Растяжение и сжатие

Лекция 3 4.2. Растяжение и сжатие Растяжением (сжатием) называется такой вид нагружения, при котором внешние силы создают в поперечном (перпендикулярном оси) сечении стержня только один внутренний силовой фактор - продольную растягивающую (сжимающую) силу N x . 4.2.1. Эпюры (диаграммы) внутренних сил Эпюра внутренних сил - это график, показывающий характер изменения внутренних сил по длине стержня. Построение эпюр необходимо для определения положения наиболее нагруженного (опасного) сечения стержня. Порядок построения эпюр: 1. Определяют все внешние нагрузки (активные и реактивные), действующие на стержень. 2. Стержень мысленно разделяют на силовые участки. Силовой участок - это часть стержня, в пределах которой изменение внутреннего силового фактора определяется одним и тем же аналитическим выражением. Силовые участки ограничиваются сечениями, в которых приложены сосредоточенные нагрузки или начинают (заканчивают) действовать распределенные нагрузки. 3. Используя метод сечений, записывают аналитическое выражение для внутреннего силового фактора на каждом силовом участке. 4. По полученным аналитическим выражениям строят эпюры. Данный порядок построения эпюр внутренних силовых факторов справедлив при любом виде нагружения. Рассмотрим на примере (см. рис. 4.6) построение эпюры внутренней продольной силы. Пример. Стержень загружен активными сосредоточенными силами ( F 1 = 1 0 к Н ; F 2 = 2 5 к Н ) , действующими вдоль оси стержня. Собственным весом стержня пренебрегаем (см. рис. 4.6). Построим эпю82 ру внутренних сил ( N x ) в соответствии с приведенным порядком построения. Решение 1. Активные нагрузки вызывают реактивную силу RD . Определим ее значение из условия равновесия: (4.8) å X = 0. åX = R D - R2 + F1 = 0; RD = F2 - F1 = 15кН. 2. Имеем три силовых участка: OA, AC, CD. 3. Рассмотрим участок ОА. Начало координат расположим в точке О. (В дальнейшем начало координат всегда будем располагать в начале каждого силового участка). Ось х направим вдоль оси стержня. В пределах участка на расстоянии x1 от его начала мысленно сделаем сечение и рассмотрим равновесие отсеченной части длиной x1 . (Для участка ОА x1 лежит в пределах 0 £ x1 £ a ). Внутренняя продольная сила должна уравновесить внешние силы, действующие на рассматриваемую часть. Так как собственным весом стержня пренебрегаем, а других внешних нагрузок, действующих на участок длиной x1 , нет, то внутренняя продольная сила на первом участке N x1 = 0 . Рассмотрим участок АС. Делаем сечение на расстоянии x2 от нового положения начала координат (начало координат переносим в точку А). Для участка АС координата сечения может принимать значения: 0 £ x2 £ b + c . Однако, согласно методу сечения, рассматриваем равновесие всей нижней части стержня длиной ( a + x2 ). Правило знаков для внутренней силы: рассматриваемую часть стержня ( a + x2 ) мысленно закрепляют в сечении. При этом, если внешняя сила вызывает растяжение исследуемой части стержня (возможно и не всей), то эта сила создает положительную внутреннюю силу и наоборот. Для рассматриваемой части внешняя сила F1 вызывает ее сжатие от сечения приложения силы F1 до сечения x2 . Следовательно, внутренняя сила будет отрицательной и по модулю равна F1 , так как других внешних сил, действующих на рассматриваемую часть ( a + x2 ), нет: N x2 = - F1 = -10 кН. Участок CD. Начало координат располагаем в точке С. В пределах участка делаем сечение на расстоянии x3 от точки С. Тогда для участка СD: 0 £ x3 £ d . При этом внутренняя сила N x3 будет уравновешивать нагрузки, действующие на часть стержня длиной a + b + c + x3 . Закрепляем