл 5,99 .
Изобразим на графике исходные данные и линию регрессии:
Рис. 1.8.
Сравним построенные модели по индексу детерминации и средней
ошибке аппроксимации:
32
Таблица 1.8
Модель
Индекс детерминации,
R 2 ( rxy2 , xy2 )
Средняя ошибка
аппроксимации, A , %
0,987
6,52
0,918
14,51
0,991
4,98
0,967
4,39
Линейная модель,
yx a b x
Полулогарифмическая
модель,
y x a b ln x
Модель с квадратным
корнем, y x a b x
Степенная модель,
y a xb
Наиболее хорошо исходные данные аппроксимирует модель с
квадратным корнем. Но в данном случае, так как индексы детерминации
линейной модели и модели с квадратным корнем отличаются всего на 0,004,
то вполне можно обойтись более простой линейной функцией.
33
Лекция 2. Множественная регрессия и корреляция
Парная регрессия может дать хороший результат при моделировании,
если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования,
можно пренебречь. Если же этим влиянием пренебречь нельзя, то в этом
случае следует попытаться выявить влияние других факторов, введя их в
модель, т.е. построить уравнение множественной регрессии
y f x1 , x2 , ..., xm ,
где y – зависимая переменная (результативный признак), xi – независимые,
или объясняющие, переменные (признаки-факторы).
Множественная регрессия широко используется в решении проблем
спроса, доходности акций, при изучении функции издержек производства, в
макроэкономических расчетах и целом ряде других вопросов эконометрики.
В настоящее время множественная регрессия – один из наиболее
распространенных методов в эконометрике. Основная цель множественной
регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при
этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их
воздействие на моделируемый показатель.
2.1. Спецификация модели. Отбор факторов при построении
уравнения множественной регрессии
Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения
вопроса о спецификации модели. Он включает в себя два круга вопросов:
отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии.
Включение в уравнение множественной регрессии того или иного
набора факторов связано прежде всего с представлением исследователя о
природе взаимосвязи моделируемого показателя с другими экономическими
явлениями. Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны
отвечать следующим требованиям.
34
1.
Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо
включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного
измерения, то ему нужно придать количественную определенность.
2.
Факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более
находиться в точной функциональной связи.
Включение в модель факторов с высокой интеркорреляцией, может
привести к нежелательным последствиям – система нормальных уравнений
может оказаться плохо обусловленной и повлечь за собой неустойчивость и
ненадежность оценок коэффициентов регрессии.
Если между факторами существует высокая корреляция, то нельзя
определить их изолированное влияние на результативный показатель и
параметры уравнения регрессии оказываются неинтерпретируемыми.
Включаемые
во
множественную
регрессию
факторы
должны
объяснить вариацию независимой переменной. Если строится модель с
набором m факторов, то для нее рассчитывается показатель детерминации
R 2 , который фиксирует долю объясненной вариации результативного
признака за счет рассматриваемых в регрессии m факторов. Влияние других,
не учтенных в модели факторов, оценивается как 1 R с соответствующей
2
2
остаточной дисперсией S .
При
дополнительном
включении
в
регрессию
m 1 фактора
коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия
уменьшаться:
Rm2 1 Rm2 и
Sm2 1 Sm2 .
Если же этого не происходит и данные показатели практически не
отличаются друг от друга, то включаемый в анализ фактор xm1 не улучшает
модель и практически является лишним фактором.
Насыщение модели лишними факторами не только не снижает
величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации,
35
но и приводит к статистической незначимости параметров регрессии по
критерию Стьюдента.
Таким образом, хотя теоретически регрессионная модель позволяет
учесть любое число факторов, практически в этом нет необходимости. Отбор
факторов производится на основе качественного теоретико-экономического
анализа. Однако теоретический анализ часто не позволяет однозначно
ответить на вопрос о количественной взаимосвязи рассматриваемых
признаков и целесообразности включения фактора в модель. Поэтому отбор
факторов обычно осуществляется в две стадии: на первой подбираются
факторы исходя из сущности проблемы; на второй – на основе матрицы
показателей корреляции определяют статистики для параметров регрессии.
Коэффициенты
объясняющими
интеркорреляции
переменными)
(т.е.
позволяют
корреляции
исключать
между
из
модели
дублирующие факторы. Считается, что две переменные явно коллинеарны,
т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если rxi x j 0,7 . Если
факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них
рекомендуется исключить из регрессии. Предпочтение при этом отдается не
фактору, более тесно связанному с результатом, а тому фактору, который при
достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с
другими
факторами.
множественной
В
регрессии
этом
как
требовании
метода
проявляется
исследования
специфика
комплексного
воздействия факторов в условиях их независимости друг от друга.
Пусть, например, при изучении зависимости
y f x1 , x2 , x3
матрица парных коэффициентов корреляции оказалась следующей:
Таблица 2.1
y
x1
x2
x3
y
1
0,8
0,7
0,6
x1
x2
x3
0,8
1
0,8
0,5
0,7
0,8
1
0,2
0,6
0,5
0,2
1
36
Очевидно, что факторы x1 и x2 дублируют друг друга. В анализ
целесообразно включить фактор x2 , а не x1 , хотя корреляция x2 с
результатом
r
yx2
y
слабее,
0,7 ryx1 0,8 ,
но
чем
корреляция
фактора
зато
значительно
слабее
x1
с
y
межфакторная
корреляция rx2 x3 0,2 rx1x3 0,5 . Поэтому в данном случае в уравнение
множественной регрессии включаются факторы x2 , x3 .
По величине парных коэффициентов корреляции обнаруживается лишь
явная коллинеарность факторов. Наибольшие трудности в использовании
аппарата
множественной
регрессии
возникают
при
наличии
мультиколлинеарности факторов, когда более чем два фактора связаны
между собой линейной зависимостью, т.е. имеет место совокупное
воздействие факторов друг на друга. Наличие мультиколлинеарности
факторов может означать, что некоторые факторы будут всегда действовать в
унисон. В результате вариация в исходных данных перестает быть
полностью независимой и нельзя оценить воздействие каждого фактора в
отдельности.
Включение в модель мультиколлинеарных факторов нежелательно в
силу следующих последствий:
1.
Затрудняется
интерпретация
параметров
множественной
регрессии как характеристик действия факторов в «чистом» виде, ибо
факторы
коррелированы;
параметры
линейной
регрессии
теряют
экономический смысл.
2.
Оценки
параметров
ненадежны,
обнаруживают
большие
стандартные ошибки и меняются с изменением объема наблюдений (не
только по величине, но и по знаку), что делает модель непригодной для
анализа и прогнозирования.
37
Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться
определитель
матрицы
парных
коэффициентов
корреляции
между
факторами.
Если бы факторы не коррелировали между собой, то матрица парных
коэффициентов корреляции между факторами была бы единичной матрицей,
поскольку все недиагональные элементы rxi x j
i j
были бы равны нулю.
Так, для уравнения, включающего три объясняющих переменных
y a b1 x1 b2 x2 b3 x3
матрица
коэффициентов
корреляции
между
факторами
имела
бы
определитель, равный единице:
rx1x1
Det R rx2 x1
rx3x1
rx1x2
rx2 x2
rx3x2
rx1x3
1 0 0
rx2 x3 0 1 0 1.
rx3x3 0 0 1
Если же, наоборот, между факторами существует полная линейная
зависимость
и
все
коэффициенты
корреляции
равны
единице,
то
определитель такой матрицы равен нулю:
rx1x1
Det R rx2 x1
rx3x1
rx1x2
rx2 x2
rx3x2
rx1x3 1 1 1
rx2 x3 1 1 1 0 .
rx3x3 1 1 1
Чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной корреляции,
тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты
множественной регрессии. И, наоборот, чем ближе к единице определитель
матрицы межфакторной корреляции, тем меньше мультиколлинеарность
факторов.
Существует ряд подходов преодоления сильной межфакторной
корреляции. Самый простой путь устранения мультиколлинеарности состоит
в исключении из модели одного или нескольких факторов. Другой подход
38
связан с преобразованием факторов, при котором уменьшается корреляция
между ними.
Одним из путей учета внутренней корреляции факторов является
переход к совмещенным уравнениям регрессии, т.е. к уравнениям, которые
отражают не только влияние факторов, но и их взаимодействие. Так, если
y f x1 , x2 , x3 , то возможно построение следующего совмещенного
уравнения:
y a b1 x1 b2 x2 b3 x3 b12 x1 x2 b13 x1 x3 b23 x2 x3 .
Рассматриваемое уравнение включает взаимодействие первого порядка
(взаимодействие двух факторов). Возможно включение в модель и
взаимодействий
более
высокого
порядка,
если
будет
доказана
их
статистическая значимость по F -критерию Фишера, но, как правило,
взаимодействия
третьего
и
более
высоких
порядков
оказываются
статистически незначимыми.
Отбор факторов, включаемых в регрессию, является одним из
важнейших
этапов
практического
использования
методов
регрессии.
Подходы к отбору факторов на основе показателей корреляции могут быть
разные. Они приводят построение уравнения множественной регрессии
соответственно к разным методикам. В зависимости от того, какая методика
построения уравнения регрессии принята, меняется алгоритм ее решения на
ЭВМ.
Наиболее
широкое
применение
получили
следующие
методы
построения уравнения множественной регрессии:
1.
Метод исключения – отсев факторов из полного его набора.
2.
Метод включения – дополнительное введение фактора.
3.
Шаговый регрессионный анализ – исключение ранее введенного
фактора.
При отборе факторов также рекомендуется пользоваться следующим
правилом: число включаемых факторов обычно в 6–7 раз меньше объема
39
совокупности, по которой строится регрессия. Если это соотношение
нарушено, то число степеней свободы остаточной дисперсии очень мало. Это
приводит к тому, что параметры уравнения регрессии оказываются
статистически незначимыми, а F -критерий меньше табличного значения.
2.2. Метод наименьших квадратов (МНК).
Свойства оценок на основе МНК
Возможны
разные
виды
уравнений
множественной
регрессии:
линейные и нелинейные.
Ввиду
четкой
интерпретации
параметров
наиболее
широко
используется линейная функция. В линейной множественной регрессии
y x a b1 x1 b2 x2 ... bm xm
параметры
при
x
называются
коэффициентами «чистой» регрессии. Они характеризуют среднее изменение
результата с изменением соответствующего фактора на единицу при
неизмененном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.
Рассмотрим линейную модель множественной регрессии
y a b1 x1 b2 x2 ... bm xm .
(2.1)
Классический подход к оцениванию параметров линейной модели
множественной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК).
МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма
квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от
расчетных y минимальна:
i
yi y xi
2
min .
(2.2)
Как известно из курса математического анализа, для того чтобы найти
экстремум функции нескольких переменных, надо вычислить частные
производные первого порядка по каждому из параметров и приравнять их к
нулю.
Итак. Имеем функцию m 1 аргумента:
40
S a, b1 , b2 , ..., bm y a b1 x1 b2 x2 ... bm xm .
2
Находим частные производные первого порядка:
S
a 2 y a b1 x1 b2 x2 ... bm xm 0;
S 2 x y a b x b x ... b x 0;
1
1 1
2 2
m m
b
1
........................................................
S 2 x y a b x b x ... b x 0.
m
1 1
2 2
m m
bm
После элементарных преобразований приходим к системе линейных
нормальных уравнений для нахождения параметров линейного уравнения
множественной регрессии (2.1):
na b1 x1 b2 x2 ... bm xm y,
2
a x1 b1 x1 b2 x1 x2 ... bm x1 xm yx1 ,
(2.3)
................................................................
2
a x b x x b
x
x
...
b
x
yxm .
m
1
1
m
2
2
m
m
m
Для двухфакторной модели данная система будет иметь вид:
na
b1 x1 b2 x2 y,
2
a x1 b1 x1 b2 x1 x2 yx1 ,
2
a x2 b1 x1 x2 b2 x2 yx2 .
Метод
наименьших
квадратов
применим
и
к
уравнению
множественной регрессии в стандартизированном масштабе:
t y 1t x1 2t x2 ... mt xm ,
где
t xi
t y , t x1 , ..., t xm
xi xi
xi
–
стандартизированные
(2.4)
переменные:
ty
y y
y
,
, для которых среднее значение равно нулю: ty txi 0 , а
41
среднее квадратическое отклонение равно единице: t y t x 1;
i
i –
стандартизированные коэффициенты регрессии.
Стандартизованные коэффициенты регрессии показывают, на сколько
единиц изменится в среднем результат, если соответствующий фактор xi
изменится на одну единицу при неизменном среднем уровне других
факторов. В силу того, что все переменные заданы как центрированные и
нормированные, стандартизованные коэффициенты регрессии
i можно
сравнивать между собой. Сравнивая их друг с другом, можно ранжировать
факторы по силе их воздействия на результат. В этом основное достоинство
стандартизованных коэффициентов регрессии в отличие от коэффициентов
«чистой» регрессии, которые несравнимы между собой.
Применяя
МНК
к
уравнению
множественной
регрессии
в
стандартизированном масштабе, получим систему нормальных уравнений
вида
2 rx1x2 3rx1x3 ... m rx1xm ,
ryx1 1
3rx1x3 ... m rx1xm ,
ryx2 1rx1x2 2
........................................................
ryx 1rx x 2 rx x 3rx x ... m ,
1 m
2 m
3 m
m
(2.5)
где ryxi и rxi x j – коэффициенты парной и межфакторной корреляции.
Коэффициенты «чистой» регрессии bi связаны со стандартизованными
коэффициентами регрессии
bi i
i следующим образом:
y
.
xi
(2.6)
Поэтому можно переходить от уравнения регрессии в стандартизованном
масштабе (2.4) к уравнению регрессии в натуральном масштабе переменных
(2.1), при этом параметр a определяется как a y b1 x1 b2 x2 ... bm xm .
42
Рассмотренный смысл стандартизованных коэффициентов регрессии
позволяет их использовать при отсеве факторов – из модели исключаются
факторы с наименьшим значением
i .
На основе линейного уравнения множественной регрессии
y a b1 x1 b2 x2 ... bm xm
(2.7)
могут быть найдены частные уравнения регрессии:
y x x , x ,..., x f x1 ,
1 2 3 m
y x x , x ,..., x f x2 ,
21 3 m
.............................
y xm x1 , x2 ,..., xm1 f xm ,
(2.8)
т.е. уравнения регрессии, которые связывают результативный признак с
соответствующим фактором xi при закреплении остальных факторов на
среднем уровне. В развернутом виде систему (2.8) можно переписать в виде:
yx1x2 , x3 ,..., xm a b1 x1 b2 x2 b3 x3 ... bm xm ,
yx2 x1 , x3 ,..., xm a b1 x1 b2 x2 b3 x3 ... bm xm ,
........................................................................
yx x , x ,..., x a b1 x1 b2 x2 b3 x3 ... bm xm .
m 1 2 m1
При подстановке в эти уравнения средних значений соответствующих
факторов они принимают вид парных уравнений линейной регрессии, т.е.
имеем
y x1x2 , x3 ,..., xm A1 b1 x1 ,
y x2 x1 , x3 ,..., xm A2 b2 x2 ,
................................
y x x , x ,..., x Am bm xm ,
m 1 2 m1
где
43
(2.9)
A1 a b2 x2 b3 x3 ... bm xm ,
A a b x b x ... b x ,
2
1 1
3 3
m m
..............................................
Am a b1 x1 b2 x2 b3 x3 ... bm1 xm1.
В отличие от парной регрессии частные уравнения регрессии
характеризуют изолированное влияние фактора на результат, ибо другие
факторы закреплены на неизменном уровне. Эффекты влияния других
факторов
присоединены
в
них
к
свободному
члену
уравнения
множественной регрессии. Это позволяет на основе частных уравнений
регрессии определять частные коэффициенты эластичности:
Эyx bi
i
xi
,
(2.10)
y xi x1 , x2 ,... xi 1 , xi 1 ,..., xm
где bi – коэффициент регрессии для фактора xi в уравнении множественной
регрессии, y xi x1 , x2 ,... xi 1 , xi 1 ,..., xm – частное уравнение регрессии.
Наряду с частными коэффициентами эластичности могут быть найдены
средние по совокупности показатели эластичности:
Эi bi
xi
,
yxi
(2.11)
которые показывают на сколько процентов в среднем изменится результат,
при изменении соответствующего фактора на 1%. Средние показатели
эластичности можно сравнивать друг с другом и соответственно ранжировать
факторы по силе их воздействия на результат.
Рассмотрим
пример4
(для
сокращения
объема
вычислений
ограничимся только десятью наблюдениями). Пусть имеются следующие
данные (условные) о сменной добыче угля на одного рабочего y (т),
мощности
пласта
x1
(м)
и
уровне
механизации
характеризующие процесс добычи угля в 10 шахтах.
4
Данные примера взяты из [5]
44
работ
x2
(%),
Таблица 2.2
№
x1
x2
y
1
8
2
11
3
12
4
9
5
8
6
8
7
9
8
9
9
8
10
12
5
5
8
10
8
10
5
7
7
5
8
6
6
6
4
5
5
6
7
8
Предполагая, что между переменными y , x1 , x2 существует линейная
корреляционная зависимость, найдем уравнение регрессии y по x1 и x2 .
Для
удобства
дальнейших
вычислений
составляем
таблицу
( y y x ):
Таблица 2.3
4
x12
5
x22
6
y2
7
x1 x2
8
x1 y
9
x2 y
10
yx
11
2
12
5
8
8
5
7
8
6
4
5
7
63
5
10
10
7
5
6
6
5
6
8
68
64
121
144
81
64
64
81
81
64
144
908
25
64
64
25
49
64
36
16
25
49
417
25
100
100
49
25
36
36
25
36
64
496
40
88
96
45
56
64
54
36
40
84
603
40
110
120
63
40
48
54
45
48
96
664
25
80
80
35
35
48
36
20
30
56
445
5,13
8,79
9,64
5,98
5,86
6,23
6,35
5,61
5,13
9,28
68
0,016
1,464
0,127
1,038
0,741
0,052
0,121
0,377
0,762
1,631
6,329
9,4
6,3
6,8
90,8
41,7
49,6
60,3
66,4
44,5
–
–
2,44
1,56
2,01
1,42
3,36
1,83
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
№
1
x1
2
x2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Сумма
Среднее
значение
8
11
12
9
8
8
9
9
8
12
94
2
y
Для нахождения параметров уравнения регрессии в данном случае
необходимо решить следующую систему нормальных уравнений:
10a 94b1 63b2 68,
94a 908b1 603b2 664,
63a 603b 417b 445.
1
2
Откуда получаем, что
a 3,54 , b1 0,854 , b2 0,367 . Т.е.
получили следующее уравнение множественной регрессии:
45
y x 3,54 0,854 x1 0,367 x2 .
Оно показывает, что при увеличении только мощности пласта x1 (при
неизменном x2 ) на 1 м добыча угля на одного рабочего y увеличится в
среднем на 0,854 т, а при увеличении только уровня механизации работ x2
(при неизменном x1 ) на 1% – в среднем на 0,367 т.
Найдем уравнение множественной регрессии в стандартизованном
масштабе:
t y 1t x1 2t x2 ,
при этом стандартизованные коэффициенты регрессии будут
1 b1
x1
1,56
0,854
0,728 ,
y
1,83
2 b2
x2
1,42
0,367
0,285 .
y
1,83
Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:
t y 0,728 t x1 0, 285 t x2 .
Так
как
стандартизованные
коэффициенты
регрессии
можно
сравнивать между собой, то можно сказать, что мощность пласта оказывает
большее влияние на сменную добычу угля, чем уровень механизации работ.
Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи
средних коэффициентов эластичности (2.11):
Эi bi
xi
.
yxi
Вычисляем:
Э1 0,854
9,4
1,18 ,
6,8
Э2 0,367
6,3
0,34 .
6,8
Т.е. увеличение только мощности пласта (от своего среднего значения)
или только уровня механизации работ на 1% увеличивает в среднем сменную
46
добычу угля на 1,18% или 0,34% соответственно. Таким образом,
подтверждается большее влияние на результат y фактора x1 , чем фактора
x2 .
2.3. Проверка существенности факторов
и показатели качества регрессии
Практическая
значимость
уравнения
множественной
регрессии
оценивается с помощью показателя множественной корреляции и его
квадрата – показателя детерминации.
Показатель множественной корреляции характеризует тесноту связи
рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком или, иначе,
оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат.
Независимо от формы связи показатель множественной корреляции
может быть найден как индекс множественной корреляции:
Ryx1x2 ... xm
где
2
ост
1 2 ,
y
(2.12)
2
– остаточная
y2 – общая дисперсия результативного признака; ост
дисперсия.
Границы изменения индекса множественной корреляции от 0 до 1. Чем
ближе его значение к 1, тем теснее связь результативного признака со всем
набором
исследуемых
факторов.
Величина
индекса
множественной
корреляции должна быть больше или равна максимальному парному индексу
корреляции:
Ryx1x2 ... xm ryxi (max)
i 1, m .
При правильном включении факторов в регрессионную модель
величина индекса множественной корреляции будет существенно отличаться
от индекса корреляции парной зависимости. Если же дополнительно
включенные в уравнение множественной регрессии факторы третьестепенны,
47
то индекс множественной корреляции может практически совпадать с
индексом парной корреляции (различия в третьем, четвертом знаках).
