Регрессии со стационарными переменными

Регрессии со стационарными переменными Стационарная регрессия 1 / 90 Для 𝑋, 𝑌 ∼ 𝐼(0) 𝑌𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝑋𝑡 + 𝜀𝑡 Асимптотически верны старые результаты (𝑡, 𝐹, 𝑅2 ). Если хотя бы один ряд содержит тренд, то слдеует добавить его в уравнение 𝑌𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝑋𝑡 + 𝛾𝑡 + 𝜀𝑡 Следите за автокорреляцией! О.А.Подкорытова Стационарная регрессия 2 / 90 Тест Бройша-Годфри Сохраним остатки и оценим 𝑒𝑡 = 𝜌1𝑒𝑡−1 + · · · + 𝜌𝑘 𝑒𝑡−𝑘 + 𝑢𝑡 𝐻0 : 𝜌1 = 𝜌2 = · · · = 𝜌𝑘 = 0 При 𝐻0 статистика 𝑛𝑅2 имеет распределение 𝜒2 (𝑘). О.А.Подкорытова Стационарная регрессия 3 / 90 CAPM Capital assets pricing model 𝑟𝑚 – рыночная доходность 𝑟𝑓 – безрисковая доходность 𝑟– 𝑟𝑡 − 𝑟𝑓𝑡 = 𝛽(𝑟𝑚𝑡 − 𝑟𝑓𝑡) + 𝜀𝑡 О.А.Подкорытова Стационарная регрессия 4 / 90 Данные RMARKET – NYSE RKFREE – 30-day US treasury bills MOBIL – Mobil Oil 𝑚𝑎𝑟𝑘𝑒𝑡𝑟𝑝𝑡 = 𝑚𝑎𝑟𝑘𝑒𝑡𝑡 − 𝑟𝑘𝑓 𝑟𝑒𝑒𝑡 𝑚𝑜𝑏𝑖𝑙𝑟𝑝𝑡 = 𝑚𝑜𝑏𝑖𝑙𝑡 − 𝑟𝑘𝑓 𝑟𝑒𝑒𝑡 О.А.Подкорытова Стационарная регрессия 5 / 90 О.А.Подкорытова Стационарная регрессия 6 / 90 О.А.Подкорытова Стационарная регрессия 7 / 90 О.А.Подкорытова Стационарная регрессия 8 / 90 Риски 𝐷(𝑟𝑡) = 𝛽 2𝐷(𝑟𝑚𝑡) + 𝐷(𝜀𝑡) 𝑅2 = 0.37 – рыночный 1 − 𝑅2 – индивидуальный (диверсифицируемый) О.А.Подкорытова Стационарная регрессия 9 / 90 Коинтеграция Коинтеграция 10 / 90 ВВП Великобритании и годовые осадки Бразилии О.А.Подкорытова Коинтеграция 11 / 90 ??? 𝐺𝐷𝑃𝑡 = 2.3 + 0.24𝑅𝐴𝐼𝑁𝑡 + 𝜀𝑡 𝑅2 = 0.85, 𝑃 𝑟𝑜𝑏(𝐹 − 𝑡𝑒𝑠𝑡) = 0 http://tylervigen.com/spurious-correlations О.А.Подкорытова Коинтеграция 12 / 90 Другие примеры О.А.Подкорытова Коинтеграция 13 / 90 Другие примеры О.А.Подкорытова Коинтеграция 14 / 90 Ложная (spurious) регрессия Пусть 𝑒, 𝑢 – независимые норм.распред. 𝑌𝑡 = 𝑌𝑡−1 + 𝑒𝑡 𝑋𝑡 = 𝑋𝑡−1 + 𝑢𝑡 𝑌𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝑋𝑡 + 𝜀𝑡 О.А.Подкорытова Коинтеграция 15 / 90 Ложная регрессия О.А.Подкорытова Коинтеграция 16 / 90 В первых разностях О.А.Подкорытова Коинтеграция 17 / 90 Ложная регрессия – это регрессия с некоинтегрируемыми нестационарными переменными. При этом 𝛽^ сходится не-норм.cлуч.велич., 𝑡-статистика расходится 𝑅2 → 1, 𝑇 → ∞ О.А.