эту часть в сечении и в соответствии с правилом знаков записываем аналитическое выражение для N x3 : N x3 = - F1 + F2 = +15 кН. 4. Строим эпюру N x . Проводим линию, параллельную оси стержня, и откладываем на ней значение внутренних сил на каждом силовом участке. Значение N x , равное нулю, соответствует этой линии, положительное значение N x откладывается вправо в соответствующем масштабе, отрицательное - влево. Из выражений для N x следует, что на участке ОА внутренняя сила равна нулю, на участке АС она постоянна и вызывает сжатие стержня, на СD - постоянная растягивающая. На эпюре N x внутренняя сила будет резко изменяться (скачком) в тех сечениях, в которых приложена сосредоточенная внешняя сила. Причем величина скачка равна соответствующей силе. Так, в сечении А приложена сила F1 = 10 кН и имеем скачок на 10 кН, в сечении С сила F2 = 30 кН, скачок 10 кН +20 кН =30 кН. Данную эпюру можно было построить, рассматривая силовые участки сверху: DС, СА, АО. Тогда для участка DС начало координат располагаем в точке D. Сечение проводим от точки D на расстоянии x 3¢ ( 0 £ x 3¢ £ d ) . Исследуем равновесия части стержня длиной x3¢ , мысленно закрепив ее в сечении. При этом внешняя сила RD вызывает ее растяжение (на опору внимание не обращаем, так как ее присутствие выражается действием силы RD ). Тогда N x3¢ = +RD =10 кН, что совпадает со значением на построенной эпюре. Следует отметить, так как в данном примере не учитывается собственный вес стержня, то изменение размеров или формы, например в сечении В, не вызывает изменение внутренней силы N x . Это объясняется тем, что N x принимается как сосредоточенная в центре тяжести поперечного сечения. 4.2.2. Напряжения в поперечном сечении Сила N x является равнодействующей внутренних сил dN, действующих на бесконечно малых площадках dA поперечного сечения площадью А. Так как N x перпендикулярна сечению, то dN выражаются через нормальные напряжения dN = σdA , тогда N x = ò σdA . (4.9) A Эксперименты показывают, что если на поверхность стержня нанести систему взаимно перпендикулярных линий (см. рис. 4.7), то после приложения продольной внешней силы линии переместятся параллельно самим себе. Это означает, что нормальные напряжения по поперечному сечению распределяются равномерно (одинаковы во всех точках сечения). Если σ = const, то из формулы (4.9) получим N = s× A, откуда N s= . (4.10) A Следовательно, нормальное напряжение в поперечном сечении при растяжении (сжатии) равно отношению внутренней продольной оси в сечении к площади этого сечения. Знак напряжения определяется знаком продольной силы. Построим эпюру напряжений для ранее рассматриваемого приме2 2 ра (см. рис. 4.7). Пусть A1 = 0,2 × 10-3 м , A2 = 0,4 × 10-3 м . Порядок построения эпюры напряжений s x тот же, что и эпюры N x . При этом удобно использовать эпюру и выражения для N x . Так как s x определяется не только от N x , но и от Ax , то для данного стержня будем иметь четыре участка: ОА; АВ; ВС; СD. Nx Участок ОА (0 £ x1 £ a ) : s x1 = 1 = 0 ; A1 Участок АВ ( 0 £ x2 £ b) : σ x2 = Участок ВС (0 £ x3 £ c) : σ x3 = Участок СD (0 £ x4 £ d ) : σ x4 = N x2 A1 N x2 A2 N x3 A2 = 50 [МПа]; = 25 [МПа]; = 37,5 [МПа]; По полученным значениям s x строим эпюру. 