Отсюда ясно, что сравнивая индексы множественной и парной корреляции,
можно сделать вывод о целесообразности включения в уравнение регрессии
того или иного фактора.
Расчет индекса множественной корреляции предполагает определение
уравнения множественной регрессии и на его основе остаточной дисперсии:
2
ост
1
y y x1x2 ...xm
n
.
2
(2.13)
Можно пользоваться следующей формулой индекса множественной
детерминации:
R
При
2
yx1x2 ... xm
y y
1
y y
линейной
множественной
x1x2 ... xm
зависимости
корреляции
может
2
2
.
(2.14)
признаков
быть
формула
представлена
индекса
следующим
выражением:
Ryx1x2 ... xm
где
i
ryxi ,
(2.15)
i – стандартизованные коэффициенты регрессии; ryxi – парные
коэффициенты корреляции результата с каждым фактором.
Формула индекса множественной корреляции для линейной регрессии
получила название линейного коэффициента множественной корреляции,
или, что то же самое, совокупного коэффициента корреляции.
Возможно также при линейной зависимости определение совокупного
коэффициента
корреляции
через
матрицу
парных
коэффициентов
корреляции:
Ryx1x2 ,..., x p 1
r
,
r11
(2.16)
где
48
1
ryx1
ryx2
...
ryx1
1
rx1x2
... rx1x p
r ryx2
rx2 x1
1
... rx2 x p
...
ryx p
...
rx p x1
...
...
...
rx p x2
ryx p
...
1
– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
r11
1
rx1x2
... rx1x p
rx2 x1
1
... rx2 x p
...
rx p x1
...
rx p x2
...
...
...
1
– определитель матрицы межфакторной корреляции.
Как видим, величина множественного коэффициента корреляции
зависит не только от корреляции результата с каждым из факторов, но и от
межфакторной корреляции. Рассмотренная формула позволяет определять
совокупный коэффициент корреляции, не обращаясь при этом к уравнению
множественной регрессии, а используя лишь парные коэффициенты
корреляции.
В рассмотренных показателях множественной корреляции (индекс и
коэффициент)
используется
систематическую
ошибку
остаточная
в
сторону
дисперсия,
которая
преуменьшения,
тем
имеет
более
значительную, чем больше параметров определяется в уравнении регрессии
при заданном объеме наблюдений n . Если число параметров при xi равно m
и приближается к объему наблюдений, то остаточная дисперсия будет близка
к нулю и коэффициент (индекс) корреляции приблизится к единице даже при
слабой связи факторов с результатом. Для того чтобы не допустить
возможного преувеличения тесноты связи, используется скорректированный
индекс (коэффициент) множественной корреляции.
49
Скорректированный индекс множественной корреляции содержит
поправку на число степеней свободы, а именно остаточная сумма квадратов
y y x1x2 ... xm
n m 1 ,
2
делится на число степеней свободы остаточной вариации
а общая сумма квадратов отклонений
y y
2
на число
степеней свободы в целом по совокупности n 1 .
Формула скорректированного индекса множественной детерминации
имеет вид:
R
2
n m 1
1
,
y
y
n
1
y y
2
(2.17)
где m – число параметров при переменных x ; n – число наблюдений.
Поскольку
y y
y y x1x2 ... xm
2
2
1 R2 ,
то
величину
скорректированного индекса детерминации можно представить в виде:
R 1 1 R 2
2
n 1
.
n m 1
(2.17а)
2
2
Чем больше величина m , тем сильнее различия R и R .
Как было показано выше, ранжирование факторов, участвующих во
множественной
линейной
регрессии,
может
быть
проведено
через
стандартизованные коэффициенты регрессии ( -коэффициенты). Эта же
цель может быть достигнута с помощью частных коэффициентов корреляции
(для линейных связей). Кроме того, частные показатели корреляции широко
используются при решении проблемы отбора факторов: целесообразность
включения того или иного фактора в модель можно доказать величиной
показателя частной корреляции.
50
Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи
между результатом и соответствующим фактором при элиминировании
(устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.
Показатели частной корреляции представляют собой отношение
сокращения остаточной дисперсии за счет дополнительного включения в
анализ нового фактора к остаточной дисперсии, имевшей место до введения
его в модель.
В общем виде при наличии m факторов для уравнения
y a b1 x1 b2 x2 ... bm xm
коэффициент частной корреляции, измеряющий влияние на y фактора xi ,
при неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле:
ryxi x1x2 ... xi 1xi 1... xm 1
1 Ryx2 1x2 ... xi ... xm
1 Ryx2 1x2 ... xi 1xi 1... xm
,
(2.18)
2
где Ryx1x2 ... xi ... xm – множественный коэффициент детерминации всех m
2
факторов с результатом; Ryx1x2 ... xi 1xi 1 ... xm – тот же показатель детерминации,
но без введения в модель фактора xi .
При двух факторах формула (2.18) примет вид:
ryx1x2 1
Порядок
1 Ryx2 1x2
1 ryx2 2
частного
ryx2 x1 1
;
коэффициента
1 Ryx2 1x2
1 ryx21
корреляции
.
(2.18а)
определяется
количеством факторов, влияние которых исключается. Например, ryx1x2 –
коэффициент
частной
корреляции
первого
порядка.
Соответственно
коэффициенты парной корреляции называются коэффициентами нулевого
порядка. Коэффициенты частной корреляции более высоких порядков можно
определить через коэффициенты частной корреляции более низких порядков
по рекуррентной формуле:
51
ryxi x1x2 ... xi 1xi 1... xm
ryxi x1x2 ... xi 1xi 1... xm1 ryxm x1x2 ... xm1 rxi xm x1x2 ... xi 1xi 1... xm1
1 r
2
yxm x1x2 ... xm 1
1 r
2
xi xm x1x2 ... xi 1xi 1 ... xm 1
.(2.19)
При двух факторах данная формула примет вид:
ryx1 ryx2 rx1x2
ryx1x2
1 r 1 r
2
yx2
2
x1x2
ryx2 ryx1 rx1x2
; ryx2 x1
1 r 1 r
2
yx1
.
(2.19а)
2
x1x2
Для уравнения регрессии с тремя факторами частные коэффициенты
корреляции
второго
коэффициентов
порядка
корреляции
y a b1 x1 b2 x2 b3 x3
определяются
первого
порядка.
возможно
на
Так,
исчисление
основе
по
трех
частных
уравнению
частных
коэффициентов корреляции второго порядка:
ryx1x2 x3 , ryx2 x1x3 , ryx3x1x2 ,
каждый из которых определяется по рекуррентной формуле. Например, при
i 1 имеем формулу для расчета ryx1x2 x3 :
ryx1x2 x3
ryx1x2 ryx3x2 rx1x3x2
1 r 1 r
2
yx3 x2
2
x1x3 x2
.
(2.20)
Рассчитанные по рекуррентной формуле частные коэффициенты
корреляции изменяются в пределах от –1 до +1, а по формулам через
множественные коэффициенты детерминации – от 0 до 1. Сравнение их друг
с другом позволяет ранжировать факторы по тесноте их связи с результатом.
Частные коэффициенты корреляции дают меру тесноты связи каждого
фактора с результатом в чистом виде. Если из стандартизованного уравнения
регрессии t y 1t x1 2t x2 3t x3 следует, что
1 2 3 , т.е. no
силе влияния на результат порядок факторов таков: x1 , x2 , x3 , то этот же
порядок факторов определяется и по соотношению частных коэффициентов
корреляции, ryx1x2 x3 ryx2x1x3 ryx3x1x2 .
52
В эконометрике частные коэффициенты корреляции обычно не имеют
самостоятельного значения. Их используют на стадии формирования модели.
Так, строя многофакторную модель, на первом шаге определяется уравнение
регрессии с полным набором факторов и рассчитывается матрица частных
коэффициентов корреляции. На втором шаге отбирается
фактор с
наименьшей и несущественной по t -критерию Стьюдента величиной
показателя частной корреляции. Исключив его из модели, строится новое
уравнение регрессии. Процедура продолжается до тех пор, пока не окажется,
что все частные коэффициенты корреляции существенно отличаются от нуля.
Если исключен несущественный фактор, то множественные коэффициенты
детерминации на двух смежных шагах построения регрессионной модели
почти не отличаются друг от друга, Rm1 Rm , где m – число факторов.
2
2
Из приведенных выше формул частных коэффициентов корреляции
видна связь этих показателей с совокупным коэффициентом корреляции.
Зная частные коэффициенты корреляции (последовательно первого, второго
и более высокого порядка), можно определить совокупный коэффициент
корреляции по формуле:
Ryx1x2 ... xm 1 1 ryx21 1 ryx2 2 x1 1 ryx2 3x1x2 ... 1 ryx2 mx1x2 ... xm1 . (2.21)
В частности, для двухфакторного уравнения формула (2.21) принимает
вид:
Ryx1x2 ... xm 1 1 ryx2 1 1 ryx2 2 x1 .
(2.21)
При полной зависимости результативного признака от исследуемых
факторов коэффициент совокупного их влияния равен единице. Из единицы
вычитается доля остаточной вариации результативного признака 1 r
2
,
обусловленная последовательно включенными в анализ факторами. В
результате подкоренное выражение характеризует совокупное действие всех
исследуемых факторов.
53
Значимость уравнения множественной регрессии в целом, так же как и
в парной регрессии, оценивается с помощью F -критерия Фишера:
F
Sфакт
Sост
R2 n m 1
,
1 R2
m
(2.22)
где Sфакт – факторная сумма квадратов на одну степень свободы; Sост –
остаточная сумма квадратов на одну степень свободы; R 2 – коэффициент
(индекс) множественной детерминации;
m – число параметров при
переменных x (в линейной регрессии совпадает с числом включенных в
модель факторов); n – число наблюдений.
Оценивается значимость не только уравнения в целом, но и фактора,
дополнительно включенного в регрессионную модель. Необходимость такой
оценки связана с тем, что не каждый фактор, вошедший в модель, может
существенно увеличивать долю объясненной вариации результативного
признака. Кроме того, при наличии в модели нескольких факторов они могут
вводиться в модель в разной последовательности. Ввиду корреляции между
факторами значимость одного и того же фактора может быть разной в
зависимости от последовательности его введения в модель. Мерой для
оценки включения фактора в модель служит частный F -критерий, т.е. Fxi .
Частный F -критерий построен на сравнении прироста факторной
дисперсии, обусловленного влиянием дополнительно включенного фактора,
с остаточной дисперсией на одну степень свободы по регрессионной модели
в целом. В общем виде для фактора xi частный F -критерий определится как
Ryx2 1... xi ... xm Ryx2 1... xi 1xi 1... xm n m 1
Fxi
,
1 Ryx2 1... xi ... xm
1
(2.23)
2
где Ryx1... xi ... xm – коэффициент множественной детерминации для модели с
2
полным набором факторов, R yx1... xi 1xi 1... xm – тот же показатель, но без
54
включения в модель фактора xi , n – число наблюдений, m – число
параметров в модели (без свободного члена).
Фактическое значение частного F -критерия сравнивается с табличным
при уровне значимости и числе степеней свободы: 1 и n m 1. Если
фактическое значение Fxi превышает Fтабл , k1 , k2 , то дополнительное
включение фактора xi в модель статистически оправданно и коэффициент
чистой регрессии bi при факторе xi статистически значим. Если же
фактическое значение Fxi меньше табличного, то дополнительное включение
в модель фактора xi не увеличивает существенно долю объясненной
вариации признака y , следовательно, нецелесообразно его включение в
модель; коэффициент регрессии при данном факторе в этом случае
статистически незначим.
Для двухфакторного уравнения частные F -критерии имеют вид:
Fx1
Ryx2 1x2 ryx2 2
1 Ryx2 1x2
n 3 ,
Fx2
Ryx2 1x2 ryx2 1
1 Ryx2 1x2
n 3 .
(2.23а)
С помощью частного F -критерия можно проверить значимость всех
коэффициентов регрессии в предположении, что каждый соответствующий
фактор xi вводился в уравнение множественной регрессии последним.
Частный F -критерий оценивает значимость коэффициентов чистой
регрессии. Зная величину Fxi , можно определить и t -критерий для
коэффициента регрессии при i -м факторе, tbi , а именно:
tbi Fxi .
(2.24)
Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии по t -критерию
Стьюдента может быть проведена и без расчета частных F -критериев. В
этом случае, как и в парной регрессии, для каждого фактора используется
формула:
55
tbi
bi
,
mbi
(2.25)
где bi – коэффициент чистой регрессии при факторе xi , mbi – средняя
квадратическая (стандартная) ошибка коэффициента регрессии bi .
Для
уравнения
множественной
y a b1 x1 b2 x2 ... bm xm
средняя
регрессии
квадратическая
ошибка
коэффициента регрессии может быть определена по следующей формуле:
mbi
y 1 Ryx2 1... xm
xi 1 R
2
xi x1 ... xm
1
,
n m 1
(2.26)
где y – среднее квадратическое отклонение для признака y ,
квадратическое отклонение для признака
детерминации
для
уравнения
xi – среднее
xi , Ryx2 1... xm – коэффициент
множественной
регрессии,
Rx2i x1... xm
–
коэффициент детерминации для зависимости фактора xi со всеми другими
факторами уравнения множественной регрессии; n m 1 – число степеней
свободы для остаточной суммы квадратов отклонений.
Как видим, чтобы воспользоваться данной формулой, необходимы
матрица межфакторной корреляции и расчет по ней соответствующих
коэффициентов
Rx2i x1... xm .
детерминации
Так,
для
уравнения
y a b1 x1 b2 x2 b3 x3 оценка значимости коэффициентов регрессии b1 ,
b2 ,
b3
предполагает
2
расчет
2
трех
межфакторных
коэффициентов
2
детерминации: Rx1x2 x3 , Rx2 x1x3 , Rx3 x1x2 .
Взаимосвязь показателей частного коэффициента корреляции, частного
F -критерия и t -критерия Стьюдента для коэффициентов чистой регрессии
может использоваться в процедуре отбора факторов. Отсев факторов при
построении уравнения регрессии методом исключения практически можно
56
осуществлять не только по частным коэффициентам корреляции, исключая
на каждом шаге фактор с наименьшим незначимым значением частного
коэффициента корреляции, но и по величинам tbi и Fxi . Частный F критерий широко используется и при построении модели методом
включения переменных и шаговым регрессионным методом.
Пример. Оценим качество уравнения, полученного в предыдущем
параграфе. Сначала найдем значения парных коэффициентов корреляции:
ryx1
y x1 y x1 66,4 6,8 9,4
0,869 ;
y x1
1,83 1,56
ryx2
y x2 y x2 44,5 6,8 6,3
0,639 ;
y x2
1,83 1,42
rx1x2
x1 x2 x1 x2 60,3 9,4 6,3
0,488 .
x1 x2
1,56 1,42
Значения парных коэффициентов корреляции указывают на достаточно
тесную связь сменной добычи угля на одного рабочего y с мощностью
пласта x1 и на умеренную связь с уровнем механизации работ x2 . В то же
время межфакторная связь rx1x2 не очень сильная ( rx1x2 0,49 0,7 ), что
говорит о том, что оба фактора являются информативными, т.е. и x1 , и x2
необходимо включить в модель.
Теперь рассчитаем совокупный коэффициент корреляции Ryx1x2 . Для
этого сначала найдем определитель матрицы парных коэффициентов
корреляции:
1
0,87 0,64
r 0,87
1
0,49 0,139064 ,
0,64 0,49
1
и определитель матрицы межфакторной корреляции:
57
r11
1
0,49
0,7599 .
0,49
1
Тогда коэффициент множественной корреляции по формуле (2.16):
Ryx1x2 1
Т.е.
можно
r
0,139064
1
0,904 .
r11
0,7599
сказать,
что
81,7%
(коэффициент
детерминации
Ryx2 1x2 0,817 ) вариации результата объясняется вариацией представленных
в уравнении признаков, что указывает на весьма тесную связь признаков с
результатом.
Примерно тот же результат (различия связаны с ошибками округлений)
для коэффициента множественной регрессии получим, если воспользуемся
формулами (2.12) и (2.15):
Ryx1x2
2
ост
0,6329
1 2 1
0,901 ;
y
3,36
Ryx1x2
r
i
yxi
0,728 0,87 0,285 0,64 0,903 .
Скорректированный коэффициент множественной детерминации
R 1 1 R 2
n 1
10 1
1 1 0,817
0,765
n m 1
10 2 1
указывает на умеренную связь между результатом и признаками. Это связано
с малым количеством наблюдений.
Теперь найдем частные коэффициенты корреляции по формулам
(2.18а) и (2.19а):
ryx1x2 1
ryx2 x1 1
1 Ryx2 1x2
1 ryx2 2
1 Ryx2 1x2
1 ryx21
1
1 0,817
0,831 ;
1 0,408
1
1 0,817
0,503 .
1 0,755
58
ryx1x2
ryx2x1
ryx1 ryx2 rx1x2
1 r 1 r
2
yx2
1 0,489 1 0,639
2
2
x1x2
ryx2 ryx1 rx1x2
1 r 1 r
2
yx1
0,869 0,639 0,488
0,639 0,869 0,488
1 0,488 1 0,869
2
2
x1x2
0,830 ;
2
0,498 .
2
Т.е. можно сделать вывод, что фактор x1 оказывает более сильное
влияние на результат, чем признак x2 .
Оценим надежность уравнения регрессии в целом и показателя связи с
помощью F -критерия Фишера. Фактическое значение F -критерия (2.22)
Fфакт
Табличное
R2 n m 1
0,817 10 2 1
15,63 .
2
1 R
m
1 0,817
2
значение
F -критерия при пятипроцентном уровне
значимости ( 0,05 , k1 2 , k2 10 2 1 7 ): Fтабл 4,74 . Так как
Fфакт 15,63 Fтабл 4,10 ,
то
уравнение
признается
статистически
значимым.
Оценим целесообразность включения фактора x1 после фактора x2 и
x2 после x1 с помощью частного F -критерия Фишера (2.23а):
Fx1
Fx2
Ryx2 1x2 ryx2 2
1 Ryx2 1x2
Ryx2 1x2 ryx21
1 Ryx2 1x2
n 3
0,817 0,408
7 15,65 ;
1 0,817
n 3
0,817 0,755
7 2,37 .
1 0,817
Табличное значение частного F -критерия при пятипроцентном уровне
значимости ( 0,05 , k1 1 , k2 10 2 1 7 ): Fтабл 5,59 . Так как
Fx1 15,65 Fтабл 5,59 , а
Fx2 2,37 Fтабл 5,59 , то включение
фактора x1 в модель статистически оправдано и коэффициент чистой
59
регрессии b1 статистически значим, а дополнительное включение фактора
x2 , после того, как уже введен фактор x1 , нецелесообразно.
Уравнение регрессии, включающее только один значимый аргумент
x2 :
y 2,754 1,016 x1 .
2.4. Линейные регрессионные модели
с гетероскедастичными остатками
При оценке параметров уравнения регрессии применяется метод
наименьших
квадратов
(МНК).
При
этом
делаются
определенные
предпосылки относительно случайной составляющей . В модели
y a b1 x1 b2 x2 ... bm xm
случайная составляющая представляет собой ненаблюдаемую величину.
После того как произведена оценка параметров модели, рассчитывая
разности фактических и теоретических значений результативного признака
y , можно определить оценки случайной составляющей y y x . Поскольку
они не являются реальными случайными остатками, их можно считать
некоторой
выборочной
уравнения, т.е.
реализацией
неизвестного
остатка
заданного
i .
При изменении спецификации модели, добавлении в нее новых
наблюдений выборочные оценки остатков
i могут меняться. Поэтому в
задачу регрессионного анализа входит не только построение самой модели,
но и исследование случайных отклонений
i , т.е. остаточных величин.
При использовании критериев Фишера и Стьюдента делаются
предположения относительно поведения остатков
i – остатки представляют
собой независимые случайные величины и их среднее значение равно 0; они
60
имеют одинаковую (постоянную) дисперсию и подчиняются нормальному
распределению.
Статистические
проверки
параметров
регрессии,
показателей
корреляции основаны на непроверяемых предпосылках распределения
случайной составляющей
i . Они носят лишь предварительный характер.
После построения уравнения регрессии проводится проверка наличия у
оценок
i (случайных остатков) тех свойств, которые предполагались.
Связано это с тем, что оценки параметров регрессии должны отвечать
определенным
критериям.
Они
должны
быть
несмещенными,
состоятельными и эффективными. Эти свойства оценок, полученных по
МНК, имеют чрезвычайно важное практическое значение в использовании
результатов регрессии и корреляции.
Несмещенность оценки означает, что математическое ожидание
остатков равно нулю. Если оценки обладают свойством несмещенности, то
их можно сравнивать по разным исследованиям.
Оценки
считаются
эффективными,
если
они
характеризуются
наименьшей дисперсией. В практических исследованиях это означает
возможность перехода от точечного оценивания к интервальному.
Состоятельность оценок характеризует увеличение их точности с
увеличением объема выборки. Большой практический интерес представляют
те результаты регрессии, для которых доверительный интервал ожидаемого
значения параметра регрессии bi имеет предел значений вероятности,
равный единице. Иными словами, вероятность получения оценки на
заданном расстоянии от истинного значения параметра близка к единице.