Подкорытова Коинтеграция 18 / 90 Определение Пусть 𝑋, 𝑌 ∼ 𝐼(1). Говорят, что 𝑋 и 𝑌 коинтегрированы, если существует такой вектор 𝛽 = (𝛽1 , 𝛽2 )′ , что 𝛽1 ̸= 0, 𝛽2 ̸= 0 и 𝑍𝑡 = 𝛽1𝑌𝑡 + 𝛽2𝑋𝑡 ∼ 𝐼(0) 𝑋, 𝑌 ∼ 𝐶𝐼(1, 1) О.А.Подкорытова Коинтеграция 19 / 90 Коинтегрированные ряды О.А.Подкорытова Коинтеграция 20 / 90 Некоинтегрированные ряды О.А.Подкорытова Коинтеграция 21 / 90 Разложение Бевериджа-Нельсона Любой 𝐼(1) процесс представим в виде 𝑌𝑡 = стох.тренд + детерм.тренд + стац ∑︀∞ (cтохастический тренд это 𝑡=1 𝜀𝑡 ) О.А.Подкорытова Коинтеграция 22 / 90 Пояснение к коинтеграции 𝑌𝑡 = 5 𝑋𝑡 = ∞ ∑︁ 𝑡=1 ∞ ∑︁ 𝜀𝑡 + 𝛾𝑡 + 𝑢𝑡 𝜀𝑡 + 𝛿𝑡 + 𝑒𝑡 𝑡=1 𝑌𝑡 − 5𝑋𝑡 = (𝛾 − 5𝛿)𝑡 + 𝑢𝑡 − 5𝑒𝑡 ∼ 𝑇 𝑆 О.А.Подкорытова Коинтеграция 23 / 90 Нормализация 𝛽 − коинтегрирующий вектор Для любого 𝛾 ̸= 0 вектор 𝛾𝛽 – тоже коинтегрирующий вектор. Нормализация 𝛽 = (1, −𝛽2)⊤ О.А.Подкорытова Коинтеграция 24 / 90 Паритет покупательной способности 𝑆𝑡 – обменный курс, 𝑃𝑡, 𝑃𝑡* – уровни цен 𝑆𝑡 = ln 𝑆𝑡 = ln 𝑃𝑡 𝑃𝑡* 𝑃𝑡 𝑃𝑡* 𝛽 = (1; −1) О.А.Подкорытова Коинтеграция 25 / 90 Паритет покупательной способности 𝑆𝑡 – обменный курс, 𝑃𝑡, 𝑃𝑡* – уровни цен 𝑆𝑡 = ln 𝑆𝑡 = ln 𝑃𝑡 𝑃𝑡* 𝑃𝑡 𝑃𝑡* + 𝜀𝑡 𝜀𝑡 ∼ 𝐼(0), 𝛽 = (1; −1) О.А.Подкорытова Коинтеграция 25 / 90 Покрытый паритет процентных ставок 𝑅𝑡 – внутренняя процентная ставка 𝑆𝑡 – спот-курс 𝐹𝑡 – форвардный обменный курс 𝑅𝑡* – процентная ставка другой страны О.А.Подкорытова Коинтеграция 26 / 90 Покрытый паритет процентных ставок Форвардные обменные курсы должны включать разницу процентных ставок между двумя странами, иначе существовала бы возможность для арбитражных сделок. (1 + 𝑅𝑡) = О.А.Подкорытова 𝐹𝑡 𝑆𝑡 (1 + 𝑅𝑡*) Коинтеграция 27 / 90 Покрытый паритет процентных ставок (1 + 𝑅𝑡) = 𝐹𝑡 𝑆𝑡 (1 + 𝑅𝑡*) В логарифмах 𝑓𝑡 − 𝑠𝑡 = 𝑅𝑡 − 𝑅𝑡* 𝑓𝑡 − 𝑠𝑡 = (𝑅𝑡 − 𝑅𝑡*) + О.А.Подкорытова Коинтеграция 28 / 90 Покрытый паритет процентных ставок (1 + 𝑅𝑡) = 𝐹𝑡 𝑆𝑡 (1 + 𝑅𝑡*) В логарифмах 𝑓𝑡 − 𝑠𝑡 = 𝑅𝑡 − 𝑅𝑡* 𝑓𝑡 − 𝑠𝑡 = (𝑅𝑡 − 𝑅𝑡*) + 𝜀𝑡 О.А.Подкорытова Коинтеграция 28 / 90 Примеры коинтеграции-1 Гипотеза постоянного дохода утверждает, что коинтегрированы доход и потребление с коинтегрирующим вектором (1,-1). Уравнение Фишера подразумевает, что коинтегрированы инфляция и номинальная процентная ставка. О.А.Подкорытова Коинтеграция 29 / 90 Примеры коинтеграции-2 Многие модели денежного спроса предполагают коинтеграцию между денежной массой, доходом, ценами и процентными ставками О.