4.2.3. Условие прочности Проектируемые (работающие) элементы конструкции должны быть прочными, то есть способными сопротивляться действию внешних нагрузок, не разрушаясь. Такое состояние обеспечивается выполнением условия прочности, которое основано на сопоставлении максимального напряжения (s max ) в элементе конструкции, возникающего от внешних нагрузок с максимально допускаемым напряжениям [σ] для материала, из которого изготовлен данный элемент (деталь): N σ max = рас £ [ σ ] , (4.11) А где N рас - расчетная внутренняя сила в наиболее нагруженном (опас- ном) сечении, в котором возникает максимальное напряжение; [s] - допускаемое напряжение для конкретного материала. В рассмотренном примере (рис. 4.7) максимальное напряжение возникает в поперечных сечениях на участке АВ, следовательно, N рас - это внутренняя сила, действующая на этом участке. Допускаемое напряжение определяется как [σ ] = σпред , (4.12) n здесь σпред - предельное напряжение для материала. Для пластичного - это предел текучести, для хрупкого - предел прочности. Эти характеристики материала определяются экспериментально (см. параграф 4.2.7); n - коэффициент запаса прочности. Величина n назначается, исходя из предшествующего опыта проектирования и эксплуатации подобных конструкций, конкретных условий работы рассчитываемого элемента, степени его ответственности и последствий выхода его из строя. 4.2.4. Деформации и перемещения До приложения нагрузки в стержне с площадью поперечного сечения А и длиной l не возникают напряжения, а, следовательно, отсутствуют и деформации. Выделим в нем элементарный объем со сторонами: dx, dy, dz (рис. 4.8). После приложения нагрузки размеры элементарного объема изменятся (рис. 4.9) и будут равны dx + Ddx; dy - Ddy; dz - Ddz. При этом линейные деформации можно выразить как Ddx Ddy Ddz (4.13) εx = , εy = , εz = . dx dy dz Здесь e x - продольная деформация; e y , e z - поперечные деформации. При упругом деформировании отношение поперечной деформации к продольной для конкретного материала является постоянной величиной. Это отношение, взятое по абсолютной величине, называют коэффициентом Пуассона (m ). ε попер m= ε прод . (4.14) Экспериментально установлено, что, например, для сталей m = 0,25...0,35 . Согласно закону Гука между нормальным напряжением и линейной деформацией при упругом деформировании существует линейная связь. Для растяжения (сжатия) она имеет вид (4.7): s = E ×e. (4.15) Определим перемещение D x сечения, расположенного на расстоянии x от опоры (см. рис. 4.9). Согласно (4.13) Ddx = e x dx . Тогда x D x = ò edx . (4.16) x s С учетом закона Гука (4.15) Dx = ò dx , 0Е или x N dx . (4.17) 0 AE Если в пределах рассматриваемого участка стержня N = const; A = const; Е=const (один и тот же материал), то Nx Dx = . (4.18) ЕА Здесь Dx - взаимное перемещение сечений стержня, отстоящих на расстоянии х, при условии, что на этом расстоянии постоянны N, A, E. Изменение длины всего стержня (перемещение нижнего сечения относительно опоры) будет равно (см. рис. 4.9) Nl Dl = (4.19) . ЕА Для стержня, имеющего несколько n участков, для которых постоянны N i , Ai , Ei, изменение всей длины определится как алгебраическая сумма изменений длины стержня Dli на каждом i - участке. При этом знак D l i определяется знаком N xi : Dx = ò n Dl = å i =1 N i × li . E i × Ai (4.20) Пример. Построим эпюру перемещений сечений стержня, изображенного на рис. 4.6, 4.7. Зададим дополнительно: E = 2 × 105 МПа; а = 0,2 м; b = 0,3 м; с = 0,4 м; d =0,1м. Решение В соответствии с формулой (4.20) стержень имеет четыре участка: DС, СВ, ВА, АО. Участок DС (0 £ x1 £ d ). Начало координат в точке D. Перемещение сечения x1 относительно неподвижного сечения D, с учетом эпюры N x и формулы (4.20). будет иметь вид N x × x1 D x1 D = 1 . (4.21) E × A2 В выражении (4.21) переменной величиной для участка DС является только x1. Рассчитаем перемещение в начале участка ( x1 = 0 ): D x1 D( x = 0)1 = 0 и в конце ( x1 = d ) : 15 × 0,1 = 1,875 ×10 - 5 м. 8 -3 2 ×10 × 0,4 × 10 Здесь