Указанные критерии оценок (несмещенность, состоятельность и
эффективность) обязательно учитываются при разных способах оценивания.
Метод наименьших квадратов строит оценки регрессии на основе
минимизации суммы квадратов остатков. Поэтому очень важно исследовать
поведение остаточных величин регрессии
61
i . Условия, необходимые для
получения
несмещенных,
состоятельных
и
эффективных
оценок,
представляют собой предпосылки МНК, соблюдение которых желательно
для получения достоверных результатов регрессии.
Исследования остатков
i предполагают проверку наличия следующих
пяти предпосылок МНК:
1)
случайный характер остатков;
2)
нулевая средняя величина остатков, не зависящая от xi ;
3)
гомоскедастичность
–
дисперсия
каждого
i ,
отклонения
одинакова для всех значений x ;
4)
отсутствие автокорреляции остатков – значения остатков
i
распределены независимо друг от друга;
5)
Если
остатки подчиняются нормальному распределению.
распределение
случайных
остатков
i не соответствует
некоторым предпосылкам МНК, то следует корректировать модель.
Прежде всего, проверяется случайный характер остатков
i – первая
предпосылка МНК. С этой целью стоится график зависимости остатков
i от
теоретических значений результативного признака (рис. 2.1). Если на
графике получена горизонтальная полоса, то остатки
i представляют собой
случайные величины и МНК оправдан, теоретические значения y x хорошо
аппроксимируют фактические значения y .
62
Рис. 2.1. Зависимость случайных остатков
Возможны следующие случаи, если
i от теоретических значений y x .
i зависит от y x то:
1)
остатки
i не случайны (рис. 2.2а);
2)
остатки
i не имеют постоянной дисперсии (рис. 2.2б);
3)
остатки
i носят систематический характер (рис. 2.2в).
а
б
63
в
Рис. 2.2. Зависимость случайных остатков
i от теоретических значений y x .
В этих случаях необходимо либо применять другую функцию, либо
вводить дополнительную информацию и заново строить уравнение регрессии
до тех пор, пока остатки
i не будут случайными величинами.
Вторая предпосылка МНК относительно нулевой средней величины
остатков означает, что
y y
x
0.
Это выполнимо для линейных
моделей и моделей, нелинейных относительно включаемых переменных.
Вместе с тем, несмещенность оценок коэффициентов регрессии,
полученных МНК, зависит от независимости случайных остатков и величин
x , что также исследуется в рамках соблюдения второй предпосылки МНК. С
этой целью наряду с изложенным графиком зависимости остатков
i от
теоретических значений результативного признака y x строится график
зависимости случайных остатков
i от факторов, включенных в регрессию
x j (рис. 2.3).
64
Рис. 2.3. Зависимость величины остатков от величины фактора x j .
Если остатки на графике расположены в виде горизонтальной полосы,
то они независимы от значений x j . Если же график показывает наличие
зависимости
i и x j , то модель неадекватна. Причины неадекватности могут
быть разные. Возможно, что нарушена третья предпосылка МНК и дисперсия
остатков не постоянна для каждого значения фактора x j . Может быть
неправильна
спецификация
дополнительные
определенных
члены
от
участках
модели
и
в
x j , например
значений
фактора
нее
необходимо
ввести
x 2j . Скопление точек в
xj
говорит
о
наличии
систематической погрешности модели.
Предпосылка
о
нормальном распределении
остатков позволяет
проводить проверку параметров регрессии и корреляции с помощью F - и t критериев. Вместе с тем, оценки регрессии, найденные с применением МНК,
обладают хорошими
свойствами даже
при
отсутствии нормального
распределения остатков, т.е. при нарушении пятой предпосылки МНК.
Совершенно необходимым для получения по МНК состоятельных
оценок параметров регрессии является соблюдение третьей и четвертой
предпосылок.
В соответствии с третьей предпосылкой МНК требуется, чтобы
дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого
65
значения фактора x j остатки
условие
применения
МНК
i имеют одинаковую дисперсию. Если это
не
соблюдается,
то
имеет
место
гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности можно наглядно
видеть из поля корреляции (рис. 2.4).
а
б
в
Рис. 2.4. Примеры гетероскедастичности.
На рис. 2.4 изображено: а – дисперсия остатков растет по мере
увеличения x ; б – дисперсия остатков достигает максимальной величины
при средних значениях переменной x и уменьшается при минимальных и
максимальных значениях x ; в – максимальная дисперсия остатков при
малых значениях x и дисперсия остатков однородна по мере увеличения
значений x .
66
Наличие гомоскедастичности или гетероскедастичности можно видеть
и по рассмотренному выше графику зависимости остатков
i от
теоретических значений результативного признака y x . Так, для рис. 2.4а
зависимость остатков от y x представлена на рис. 2.5.
Рис. 2.5. Гетероскедастичность: большая дисперсия
i
для больших значений
yx .
Соответственно для зависимости, изображенной на полях корреляции
рис. 2.4б и 2.4в гетероскедастичность остатков представлена на рис. 2.6 и 2.7.
Рис. 2.6. Гетероскедастичность, соответствующая полю корреляции на рис. 2.4б.
67
Рис. 2.7. Гетероскедастичность, соответствующая полю корреляции на рис. 2.4в.
Для множественной регрессии данный вид графиков является наиболее
приемлемым визуальным способом изучения гомо- и гетероскедастичности.
При
построении
регрессионных
моделей
чрезвычайно
важно
соблюдение четвертой предпосылки МНК – отсутствие автокорреляции
остатков, т.е. значения остатков
i , распределены независимо друг от друга.
Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками
текущих
и
предыдущих
корреляции между
(последующих)
наблюдений5.
Коэффициент
i и j , где i – остатки текущих наблюдений, j –
остатки предыдущих наблюдений (например,
j i 1), может быть
определен как
ri j
cov i , j
i j
,
т.е. по обычной формуле линейного коэффициента корреляции. Если этот
коэффициент окажется существенно отличным от нуля, то остатки
автокоррелированы и функция плотности вероятности F зависит от j -й
5
Подробнее об автокорреляции см. в разделе 4.
68
точки наблюдения и от распределения значений остатков в других точках
наблюдения.
Отсутствие
состоятельность
автокорреляции
и
остаточных
эффективность
оценок
величин
обеспечивает
коэффициентов
регрессии.
Особенно актуально соблюдение данной предпосылки МНК при построении
регрессионных моделей по рядам динамики, где ввиду наличия тенденции
последующие уровни динамического ряда, как правило, зависят от своих
предыдущих уровней.
При
несоблюдении
основных
предпосылок
МНК
приходится
корректировать модель, изменяя ее спецификацию, добавлять (исключать)
некоторые факторы, преобразовывать исходные данные для того, чтобы
получить оценки коэффициентов регрессии, которые обладают свойством
несмещенности,
имеют
меньшее
значение
дисперсии
остатков
и
обеспечивают в связи с этим более эффективную статистическую проверку
значимости параметров регрессии.
2.5. Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК)
При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции
ошибок
рекомендуется
традиционный
метод
наименьших
квадратов
(известный в английской терминологии как метод OLS – Ordinary Least
Squares) заменять обобщенным методом, т.е. методом GLS (Generalized
Least Squares).
Обобщенный
метод
наименьших
квадратов
применяется
к
преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые обладают
не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные
дисперсии. Остановимся на использовании ОМНК для корректировки
гетероскедастичности.
Как и раньше, будем предполагать, что среднее значение остаточных
величин равно нулю. А вот дисперсия их не остается неизменной для разных
значений фактора, а пропорциональна величине Ki , т.е.
69
2i 2 K i ,
где i – дисперсия ошибки при конкретном i -м значении фактора;
2
постоянная
дисперсия
ошибки
при
соблюдении
2 –
предпосылки
о
гомоскедастичности остатков; Ki – коэффициент пропорциональности,
меняющийся с изменением величины фактора, что и обусловливает
неоднородность дисперсии.
При этом предполагается, что
2 неизвестна, а в отношении величин
Ki выдвигаются определенные гипотезы, характеризующие структуру
гетероскедастичности.
В общем виде для уравнения yi a bxi i при i K i модель
2
примет
вид:
yi a bxi K i i .
В
ней
2
остаточные
величины
гетероскедастичны. Предполагая в них отсутствие автокорреляции, можно
перейти к уравнению с гомоскедастичными остатками, поделив все
переменные, зафиксированные в ходе i -го наблюдения, на
K i . Тогда
дисперсия остатков будет величиной постоянной, т. е. i .
2
2
Иными словами, от регрессии y по x мы перейдем к регрессии на
новых переменных: y
K иx
K . Уравнение регрессии примет вид:
yi
x
a
b i i ,
Ki
Ki
Ki
а исходные данные для данного уравнения будут иметь вид:
70
y
y1
K1
x1
K1
y2
K2 ,
x2
K2 .
x
........
xn
Kn
........
yn
Kn
По
отношению
преобразованными
к
обычной
переменными
регрессии
уравнение
представляет
собой
регрессию, в которой переменные y и x взяты с весами 1
Оценка
параметров
нового
уравнения
с
с
новыми,
взвешенную
K.
преобразованными
переменными приводит к взвешенному методу наименьших квадратов, для
которого необходимо минимизировать сумму квадратов отклонений вида
n
S a, b
i 1
1
2
yi a bxi .
Ki
Соответственно получим следующую систему нормальных уравнений:
1
x
y
a
b
K K,
K
x
x2
yx a
K b K .
K
Если преобразованные переменные x и y взять в отклонениях от
средних уровней, то коэффициент регрессии b можно определить как
1
b
K x y
1
K x2
.
При обычном применении метода наименьших квадратов к уравнению
линейной регрессии для переменных в отклонениях от средних уровней
коэффициент регрессии b определяется по формуле:
71
b
Как
x y.
x
2
видим,
корректировки
при
использовании
гетероскедастичности
обобщенного
коэффициент
МНК
с
целью
регрессии
b
представляет собой взвешенную величину по отношению к обычному МНК с
весом 1 K .
Аналогичный подход возможен не только для уравнения парной, но и
для множественной регрессии. Предположим, что рассматривается модель
вида
y a b1 x1 b2 x2 ,
2
для которой дисперсия остаточных величин оказалась пропорциональна K i .
Ki представляет собой коэффициент пропорциональности, принимающий
различные значения для соответствующих i значений факторов x1 и x2 .
Ввиду того, что
2i 2 K i2 ,
рассматриваемая модель примет вид
yi a b1 x1i b2 x2i Ki i ,
где ошибки гетероскедастичны.
Для того чтобы получить уравнение, где остатки
i гомоскедастичны,
перейдем к новым преобразованным переменным, разделив все члены
исходного уравнения на коэффициент пропорциональности K . Уравнение с
преобразованными переменными составит
yi
x
x
a
b1 1i b2 2i i .
Ki Ki
Ki
Ki
Это уравнение не содержит свободного члена. Вместе с тем, найдя
переменные в новом преобразованном виде и применяя обычный МНК к
ним, получим иную спецификацию модели:
72
yi
x
x
A b1 1i b2 2i i .
Ki
Ki
Ki
Параметры такой модели зависят от концепции, принятой для
коэффициента пропорциональности Ki . В эконометрических исследованиях
i пропорциональны
довольно часто выдвигается гипотеза, что остатки
значениям фактора. Так, если в уравнении
y a b1 x1 b2 x2 ... bm xm e
предположить, что e x1 , т.е. K x1 и i x1 , то обобщенный
2
2
МНК предполагает оценку параметров следующего трансформированного
уравнения:
x
y
x
b1 b2 2 ... bm m .
x1
x1
x1
Применение в этом случае обобщенного МНК приводит к тому, что
наблюдения с меньшими значениями преобразованных переменных x K
имеют при определении параметров регрессии относительно больший вес,
чем с первоначальными переменными. Вместе с тем, следует иметь в виду,
что новые преобразованные переменные получают новое экономическое
содержание и их регрессия имеет иной смысл, чем регрессия по исходным
данным.
Пример. Пусть y – издержки производства, x1 – объем продукции, x2
– основные производственные фонды, x3 – численность работников, тогда
уравнение
y a b1 x1 b2 x2 b3 x3 e
является моделью издержек производства с объемными факторами.
Предполагая, что i пропорциональна квадрату численности работников
2
x3 , мы получим в качестве результативного признака затраты на одного
работника
y x3 , а в качестве факторов следующие показатели:
73
производительность труда x1 x3 и фондовооруженность труда x2 x3 .
Соответственно трансформированная модель примет вид
y
x
x
b3 b1 1 b2 2 ,
x3
x3
x3
где параметры b1 , b2 , b3
численно не совпадают с аналогичными
параметрами предыдущей модели. Кроме этого, коэффициенты регрессии
меняют
экономическое
содержание:
из
показателей
силы
связи,
характеризующих среднее абсолютное изменение издержек производства с
изменением абсолютной величины соответствующего фактора на единицу,
они фиксируют при обобщенном МНК среднее изменение затрат на
работника; с изменением производительности труда на единицу при
неизменном
уровне
фондовооруженности
фовдовооруженности
труда;
труда
при
на
единицу
и
с
изменением
неизменном
уровне
производительности труда.
Если предположить, что в модели с первоначальными переменными
дисперсия
остатков
пропорциональна
квадрату
объема
продукции,
2i 2 x12 , можно перейти к уравнению регрессии вида
x
y
x
b1 b2 2 b3 3 .
x1
x1
x1
В нем новые переменные: y x1 – затраты на единицу (или на 1 руб.
продукции), x2 x1 – фондоемкость продукции, x3 x1 – трудоемкость
продукции.
Гипотеза о пропорциональности остатков величине фактора может
иметь реальное основание: при обработке недостаточно однородной
совокупности, включающей как крупные, так и мелкие предприятия,
большим объемным значениям фактора может соответствовать большая
дисперсия результативного признака и большая дисперсия остаточных
величин.
74
При наличии одной объясняющей переменной гипотеза i x
2
2
2
трансформирует линейное уравнение
y a bx e
в уравнение
y
a
b ,
x
x
в котором параметры a и b поменялись местами, константа стала
коэффициентом наклона линии регрессии, а коэффициент регрессии –
свободным членом.
Пример. Рассматривая зависимость сбережений y от дохода x , по
первоначальным данным было получено уравнение регрессии
y 1,081 0,1178 x .
Применяя обобщенный МНК к данной модели в предположении, что
ошибки
пропорциональны
доходу,
было
получено
уравнение
для
преобразованных данных:
y
1
0,1026 0,8538 .
x
x
Коэффициент регрессии первого уравнения сравнивают со свободным
членом второго уравнения, т.е. 0,1178 и 0,1026 – оценки параметра b
зависимости сбережений от дохода.
Переход к относительным величинам существенно снижает вариацию
фактора и соответственно уменьшает дисперсию ошибки. Он представляет
собой наиболее простой случай учета гетероскедастичности в регрессионных
моделях с помощью обобщенного МНК. Процесс перехода к относительным
величинам
может
быть
осложнен
выдвижением
иных
гипотез
о
пропорциональности ошибок относительно включенных в модель факторов.
Использование
той
или
иной
гипотезы
предполагает
специальные
исследования остаточных величин для соответствующих регрессионных
75
моделей. Применение обобщенного МНК позволяет получить оценки
параметров модели, обладающие меньшей дисперсией.
2.6. Регрессионные модели с переменной структурой
(фиктивные переменные)
До сих пор в качестве факторов рассматривались экономические
переменные,
принимающие
количественные
значения
в
некотором
интервале. Вместе с тем может оказаться необходимым включить в модель
фактор, имеющий два или более качественных уровней. Это могут быть
разного рода атрибутивные признаки, такие, например, как профессия, пол,
образование, климатические условия, принадлежность к определенному
региону. Чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, им
должны быть присвоены те или иные цифровые метки, т.е. качественные
переменные
преобразованы
сконструированные
переменные
в
количественные.
в
эконометрике
Такого
принято
вида
называть
фиктивными переменными.
Рассмотрим применение фиктивных переменных для функции спроса.
Предположим, что по группе лиц мужского и женского пола изучается
линейная зависимость потребления кофе от цены. В общем виде для
совокупности обследуемых уравнение регрессии имеет вид:
y a bx ,
где y – количество потребляемого кофе; x – цена.
Аналогичные уравнения могут быть найдены отдельно для лиц
мужского пола: y1 a1 b1 x1 1 и женского пола: y2 a2 b2 x2 2 .
Различия в потреблении кофе проявятся в различии средних y1 и y 2 .
Вместе с тем сила влияния x на y может быть одинаковой, т.е. b b1 b2 .
В этом случае возможно построение общего уравнения регрессии с
включением в него фактора «пол» в виде фиктивной переменной. Объединяя
76
уравнения y1 и y 2 и, вводя фиктивные переменные, можно прийти к
следующему выражению:
y a1 z1 a2 z2 bx ,
где z1 и z2 – фиктивные переменные, принимающие значения:
1 мужской пол,
z1
0 женский пол;
В
общем
уравнении
0 мужской пол,
z2
1 женский пол.
регрессии
зависимая
переменная
рассматривается как функция не только цены x но и пола
Переменная
z
рассматривается
как
дихотомическая
y
z1 , z2 .
переменная,
принимающая всего два значения: 1 и 0. При этом когда z1 1, то z2 0 , и
наоборот.
Для лиц мужского пола, когда
z1 1 и z2 0 , объединенное
уравнение регрессии составит: y a1 bx , а для лиц женского пола, когда
z1 0 и z2 1: y a2 bx . Иными словами, различия в потреблении для
лиц мужского и женского пола вызваны различиями свободных членов
уравнения регрессии: a1 a2 . Параметр b является общим для всей
совокупности лиц, как для мужчин, так и для женщин.
Однако при введении двух фиктивных переменных z1 и z2 в модель
y a1 z1 a2 z2 bx применение МНК для оценивания параметров a1 и
a2 приведет к вырожденной матрице исходных данных, а следовательно, и к
невозможности получения их оценок. Объясняется это тем, что при
использовании МНК в данном уравнении появляется свободный член, т.е.
уравнение примет вид
y A a1 z1 a2 z2 bx .
Предполагая при параметре A независимую переменную, равную 1,
имеем следующую матрицу исходных данных:
77
1
1
1
1
...
1
1
1
1
...
1
...
1
x1
x2
x3
.
x4
...
xn
В рассматриваемой матрице существует линейная зависимость между
первым, вторым и третьим столбцами: первый равен сумме второго и
третьего столбцов. Поэтому матрица исходных факторов вырождена.
Выходом из создавшегося затруднения может явиться переход к уравнениям
y A A1 z1 bx
или
y A A2 z2 bx ,
т.е. каждое уравнение включает только одну фиктивную переменную z1 или
z2 .
Предположим, что определено уравнение
y A A1 z1 bx ,
где z1 принимает значения 1 для мужчин и 0 для женщин.
Теоретические значения размера потребления кофе для мужчин будут
получены из уравнения
y A A1 bx .
Для женщин соответствующие значения получим из уравнения
y A bx .
Сопоставляя
эти
результаты,
видим,
что
различия
в
уровне
потребления мужчин и женщин состоят в различии свободных членов
данных уравнений: A – для женщин и A A1 – для мужчин.
Теперь качественный фактор принимает только два состояния,
которым соответствуют значения 1 и 0. Если же число градаций
78
качественного признака-фактора превышает два, то в модель вводится
несколько фиктивных переменных, число которых должно быть меньше
числа качественных градаций. Только при соблюдении этого положения
матрица исходных фиктивных переменных не будет линейно зависима и
возможна оценка параметров модели.
Пример. Проанализируем зависимость цены двухкомнатной квартиры
от ее полезной площади. При этом в модель могут быть введены фиктивные
переменные, отражающие тип дома: «хрущевка», панельный, кирпичный.
При использовании трех категорий домов вводятся две фиктивные
переменные: z1 и z2 . Пусть переменная z1 принимает значение 1 для
панельного дома и 0 для всех остальных типов домов; переменная z2
принимает значение 1 для кирпичных домов и 0 для остальных; тогда
переменные z1 и z2 принимают значения 0 для домов типа «хрущевки».
Предположим, что уравнение регрессии с фиктивными переменными
составило:
y 320 500 x 2200 z1 1600 z2 .
Частные
уравнения
регрессии
для
отдельных
типов
домов,
свидетельствуя о наиболее высоких ценах квартир в панельных домах, будут
иметь следующий вид: «хрущевки» –
y 320 500 x ; панельные –
y 2520 500 x ; кирпичные – y 1920 500 x .
Параметры при фиктивных переменных z1 и z2 представляют собой
разность
между
средним
уровнем
результативного
признака
для
соответствующей группы и базовой группы. В рассматриваемом примере за
базу сравнения цены взяты дома «хрущевки», для которых z1 z2 0 .
Параметр при z1 , равный 2200, означает, что при одной и той же полезной
площади квартиры цена ее в панельных домах в среднем на 2200 долл. США
выше, чем в «хрущевках». Соответственно параметр при z2 показывает, что
79
в кирпичных домах цена выше в среднем на 1600 долл. при неизменной
величине полезной площади по сравнению с указанным типом домов.