А.Подкорытова Коинтеграция 30 / 90 Примеры коинтеграции-3 Теория роста учитывает коинтеграцию между доходом, потреблением и инвестициями. Гипотеза ожиданий временной структуры процентных ставок предполагает коинтеграцию между номинальными процентными ставками с различными сроками платежа. О.А.Подкорытова Коинтеграция 31 / 90 Долгосрочное соотношение Пусть 𝑋, 𝑌 ∼ 𝐶𝐼(1, 1) с (1, −𝛽2 ). 𝑌𝑡 − 𝛽2𝑋𝑡 = 𝑢𝑡 ∼ 𝐼(0) 𝑌𝑡 = 𝛽2𝑋𝑡 + 𝑢𝑡, 𝑢𝑡 ∼ 𝐼(0) Выделим константу: 𝑌𝑡 = 𝛼 + 𝛽2𝑋𝑡 + 𝜀𝑡, 𝜀𝑡 = (𝑢𝑡 − 𝛼) ∼ 𝐼(0) Долгосрочное равновесное соотношение 𝑌𝑡 = 𝛼 + 𝛽2𝑋𝑡 О.А.Подкорытова Коинтеграция 32 / 90 Двухшаговая процедура Ингла-Грейнжера,1987. Engle-Granger Случай двух переменных. О.А.Подкорытова Коинтеграция 33 / 90 Шаг 1 Определение порядка интегрируемости Обе переменные должны иметь одинаковый (естественно, не нулевой) порядок интегрируемости. 𝑋, 𝑌 ∼ 𝐼(0) коинтерации нет, можно оценить 𝑌𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝑋𝑡 + 𝜀𝑡 𝑋 ∼ 𝐼(1), 𝑌 ∼ 𝐼(0) коинтерации нет, можно оценить 𝑌𝑡 = 𝛼 + 𝛽Δ𝑋𝑡 + 𝜀𝑡 𝑋, 𝑌 ∼ 𝐼(1) – есть надежда на коинтеграцию О.А.Подкорытова Коинтеграция 34 / 90 Шаг 2a( Engle-Granger) Пусть коинтегрирующий вектор (1, −𝛽) известен. Вычислим 𝑢𝑡 = 𝑦𝑡 − 𝛽𝑋𝑡 и применим ADF-тест Δ𝑢𝑡 = 𝜇 + 𝜌𝑢𝑡−1 + 𝑘 ∑︁ 𝛼𝑖Δ𝑢𝑡−𝑖 + 𝜈𝑡 𝑖=1 О.А.Подкорытова Коинтеграция 35 / 90 𝐻0 : 𝜌 = 0 (𝑢𝑡 – не стац.) т.е. 𝑋 и 𝑌 не коинтегрированы. 𝐻1 : 𝜌 < 0 (𝑢𝑡 – стац.) т.е. 𝑋 и 𝑌 коинтегрированы. 𝑡𝜌 < 𝑡𝐴𝐷𝐹 𝑐𝑟𝑖𝑡 ⇒ 𝐻0 отвергается О.А.Подкорытова Коинтеграция 36 / 90 Шаг 2b( Engle-Granger) Пусть коинтегрирующий вектор неизвестен. Из регрессии 𝑌𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝑋𝑡 + 𝜀𝑡 получим ^ 𝑡 остатки 𝑒𝑡 = 𝑌𝑡 − 𝛼 ^ − 𝛽𝑋 Δ𝑒𝑡 = 𝜌𝑒𝑡−1 + 𝑘 ∑︁ 𝛼𝑖Δ𝑒𝑡−𝑖 + 𝜈𝑡 𝑖=1 О.А.Подкорытова Коинтеграция 37 / 90 𝐻0 : 𝜌 = 0 (𝑒𝑡 – не стац.) т.е. 𝑋 и 𝑌 не коинтегр. 𝐻1 : 𝜌 < 0 (𝑒𝑡 – стац.) т.е. 𝑋 и 𝑌 коинтегр. 𝑡𝜌 < 𝑡𝐸𝐺 𝑐𝑟𝑖𝑡 ⇒ 𝐻0 отвергается О.А.Подкорытова Коинтеграция 38 / 90 Важно: на шаге 2b используются специальные критические точки. Они лежат левее критических точек для ADF-теста. О.А.Подкорытова Коинтеграция 39 / 90 Суперсостоятельность Stock,1987 𝛽^ = 𝛽 + 𝑂𝑝 𝛽^ = 𝛽 + 𝑂𝑝 (︂ )︂ 1 (︂ 𝑇 1 √ 𝑇 )︂ Дисперсия 𝛽 убывает со скоростью а не 𝑇1 . О.А.