D CD - перемещение сечения С относительно D. Участок СВ (0 £ x2 £ c). Начало координат в точке С. Перемещение сечения x2 относительно сечения D можно выразить как алгебраическую сумму перемещений D CD и перемещения сечения x2 относительно сечения C (D x2 C ) : D x1 D ( x1 = d ) = D CD = D x2 D = D CD + D x 2C , или D x2 D = D CD + N x 2 × x2 E × A2 . (4.22) Тогда D x2 D ( x2 = 0) = D CD = 1,875 × 10 -5 м, а в конце участка D x 2 D ( x 2 = C ) = D BD = 1,875 × 10 - 5 - 10 × 0,4 8 2 × 10 × 0,4 × 10 -3 = -3,125 × 10 - 5 м. Участок ВА (0 £ x3 £ b) : D x3D = D BD + D x3B = D BD + N x3 × x3 E × A1 ; D x3 D ( x3 = 0) = D BD = -3,125 × 10 -5 м, D x3 D ( x3 = b ) = D AD = -3,125 × 10- 5 - 10 × 0,3 = -10,625 × 10- 5 м. 8 -3 2 ×10 × 0,2 × 10 Участок АО (0 £ x4 £ a). Внутренняя сила на данном участке N x4 = 0 (см. рис. 4.6). Следовательно, он не деформируется, хотя и перемещается за счет деформации части стержня DA: D x4 D = D AD = D OD . По полученным значениям перемещений в начале и конце каждого участка строим эпюру перемещений (см. рис. 4.10). Перемещение сечения О относительно D ( D OD ) также можно получить, рассматривая действие на стержень отдельно каждой внешней силы. F × d F1 (c + d ) F1 × b D OD = DlOD = 2 . E × A2 E × A2 E × A1 Сила F2 вызывает растяжение участка DС, поэтому берется со знаком плюс, F1 сжимает АD (знак минус). Действие F1 выражается двумя слагаемыми, так как на участке АD площадь сечения имеет значения A1, A2 . 4.2.5. Условие жесткости Условие жесткости накладывает ограничения на изменение размеров элементов конструкций под действием нагрузок и имеет вид æN lö ÷ Dlmax = çç £ [Dl ] ÷ EA è ø max или Dlmax £ [e]. (4.23) l Здесь [Dl ]; [e] - соответственно допускаемое абсолютное и относительное изменение длины наиболее деформируемого участка стержня, регламентируемые для конкретного материала. e max = 4.2.6. Три типа задач На основе условий прочности и жесткости для конкретной расчетной схемы могут решаться три типа задач (при любом виде нагружения). 1. Проверочный расчет. Цель расчета - проверка условий прочности и жесткости при следующих известных параметрах: внешние нагрузки, размеры конструкции и ее элементов, материал элементов конструкции [s] , [e] . 2. Проектный расчет. Цель расчета - определение размеров элементов конструкции, если известны внешние нагрузки и материал элементов конструкции. При данном расчете возможен и подбор материала для заданных размеров деталей. 3. Расчет допустимых нагрузок. Цель расчета - определение максимально допустимых внешних нагрузок для заданных размеров элементов конструкции и выбранном материале. 4.2.7. Механические испытания материалов В расчетах на прочность и жесткость элементов конструкций необходимо знать механические свойства материалов, из которых они будут изготовлены. Эти свойства изучаются экспериментально при механических испытаниях образцов из конкретных материалов. При испытаниях оцениваются характеристики прочности, пластичности и упругости. Условия испытания представлены в Государственных стандартах. Существуют стандарты на следующие основные виды нагружения: растяжение, сжатие, сдвиг, кручение и изгиб. Результаты испытания на растяжение во многих случаях позволяют достаточно верно судить о поведении материала и при других видах нагружения. Рассмотрим подробнее испытание на растяжение. Для испытания на растяжение чаще используются образцы круглого (см. рис. 4.11), реже прямоугольного сечений. Длину рабочей части образца l0 принимают больше его диаметра d 0 в 10 раз, допускается и в 5 раз. Концевые утолщения образца необходимы для его закрепления в захватах машины. На