В отдельных случаях может оказаться необходимым введение двух и
более групп фиктивных переменных, т.е. двух и более качественных
факторов, каждый из которых может иметь несколько градаций. Например,
при изучении потребления некоторого товара наряду с факторами,
имеющими количественное выражение (цена, доход на одного члена семьи,
цена на взаимозаменяемые товары и др.), учитываются и качественные
факторы. С их помощью оцениваются различия в потреблении отдельных
социальных групп населения, дифференциация в потреблении по полу,
национальному составу и др. При построении такой модели из каждой
группы фиктивных переменных следует исключить по одной переменной.
Так, если модель будет включать три социальные группы, три возрастные
категории и ряд экономических переменных, то она примет вид:
y a b1s1 b2 s2 b3 z1 b4 z2 b5 x1 b6 x2 ... bm4 xm ,
где y – потребление;
1 если наблюдения относятся к i -й социальной группе i 1, 2 ,
si
0 в остальных случаях;
1 если наблюдения относятся к j -й возрастной группе j 1, 2 ,
zi
0 в остальных случаях;
x1 , x2 , ..., xm – экономические (количественные) переменные.
До сих пор мы рассматривали фиктивные переменные как факторы,
которые используются в регрессионной модели наряду с количественными
переменными. Вместе с тем возможна регрессия только на фиктивных
переменных. Например, изучается дифференциация заработной платы
рабочих высокой квалификации по регионам страны. Модель заработной
платы может иметь вид:
y a b1 z1 b2 z2 ... bm zm ,
80
где y – средняя заработная плата рабочих высокой квалификации по
отдельным предприятиям;
1 если предприятие находится в Северо-Западном районе;
z1
0 если предприятие находится в остальных районах;
1 если предприятие находится в Волго-Вятском районе;
z2
0 если предприятие находится в остальных районах;
………………………………………………………………………..
1 если преприятие находится в Дальневосточном районе;
zm
0 если предприятие находится в остальных районах.
Поскольку последний район, указанный в модели, обозначен zm , то в
исследование включено m 1 район.
Мы рассмотрели модели с фиктивными переменными, в которых
последние
выступают
факторами.
Может
возникнуть
необходимость
построить модель, в которой дихотомический признак, т.е. признак, который
может принимать только два значения, играет роль результата. Подобного
вида
модели
социологических
применяются,
опросов.
В
например,
качестве
при
обработке
зависимой
данных
переменной
y
рассматриваются ответы на вопросы, данные в альтернативной форме: «да»
или «нет». Поэтому зависимая переменная имеет два значения: 1, когда
имеет место ответ «да», и 0 – во всех остальных случаях. Модель такой
зависимой переменной имеет вид:
y a b1 x1 ... bm xm .
Модель является вероятностной линейной моделью. В ней
y
принимает значения 1 и 0, которым соответствуют вероятности p и 1 p .
Поэтому при решении модели находят оценку условной вероятности события
y при фиксированных значениях x . Для оценки параметров линейновероятностной модели применяются методы Logit-, Probit- и Tobit-анализа.
Такого рода модели используют при работе с неколичественными
переменными. Как правило, это модели выбора из заданного набора
81
альтернатив.
значениями
Зависимая
(набор
переменная
альтернатив),
y
представлена
объясняющие
дискретными
переменные
xj
–
характеристики альтернатив (время, цена), z j – характеристики индивидов
(возраст, доход, уровень образования). Модель такого рода позволяет
предсказать долю индивидов в генеральной совокупности, которые
выбирают данную альтернативу.
Среди
моделей
с
фиктивными
переменными
наибольшими
прогностическими возможностями обладают модели, в которых зависимая
переменная y рассматривается как функция ряда экономических факторов
xi и фиктивных переменных z j . Последние обычно отражают различия в
формировании результативного признака по отдельным группам единиц
совокупности, т.е. в результате неоднородной структуры пространственного
или временного характера.
82
3. Системы эконометрических уравнений
При использовании отдельных уравнений регрессии, например для
экономических расчетов, в большинстве случаев предполагается, что
аргументы (факторы) можно изменять независимо друг от друга. Однако это
предположение является очень грубым: практически изменение одной
переменной, как правило, не может происходить при
абсолютной
неизменности других. Ее изменение повлечет за собой изменения во всей
системе взаимосвязанных признаков. Следовательно, отдельно взятое
уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные
влияния отдельных признаков на вариацию результирующей переменной.
Именно поэтому в последние десятилетия в экономических исследованиях
важное место
переменными
заняла проблема описания
системой
так
называемых
структуры
связей
одновременных
между
уравнений,
называемых также структурными уравнениями.
Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть
построена по-разному.
Возможна система независимых уравнений, когда каждая зависимая
переменная y рассматривается как функция одного и того же набора
факторов x :
y1 a11 x1 a12 x2 ... a1n xn 1 ,
y a x a x ... a x ,
2
21 1
22 2
2n n
2
...................................................
ym am1 x1 am 2 x2 ... amn xn m .
(3.1)
Набор факторов x j в каждом уравнении может варьировать. Каждое
уравнение
системы
независимых
уравнений
может
рассматриваться
самостоятельно. Для нахождения его параметров используется метод
наименьших квадратов. По существу, каждое уравнение этой системы
является уравнением регрессии. Так как фактические значения зависимой
83
переменной отличаются от теоретических на величину случайной ошибки, то
в каждом уравнении присутствует величина случайной ошибки
i .
Если зависимая переменная y одного уравнения выступает в виде
фактора x в другом уравнении, то исследователь может строить модель в
виде системы рекурсивных уравнений:
y1 a11 x1 a12 x2 ... a1n xn 1 ,
y2 b21 y1 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn 2 ,
(3.2)
y3 b31 y1 b32 y2 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn 2 ,
.........................................................................
ym bm1 y1 ... bm ,m1 ym1 am1 x1 am 2 x2 ... amn xn m .
В данной системе зависимая переменная y включает в каждое
последующее уравнение в качестве факторов все зависимые переменные
предшествующих уравнений наряду с набором собственно факторов x .
Каждое уравнение этой системы может рассматриваться самостоятельно, и
его параметры определяются методом наименьших квадратов (МНК).
Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях
получила система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же
зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других
уравнениях – в правую часть системы:
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn 1 ,
y1 b12 y2 b13 y3 ... b1m ym
a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn 2 ,
y2 b21 y1 b23 y3 ... b2 m ym
a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn 2 , (3.3)
y3 b31 y1 b32 y2 ... b3m ym
............................................................................................
ym bm1 y1 bm 2 y2 ... bm,m1 ym1 am1 x1 am 2 x2 ... amn xn n .
Система взаимозависимых уравнений получила название системы
совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в
системе одни и те же переменные одновременно рассматриваются как
зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике
эта система уравнений называется также структурной формой модели. В
84
отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных
уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его
параметров традиционный МНК неприменим. С этой целью используются
специальные приемы оценивания.
3.1. Структурная и приведенная формы модели
Система совместных, одновременных уравнений (или структурная
форма модели) обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные.
Эндогенные переменные – это зависимые переменные, число которых
равно числу уравнений в системе и которые обозначаются через y .
Экзогенные
влияющие
на
переменные
эндогенные
–
это
предопределенные
переменные,
но
не
переменные,
зависящие
от
них.
Обозначаются через x .
Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от
теоретической концепции принятой модели. Экономические переменные
могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других как экзогенные
переменные. Внеэкономические переменные (например, климатические
условия, социальное положение, пол, возрастная категория) входят в систему
только как экзогенные переменные. В качестве экзогенных переменных
могут
рассматриваться
значения
эндогенных
переменных
за
предшествующий период времени (лаговые переменные).
Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений
любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной.
Целесообразно
в
качестве
экзогенных
переменных
выбирать
такие
переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и
управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных
переменных.
Структурная форма модели в правой части содержит при эндогенных
переменных коэффициенты bik и экзогенных переменных – коэффициенты
85
aij , которые называются структурными коэффициентами модели. Все
переменные в модели выражены в отклонениях от среднего уровня, т.е. под
x подразумевается x x , а под y – соответственно y y . Поэтому
свободный член в каждом уравнении системы (3.3) отсутствует.
Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов
модели дает, как принято считать в теории, смещенные и несостоятельные
оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов
модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму
модели.
Приведенная форма модели представляет собой систему линейных
функций эндогенных переменных от экзогенных:
y1 11 x1 12 x2 ... 1n xn u1 ,
y x x ... x u ,
2
21 1
22 2
2n n
2
...................................................
ym m1 x1 m 2 x2 ... mn xn um ,
(3.4)
где ij – коэффициенты приведенной формы модели, ui – остаточная
величина для приведенной формы.
По своему виду приведенная форма модели ничем не отличается от
системы
независимых
уравнений,
параметры
которой
оцениваются
традиционным МНК. Применяя МНК, можно оценить ij , а затем оценить
значения эндогенных переменных через экзогенные.
Коэффициенты приведенной формы модели представляют собой
нелинейные
функции
коэффициентов
структурной
формы
модели.
Рассмотрим это положение на примере простейшей структурной модели,
выразив коэффициенты приведенной формы модели через коэффициенты
структурной модели.
Для структурной модели вида
86
y1 b12 y2 a11 x1 1 ,
y2 b21 y1 a22 x2 2
(3.5)
приведенная форма модели имеет вид
y1 11 x1 12 x2 u1 ,
y2 21 x1 22 x2 u2 .
(3.6)
Из первого уравнения (3.5) можно выразить y 2 следующим образом
(ради упрощения опускаем случайную величину):
y2
y1 a11 x1
.
b12
Подставляя во второе уравнение (3.5), имеем
y1 a11 x1
b21 y1 a22 x2 ,
b12
откуда
y1
a11
a b
x1 22 12 x2 .
1 b12b21
1 b12b21
Поступая аналогично со вторым уравнением системы (3.5), получим
y2
a11b21
a22
x1
x2 ,
1 b12b21
1 b12b21
т.е. система (3.5) принимает вид
a11
a22b12
y
x
1 1 b b 1 1 b b x2 ,
12 21
12 21
y a11b21 x a22 x .
2 1 b12b21 1 1 b12b21 2
Таким образом, можно сделать вывод о том, что коэффициенты
приведенной формы модели будут выражаться через коэффициенты
структурной формы следующим образом:
87
11
a11
a b
, 12 22 12 ,
1 b12b21
1 b12b21
21
a11b21
a22
, 22
.
1 b12b21
1 b12b21
Следует заметить, что приведенная форма модели хотя и позволяет
получить значения эндогенной переменной через значения экзогенных
переменных, но аналитически она уступает структурной форме модели, так
как
в
ней
отсутствуют
оценки
взаимосвязи
между
эндогенными
переменными.
3.2. Проблема идентификации
При переходе от приведенной формы модели к структурной
эконометрист сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация –
это единственность соответствия между приведенной и структурной
формами модели.
Структурная модель (3.3) в полном виде содержит m m n 1
параметров, а приведенная форма модели в полном виде содержит m n
параметров. Т.е. в полном виде структурная модель содержит большее число
параметров, чем приведенная форма модели. Соответственно m m n 1
параметров структурной модели не могут быть однозначно определены из
m n параметров приведенной формы модели.
Чтобы получить единственно возможное решение для структурной
модели,
необходимо
предположить, что
некоторые из
структурных
коэффициентов модели ввиду слабой взаимосвязи признаков с эндогенной
переменной из левой части системы равны нулю. Тем самым уменьшится
число структурных коэффициентов модели. Уменьшение числа структурных
коэффициентов модели возможно и другим путем: например, путем
приравнивания некоторых коэффициентов друг к другу, т.е. путем
предположений,
что
их
воздействие
88
на
формируемую
эндогенную
переменную
одинаково.
На
структурные
коэффициенты
могут
накладываться, например, ограничения вида bik aij 0 .
С
позиции
идентифицируемости
структурные
модели
можно
подразделить на три вида:
1)
идентифицируемые;
2)
неидентифицируемые;
3)
сверхидентифицируемые.
Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты
определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам
приведенной формы модели, т. е. если число параметров структурной модели
равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае
структурные
коэффициенты
модели
оцениваются
через
параметры
приведенной формы модели и модель идентифицируема.
Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов
меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные
коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной
формы модели.
Модель
сверхидентифицируема,
если
число
приведенных
коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на
основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более
значений одного структурного коэффициента. В этой модели число
структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной
формы. Сверхидентифицируемая модель в отличие от неидентифицируемой
модели практически решаема, но требует для этого специальных методов
исчисления параметров.
Структурная модель всегда представляет собой систему совместных
уравнений, каждое из которых требуется проверять на идентификацию.
Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы
идентифицируемо.
Если
хотя
бы
одно
из
уравнений
системы
неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой.
89
Сверхидентифицируемая
модель
содержит
хотя
бы
одно
сверхидентифицируемое уравнение.
Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для
каждого уравнения системы. Чтобы уравнение было идентифицируемо,
необходимо, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в
данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу
эндогенных переменных в данном уравнении без одного.
Если обозначить число эндогенных переменных в i -м уравнении
системы через H , а число экзогенных (предопределенных) переменных,
которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение, — через D ,
то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде
следующего счетного правила:
D 1 H
D 1 H
D 1 H
уравнение идентифицируемо
уравнение неидентифицируемо
уравнение сверхидентифицируемо
Для оценки параметров структурной модели система должна быть
идентифицируема или сверхидентифицируема.
Рассмотренное
счетное
правило
отражает
необходимое,
но
недостаточное условие идентификации. Более точно условия идентификации
определяются, если накладывать ограничения на коэффициенты матриц
параметров структурной модели. Уравнение идентифицируемо, если по
отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из
коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу,
определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число
эндогенных переменных в системе без одного.
Целесообразность проверки условия идентификации модели через
определитель матрицы коэффициентов, отсутствующих в данном уравнении,
но присутствующих в других, объясняется тем, что возможна ситуация, когда
для каждого уравнения системы выполнено счетное правило, а определитель
матрицы названных коэффициентов равен нулю. В этом случае соблюдается
лишь необходимое, но недостаточное условие идентификации.
90
В эконометрических моделях часто наряду с уравнениями, параметры
которых должны быть статистически оценены, используются балансовые
тождества переменных, коэффициенты при которых равны 1. В этом
случае, хотя само тождество и не требует проверки на идентификацию, ибо
коэффициенты при переменных в тождестве известны, в проверке на
идентификацию собственно структурных уравнений системы тождества
участвуют.
Рассмотрим пример. Изучается модель вида
Ct a1 b11 Yt b12 Ct 1 1 ,
I a b r b I ,
t
2
21 t
22
t 1
2
rt a3 b31 Yt b32 M t 3 ,
Yt Ct I t Gt ,
где Ct – расходы на потребление в период t , Yt – совокупный доход в
период t , I t – инвестиции в период t , rt – процентная ставка в период t , M t
– денежная масса в период t , Gt – государственные расходы в период t , Ct 1
– расходы на потребление в период t 1 , I t 1 инвестиции в период t 1 .
Первое уравнение – функция потребления, второе уравнение – функция
инвестиций, третье уравнение – функция денежного рынка, четвертое
уравнение – тождество дохода.
Модель представляет собой систему одновременных уравнений.
Проверим каждое ее уравнение на идентификацию.
Модель включает четыре эндогенные переменные
Ct , It , Yt , rt
и
четыре предопределенные переменные (две экзогенные переменные – M t и
Gt и две лаговые переменные – Ct 1 и I t 1 ).
Проверим необходимое условие идентификации для каждого из
уравнений модели.
91
Первое уравнение: Ct a1 b11 Yt b12 Ct 1 1 . Это уравнение
содержит две эндогенные переменные Ct и Yt и одну предопределенную
переменную Ct 1 . Таким образом, H 2 , а D 4 1 3 , т.е. выполняется
условие D 1 H . Уравнение сверхидентифицируемо.
Второе уравнение: It a2 b21 rt b22 I t 1 2 . Оно включает две
эндогенные переменные I t и rt и одну экзогенную переменную I t 1 .
Выполняется
D 1 3 1 H 2 .
условие
Уравнение
сверхидентифицируемо.
Третье уравнение: rt a3 b31 Yt b32 M t 3 . Оно включает две
эндогенные переменные Yt и rt и одну экзогенную переменную M t .
Выполняется
D 1 3 1 H 2 .
условие
Уравнение
сверхидентифицируемо.
Четвертое уравнение: Yt Ct I t Gt . Оно представляет собой
тождество, параметры которого известны. Необходимости в идентификации
нет.
Проверим для каждого уравнения достаточное условие идентификации.
Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели.
Ct
It
rt
Ct 1
b12
I t 1
Mt
Gt
Yt
b11
I уравнение
–1
II уравнение
–1
b21
b22
III уравнение
Тождество
1
1
–1
b31
b32
1
–1
В соответствии с достаточным условием идентификации ранг матрицы
коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение,
должен быть равен числу эндогенных переменных модели без одного.
Первое уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не
входящих в уравнение, имеет вид
92
II уравнение
–1
rt
b21
III уравнение
Тождество
1
–1
It
I t 1
b22
Mt
Gt
b32
1
Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной
подматрицы 3 3 не равен нулю:
b22
b32
Достаточное
0 b22b32 0 .
1
условие
идентификации
для
данного
уравнения
выполняется.
Второе уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не
входящих в уравнение, имеет вид
Yt
b11
b31
Ct
I уравнение
–1
III уравнение
Тождество
1
–1
Ct 1
b12
Mt
Gt
b32
1
Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной
подматрицы 3 3 не равен нулю:
b12
b32
Достаточное
0 b12b32 0 .
1
условие
идентификации
для
данного
уравнения
выполняется.
Третье уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не
входящих в уравнение, имеет вид
I t 1
Gt
Ct 1
b12
–1
1
b22
1
Ct
It
I уравнение
–1
II уравнение
Тождество
1
93
Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной
подматрицы 3 3 не равен нулю:
b12
b22
Достаточное
0 b12b22 0 .
1
условие
идентификации
для
данного
уравнения
выполняется.
Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицируемы.
Приведенная форма модели в общем виде будет выглядеть следующим
образом:
Ct A1 11Ct 1 12 I t 1 13 M t 14Gt u1 ,
I A C I M G u ,
t
2
21 t 1
22 t 1
23
t
24 t
2
rt A3 31Ct 1 32 I t 1 33 M t 34Gt u3 ,
Yt A4 41Ct 1 42 I t 1 43 M t 44Gt u1.
3.3. Методы оценки параметров структурной формы модели
Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными
способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений.
Наибольшее распространение в литературе получили следующие методы
оценивания коэффициентов структурной модели:
1)
косвенный метод наименьших квадратов;
2)
двухшаговый метод наименьших квадратов;
3)
трехшаговый метод наименьших квадратов;
4)
метод максимального правдоподобия с полной информацией;
5)
метод
максимального
правдоподобия
при
информации.
Рассмотрим вкратце сущность каждого из этих методов.
94
ограниченной
Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) применяется в
случае
точно
идентифицируемой
структурной
модели.
Процедура
применения КМНК предполагает выполнение следующих этапов работы.
1.
Структурная модель преобразовывается в приведенную форму
модели.
2.
Для каждого уравнения приведенной формы модели обычным
МНК оцениваются приведенные коэффициенты ij .
3.
Коэффициенты приведенной формы модели трансформируются в
параметры структурной модели.
Если система сверхидентифицируема, то КМНК не используется, ибо
он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели. В этом
случае могут использоваться разные методы оценивания, среди которых
наиболее распространенным и простым является двухшаговый метод
наименьших квадратов (ДМНК).
Основная идея ДМНК – на основе приведенной формы модели
получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения
эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения.
Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить
обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения.
Метод получил название двухшагового МНК, ибо дважды используется
МНК: на первом шаге при определении приведенной формы модели и
нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной
переменной y i i1 x1 i 2 x2 ... in xn и на втором шаге применительно к
структурному
сверхидентифицируемому
уравнению
при
определении
структурных коэффициентов модели по данным теоретических (расчетных)
значений эндогенных переменных.
Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:
1)
все уравнения системы сверхидентифицируемы;
95
система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно
2)
идентифицируемые уравнения.
Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки
структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в
системе
есть
точно
идентифицируемые
уравнения,
то
структурные
коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.
Для примера, рассмотренного в предыдущем параграфе, необходимо
применить именно двухшаговый метод наименьших квадратов. Но можно
сделать следующее замечание. Если из модели исключить тождество дохода,
число эндогенных переменных модели снизится на единицу – переменная Yt
станет экзогенной. А число предопределенных переменных модели не
изменится, т.к. из модели будет исключена эндогенная переменная Gt , но ее
место займет переменная Yt . В правых частях функции потребления и
функции денежного рынка будут находиться только предопределенные
переменные. Функция инвестиций постулирует зависимость эндогенной
переменной I t от эндогенной переменной rt (которая зависит только от
предопределенных переменных) и предопределенной переменной I t 1 . Таким
образом, мы получим рекурсивную систему. Ее параметры можно оценивать
обычным
МНК,
и
нет
необходимости
исследования
уравнения
на
идентификацию.