Подкорытова Коинтеграция 1 𝑇2 , 40 / 90 Свойства Распределение даже асимптотически НЕ нормально. ^. Мы не можем пользоваться p-value для 𝛽 О.А.Подкорытова Коинтеграция 41 / 90 Замечания Если один из рядов содержит детерминированный тренд, а другой нет, то в регрессию на шаге 2b следует включить тренд. Если в регрессии на шаге 2b есть константа, то оценки по методу наименьших квадратов имеют нулевое среднее, и в уравнении для ADF константа не нужна. В противном случае она необходима. О.А.Подкорытова Коинтеграция 42 / 90 Замечания МакКиннон (1991) нашёл приближённые формулы для вычисления критических значений. О.А.Подкорытова Коинтеграция 43 / 90 Пример J. H. McCulloch, H-C. Kwon (1993) U.S. Term Structure Data, 1947-1991 U.S. Term Structure Data, 1947-1991, Ohio State University Working Paper , 93-6. ftp://ecolan.sbs.ohio-state.edu:/pub/termstruc О.А.Подкорытова Коинтеграция 44 / 90 Данные 𝑅1 – доходность государственных казначейских обязательств США со сроком погашения 1 месяц 𝑅60 – со сроком погашения 5 лет О.А.Подкорытова Коинтеграция 45 / 90 Предварительное тестирование 𝑅1, 𝑅60 ∼ 𝐼(1) без дрейфа и тренда. О.А.Подкорытова Коинтеграция 46 / 90 Доходности О.А.Подкорытова Коинтеграция 47 / 90 Спрэд 𝑆𝑡 = 𝑅60𝑡 − 𝑅1𝑡 𝑆𝑡 ∼ 𝐼(0) ⇓ 𝑅1𝑡, 𝑅60𝑡 ∼ 𝐶𝐼(1, 1) 𝛽 = (1, −1) О.А.Подкорытова Коинтеграция 48 / 90 𝐻0 : 𝑆𝑡 ∼ 𝐷𝑆 𝐻1 : 𝑆𝑡 ∼ 𝑇 𝑆 Шаг 2а О.А.Подкорытова Коинтеграция 49 / 90 AFD для S О.А.Подкорытова Коинтеграция 50 / 90 Тест 𝑡 = −5.57 < −3.44 = 𝑡𝐴𝐷𝐹 0.05 О.А.Подкорытова Коинтеграция 51 / 90 Вывод 𝐻0 : 𝑆𝑡 ∼ 𝐷𝑆 отвергается ⇒ 𝑅60𝑡, 𝑅1𝑡 – коинтегрированы 𝛽 = (1, −1) 𝑅60𝑡 = 1 · 𝑅1𝑡 О.А.Подкорытова Коинтеграция 52 / 90 Цены на газ и удобрения О.А.Подкорытова Коинтеграция 53 / 90 Цены на газ и удобрения Предварительное исследование: ln 𝐹 𝑒𝑟𝑡𝑡, ln 𝐺𝑎𝑠𝑡 ∼ 𝐼(1) Случай 2b О.А.Подкорытова Коинтеграция 54 / 90 МНК О.А.Подкорытова Коинтеграция 55 / 90 Для остатков О.А.Подкорытова Коинтеграция 56 / 90 цены на газ и удобрения 𝑡 = −3.56 < 𝑡𝐸𝐺 0.05 = −3.4 О.А.Подкорытова Коинтеграция 57 / 90 Долгосрочное соотношение ln 𝐹 𝑒𝑟𝑡𝑡 = 1.07 + 0.97 ln 𝐺𝑎𝑠𝑡 О.А.Подкорытова Коинтеграция 58 / 90 Встроенный тест О.А.Подкорытова Коинтеграция 59 / 90 ВВП и СO2 О.А.Подкорытова Коинтеграция 60 / 90 ВВП и СO2 О.А.Подкорытова Коинтеграция 61 / 90 ВВП и СO2 О.