Растяжение-сжатие прямого бруса, физико-математические характеристики

Лекция №2 Растяжение – сжатие, физико-математические характеристики материалов Определения. Внутренние силовые факторы, напряжения и деформации при растяжении – сжатии прямого бруса. Закон Гука. Коэффициент Пуассона. Под растяжением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные силы, направленные от сечения, а все прочие внутренние силовые факторы (поперечные силы, крутящий и изгибающий моменты) равны нулю. Под сжатием понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные силы, направленные к сечению, а все прочие внутренние силовые факторы (поперечные силы, крутящий и изгибающий моменты) равны нулю. Обычным является растяжение стержня силами, приложенными к его концам. Передача усилий может быть осуществлена различными способами, однако, во всех случаях, система внешних сил образует равнодействующую F, направленную вдоль оси стержня. Рис. 2.1 Поэтому независимо от условий крепления растянутого стержня расчетная схема оказывается единой (рис. 2.1). Если воспользоваться методом сечений, то становится очевидным, что во всех поперечных сечениях стержня возникают нормальные силы N, равные силе F: N=F. Правило знаков для нормальных сил, при растяжении (сжатии) можно сформулировать следующим образом: если нормальная сила направлена от поперечного сечения бруса, то она считается положительной, если же к сечению – то отрицательной. Сжатие отличается от растяжения формально только знаком силы N. При растяжении нормальная сила N направлена от сечения, а при сжатии – к сечению. Таким образом, при анализе внутренних сил сохраняется единство подхода к вопросам растяжения и сжатия. Вместе с тем, между этими двумя типами нагружения могут обнаружиться и качественные различия. Например, при изучении процессов разрушения материалов или при исследовании поведения длинных и тонких стержней, для которых сжатие сопровождается, как правило, изгибом. Рассмотрим напряжения, возникающие в поперечном сечении растянутого стержня. Нормальная сила N является равнодействующей внутренних сил в сечении (рис. 2.2). Рис. 2.2 Естественно предположить, что для однородного стержня внутренние силы распределены по сечению равномерно. Тогда нормальное напряжение для всех точек сечения будет одним и тем же: σ= N , A (2.1) где А – площадь поперечного сечения. По принципу Сен-Венана: особенности приложения внешних сил к растянутому стержню проявляются, как правило, на расстояниях, не превышающих характерных размеров поперечного сечения стержня. Поэтому и можно считать распределение равномерным, а особенностями неравномерности пренебречь. Для нагруженного по концам растянутого однородного стержня напряжения остаются постоянными как по сечению, так и по длине, т. е. сохраняются неизменными для всех точек объема, занимаемого телом. Такое напряженное состояние называется однородным. При однородном напряженном состоянии все точки тела находятся в одинаковых условиях. Однако, при растяжении не всегда возникает однородное напряженное состояние. Неоднородное напряженное состояние можно наблюдать, например, у стержня с переменной площадью поперечного сечения или у стержня, нагруженного собственным весом. Рассмотрим стержень, нагруженный сосредоточенной силой F и распределенной по длине нагрузкой qz (рис. 2.3). Размеры растянутого стержня меняются в зависимости от величины приложенных силовых факторов. Если до нагружения длина стержня была равна l, то после деформации l+∆l, где ∆l – абсолютное удлинение. Рис. 2.3 Будем считать, что абсолютное удлинение и деформации связаны только с напряжениями, возникающими в стержне. Если стержень нагружен только силой F, то напряженное состояние является однородным и все участки растянутого стержня находятся в одинаковых условиях; деформация ε по оси стержня остается одной и той же, равной своему среднему значению по длине: ε= ∆l . l (2.2) u + du − u du = . dz dz (2.3) Эта величина называется относительным удлинением (деформацией) стержня. Если на стержень действует еще и распределенная нагрузка qz, то выражение для относительной деформации принимает вид: ε= В пределах малых удлинений для подавляющего большинства материалов справедлив закон Гука, который устанавливает прямо пропорциональную зависимость между напряжениями и деформациями: σ = E ⋅ε . (2.4) Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости первого рода (модуль Юнга). Из формулы можно определить, что так как нормальное напряжение измеряется в [Па], а относительное удлинение (деформация), величина без размерная, то модуль упругости первого рода (модуль Юнга) измеряется в [Па]. Он является физической константой материала и определяет его упругие ствойства. Учитывая выражение для относительного удлинения и закон Гука, можно получить выражение для абсолютной деформации: σ = E⋅ du ; dz N du = E⋅ ; A dz du = N ⋅ dz E⋅A . После интегрирования последнего выражения по длине участка стержня, получим: ∆l = N ⋅ li E ⋅ Ai , (2.5) где ∆l – абсолютное удлинение участка стержня; li – длина i-ого участка стержня; Аi – площадь поперечного сечения на i-ом участке стержня. Следует обратить внимание на еще один важную характеристику материала, определяющую его упругие свойства – коэффициент Пуассона (μ). Экспериментально установлено, что при упругих деформациях в брусе при растяжении (сжатии) будут возникать не только продольные деформации, но и поперечные (рис. 2.4) Рис. 2.4 εпрод=∆l/l; εпопер=∆a/a. (2.6) Экспериментально установлено, что в пределах применимости закона Гука поперечная деформация пропорциональна продольной: 𝜇𝜇 = 𝜀𝜀попер 𝜀𝜀прод (2.7)