Косвенный и двухшаговый методы наименьших квадратов подробно
описаны в литературе и рассматриваются как традиционные методы оценки
коэффициентов структурной модели. Эти методы достаточно легко
реализуемы.
Метод максимального правдоподобия рассматривается как наиболее
общий
метод
оценивания,
результаты
которого
при
нормальном
распределении признаков совпадают с МНК. Однако при большом числе
уравнений
системы
вычислительным
этот
метод
процедурам.
приводит
Поэтому
96
в
к
достаточно
качестве
сложным
модификации
используется метод максимального правдоподобия при ограниченной
информации
(метод
наименьшего
дисперсионного
отношения),
разработанный в 1949 г. Т.Андерсоном и Н.Рубиным.
В отличие от метода максимального правдоподобия в данном методе
сняты ограничения на параметры, связанные с функционированием системы
в целом. Это делает решение более простым, но трудоемкость вычислений
остается достаточно высокой. Несмотря на его значительную популярность,
к середине 60-х годов он был практически вытеснен двухшаговым методом
наименьших квадратов (ДМНК) в связи с гораздо большей простотой
последнего.
Дальнейшим развитием ДМНК является трехшаговый МНК (ТМНК),
предложенный в 1962 г. А.Зельнером и Г.Тейлом. Этот метод оценивания
пригоден для всех видов уравнений структурной модели. Однако при
некоторых ограничениях на параметры более эффективным оказывается
ДМНК.
97
4. Временные ряды
При построении эконометрической модели используются два типа
данных:
1)
данные, характеризующие совокупность различных объектов в
определенный момент времени;
2)
данные, характеризующие один объект за ряд последовательных
моментов времени.
Модели,
построенные
по
данным
первого
типа,
называются
пространственными моделями. Модели, построенные на основе второго
типа данных, называются моделями временных рядов.
Временной ряд (ряд динамики) – это совокупность значений какоголибо показателя за несколько последовательных моментов или периодов
времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием
большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три
группы:
1)
факторы, формирующие тенденцию ряда;
2)
факторы, формирующие циклические колебания ряда;
3)
случайные факторы.
Рассмотрим воздействие каждого фактора на временной ряд в
отдельности.
Большинство временных рядов экономических показателей имеют
тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие
множества факторов на динамику изучаемого показателя. Все эти факторы,
взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на
исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его
возрастающую
или
убывающую
тенденцию.
На
рис.
4.1
показан
гипотетический временной ряд, содержащий возрастающую тенденцию.
98
Рис. 4.1.
Также изучаемый показатель может быть подвержен циклическим
колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку
экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени
года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию в летний период
выше, чем в зимний; уровень безработицы в курортных городах в зимний
период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов
данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические
колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка. На рис. 4.2
представлен гипотетический временной ряд, содержащий только сезонную
компоненту.
Рис. 4.2.
Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической
компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма
среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной)
случайной компоненты. Пример ряда, содержащего только случайную
компоненту, приведен на рис. 4.3.
99
Рис. 4.3.
Очевидно, что реальные данные не следуют целиком и полностью из
каких-либо описанных выше моделей. Чаще всего они содержат все три
компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции,
сезонных колебаний и случайной компоненты.
В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно
представить как сумму или произведение трендовой, циклической и
случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как
сумма
перечисленных
компонент,
называется
аддитивной
моделью
временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как
произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной
моделью временного ряда. Основная задача эконометрического исследования
отдельного временного ряда – выявление и придание количественного
выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы
использовать полученную информацию для прогнозирования будущих
значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более
временных рядов.
4.1. Автокорреляция уровней временного ряда
При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний
значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих.
Корреляционную
зависимость
между
последовательными
временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.
100
уровнями
Количественно
ее
можно
измерить
с
помощью
линейного
коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и
уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.
Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:
n
r1
y
t
t 2
n
y
t
t 2
y1 yt 1 y2
y1
2
,
n
y
t 2
t 1
y2
(4.1)
2
где
1 n
y1
yt ,
n 1 t 2
1 n
y2
yt1.
n 1 t 2
Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда
первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними
уровнями ряда t и yt 1 .
Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго
и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго
порядка характеризует тесноту связи между уровнями
yt и yt 2 и
определяется по формуле:
n
r2
y
t
t 3
n
y
t 3
t
y3 yt 2 y4
y3
2
,
n
y
t 3
t 2
y4
(4.2)
2
где
1 n
y3
yt ,
n 2 t 3
Число
периодов,
1 n
y4
yt2 .
n 2 t 3
по
которым
рассчитывается
коэффициент
автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по
которым
рассчитывается
коэффициент
автокорреляции,
уменьшается.
Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности
101
коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг
должен быть не больше n 4 .
Свойства коэффициента автокорреляции.
1.
Он
строится
по
аналогии
с
линейным
коэффициентом
корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи
текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту
автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной)
тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную
тенденцию
(например,
параболу
второго
порядка
или
экспоненту),
коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к
нулю.
2.
По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о
возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство
временных
рядов
экономических
данных
содержат
положительную
автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую
тенденцию.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого,
второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного
ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка
коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет
определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а
следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими
уровнями
ряда
наиболее
тесная,
т.е.
при
помощи
анализа
автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру
ряда.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого
порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее
высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит
циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни
102
один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно
сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда:
либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд
содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно
провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции
уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для
выявления
во
временном
ряде
наличия
или
отсутствия
трендовой
компоненты и циклической (сезонной) компоненты.
Рассмотрим пример. Пусть имеются некоторые условные данные об
общем количестве правонарушений на таможне одного из субъектов РФ
(например, Республики Татарстан).
Таблица 4.1
2002
2001
2000
1999
Год
Квартал
t
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Количество
возбужденных дел, yt
375
371
869
1015
357
471
992
1020
390
355
992
905
461
454
920
927
Построим поле корреляции:
103
Рис. 4.4.
Уже исходя из графика видно, что значения y образуют пилообразную
фигуру.
Рассчитаем
несколько
последовательных
коэффициентов
автокорреляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу.
Таблица 4.2
t
yt
yt 1
yt y1
yt 1 y2
yt y1
yt 1 y2
yt y1
2
yt 1 y2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2
375
371
869
1015
357
471
992
1020
390
355
992
905
3
–
375
371
869
1015
357
471
992
1020
390
355
992
4
–
-328,33
169,67
315,67
-342,33
-228,33
292,67
320,67
-309,33
-344,33
292,67
205,67
5
–
-288,13
-292,13
205,87
351,87
-306,13
-192,13
328,87
356,87
-273,13
-308,13
328,87
6
–
94601,72
-49565,70
64986,98
-120455,66
69898,66
-56230,69
105458,74
-110390,60
94046,85
-90180,41
67638,69
7
–
107800,59
28787,91
99647,55
117189,83
52134,59
85655,73
102829,25
95685,05
118563,15
85655,73
42300,15
8
–
83018,90
85339,94
42382,46
123812,50
93715,58
36913,94
108155,48
127356,20
74600,00
94944,10
108155,48
104
2
1
2
3
4
13
461
905
-238,33
14
454
461
-245,33
15
920
454
220,67
16
927
920
227,67
Сумма
10499 9947
9,05
Среднее
699,33 663,13
–
значение
5
241,87
-202,13
-209,13
256,87
0,05
6
-57644,88
49588,55
-46148,72
58481,59
74085,16
7
56801,19
60186,81
48695,25
51833,63
1153766,39
8
58501,10
40856,54
43735,36
65982,20
1187469,73
–
–
–
–
Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не
на 16, а на 15, т.к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.
Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка по
формуле (4.1):
r1
74085,16
0,063294 .
1153756,39 1187469,73
Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента
автокорреляции второго порядка.
Таблица 4.3
t
yt
yt 2
1
2
3
1
375
–
2
371
–
3
869
375
4
1015
371
5
357
869
6
471
1015
7
992
357
8
1020
471
9
390
992
10
355
1020
11
992
390
12
905
355
13
461
992
14
454
905
15
920
461
16
927
454
Сумма
10128 9027
Среднее
723,43 644,79
значение
yt y3
yt 2 y4
yt y3
yt 2 y4
yt y3
4
–
–
145,57
291,57
-366,43
-252,43
268,57
296,57
-333,43
-368,43
268,57
181,57
-262,43
-269,43
196,57
203,57
-0,02
5
–
–
-269,79
-273,79
224,21
370,21
-287,79
-173,79
347,21
375,21
-254,79
-289,79
347,21
260,21
-183,79
-190,79
-0,06
6
–
–
-39273,33
-79828,95
-82157,27
-93452,11
-77291,76
-51540,90
-115770,23
-138238,62
-68428,95
-52617,17
-91118,32
-70108,38
-36127,60
-38839,12
-1034792,71
7
–
–
21190,62
85013,06
134270,94
63720,90
72129,84
87953,76
111175,56
135740,66
72129,84
32967,66
68869,50
72592,52
38639,76
41440,74
1037835,43
8
–
–
72786,64
74960,96
50270,12
137055,44
82823,08
30202,96
120554,78
140782,54
64917,94
83978,24
120554,78
67709,24
33778,76
36400,82
1116776,36
–
–
–
–
–
Следовательно
105
2
yt 2 y4
2
r2
1034792,71
0,961183 .
1037835,43 1116776,36
Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких
порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу.
Таблица 4.4
Лаг
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Коэффициент автокорреляции уровней
0,063294
–0,961183
–0,036290
0,964735
0,050594
–0,976516
–0,069444
0,964629
0,162064
-0,972918
-0,065323
0,985761
Коррелограмма:
Рис. 4.5.
106
Анализ коррелограммы и графика исходных уровней временного ряда
позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных
колебаний периодичностью в четыре квартала.
4. 2. Моделирование тенденции временного ряда
Распространенным способом моделирования тенденции временного
ряда является построение аналитической функции, характеризующей
зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют
аналитическим выравниванием временного ряда.
Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы,
для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для
построения трендов чаще всего применяются следующие функции:
линейный тренд: y t a b t ;
гипербола: y t a b ;
t
экспоненциальный тренд: y t e
a bt
(или y t a b );
t
степенная функция: y t a t ;
b
полиномы различных степеней: y t a b1 t b2 t ... bm t .
2
Параметры
каждого
из
перечисленных
выше
m
трендов
можно
определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной
время t 1, 2, ..., n , а в качестве зависимой переменной – фактические
уровни временного ряда y t . Для нелинейных трендов предварительно
проводят стандартную процедуру их линеаризации.
Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу
наиболее распространенных способов относятся качественный анализ
изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости
уровней ряда от времени. В этих же целях можно использовать и
коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно
107
определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого
порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если
временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни y t и y t 1
тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого
порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд
содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то
коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней
исходного
ряда
будет
выше,
чем
соответствующий
коэффициент,
рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная
тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут
различаться значения указанных коэффициентов.
Выбор
наилучшего
уравнения
в случае, когда ряд
содержит
нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм
тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента
детерминации и средней ошибки аппроксимации. Этот метод легко
реализуется при компьютерной обработке данных.
4.3. Моделирование сезонных колебаний
Простейший подход к моделированию сезонных колебаний – это
расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и
построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда.
Общий вид аддитивной модели следующий:
Y T S E.
(4.3)
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть
представлен как сумма трендовой ( T ), сезонной ( S ) и случайной ( E )
компонент.
Общий вид мультипликативной модели выглядит так:
Y T S E.
(4.4)
108
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть
представлен как произведение трендовой ( T ), сезонной ( S ) и случайной ( E )
компонент.
Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа
структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно
постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения
сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов.
Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят
мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в
зависимость от значений сезонной компоненты.
Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к
расчету значений T , S и E для каждого уровня ряда.
Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.
1)
Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2)
Расчет значений сезонной компоненты S .
3)
Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и
получение выровненных данных ( T E ) в аддитивной или ( T E ) в
мультипликативной модели.
4)
Аналитическое выравнивание уровней ( T E ) или ( T E ) и
расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда.
5)
Расчет полученных по модели значений ( T E ) или ( T E ).
6)
Расчет
абсолютных
и/или
относительных
ошибок.
Если
полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно
заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд
ошибок E для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных
рядов.
Методику построения каждой из моделей рассмотрим на примерах.
Пример. Построение аддитивной модели временного ряда. Обратимся
к данным об объеме правонарушений на таможне за четыре года,
представленным в табл. 4.1.
109
Было показано, что данный временной ряд содержит сезонные
колебания периодичностью 4, т.к. количество правонарушений в первыйвторой кварталы ниже, чем в третий-четвертый. Рассчитаем компоненты
аддитивной модели временного ряда.
Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом
скользящей средней. Для этого:
1.1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре
квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые
объемы потребления электроэнергии (гр. 3 табл. 4.5).
1.2. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр.
4 табл. 4.5). Полученные таким образом выровненные значения уже не
содержат сезонной компоненты.
1.3. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами
времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных
скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 5 табл. 4.5).
Таблица 4.5
№
квартала,
Количество
правонарушений,
t
yt
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2
375
371
869
1015
357
471
992
1020
390
355
992
905
461
454
920
927
Итого за
четыре
квартала
3
–
2630
2612
2712
2835
2840
2873
2757
2757
2642
2713
2812
2740
2762
–
–
Скользящая
средняя за
четыре
квартала
4
–
657,5
653
678
708,75
710
718,25
689,25
689,25
660,5
678,25
703
685
690,5
–
–
110
Центрированная
скользящая
средняя
Оценка
сезонной
компоненты
5
–
–
655,25
665,5
693,75
709,375
714,125
703,75
689,25
674,875
669,375
690,625
694
687,75
–
–
6
–
–
213,75
349,5
-336,75
-238,375
277,875
316,25
-299,25
-319,875
322,625
214,375
-233
-233,75
–
–
Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между
фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними
(гр. 6 табл. 4.5). Используем эти оценки для расчета значений сезонной
компоненты S (табл. 4.6). Для этого найдем средние за каждый квартал (по
всем годам) оценки сезонной компоненты Si . В моделях с сезонной
компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период
взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма
значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.
Таблица 4.6
Показатели
Год
1999
2000
2001
2002
Всего за i -й квартал
Средняя оценка
сезонной компоненты
для i -го квартала, Si
Скорректированная
сезонная компонента,
I
–
-336,75
-299,25
-233
-869
№ квартала, i
II
III
–
213,75
-238,375
277,875
-319,875
322,625
-233,75
–
-792
814,25
IV
349,5
316,25
214,375
–
880,125
-289,667
-264
271,417
293,375
-292,448
-266,781
268,636
290,593
Si
Для данной модели имеем:
289,667 264 271,417 293,375 11,125 .
Корректирующий коэффициент: k 11,125 4 2,781.
Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты
( Si Si k ) и заносим полученные данные в таблицу 4.6.
Проверим равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:
292,448 266,781 268,636 290,593 0 .
Шаг 3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение
из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины
111
T E Y S (гр. 4 табл. 4.7). Эти значения рассчитываются за каждый
момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.
Таблица 4.7
t
yt
Si
yt Si
T
T S
E yt T S
E2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2
375
371
869
1015
357
471
992
1020
390
355
992
905
461
454
920
927
3
-292,448
-266,781
268,636
290,593
-292,448
-266,781
268,636
290,593
-292,448
-266,781
268,636
290,593
-292,448
-266,781
268,636
290,593
4
667,448
637,781
600,364
724,407
649,448
737,781
723,364
729,407
682,448
621,781
723,364
614,407
753,448
720,781
651,364
636,407
5
672,700
673,624
674,547
675,470
676,394
677,317
678,240
679,163
680,087
681,010
681,933
682,857
683,780
684,703
685,627
686,550
6
380,252
406,843
943,183
966,063
383,946
410,536
946,876
969,756
387,639
414,229
950,569
973,450
391,332
417,922
954,263
977,143
7
-5,252
-35,843
-74,183
48,937
-26,946
60,464
45,124
50,244
2,361
-59,229
41,431
-68,450
69,668
36,078
-34,263
-50,143
8
27,584
1284,721
5503,117
2394,830
726,087
3655,895
2036,175
2524,460
5,574
3508,074
1716,528
4685,403
4853,630
1301,622
1173,953
2514,320
Шаг 4. Определим компоненту T данной модели. Для этого проведем
аналитическое выравнивание ряда ( T E ) с помощью линейного тренда.
Результаты аналитического выравнивания следующие:
T 671,777 0,9233 t .
Подставляя в это уравнение значения t 1, 2, ..., 16 , найдем уровни T
для каждого момента времени (гр. 5 табл. 4.7).
Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной
модели. Для этого прибавим к уровням T значения сезонной компоненты
для соответствующих кварталов (гр. 6 табл. 4.7).
На одном графике отложим фактические значения уровней временного
ряда и теоретические, полученные по аддитивной модели.
112
Рис. 4.6.
Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов
полученных абсолютных ошибок.
R 1
2
E2
yt y
2
1
37911,973
0,970 .
1252743,75
Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97%
общей вариации уровней временного ряда количества правонарушений по
кварталам за 4 года.
Шаг 6. Прогнозирование по аддитивной модели. Предположим, что по
нашему
примеру
необходимо
дать
прогноз
об
общем
объеме
правонарушений на I и II кварталы 2003 года. Прогнозное значение Ft
уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и
сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся
уравнением тренда
113
T 671,777 0,9233 t .
Получим
T17 671,777 0,9233 17 687,473 ;
T18 671,777 0,9233 18 688,396 .
Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны:
S1 292, 448 и S 2 266,781. Таким образом,
F17 T17 S1 687,473 292,448 395 ;
F18 T18 S2 688,396 266,781 422 .
Т.е. в первые два квартала 2003 г. следовало ожидать порядка 395 и 422
правонарушений соответственно.
Построение мультипликативной модели рассмотрим на данных
предыдущего примера.
Шаг 1. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с
методикой построения аддитивной модели.
Таблица 4.8
№
квартала,
Количество
правонарушений,
t
yt
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2
375
371
869
1015
357
471
992
1020
390
355
992
905
461
454
920
927
Итого за
четыре
квартала
3
–
2630
2612
2712
2835
2840
2873
2757
2757
2642
2713
2812
2740
2762
–
–
Скользящая
средняя за
четыре
квартала
4
–
657,5
653
678
708,75
710
718,25
689,25
689,25
660,5
678,25
703
685
690,5
–
–
114
Центрированная
скользящая
средняя
Оценка
сезонной
компоненты
5
–
–
655,25
665,5
693,75
709,375
714,125
703,75
689,25
674,875
669,375
690,625
694
687,75
–
–
6
–
–
1,3262
1,5252
0,5146
0,6640
1,3891
1,4494
0,5658
0,5260
1,4820
1,3104
0,6643
0,6601
–
–
Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления
фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (гр. 6
табл. 4.8). Эти оценки используются для расчета сезонной компоненты S
(табл. 4.9). Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной
компоненты Si . Так же как и в аддитивной модели считается, что сезонные
воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это
выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем
кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число
периодов одного цикла равно 4.
Таблица 4.9
Показатели
Год
1999
2000
2001
2002
Всего за i -й квартал
Средняя оценка
сезонной компоненты
для i -го квартала, Si
Скорректированная
сезонная компонента,
I
–
0,5146
0,5658
0,6643
1,7447
№ квартала, i
II
III
–
1,3262
0,6640
1,3891
0,5260
1,4820
0,6601
–
1,8501
4,1973
IV
1,5252
1,4494
1,3104
–
4,2850
0,5816
0,6167
1,3991
1,4283
0,5779
0,6128
1,3901
1,4192
Si
Имеем
0,5816 0,6167 1,3991 1,4283 4,0257 .
Определяем корректирующий коэффициент:
k4
4,0257
0,9936 .
Скорректированные значения сезонной компоненты Si получаются
при умножении ее средней оценки Si на корректирующий коэффициент k .
Проверяем условие равенство 4 суммы значений сезонной компоненты:
0,5779 0,6128 1,3901 1,4192 4 .
115
Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие
значения
сезонной
компоненты.
В
результате
получим
величины
T E Y S (гр. 4 табл. 4.10), которые содержат только тенденцию и
случайную компоненту.
Таблица 4.10
t
yt
Si
yt Si
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2
375
371
869
1015
357
471
992
1020
390
355
992
905
461
454
920
927
3
0,5779
0,6128
1,3901
1,4192
0,5779
0,6128
1,3901
1,4192
0,5779
0,6128
1,3901
1,4192
0,5779
0,6128
1,3901
1,4192
4
648,9012
605,4178
625,1349
715,1917
617,7539
768,6031
713,6177
718,7148
674,8572
579,3081
713,6177
637,6832
797,7159
740,8616
661,8229
653,1849
T S
T
5
654,9173
658,1982
661,4791
664,7600
668,0409
671,3218
674,6027
677,8836
681,1645
684,4454
687,7263
691,0072
694,2881
697,5690
700,8499
704,1308
6
378,4767
403,3439
919,5221
943,4274
386,0608
411,3860
937,7652
962,0524
393,6450
419,4281
956,0083
980,6774
401,2291
427,4703
974,2515
999,3024
E yt T S
7
0,9908
0,9198
0,9451
1,0759
0,9247
1,1449
1,0578
1,0602
0,9907
0,8464
1,0377
0,9228
1,1490
1,0621
0,9443
0,9277
Шаг 4. Определим компоненту T в мультипликативной модели. Для
этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни T E . В
результате получим уравнение тренда:
T 651,6364 3,2809 t .