А.Подкорытова Коинтеграция 62 / 90 ВВП и СO2 𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡 = −3.51 < 𝑡 = −2.95 Нет коинтеграции О.А.Подкорытова Коинтеграция 63 / 90 ВВП и СO2 О.А.Подкорытова Коинтеграция 64 / 90 Обобщение Определение Пусть 𝑌 = (𝑌𝑡1 , . . . , 𝑌𝑡𝑘 ) ∼ 𝐼(𝑑) и существует такой ненулевой вектор 𝛽 размерности (𝑘 × 1), что 𝛽 ′𝑌 ∼ 𝐼(𝑑 − 𝑏), 0 < 𝑏 6 𝑑. Тогда 𝑌 −ки коинтегрированы: 𝑌1, . . . , 𝑌𝑘 ∼ 𝐶𝐼(𝑑, 𝑏). О.А.Подкорытова Коинтеграция 65 / 90 Но порядок интегрируемости не обязательно должен быть одинаковым, если переменных больше 2. О.А.Подкорытова Коинтеграция 66 / 90 Ограничение 1 Порядок интегрируемости "зависимой" переменной (стоящей в левой части ) не должен быть больше порядков интегрируемости "независимых" переменных (из правой части ). О.А.Подкорытова Коинтеграция 67 / 90 Ограничение 2 Если есть независимая переменная с порядком интегрируемости большим, чем зависимая переменная, то должна быть ещё хотя бы одна независимая переменная с таким же порядком интегрируемости. О.А.Подкорытова Коинтеграция 68 / 90 Пример ln 𝑀𝑡 𝑃𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 ln О.А.Подкорытова 𝑌𝑡 𝑃𝑡 + 𝛽2 𝑅 𝑡 + 𝜀 𝑡 Коинтеграция 69 / 90 Пример 𝑚𝑡 − 𝑝𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1(𝑦𝑡 − 𝑝𝑡) + 𝛽2𝑅𝑡 + 𝜀𝑡 𝑚𝑡 − 𝑝𝑡 – логарифм реальных денежных остатков 𝑦𝑡 − 𝑝𝑡 – логарифм реального дохода 𝑅𝑡 – процентная ставка. О.А.Подкорытова Коинтеграция 70 / 90 США, М1,1959-2008, кварт 𝑚𝑡 −𝑝𝑡 = 0.85+0.26(𝑦𝑡 −𝑝𝑡)−0.018𝑅𝑡 +𝜀𝑡 Остатки 𝑒 Δ𝑒𝑡 = 𝜌𝑒𝑡−1 + 𝑘 ∑︁ Δ𝑒𝑡−𝑖 + 𝜈𝑡 𝑖=1 𝑡𝜌 = −3.8 =< −3.76 = 𝑡𝑐𝑟𝑖𝑡 О.А.Подкорытова Коинтеграция 71 / 90 Преимущества простота устойчивость О.А.Подкорытова Коинтеграция 72 / 90 Недостатки Из-за несимметричности МНК (одна переменная предполагается эндогенной, а другие экзогенными) результат теста зависит от того, какая переменная стоит в левой части уравнения. Допускается существование только одного коинтегрирующего вектора. О.А.Подкорытова Коинтеграция 73 / 90 Error correction model (ECM) Теорема Грейнжера о представлении (Granger Representation Theorem): для коинтегрируемых переменных существует модель коррекции ошибок, описывающая их краткосрочное поведение. 𝑋, 𝑌 ∼ 𝐶𝐼(1, 1) (1, −𝛽) О.А.