Подставляя в это уравнение значения t 1, 2, ..., 16 , найдем уровни T
для каждого момента времени (гр. 5 табл. 4.10).
Шаг 5. Найдем уровни ряда, умножив значения T на соответствующие
значения сезонной компоненты (гр. 6 табл. 4.10). На одном графике
откладываем
фактические
значения
уровней
временного
теоретические, полученные по мультипликативной модели.
116
ряда
и
Рис. 4.7.
Расчет ошибки в мультипликативной модели производится по
формуле:
E Y T S .
Для
сравнения
мультипликативной
модели
и
других
моделей
временного ряда можно, по аналогии с аддитивной моделью, использовать
сумму квадратов абсолютных ошибок yt T S :
2
R
2
y T S
1 t
2
yt y
2
1
43065,02
0,966 .
1252743,75
Сравнивая показатели детерминации аддитивной и мультипликативной
моделей, делаем вывод, что они примерно одинаково аппроксимируют
исходные данные.
117
Шаг 6. Прогнозирование по мультипликативной модели. Если
предположить, что по нашему примеру необходимо дать прогноз об общем
объеме правонарушений на I и II кварталы 2003 года, прогнозное значение
Ft уровня временного ряда в мультипликативной модели есть произведение
трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты
воспользуемся уравнением тренда
T 651,6364 3,2809 t .
Получим
T17 651,6364 3,2809 17 707,4117 ;
T18 651,6364 3,2809 18 710,6926 .
Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны:
S1 0,5779 и S 2 0,6128 . Таким образом
F17 T17 S1 707,4117 0,5779 409 ;
F18 T18 S2 710,6926 0,6128 436 .
Т.е. в первые два квартала 2003 г. следовало ожидать порядка 409 и 436
правонарушений соответственно.
Таким образом, аддитивная и мультипликативная модели дают
примерно одинаковый результат по прогнозу.
4.4. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона
Автокорреляция в остатках может быть вызвана несколькими
причинами, имеющими различную природу.
1.
Она может быть связана с исходными данными и вызвана
наличием ошибок измерения в значениях результативного признака.
2.
В
ряде
случаев
автокорреляция
может быть следствием
неправильной спецификации модели. Модель может не включать фактор,
который оказывает существенное воздействие на результат и влияние
которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться
118
автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор
времени t .
От истинной автокорреляции остатков следует отличать ситуации,
когда причина автокорреляции заключается в неправильной спецификации
функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму
модели, а не использовать специальные методы расчета параметров
уравнения регрессии при наличии автокорреляции в остатках.
Один из более распространенных методов определения автокорреляции
в остатках – это расчет критерия Дарбина-Уотсона:
n
d
t 2
t
t 1
.
n
t 1
Т.е. величина
2
(4.5)
2
t
d
есть отношение суммы квадратов разностей
последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по
модели регрессии.
Можно показать, что при больших значениях n существует следующее
соотношение между критерием Дарбина-Уотсона d и коэффициентом
автокорреляции остатков первого порядка r1 :
d 2 1 r1 .
(4.6)
Таким образом, если в остатках существует полная положительная
автокорреляция и r1 1 , то d 0 . Если в остатках полная отрицательная
автокорреляция, то r1 1 и, следовательно, d 4 . Если автокорреляция
остатков отсутствует, то r1 0 и d 2 . Т.е. 0 d 4 .
Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия
Дарбина-Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза H 0 об отсутствии
*
автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы H 1 и H 1 состоят,
соответственно,
в
наличии
положительной
119
или
отрицательной
автокорреляции
в
остатках.
Далее
по
специальным
таблицам
(см.
приложение E) определяются критические значения критерия ДарбинаУотсона d L и dU для заданного числа наблюдений n , числа независимых
переменных модели m и уровня значимости . По этим значениям числовой
промежуток 0; 4 разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение
каждой из гипотез с вероятностью 1
осуществляется следующим
образом:
0 d d L – есть положительная автокорреляция остатков, H 0
отклоняется, с вероятностью P 1 принимается H 1 ;
d L d dU – зона неопределенности;
dU d 4 dU – нет оснований отклонять H 0 , т.е. автокорреляция
остатков отсутствует;
4 dU d 4 d L – зона неопределенности;
4 d L d 4 – есть отрицательная автокорреляция остатков, H 0
отклоняется, с вероятностью P 1 принимается H 1 .
*
Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону
неопределенности,
то
на
практике
предполагают
существование
автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу H 0 .
Пример. Проверим гипотезу о наличии автокорреляции в остатках для
аддитивной
модели
нашего
временного
промежуточные расчеты заносим в таблицу:
120
ряда. Исходные данные и
Таблица 4.11
t
yt
t E
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2
375
371
869
1015
357
471
992
1020
390
355
992
905
461
454
920
927
Сумма
3
-5,252
-35,843
-74,183
48,937
-26,946
60,464
45,124
50,244
2,361
-59,229
41,431
-68,450
69,668
36,078
-34,263
-50,143
-0,002
t 1
t t 1
4
5
–
-5,252
-35,843
-74,183
48,937
-26,946
60,464
45,124
50,244
2,361
-59,229
41,431
-68,45
69,668
36,078
-34,263
50,141
t2
2
–
935,8093
1469,956
15158,53
5758,23
7640,508
235,3156
26,2144
2292,782
3793,328
10132,44
12073,83
19076,58
1128,288
4947,856
252,1744
84921,85
6
27,584
1284,7
5503,1
2394,8
726,09
3655,9
2036,2
2524,5
5,574
3508,1
1716,5
4685,4
4853,6
1301,6
1174
2514,3
37911,97
Фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона для данной модели
составляет:
d
84921,85
2,24 .
37911,97
Сформулируем гипотезы: H 0 – в остатках нет автокорреляции; H 1 – в
*
остатках есть положительная автокорреляция; H 1
– в остатках есть
отрицательная автокорреляция. Зададим уровень значимости 0,05 . По
таблице
значений
критерия
Дарбина-Уотсона
определим
для
числа
наблюдений n 16 и числа независимых параметров модели k 1 (мы
рассматриваем только зависимость от времени t ) критические значения
d L 1,10 и dU 1,37 . Фактическое значение d -критерия Дарбина-Уотсона
попадает в интервал dU d 4 dU (1,37<2,24<2,63). Следовательно, нет
основания отклонять гипотезу H 0 об отсутствии автокорреляции в остатках.
121
Существует несколько ограничений на применение критерия ДарбинаУотсона.
1.
Он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых
переменных лаговые значения результативного признака.
2.
Методика расчета и использования критерия Дарбина-Уотсона
направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка.
3.
Критерий Дарбина-Уотсона дает достоверные результаты только
для больших выборок.
122
Приложение B
Тестовые задания
Парная регрессия и корреляция
1. Наиболее наглядным видом выбора уравнения парной регрессии
является:
а) аналитический;
б) графический;
в) экспериментальный (табличный).
2. Рассчитывать параметры парной линейной регрессии можно,
если у нас есть:
а) не менее 5 наблюдений;
б) не менее 7 наблюдений;
в) не менее 10 наблюдений.
3. Суть метода наименьших квадратов состоит в:
а) минимизации суммы остаточных величин;
б) минимизации дисперсии результативного признака;
в) минимизации суммы квадратов остаточных величин.
4. Коэффициент линейного парного уравнения регрессии:
а) показывает среднее изменение результата с изменением фактора на
одну единицу;
б) оценивает статистическую значимость уравнения регрессии;
в) показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат,
если фактор изменится на 1%.
5. На основании наблюдений за 50 семьями построено уравнение
регрессии
y 284,56 0,672 x , где y – потребление, x – доход.
Соответствуют
ли знаки и значения коэффициентов регрессии
теоретическим представлениям?
а) да;
123
б) нет;
в) ничего определенного сказать нельзя.
2
6. Суть коэффициента детерминации rxy состоит в следующем:
а) оценивает качество модели из относительных отклонений по
каждому наблюдению;
б) характеризует долю дисперсии результативного признака
y,
объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака;
в) характеризует долю дисперсии y , вызванную влиянием не учтенных
в модели факторов.
7. Качество модели из относительных отклонений по каждому
наблюдению оценивает:
2
а) коэффициент детерминации rxy ;
б) F -критерий Фишера;
в) средняя ошибка аппроксимации A .
8. Значимость уравнения регрессии в целом оценивает:
а) F -критерий Фишера;
б) t -критерий Стьюдента;
2
в) коэффициент детерминации rxy .
9. Классический метод к оцениванию параметров регрессии основан
на:
а) методе наименьших квадратов:
б) методе максимального правдоподобия:
в) шаговом регрессионном анализе.
10. Остаточная сумма квадратов равна нулю:
а) когда правильно подобрана регрессионная модель;
б) когда между признаками существует точная функциональная связь;
в) никогда.
124
11. Объясненная (факторная) сумма квадратов отклонений в
линейной парной модели имеет число степеней свободы, равное:
а) n 1 ;
б) 1;
в) n 2 .
12. Остаточная сумма квадратов отклонений в линейной парной
модели имеет число степеней свободы, равное:
а) n 1 ;
б) 1;
в) n 2 .
13. Общая сумма квадратов отклонений в линейной парной модели
имеет число степеней свободы, равное:
а) n 1 ;
б) 1;
в) n 2 .
14.
Для
оценки
значимости
коэффициентов
регрессии
рассчитывают:
а) F -критерий Фишера;
б) t -критерий Стьюдента;
2
в) коэффициент детерминации rxy .
15. Какое уравнение регрессии нельзя свести к линейному виду:
а) y x a b ln x ;
б) y x a x :
b
в) y x a b x .
c
16. Какое из уравнений является степенным:
а) y x a b ln x ;
б) y x a x :
b
125
в) y x a b x .
c
17. Параметр b в степенной модели является:
а) коэффициентом детерминации;
б) коэффициентом эластичности;
в) коэффициентом корреляции.
18. Коэффициент корреляции rxy может принимать значения:
а) от –1 до 1;
б) от 0 до 1;
в) любые.
19.
Для
функции
ya
b
x
средний
коэффициент
эластичности имеет вид:
а) Э
b x
;
a b x
б) Э
b
;
ax b
в) Э
b x
.
a b x
20. Какое из следующих уравнений нелинейно по оцениваемым
параметрам:
а) y a b x ;
б) y a b ln x ;
в) y a x .
b
Множественная регрессия и корреляция
1. Добавление в уравнение множественной регрессии новой
объясняющей переменной:
а) уменьшает значение коэффициента детерминации;
б) увеличивает значение коэффициента детерминации;
126
в) не оказывает никакого влияние на коэффициент детерминации.
2. Скорректированный коэффициент детерминации:
а) меньше обычного коэффициента детерминации;
б) больше обычного коэффициента детерминации;
в) меньше или равен обычному коэффициенту детерминации;
3.
С
увеличением
числа
объясняющих
переменных
скорректированный коэффициент детерминации:
а) увеличивается;
б) уменьшается;
в) не изменяется.
4. Число степеней свободы для остаточной суммы квадратов в
линейной модели множественной регрессии равно:
а) n 1 ;
б) m ;
в) n m 1.
5. Число степеней свободы для общей суммы квадратов в линейной
модели множественной регрессии равно:
а) n 1 ;
б) m ;
в) n m 1.
6. Число степеней свободы для факторной суммы квадратов в
линейной модели множественной регрессии равно:
а) n 1 ;
б) m ;
в) n m 1.
7.
Множественный
коэффициент
корреляции
Ryx1x2 0,9 .
Определите, какой процент дисперсии зависимой переменной
объясняется влиянием факторов x1 и x2 :
а) 90%;
127
y
б) 81%;
в) 19%.
8. Для построения модели линейной множественной регрессии вида
y a b1 x1 b2 x2 необходимое количество наблюдений должно быть не
менее:
а) 2;
б) 7;
в) 14.
9. Стандартизованные коэффициенты регрессии
i :
а) позволяют ранжировать факторы по силе их влияния на результат;
б) оценивают статистическую значимость факторов;
в) являются коэффициентами эластичности.
10. Частные коэффициенты корреляции:
а) характеризуют тесноту связи рассматриваемого набора факторов с
исследуемым признаком;
б) содержат поправку на число степеней свободы и не допускают
преувеличения тесноты связи;
в) характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим
фактором при элиминировании других факторов, включенных в уравнение
регрессии.
11. Частный F -критерий:
а) оценивает значимость уравнения регрессии в целом;
б) служит мерой для оценки включения фактора в модель;
в) ранжирует факторы по силе их влияния на результат.
12. Несмещенность оценки параметра регрессии, полученной по
МНК, означает:
а) что она характеризуется наименьшей дисперсией;
б) что математическое ожидание остатков равно нулю;
в) увеличение ее точности с увеличением объема выборки.
128
13. Эффективность оценки параметра регрессии, полученной по
МНК, означает:
а) что она характеризуется наименьшей дисперсией;
б) что математическое ожидание остатков равно нулю;
в) увеличение ее точности с увеличением объема выборки.
14. Состоятельность оценки параметра регрессии, полученной по
МНК, означает:
а) что она характеризуется наименьшей дисперсией;
б) что математическое ожидание остатков равно нулю;
в) увеличение ее точности с увеличением объема выборки.
15. Укажите истинное утверждение:
а) скорректированный и обычный коэффициенты множественной
детерминации совпадают только в тех случаях, когда обычный коэффициент
множественной детерминации равен нулю;
б) стандартные ошибки коэффициентов регрессии определяются
значениями всех параметров регрессии;
в) при наличии гетероскедастичности оценки параметров регрессии
становятся смещенными.
16. При наличии гетероскедастичности следует применять:
а) обычный МНК;
б) обобщенный МНК;
в) метод максимального правдоподобия.
17. Фиктивные переменные – это:
а)
атрибутивные
признаки
(например,
как
профессия,
пол,
образование), которым придали цифровые метки;
б)
экономические
переменные,
принимающие
количественные
значения в некотором интервале;
в) значения зависимой переменной за предшествующий период
времени.
129
18.
Если
качественный
фактор
имеет
три
градации, то
необходимое число фиктивных переменных:
а) 4;
б) 3;
в) 2.
Системы эконометрических уравнений
1. Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях
получили:
а) системы независимых уравнений;
б) системы рекурсивных уравнений;
в) системы взаимозависимых уравнений.
2. Эндогенные переменные – это:
а)
предопределенные
переменные,
влияющие
на
зависимые
переменные, но не зависящие от них, обозначаются через x .;
б) зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в
системе и которые обозначаются через y ;
в) значения зависимых переменных за предшествующий период
времени.
3. Экзогенные переменные – это:
а)
предопределенные
переменные,
влияющие
на
зависимые
переменные, но не зависящие от них, обозначаются через x ;
б) зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в
системе и которые обозначаются через y ;
в) значения зависимых переменных за предшествующий период
времени.
4. Лаговые переменные – это:
а)
предопределенные
переменные,
влияющие
переменные, но не зависящие от них, обозначаются через x .;
130
на
зависимые
б) зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в
системе и которые обозначаются через y ;
в) значения зависимых переменных за предшествующий период
времени.
5. Для определения параметров структурную форму модели
необходимо преобразовать в:
а) приведенную форму модели;
б) рекурсивную форму модели;
в) независимую форму модели.
6. Модель идентифицируема, если:
а) число приведенных коэффициентов меньше числа структурных
коэффициентов;
б) если число приведенных коэффициентов больше числа структурных
коэффициентов;
в) если число параметров структурной модели равно числу параметров
приведенной формы модели.
7. Модель неидентифицируема, если:
а) число приведенных коэффициентов меньше числа структурных
коэффициентов;
б) если число приведенных коэффициентов больше числа структурных
коэффициентов;
в) если число параметров структурной модели равно числу параметров
приведенной формы модели.
8. Модель сверхидентифицируема, если:
а) число приведенных коэффициентов меньше числа структурных
коэффициентов;
б) если число приведенных коэффициентов больше числа структурных
коэффициентов;
в) если число параметров структурной модели равно числу параметров
приведенной формы модели.
131
9. Уравнение идентифицируемо, если:
а) D 1 H ;
б) D 1 H ;
в) D 1 H .
10. Уравнение неидентифицируемо, если:
а) D 1 H ;
б) D 1 H ;
в) D 1 H .
11. Уравнение сверхидентифицируемо, если:
а) D 1 H ;
б) D 1 H ;
в) D 1 H .
12. Для определения параметров точно идентифицируемой модели:
а) применяется двушаговый МНК;
б) применяется косвенный МНК;
б) ни один из существующих методов применить нельзя.
13. Для определения параметров сверхидентифицируемой модели:
а) применяется двушаговый МНК;
б) применяется косвенный МНК;
б) ни один из существующих методов применить нельзя.
14. Для определения параметров неидентифицируемой модели:
а) применяется двушаговый МНК;
б) применяется косвенный МНК;
б) ни один из существующих методов применить нельзя.
Временные ряды
1. Аддитивная модель временного ряда имеет вид:
а) Y T S E ;
б) Y T S E ;
в) Y T S E .
132
2. Мультипликативная модель временного ряда имеет вид:
а) Y T S E ;
б) Y T S E ;
в) Y T S E .
3. Коэффициент автокорреляции:
а) характеризует тесноту линейной связи текущего и предыдущего
уровней ряда;
б) характеризует тесноту нелинейной связи текущего и предыдущего
уровней ряда;
в) характеризует наличие или отсутствие тенденции.
4. Аддитивная модель временного ряда строится, если:
а) значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для
различных циклов;
б) амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается;
в) отсутствует тенденция.
5. Мультипликативная модель временного ряда строится, если:
а) значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для
различных циклов;
б) амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается;
в) отсутствует тенденция.
6. На основе поквартальных данных построена аддитивная модель
временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за
первые три квартала равны: 7 – I квартал, 9 – II квартал и –11 – III
квартал. Значение сезонной компоненты за IV квартал есть:
а) 5;
б) –4;
в) –5.
7.
На
основе
мультипликативная
модель
поквартальных
временного
ряда.
данных
построена
Скорректированные
значения сезонной компоненты за первые три квартала равны: 0,8 – I
133
квартал, 1,2 – II квартал и 1,3 – III квартал. Значение сезонной
компоненты за IV квартал есть:
а) 0,7;
б) 1,7;
в) 0,9.
8. Критерий Дарбина-Уотсона применяется для:
а) определения автокорреляции в остатках;
б) определения наличия сезонных колебаний;
в) для оценки существенности построенной модели.
134
Приложение C
Вопросы к экзамену
1.
Определение эконометрики. Эконометрический метод и этапы
эконометрического исследования.
2.
Парная регрессия. Способы задания уравнения парной регрессии.
3.
Линейная модель парной регрессии. Смысл и оценка параметров.
4.
Оценка существенности уравнения в целом и отдельных его
параметров ( F -критерий Фишера и t -критерий Стьюдента).
5.
Прогноз по линейному уравнению регрессии. Средняя ошибка
аппроксимации.
6.
Нелинейная регрессия. Классы нелинейных регрессий.
7.
Регрессии нелинейные относительно включенных в анализ
объясняющих переменных.
8.
Регрессии нелинейные по оцениваемым параметрам.
9.
Коэффициенты эластичности для разных видов регрессионных
моделей.
10.
Корреляция и F -критерий Фишера для нелинейной регрессии.
11.
Отбор факторов при построении уравнения множественной
регрессии.
12.
Оценка параметров уравнения множественной регрессии.
13.
Множественная корреляция.
14.
Частные коэффициенты корреляции.
15.
F -критерий Фишера и частный F -критерий Фишера для
уравнения множественной регрессии.
16.
t -критерий Стьюдента для уравнения множественной регрессии.
17.
Фиктивные переменные во множественной регрессии.
18.
Предпосылки МНК: гомоскедастичность и гетероскедастичность.
19.
Предпосылки МНК: автокорреляция остатков.
20.
Обобщенный МНК.
135
21.
Общие понятия о системах эконометрических уравнений.
22.
Структурная и приведенная формы модели.
23.
Проблема
идентификации.
Необходимое
условие
идентификации.
Достаточное
условие
идентифицируемости.
24.
Проблема
идентифицируемости.
25.
Методы оценки параметров структурной формы модели.
26.
Основные элементы временного ряда.
27.
Автокорреляция уровней временного ряда и выявление его
структуры.
28.
Моделирование
сезонных
колебаний:
аддитивная
модель
временного ряда.
29.
Моделирование сезонных колебаний: мультипликативная модель
временного ряда.
30.
Критерий Дарбина-Уотсона.
136
Приложение D
Варианты индивидуальных заданий
D.1. Парная регрессия и корреляция
Пример. По территориям региона приводятся данные за 199X г.
Таблица D.1
Номер
региона
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Среднедушевой прожиточный
минимум в день одного
трудоспособного, руб., x
78
82
87
79
89
106
67
88
73
87
76
115
Среднедневная заработная
плата, руб., y
133
148
134
154
162
195
139
158
152
162
159
173
Требуется:
1.
Построить линейное уравнение парной регрессии y от x .
2.
Рассчитать
линейный
коэффициент парной
корреляции
и
среднюю ошибку аппроксимации.
3.
Оценить статистическую значимость параметров регрессии и
корреляции с помощью F -критерия Фишера и t -критерия Стьюдента.
4.
Выполнить прогноз заработной платы
y при прогнозном
значении среднедушевого прожиточного минимума x , составляющем 107%
от среднего уровня.
5.
Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его
доверительный интервал.
6.
На одном графике построить исходные данные и теоретическую
прямую.
137
Решение
1.
Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим
расчетную таблицу D.2.
Таблица D.2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Итого
Среднее
значение
2
x
y
yx
x2
y2
yˆ x
y yˆ x
Ai
78
82
87
79
89
106
67
88
73
87
76
115
1027
133
148
134
154
162
195
139
158
152
162
159
173
1869
10374
12136
11658
12166
14418
20670
9313
13904
11096
14094
12084
19895
161808
6084
6724
7569
6241
7921
11236
4489
7744
5329
7569
5776
13225
89907
17689
21904
17956
23716
26244
38025
19321
24964
23104
26244
25281
29929
294377
149
152
157
150
159
174
139
158
144
157
147
183
1869
-16
-4
-23
4
3
21
8
5
12
-10
12,0
2,7
17,2
2,6
1,9
10,8
0,0
0,0
5,3
3,1
7,5
5,8
68,9
85,6
155,8
13484,0
7492,3
24531,4
–
–
5,7
12,84
164,94
16,05
257,76
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
b
yx y x
13484 155,8 85,6 147,52
0,89 ;
7492,3 85,62
164,94
x2 x 2
a y b x 155,8 0,89 85,6 79,62 .
Получено уравнение регрессии:
y 79,62 0,89 x .
С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб.
среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,89 руб.
2.
Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:
rxy b
x
12,84
0,89
0,712 ;
y
16,05
rxy2 0,51.
Это означает, что 51% вариации заработной платы ( y ) объясняется
вариацией фактора x – среднедушевого прожиточного минимума.
Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:
138
A
1
68,9
A
i 12 5,74% .
n
Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как A не
превышает 8-10%.
3.
Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с
помощью F -критерия Фишера. Фактическое значение F -критерия:
Fфакт
rxy2
1 r
2
xy
n 2
0,51
10 10,41 .
1 0,51
Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости
и степенях свободы k1 1 и k2 12 2 10 составляет Fтабл 4,96 . Так
как
Fфакт 10,41 Fтабл 4,96 , то уравнение регрессии признается
статистически значимым.
Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с
помощью
t -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного
интервала каждого из показателей.
Табличное
значение
t -критерия для числа степеней свободы
df n 2 12 2 10 и 0,05 составит tтабл 2,23 .
Определим случайные ошибки ma , mb , mrxy :
ma Sост
mb
x
n x
2
12,6
89907
24,5 ;
12 12,84
Sост
12,6
0,281 ;
x n 12,95 12
mrxy
1 rxy2
n2
1 0,51
0,219 .
12 2
Тогда
ta
a 79,616
3,2 ;
ma
24,6
139
tb
b
0,89
3,2 ;
mb 0,281
trxy
rxy
mrxy
0,712
3,3 .
0,219
Фактические значения t -статистики превосходят табличное значение:
ta 3,2 tтабл 2,3 ; tb 3,3 tтабл 2,3 ; trxy 3,3 tтабл 2,3 ,
поэтому параметры a , b и rxy не случайно отличаются от нуля, а
статистически значимы.
Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии a и
b . Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:
a tтабл ma 2,23 24,5 54,64 ;
b tтабл mb 2,23 0,281 0,62 .
Доверительные интервалы
a a a 79,62 54,64;
amin 79,62 54,64 24,98;
amax 79,62 54,64 134,26;
b b b 0,89 0,62;
bmin 0,89 0,62 0,27;
bmax 0,89 0,62 1,51.
Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит
к выводу о том, что с вероятностью p 1 0,95 параметры a и b ,
находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не
являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.
4.
Полученные
оценки
уравнения
регрессии
позволяют
использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного
минимума составит: x p x 1,07 85,6 1,07 91,6 руб., тогда прогнозное
значение заработной платы составит: y p 79,62 0,89 91,6 161,14 руб.
140
5.
Ошибка прогноза составит:
2
1 xp x
1 91,6 85,6
myˆ p Sост 1
12,6 1
13,22 .
n x x 2
12
12 12,842
2
Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет
превышена, составит:
yˆ p tтабл myˆ p 2,23 13,22 29,48 .
Доверительный интервал прогноза:
yˆ p yˆ p yˆ p 161,14 29,48;
yˆ pmin 161,14 29, 48 131,66 руб.;
yˆ pmax 161,14 29, 48 190,62 руб.
Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является
надежным ( p 1 1 0,05 0,95 ) и находится в пределах от 131,66
руб. до 190,62 руб.
6.
В заключение решения задачи построим на одном графике
исходные данные и теоретическую прямую (рис. D.1):
Рис. D.1.
141
Варианты индивидуальных заданий
Задача 1. По территориям региона приводятся данные за 199X г. (см.
таблицу своего варианта).
Требуется:
1.
Построить линейное уравнение парной регрессии y от x .
2.
Рассчитать
линейный
коэффициент парной
корреляции
и
среднюю ошибку аппроксимации.
3.
Оценить статистическую значимость параметров регрессии и
корреляции с помощью F -критерия Фишера и t -критерия Стьюдента.
4.
Выполнить прогноз заработной платы
y при прогнозном
значении среднедушевого прожиточного минимума x , составляющем 107%
от среднего уровня.
5.
Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его
доверительный интервал.
6.
На одном графике построить исходные данные и теоретическую
прямую.
Вариант 1
Номер
региона
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Среднедушевой прожиточный
минимум в день одного
трудоспособного, руб., x
81
77
85
79
93
100
72
90
71
89
82
111
142
Среднедневная заработная
плата, руб., y
124
131
146
139
143
159
135
152
127
154
127
162
Вариант 2
Номер
региона
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Среднедушевой прожиточный
минимум в день одного
трудоспособного, руб., x
74
81
90
79
89
87
77
93
70
93
87
121
Среднедневная заработная
плата, руб., y
122
134
136
125
120
127
125
148
122
157
144
165
Вариант 3
Номер
региона
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Среднедушевой прожиточный
минимум в день одного
трудоспособного, руб., x
77
85
79
93
89
81
79
97
73
95
84
108
143
Среднедневная заработная
плата, руб., y
123
152
140
142
157
181
133
163
134
155
132
165
Вариант 4
Номер
региона
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Среднедушевой прожиточный
минимум в день одного
трудоспособного, руб., x
83
88
75
89
85
79
81
97
79
90
84
112
Среднедневная заработная
плата, руб., y
137
142
128
140
133
153
142
154
132
150
132
166
Вариант 5
Номер
региона
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Среднедушевой прожиточный
минимум в день одного
трудоспособного, руб., x
79
91
77
87
84
76
84
94
79
98
81
115
144
Среднедневная заработная
плата, руб., y
134
154
128
138
133
144
160
149
125
163
120
162
Вариант 6
Номер
региона
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Среднедушевой прожиточный
минимум в день одного
трудоспособного, руб., x
92
78
79
88
87
75
81
96
80
102
83
94
Среднедневная заработная
плата, руб., y
147
133
128
152
138
122
145
141
127
151
129
147
Вариант 7
Номер
региона
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Среднедушевой прожиточный
минимум в день одного
трудоспособного, руб., x
75
78
81
93
86
77
83
94
88
99
80
112
145
Среднедневная заработная
плата, руб., y
133
125
129
153
140
135
141
152
133
156
124
156
Вариант 8
Номер
региона
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Среднедушевой прожиточный
минимум в день одного
трудоспособного, руб., x
69
83
92
97
88
93
74
79
105
99
85
94
Среднедневная заработная
плата, руб., y
124
133
146
153
138
159
145
152
168
154
127
155
Вариант 9
Номер
региона
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Среднедушевой прожиточный
минимум в день одного
трудоспособного, руб., x
78
94
85
73
91
88
73
82
99
113
69
83
146
Среднедневная заработная
плата, руб., y
133
139
141
127
154
142
122
135
142
168
124
130
Вариант 10
Номер
региона
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Среднедушевой прожиточный
минимум в день одного
трудоспособного, руб., x
97
73
79
99
86
91
85
77
89
95
72
115
Среднедневная заработная
плата, руб., y
161
131
135
147
139
151
135
132
161
159
120
160
D.2. Множественная регрессия и корреляция
Пример. По
20
предприятиям региона изучается зависимость
выработки продукции на одного работника y (тыс. руб.) от ввода в действие
новых основных фондов x1 ( % от стоимости фондов на конец года) и от
удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности
рабочих x2 ( % ).
Номер
предприятия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
x1
x2
7,0
7,0
7,0
7,0
7,0
7,0
8,0
8,0
8,0
10,0
3,9
3,9
3,7
4,0
3,8
4,8
5,4
4,4
5,3
6,8
10,0
14,0
15,0
16,0
17,0
19,0
19,0
20,0
20,0
20,0
Номер
предприятия
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Требуется:
147
y
x1
x2
9,0
11,0
9,0
11,0
12,0
12,0
12,0
12,0
14,0
14,0
6,0
6,4
6,8
7,2
8,0
8,2
8,1
8,5
9,6
9,0
21,0
22,0
22,0
25,0
28,0
29,0
30,0
31,0
32,0
36,0
1.
Построить линейную модель множественной регрессии. Записать
стандартизованное
уравнение
множественной
регрессии.
На
основе
стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов
эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
2.
Найти
коэффициенты
парной,
частной
и
множественной
корреляции. Проанализировать их.
3.
Найти
детерминации.
скорректированный
Сравнить
его
с
коэффициент
множественной
нескорректированным
(общим)
коэффициентом детерминации.
4.
С помощью
F -критерия Фишера оценить статистическую
2
надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации R yx1x2 .
5.
С
помощью
частных
F -критериев
Фишера
оценить
целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора
x1 после x2 и фактора x2 после x1 .
6.
Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь
один значащий фактор.
Решение
Для
удобства
проведения
расчетов
поместим
результаты
промежуточных расчетов в таблицу:
№
y
x1
x2
yx1
yx2
x1 x2
x12
x22
y2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
7,0
7,0
7,0
7,0
7,0
7,0
8,0
8,0
8,0
10,0
9,0
11,0
9,0
3
3,9
3,9
3,7
4,0
3,8
4,8
5,4
4,4
5,3
6,8
6,0
6,4
6,8
4
10,0
14,0
15,0
16,0
17,0
19,0
19,0
20,0
20,0
20,0
21,0
22,0
22,0
5
27,3
27,3
25,9
28,0
26,6
33,6
43,2
35,2
42,4
68,0
54,0
70,4
61,2
6
70,0
98,0
105,0
112,0
119,0
133,0
152,0
160,0
160,0
200,0
189,0
242,0
198,0
7
39,0
54,6
55,5
64,0
64,6
91,2
102,6
88,0
106,0
136,0
126,0
140,8
149,6
8
15,21
15,21
13,69
16,0
14,44
23,04
29,16
19,36
28,09
46,24
36,0
40,96
46,24
9
100,0
196,0
225,0
256,0
289,0
361,0
361,0
400,0
400,0
400,0
441,0
484,0
484,0
10
49,0
49,0
49,0
49,0
49,0
49,0
64,0
64,0
64,0
100,0
81,0
121,0
81,0
148
1
14
15
16
17
18
19
20
Сумма
Ср. знач.
2
11,0
12,0
12,0
12,0
12,0
14,0
14,0
192
9,6
3
7,2
8,0
8,2
8,1
8,5
9,6
9,0
123,8
6,19
4
25,0
28,0
29,0
30,0
31,0
32,0
36,0
446
22,3
5
79,2
96,0
98,4
97,2
102,0
134,4
126,0
1276,3
63,815
6
275,0
336,0
348,0
360,0
372,0
448,0
504,0
4581
229,05
7
180,0
224,0
237,8
243,0
263,5
307,2
324,0
2997,4
149,87
8
51,84
64,0
67,24
65,61
72,25
92,16
81,0
837,74
41,887
9
625,0
784,0
841,0
900,0
961,0
1024,0
1296,0
10828,0
541,4
10
121,0
144,0
144,0
144,0
144,0
196,0
196,0
1958,0
97,9
Найдем средние квадратические отклонения признаков:
y y 2 y 2 97,9 9,62 2,396 ;
x1 x12 x12 41,887 6,192 1,890 ;
x2 x22 x22 541,4 22,32 6,642 .
1.
Вычисление параметров линейного уравнения множественной
регрессии.
Для нахождения параметров линейного уравнения множественной
регрессии
y a b1 x1 b2 x2
необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно
неизвестных параметров a , b1 , b2 :
na b1 x1 b2 x2 y;
2
a x1 b1 x1 b2 x1 x2 yx1 ;
2
a x2 b1 x1 x2 b2 x2 yx2
либо воспользоваться готовыми формулами:
b1
y ryx1 ryx2 rx1x2
;
x1
1 rx21x2
b2
y ryx2 ryx1 rx1x2
;
x2
1 rx21x2
a y b1 x1 b2 x2 .
Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:
149
ryx1
cov y, x1 63,815 6,19 9,6
0,970 ;
y x1
1,890 2,396
ryx2
cov y, x2 229,05 22,3 9,6
0,941 ;
y x2
6,642 2,396
rx1x2
cov x1 , x2 149,87 6,19 22,3
0,943 .
x1 x2
1,890 6,642
Находим
b1
2,396 0,970 0,941 0,943
0,946 ;
1,890
1 0,9432
b2
2,396 0,941 0,970 0,943
0,0856 ;
6,642
1 0,9432
a 9,6 0,946 6,19 0,0856 22,3 1,835 .
Таким образом, получили следующее уравнение множественной
регрессии:
y 1,835 0,946 x1 0,0856 x2 .
Коэффициенты 1 и 2 стандартизованного уравнения регрессии
t y 1t x1 2t x2 , находятся по формулам:
1 b1
x1
1,890
0,946
0,746 ;
y
2,396
2 b2
x2
6,642
0,0856
0,237 .
y
2,396
Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:
t y 0,746 t x1 0,237 t x2 .
Так
как
стандартизованные
коэффициенты
регрессии
можно
сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых
основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем
удельный вес рабочих высокой квалификации.
150
Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи
средних коэффициентов эластичности:
Эi bi
xi
.
yxi
Вычисляем:
6,19
0,61 ;
9,6
Э1 0,946
Э2 0,0856
22,3
0,20 .
9,6
Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения)
или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1%
увеличивает в среднем выработку продукции на 0,61% или 0,20%
соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на
результат y фактора x1 , чем фактора x2 .
Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:
2.
ryx1 0,970 ;
ryx2 0,941;
rx1x2 0,943 .
Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с
результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы x1 и x2
явно
коллинеарны,
т.к.
rx1x2 0,943 0,7 ).
При
такой
сильной
межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из
рассмотрения.
Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи
между результатом и соответствующим фактором при элиминировании
(устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.
При
двух
факторах
частные
коэффициенты
корреляции
рассчитываются следующим образом:
ryx1x2
ryx1 ryx2 rx1x2
1 r 1 r
2
yx2
0,970 0,941 0,943
1 0,941 1 0,943
2
2
x1x2
151
2
0,734 ;
ryx2 x1
ryx2 ryx1 rx1x2
1 r 1 r
2
yx1
0,941 0,970 0,943
1 0,970 1 0,943
2
2
x1x2
0,325 .
2
Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно
увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты
парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой
причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи)
факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной
зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.
Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу
парных коэффициентов корреляции:
Ryx1x2 1
r
,
r11
где
1
r ryx1
ryx2
ryx1
1
rx2 x1
ryx2
rx1x2
1
– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
r11
1
rx2 x1
rx1x2
1
– определитель матрицы межфакторной корреляции.
1
0,970 0,941
r 0,970
1
0,943 1 0,8607 0,8607
;
0,941 0,943
1
0,8855 0,8892 0,9409 0,0058
r11
1
0,943
1 0,8892 0,1108 .
0,943
1
Коэффициент множественной корреляции
152
Ryx1x2 1
0,0058
0,973 .
0,1108
Аналогичный результат получим при использовании других формул:
Ryx1x2
î2ñò
0,305
1 2 1
0,973 ;
y
5,74
Ryx1x2
r
i
yxi
0,746 0,970 0,237 0,941 0,973 ;
Ryx1x2 ... xm 1 1 ryx2 1 1 ryx2 2 x1
1 1 0,970 1 0,325
2
2
0,973
.
Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма
сильную связь всего набора факторов с результатом.
3.
Нескорректированный
коэффициент
множественной
детерминации Ryx1x2 0,947 оценивает долю вариации результата за счет
2
представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь
эта доля составляет 94,7% и указывает на весьма высокую степень
обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами –
на весьма тесную связь факторов с результатом.
Скорректированный коэффициент множественной детерминации
R 1 1 R 2
2
n 1
n m 1
1 1 0,947
20 1
0,941
20 2 1
определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной
дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа
факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным
числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более
94% ) детерминированность результата y в модели факторами x1 и x2 .
4.
Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя
тесноты связи Ryx1x2 дает F -критерий Фишера:
153
R2 n m 1
.
F
2
1 R
m
В нашем случае фактическое значение F -критерия Фишера:
0,9732 20 2 1
151,88 .
1 0,9732
2
Fфакт
Получили, что Fфакт Fтабл 3,49 (при n 20 ), т.е. вероятность
случайно получить такое значение F -критерия не превышает допустимый
уровень значимости 5% . Следовательно, полученное значение не случайно,
оно
сформировалось
под
влиянием
существенных
факторов,
т.е.
подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя
2
тесноты связи R yx1x2 .
5.
С
помощью
частных
F -критериев
Фишера
оценим
целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора
x1 после x2 и фактора x2 после x1 при помощи формул:
Fчаст, x1
Ryx2 1x2 Ryx2 2 n m 1
;
2
1 Ryx1
m
Fчаст, x2
Ryx2 1x2 Ryx2 1 n m 1
.
1 Ryx2 2
m
2
2
Найдем Ryx1 и R yx2 .
Ryx2 1 ryx2 1 0,9702 0,941;
Ryx2 2 ryx2 2 0,9412 0,885 .
Имеем
Fчаст, x1
0,947 0,885 20 2 1
8,9322 ;
1 0,941
2
Fчаст, x2
0,947 0,941 20 2 1
0,4435 .
1 0,885
2
154
Получили, что Fчаст, x2 Fтабл 3, 49 . Следовательно, включение в
модель фактора
x2 после того, как в модель включен фактор x1
статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет
дополнительного
признака
оказывается
x2
незначительным,
несущественным; фактор x2 включать в уравнение после фактора x1 не
следует.
Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель
и рассмотреть вариант включения x1 после x2 , то результат расчета частного
F -критерия для x1 будет иным. Fчаст, x1 Fтабл 3, 49 , т.е. вероятность его
случайного формирования меньше принятого стандарта 0,05 5% .
Следовательно,
значение
частного
F -критерия
для
дополнительно
включенного фактора x1 не случайно, является статистически значимым,
надежным,
достоверным:
прирост
факторной
дисперсии
за
счет
дополнительного фактора x1 является существенным. Фактор x1 должен
присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно
включается после фактора x2 .
6.
Общий вывод состоит в том, что множественная модель с
факторами x1 и x2 с Ryx1x2 0,947 содержит неинформативный фактор x2 .
2
Если исключить фактор x2 , то можно ограничиться уравнением парной
регрессии:
yˆ x 0 1 x 1,99 1,23 x ,
ryx2 0,941 .
Варианты индивидуальных заданий
По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки
продукции на одного работника y (тыс. руб.) от ввода в действие новых
основных фондов x1 (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного
155
веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих x2 (%)
(смотри таблицу своего варианта).
Требуется:
1.
Построить линейную модель множественной регрессии. Записать
стандартизованное
уравнение
множественной
регрессии.
На
основе
стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов
эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
2.
Найти
коэффициенты
парной,
частной
и
множественной
корреляции. Проанализировать их.
3.
Найти
детерминации.
скорректированный
Сравнить
его
с
коэффициент
множественной
нескорректированным
(общим)
коэффициентом детерминации.
4.
С помощью
F -критерия Фишера оценить статистическую
2
надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации R yx1x2 .
5.
С
помощью
частных
F -критериев
Фишера
оценить
целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора
x1 после x2 и фактора x2 после x1 .
6.
Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь
один значащий фактор.