Подкорытова Коинтеграция 74 / 90 Простейшая ECM Пусть 𝛽 > 0. Δ𝑌𝑡 = 𝜇1+𝜙1Δ𝑋𝑡−𝛾𝑌 (𝑌𝑡−1−𝛼−𝛽𝑋𝑡−1)+𝜀 Всё стационарно! 1 > 𝛾𝑌 > 0 — скорость коррекции 𝛽 > 𝜙1 > 0 О.А.Подкорытова Коинтеграция 75 / 90 ECM О.А.Подкорытова Коинтеграция 76 / 90 Иногда вычисляют период, который требуется для того, чтобы устранить 50% отклонения: 𝑡= О.А.Подкорытова ln 2 𝛾 Коинтеграция 77 / 90 Необходимо самостоятельно специфицировать модель ECM. 𝑌𝑡−1 − 𝛼 − 𝛽𝑋𝑡−1 99K 𝑒𝑡−1 Остатки должны быть похожи на белый шум. О.А.Подкорытова Коинтеграция 78 / 90 Простейшая ECM-2 Δ𝑋𝑡 = 𝜇2+𝜙2Δ𝑌𝑡−𝛾𝑋 (𝑌𝑡−1−𝛼−𝛽𝑋𝑡−1)+ Если есть коинтеграция, то 2 𝛾𝑋 + 𝛾𝑌2 ̸= 0 О.А.Подкорытова Коинтеграция 79 / 90 Общий вид ECM 𝜃(𝐿)Δ𝑌𝑡 = = 𝜇 + 𝜙(𝐿)Δ𝑋𝑡 − 𝛾(𝑌𝑡−1 − 𝛼 − 𝛽𝑋𝑡−1)+ + 𝛼(𝐿)𝜀𝑡, 𝜀𝑡 – белый шум, 𝜃, 𝜙, 𝛼 – полиномы от оператора сдвига. О.А.Подкорытова Коинтеграция 80 / 90 Granger Representation Theorem Хотя бы один из параметров коррекции должен быть отличен от нуля. если 𝑋 и 𝑌 коинтегрированы, то должна быть причинность по Грейнжеру хотя бы в одном направлении. О.А.Подкорытова Коинтеграция 81 / 90 Granger Representation Theorem если переменные имеют первый порядок интегрируемости и существует модель коррекции ошибок, то они будут коинтегрированы. О.А.Подкорытова Коинтеграция 82 / 90 𝑅1, скорость коррекции 9% ECM для О.А.Подкорытова Коинтеграция 83 / 90 𝑅60, коррекции 7% ECM для О.А.Подкорытова скорость Коинтеграция 84 / 90 ECM для lnGAs О.А.Подкорытова Коинтеграция 85 / 90 ECM для lnFert О.А.Подкорытова Коинтеграция 86 / 90 Общие стохастические тренды 𝑌𝑡 = 𝜉𝑡 + 𝜀1𝑡, 𝑋𝑡 = 𝜁𝑡 + 𝜀2𝑡 𝜉, 𝜁 – случайные блуждания, 𝜀1𝑡, 𝜀2𝑡−стационарные процессы 𝑋, 𝑌 ∼ 𝐶𝐼(1, 1) ⇒ существует их стационарная линейная комбинация 𝛽1𝑌𝑡+𝛽2𝑋𝑡 = (𝛽1𝜉𝑡+𝛽2𝜁𝑡)+(𝛽1𝜀1𝑡+𝛽2𝜀2𝑡) 𝛽1 𝜉 𝑡 + 𝛽2 𝜁 𝑡 = 0 О.А.Подкорытова Коинтеграция 87 / 90 Общие тренды 𝑌𝑡 = (𝑌1𝑡, 𝑌2𝑡)⊤ ∼ 𝐼(1) (𝜀1𝑡, 𝜀2𝑡, 𝜀3𝑡)⊤ ∼ 𝐼(0) 𝛽 = (1, −𝛽2)⊤ О.А.Подкорытова Коинтеграция 88 / 90 Общие тренды 𝑌1𝑡 = 𝛽2 𝑡 ∑︁ 𝜀1𝑠 + 𝜀3𝑡 𝑠=1 𝑌2𝑡 = 𝑡 ∑︁ 𝜀1𝑠 + 𝜀2𝑡 𝑠=1 𝑡 ∑︁ 𝜀1𝑠 𝑠=1 О.А.Подкорытова Коинтеграция 89 / 90 Общие тренды 𝛽 ⊤𝑌𝑡 = 𝑌1𝑡 − 𝛽2𝑌2𝑡 = )︃ (︃ 𝑡 𝑡 ∑︁ ∑︁ 𝜀1𝑠 + 𝜀2𝑡 = 𝜀1𝑠 + 𝜀3𝑡 − 𝛽2 = 𝛽2 𝑠=1 𝑠=1 = 𝜀3𝑡 − 𝛽2𝜀2𝑡 ∼ 𝐼(0) О.А.Подкорытова Коинтеграция 90 / 90 Общие тренды 𝑘 рядов и 𝑟 коинтегрирующих векторов ⇓ (𝑘 − 𝑟) общих стохастических трендов О.А.Подкорытова Коинтеграция 91 / 90