Вариант 1
Номер
предприятия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
x1
x2
6
6
6
7
7
7
8
8
9
10
3,6
3,6
3,9
4,1
3,9
4,5
5,3
5,3
5,6
6,8
9
12
14
17
18
19
19
19
20
21
Номер
предприятия
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
156
y
x1
x2
9
11
11
12
12
13
13
13
14
14
6,3
6,4
7
7,5
7,9
8,2
8
8,6
9,5
9
21
22
24
25
28
30
30
31
33
36
Вариант 2
Номер
предприятия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
x1
x2
6
6
7
7
7
8
8
9
9
10
3,5
3,6
3,9
4,1
4,2
4,5
5,3
5,3
5,6
6
10
12
15
17
18
19
19
20
20
21
Номер
предприятия
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
y
x1
x2
10
11
11
12
12
13
13
14
14
15
6,3
6,4
7
7,5
7,9
8,2
8,4
8,6
9,5
10
21
22
23
25
28
30
31
31
35
36
y
x1
x2
11
11
11
12
12
13
13
13
14
15
6,3
6,4
7,2
7,5
7,9
8,1
8,4
8,6
9,5
9,5
22
22
23
25
27
30
31
32
35
36
y
x1
x2
10
10
11
12
12
13
13
14
14
15
6,3
6,5
7,2
7,5
7,9
8,2
8,4
8,6
9,5
9,6
22
22
24
25
27
30
31
33
35
36
Вариант 3
Номер
предприятия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
x1
x2
7
7
7
7
8
8
8
9
10
10
3,7
3,7
3,9
4,1
4,2
4,9
5,3
5,1
5,6
6,1
9
11
11
15
17
19
19
20
20
21
Номер
предприятия
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Вариант 4
Номер
предприятия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
x1
x2
7
7
7
7
8
8
9
9
10
10
3,5
3,6
3,9
4,1
4,2
4,5
5,3
5,5
5,6
6,1
9
10
12
17
18
19
19
20
21
21
Номер
предприятия
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
157
Вариант 5
Номер
предприятия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
x1
x2
7
7
7
8
8
8
9
9
10
10
3,6
3,6
3,7
4,1
4,3
4,5
5,4
5,5
5,8
6,1
9
11
12
16
19
19
20
20
21
21
Номер
предприятия
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
y
x1
x2
10
11
11
12
13
13
13
14
14
14
6,3
6,9
7,2
7,8
8,1
8,2
8,4
8,8
9,5
9,7
21
23
24
25
27
29
31
33
35
34
y
x1
x2
10
10
11
12
12
13
13
13
14
14
6,3
6,8
7,2
7,9
8,1
8,3
8,4
8,8
9,6
9,7
21
22
24
25
26
29
31
32
35
36
y
x1
x2
10
11
11
12
12
12
13
13
13
14
6,8
7,4
7,8
7,5
7,9
8,1
8,4
8,7
9,5
9,7
21
23
24
26
28
30
31
32
33
35
Вариант 6
Номер
предприятия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
x1
x2
7
7
7
7
8
8
9
9
10
10
3,5
3,6
3,8
4,2
4,3
4,7
5,4
5,6
5,9
6,1
9
10
14
15
18
19
19
20
20
21
Номер
предприятия
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Вариант 7
Номер
предприятия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
x1
x2
7
7
7
7
7
8
8
9
9
10
3,8
3,8
3,9
4,1
4,6
4,5
5,3
5,5
6,1
6,8
11
12
16
17
18
18
19
20
20
21
Номер
предприятия
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
158
Вариант 8
Номер
предприятия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
x1
x2
7
7
7
7
8
8
9
9
11
10
3,8
4,1
4,3
4,1
4,6
4,7
5,3
5,5
6,9
6,8
9
14
16
17
17
18
20
20
21
21
Номер
предприятия
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
y
x1
x2
11
11
12
12
12
13
13
14
14
15
7,1
7,5
7,8
7,6
7,9
8,1
8,5
8,7
9,6
9,8
22
23
25
27
29
30
32
32
33
36
y
x1
x2
11
12
13
12
13
13
13
14
14
14
7,1
7,5
7,8
7,9
8,1
8,4
8,6
8,8
9,6
9,9
22
25
26
27
30
31
32
32
34
36
y
x1
x2
10
11
12
11
12
12
12
13
13
14
7,2
7,6
7,8
7,9
8,2
8,4
8,6
8,8
9,2
9,6
23
25
26
28
30
31
32
32
33
34
Вариант 9
Номер
предприятия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
x1
x2
7
7
7
7
8
8
9
9
10
10
3,9
4,2
4,3
4,4
4,6
4,8
5,3
5,7
6,9
6,8
12
13
15
17
18
19
19
20
21
21
Номер
предприятия
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Вариант 10
Номер
предприятия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
x1
x2
7
7
7
7
7
8
8
8
9
10
3,6
4,1
4,3
4,4
4,5
4,8
5,3
5,6
6,7
6,9
12
14
16
17
18
19
20
20
21
22
Номер
предприятия
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
159
D.3. Системы эконометрических уравнений
Пример решения типовой задачи смотри в разделе 3.
Варианты индивидуальных заданий
Даны системы эконометрических уравнений.
Требуется
1.
Применив необходимое и достаточное условие идентификации,
определите, идентифицируемо ли каждое из уравнений модели.
2.
Определите метод оценки параметров модели.
3.
Запишите в общем виде приведенную форму модели.
Вариант 1
Модель протекционизма Сальватора (упрощенная версия):
M t a1 b12 N t b13 St b14 Et 1 b15 M t 1 1 ,
Nt a2 b21M t b23 St b26Yt 2 ,
S a b M b N b X .
3
31
t
32 t
36 t
3
t
где M – доля импорта в ВВП; N – общее число прошений об освобождении
от таможенных пошлин; S
– число удовлетворенных прошений об
освобождении от таможенных пошлин; E – фиктивная переменная, равная 1
для тех лет, в которые курс доллара на международных валютных рынках
был искусственно завышен, и 0 – для всех остальных лет; Y – реальный
ВВП; X – реальный объем чистого экспорта; t – текущий период; t 1 –
предыдущий период.
Вариант 2
Макроэкономическая модель (упрощенная версия модели Клейна):
Ct a1 b12Yt b13Tt 1 ,
I t a2 b21Yt b24 K t 1 2 ,
Y C I ,
t
t
t
где C – потребление; I – инвестиции; Y – доход; T – налоги; K – запас
капитала; t – текущий период; t 1 – предыдущий период.
160
Вариант 3
Макроэкономическая модель экономики США (одна из версий):
Ct a1 b11Yt b12Ct 1 1 ,
I a b Y b r ,
t
2
21 t
23 t
2
rt a3 b31Yt b34 M t b35 rt 1 3 ,
Yt Ct I t Gt ,
где C – потребление; Y – ВВП; I – инвестиции; r – процентная ставка; M
– денежная масса; G – государственные расходы; t – текущий период; t 1
– предыдущий период.
Вариант 4
Модель Кейнса (одна из версий):
Ct a1 b11Yt b12Yt 1 1 ,
I t a2 b21Yt 2 ,
Y C I G ,
t
t
t
t
где C
– потребление; Y
– ВВП; I
– валовые инвестиции; G –
государственные расходы; t – текущий период; t 1 – предыдущий период.
Вариант 5
Модель денежного и товарного рынков:
Rt a1 b12Yt b14 M t 1 ,
Yt a2 b21 Rt b23 I t b25Gt 2 ,
I a b R ,
3
31 t
3
t
где R – процентные ставки; Y – реальный ВВП; M – денежная масса; I –
внутренние инвестиции; G – реальные государственные расходы.
Вариант 6
Модифицированная модель Кейнса:
Ct a1 b11Yt 1 ,
I t a2 b21Yt b22Yt 1 2 ,
Y C I G ,
t
t
t
t
161
где C – потребление; Y – доход; I – инвестиции; G – государственные
расходы; t – текущий период; t 1 – предыдущий период.
Вариант 7
Макроэкономическая модель:
Ct a1 b11 Dt 1 ,
I a b Y b Y ,
t
2
22 t
23 t 1
2
Yt Dt Tt ,
Dt Ct I t Gt ,
где C – расходы на потребление; Y – чистый национальный продукт; D –
чистый национальный доход; I – инвестиции; T – косвенные налоги; G –
государственные расходы; t – текущий период; t 1 – предыдущий период.
Вариант 8
Гипотетическая модель экономики:
Ct a1 b11Yt b12 J t 1 ,
J a b Y ,
t
2
21 t 1
2
Tt a3 b31Yt 3 ,
Yt Ct J t Gt ,
где C – совокупное потребление в период t ; Y – совокупный доход в
период t ; J – инвестиции в период t ; T – налоги в период t ; G –
государственные доходы в период t .
Вариант 9
Модель денежного рынка:
Rt a1 b11M t b12Yt 1 ,
Yt a2 b21Rt b22 I t 2 ,
I a b R ,
3
33 t
3
t
где R – процентные ставки; Y – ВВП; M – денежная масса; I – внутренние
инвестиции.
Вариант 10
Конъюнктурная модель имеет вид:
162
Ct a1 b11Yt b12Ct 1 1 ,
I a b r b I ,
t
2
21 t
22 t 1
2
rt a3 b31Yt b32 M t 3 ,
Yt Ct I t Gt ,
где C – расходы на потребление; Y – ВВП; I – инвестиции; r – процентная
ставка; M – денежная масса; G – государственные расходы; t – текущий
период; t 1 – предыдущий период.
D.4. Временные ряды
Пример решения типовой задачи смотри в разделе 4.
Варианты индивидуальных заданий
Имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии
( yt ) жителями региона за 16 кварталов.
Требуется:
Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о
1.
наличии сезонных колебаний.
Построить аддитивную модель временного ряда (для нечетных
2.
вариантов) или мультипликативную модель временного ряда (для четных
вариантов).
Сделать прогноз на 2 квартала вперед.
3.
Варианты 1, 2
t
yt
t
yt
1
2
3
4
5
6
7
8
5,8
4,5
5,1
9,1
7,0
5,0
6,0
10,1
9
10
11
12
13
14
15
16
7,9
5,5
6,3
10,8
9,0
6,5
7,0
11,1
163
Варианты 3, 4
t
yt
t
yt
1
2
3
4
5
6
7
8
5,5
4,6
5,0
9,2
7,1
5,1
5,9
10,0
9
10
11
12
13
14
15
16
8,0
5,6
6,4
10,9
9,1
6,4
7,2
11,0
Варианты 5, 6
t
yt
t
yt
1
2
3
4
5
6
7
8
5,3
4,7
5,2
9,1
7,0
5,0
6,0
10,1
9
10
11
12
13
14
15
16
8,2
5,5
6,5
11,0
8,9
6,5
7,3
11,2
Варианты 7, 8
t
yt
t
yt
1
2
3
4
5
6
7
8
5,5
4,8
5,1
9,0
7,1
4,9
6,1
10,0
9
10
11
12
13
14
15
16
8,3
5,4
6,4
10,9
9,0
6,6
7,5
11,2
Варианты 9, 10
t
yt
t
yt
1
2
3
4
5
6
7
8
5,6
4,7
5,2
9,1
7,0
5,1
6,0
10,2
9
10
11
12
13
14
15
16
8,2
5,6
6,4
10,8
9,1
6,7
7,5
11,3
164
Приложение Е
Математико-статистические таблицы
E.1. Таблица значений F -критерия Фишера при уровне значимости
0,05
k1
k2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
35
40
45
1
2
3
4
5
6
8
12
24
2
161,5
18,51
10,13
7,71
6,61
5,99
5,59
5,32
5,12
4,96
4,84
4,75
4,67
4,60
4,54
4,49
4,45
4,41
4,38
4,35
4,32
4,30
4,28
4,26
4,24
4,22
4,21
4,20
4,18
4,17
4,12
4,08
4,06
3
199,5
19,00
9,55
6,94
5,79
5,14
4,74
4,46
4,26
4,10
3,98
3,88
3,80
3,74
3,68
3,63
3,59
3,55
3,52
3,49
3,47
3,44
3,42
3,40
3,38
3,37
3,35
3,34
3,33
3,32
3,26
3,23
3,21
4
215,7
19,16
9,28
6,59
5,41
4,76
4,35
4,07
3,86
3,71
3,59
3,49
3,41
3,34
3,29
3,24
3,20
3,16
3,13
3,10
3,07
3,05
3,03
3,01
2,99
2,98
2,96
2,95
2,93
2,92
2,87
2,84
2,81
5
224,6
19,25
9,12
6,39
5,19
4,53
4,12
3,84
3,63
3,48
3,36
3,26
3,18
3,11
3,06
3,01
2,96
2,93
2,90
2,87
2,84
2,82
2,80
2,78
2,76
2,74
2,73
2,71
2,70
2,69
2,64
2,61
2,58
6
230,2
19,30
9,01
6,26
5,05
4,39
3,97
3,69
3,48
3,33
3,20
3,11
3,02
2,96
2,90
2,85
2,81
2,77
2,74
2,71
2,68
2,66
2,64
2,62
2,60
2,59
2,57
2,56
2,54
2,53
2,48
2,45
2,42
7
233,9
19,33
8,94
6,16
4,95
4,28
3,87
3,58
3,37
3,22
3,09
3,00
2,92
2,85
2,79
2,74
2,70
2,66
2,63
2,60
2,57
2,55
2,53
2,51
2,49
2,47
2,46
2,44
2,43
2,42
2,37
2,34
2,31
8
238,9
19,37
8,84
6,04
4,82
4,15
3,73
3,44
3,23
3,07
2,95
2,85
2,77
2,70
2,64
2,59
2,55
2,51
2,48
2,45
2,42
2,40
2,38
2,36
2,34
2,32
2,30
2,29
2,28
2,27
2,22
2,18
2,15
9
243,9
19,41
8,74
5,91
4,68
4,00
3,57
3,28
3,07
2,91
2,79
2,69
2,60
2,53
2,48
2,42
2,38
2,34
2,31
2,28
2,25
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
2,10
2,09
2,04
2,00
1,97
10
249,0
19,45
8,64
5,77
4,53
3,84
3,41
3,12
2,90
2,74
2,61
2,50
2,42
2,35
2,29
2,24
2,19
2,15
2,11
2,08
2,05
2,03
2,00
1,98
1,96
1,95
1,93
1,91
1,90
1,89
1,83
1,79
1,76
11
254,3
19,50
8,53
5,63
4,36
3,67
3,23
2,93
2,71
2,54
2,40
2,30
2,21
2,13
2,07
2,01
1,96
1,92
1,88
1,84
1,81
1,78
1,76
1,73
1,71
1,69
1,67
1,65
1,64
1,62
1,57
1,51
1,48
165
1
50
60
70
80
90
100
125
150
200
300
400
500
1000
2
4,03
4,00
3,98
3,96
3,95
3,94
3,92
3,90
3,89
3,87
3,86
3,86
3,85
3,84
3
3,18
3,15
3,13
3,11
3,10
3,09
3,07
3,06
3,04
3,03
3,02
3,01
3,00
2,99
4
2,79
2,76
2,74
2,72
2,71
2,70
2,68
2,66
2,65
2,64
2,63
2,62
2,61
2,60
5
2,56
2,52
2,50
2,49
2,47
2,46
2,44
2,43
2,42
2,41
2,40
2,39
2,38
2,37
6
2,40
2,37
2,35
2,33
2,32
2,30
2,29
2,27
2,26
2,25
2,24
2,23
2,22
2,21
7
2,29
2,25
2,23
2,21
2,20
2,19
2,17
2,16
2,14
2,13
2,12
2,11
2,10
2,09
8
2,13
2,10
2,07
2,06
2,04
2,03
2,01
2,00
1,98
1,97
1,96
1,96
1,95
1,94
9
1,95
1,92
1,89
1,88
1,86
1,85
1,83
1,82
1,80
1,79
1,78
1,77
1,76
1,75
10
1,74
1,70
1,67
1,65
1,64
1,63
1,60
1,59
1,57
1,55
1,54
1,54
1,53
1,52
11
1,44
1,39
1,35
1,31
1,28
1,26
1,21
1,18
1,14
1,10
1,07
1,06
1,03
1
E.2. Критические значения t -критерия Стьюдента при уровне
значимости 0,10, 0,05, 0,01 (двухсторонний)
Число
степеней
свободы
d.f.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
00,10
0,05
0,01
6,3138
2,9200
2,3534
2,1318
2,0150
1,9432
1,8946
1,8595
1,8331
1,8125
1,7959
1,7823
1,7709
1,7613
1,7530
1,7459
1,7396
12,706
4,3027
3,1825
2,7764
2,5706
2,4469
2,3646
2,3060
2,2622
2,2281
2,2010
2,1788
2,1604
2,1448
2,1315
2,1199
2,1098
63,657
9,9248
5,8409
4,5041
4,0321
3,7074
3,4995
3,3554
3,2498
3,1693
3,1058
3,0545
3,0123
2,9768
2,9467
2,9208
2,8982
Число
степеней
свободы
d.f.
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
166
00,10
0,05
0,01
1,7341
1,7291
1,7247
1,7207
1,7171
1,7139
1,7109
1,7081
1,7056
1,7033
1,7011
1,6991
1,6973
1,6839
1,6707
1,6577
1,6449
2,1009
2,0930
2,0860
2,0796
2,0739
2,0687
2,0639
2,0595
2,0555
2,0518
2,0484
2,0452
2,0423
2,0211
2,0003
1,9799
1,9600
2,8784
2,8609
2,8453
2,8314
2,8188
2,8073
2,7969
2,7874
2,7787
2,7707
2,7633
2,7564
2,7500
2,7045
2,6603
2,6174
2,5758
E.3. Значения статистик Дарбина-Уотсона d L dU при 5%-ном
уровне значимости
n
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
k 1
dU
dL
0,61
0,70
0,76
0,82
0,88
0,93
0,97
1,01
1,05
1,08
1,10
1,13
1,16
1,18
1,20
1,22
1,24
1,26
1,27
1,29
1,30
1,32
1,33
1,34
1,35
1,40
1,36
1,33
1,32
1,32
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,45
1,46
1,47
1,48
1,48
1,49
k 2
dU
dL
0,47
0,56
0,63
0,70
0,66
0,81
0,86
0,91
0,95
0,98
1,02
1,05
1,08
1,10
1,13
1,15
1,17
1,19
1,21
1,22
1,24
1,26
1,27
1,28
1,90
1,78
1,70
1,64
1,60
1,58
1,56
1,55
1,54
1,54
1,54
1,53
1,53
1,54
1,54
1,54
1,54
1,55
1,55
1,55
1,56
1,56
1,56
1,57
k 3
dU
dL
0,37
0,46
0,53
0,60
0,66
0,72
0,77
0,82
0,86
0,90
0,93
0,97
1,00
1,03
1,05
1,08
1,10
1,12
1,14
1,16
1,18
1,20
1,21
167
2,29
2,13
2,02
1,93
1,86
1,82
1,78
1,75
1,73
1,71
1,69
1,68
1,68
1,67
1,66
1,66
1,66
1,66
1,65
1,65
1,65
1,65
1,65
k 4
dU
dL
0,69
0,74
0,78
0,82
0,85
0,90
0,93
0,96
0,99
1,01
1,04
1,06
1,08
1,10
1,12
1,14
1,97
1,93
1,90
1,87
1,85
1,83
1,81
1,80
1,79
1,78
1,77
1,76
1,76
1,75
1,74
1,74
k 5
dU
dL
0,56
0,62
0,67
0,71
0,75
0,79
0,83
0,86
0,90
0,93
0,95
0,98
1,01
1,03
1,05
1,07
2,21
2,15
2,10
2,06
2,02
1,99
1,96
1,94
1,92
1,99
1,89
1,88
1,86
1,85
1,84
1,83
Литература
Основная:
1.
Елисеева,
И. И. Эконометрика :
учебник
для
магистров /
И. И. Елисеева. — Москва : Издательство Юрайт, 2014. — 449 с. — (Бакалавр и
магистр. Академический курс). — ISBN 978-5-9916-3202-7. — Текст : электронный
// ЭБС Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/376042 (дата обращения:
09.10.2020).
2.
Практикум по эконометрике: Учебн. пособие / Под ред. И.И.
Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 192 с.
Дополнительная:
3.
Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под
ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 311 с.
4.
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика.
Начальный курс: Учебник. – М.: Дело, 2001. – 400 с.
5.
Катышев П.К., Магнус Я.Р., Пересецкий А.А. Сборник задач к
начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 2002. – 208 с.
6.
Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для
вузов: В 2-х т. – Т. 1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Теория вероятностей и
прикладная статистика. – М: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 656 с.
7.
Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для
вузов: В 2-х т. – Т. 2. Айвазян С.А. Основы эконометрики. – М: ЮНИТИДАНА, 2001. – 432 с.
8.
Эконометрика: Учебник / Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. – М.:
Издательство «Экзамен», 2003. – 512 с.
9.
Сборник задач по эконометрике: Учебное пособие для студентов
экономических вузов / Сост. Е.Ю. Дорохина, Л.Ф. Преснякова, Н.П.
Тихомиров. – М.: Издательство «Экзамен», 2003. – 224 с.
10.
Кулинич Е.И. Эконометрия. – М.: Финансы и статистика, 2001. –
304 с.
168
11.
Эконометрика: Учебн. пособие для вузов / А.И. Орлов – М.:
Издательство «Экзамен», 2002. – 576 с.
12.
Мардас А.Н. Эконометрика. – СПб: Питер, 2001. – 144 с.
13.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика:
Учебн. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 2002. – 479 с.
169