рис. 4.12 приведены диаграммы растяжения для малоуглеродистой стали и чугуна (пластичного и хрупкого материалов). Испытания проводят на универсальных испытательных машинах, имеющих силоизмерительное устройство и аппарат для автоматической записи диаграммы растяжения (сжатия) в координатах: сила F - удлинение Dl . Такой график зависит от размеров образца и физических свойств материала. Для исключения зависимости от размеров образца диаграмму растяжения перестраивают в координатах: напряжение ( s ) - деформация ( e ) (см. рис. 4.13). При этом напряжение и деформация рассчитываются как F σ= ; A0 ε= Dl , l0 где A0 , l0 - соответственно площадь поперечного сечения и рабочая длина образца до испытания. Определим на диаграмме (рис. 4.13) характерные точки и дадим качественную и количественную оценку механическим свойствам материала. Рассматривается диаграмма малоуглеродистой стали как наиболее показательная при определении характеристик прочности. На диаграмме условно можно выделить четыре зоны. Первая зона (ОВ) - зона упругого деформирования. При снятии нагрузки в этой зоне деформирования образец принимает начальные размеры. Точка А на оси σ соответствует пределу пропорциональноF сти σ n . σ n = п - это наибольшее напряжение, до которого материал Ам деформируется в соответствии с законом Гука (s = E × e ). Точка В соотP ветствует пределу упругости σ y . σ y = y - это наибольшее напряжеA0 ние, до которого в материале не образуются остаточные деформации. Вторая зона (ВD) называется зоной общей пластичности. Для нее характерно значительное увеличение деформации без заметного роста напряжений за счет одновременных сдвигов в кристаллической решетке по всему объему материала образца. Точка С на диаграмме соP ответствует пределу текучести σТ = T . Это напряжение, при котоA0 ром в материале возникают значительные деформации без заметного роста напряжений. Для тех материалов, у которых нет выраженной зоны ВD, пределом текучести называется напряжение, соответствующее остаточной деформации, равной e = 0,02...0,2 % (условный предел текучести). Предел текучести является очень важной характеристикой прочности, так как используется для определения допускаемого напряжения пластичных материалов: σ [σ ] = T , nT где nT - коэффициент запаса, определяющий во сколько раз максимально допускаемые напряжения в реальной конструкции должны быть меньше предела текучести. Третья зона (DL) – зона упрочнения. Под упрочнением понимается повышение уровня напряжений, до которого материал деформируется упруго. Так, если разгрузить образец из состояния, соответствующего точке S, то при последующем нагружении он будет деформироваться упруго до точки S, где напряжение выше предела упругости. Это явление повышения предела упругости материала в результате пластического деформирования носит название «наклёп» и широко используется в технике. Наклеп при необходимости может быть снят термической обработкой - отжигом. Четвертая зона (LK) называется зоной местной текучести. В этой зоне требуется все меньшая нагрузка для дальнейшего деформирования образца. Это объясняется образованием местного сужения (шейки) в наиболее слабом сечении образца, и дальнейшее деформирование происходит в зоне шейки, где площадь сечения быстро уменьшается. Однако многие материалы разрушаются без заметного образования шейки. Напряжение, соответствующее максимальной нагрузке, которую может выдержать образец (точка L), называется пределом прочно- сти: Pmax . A0 Предел прочности используется для определения допускаемого напряжения хрупких материалов: σ [σ ] = в , nв где nв - коэффициент запаса. Аналогично определяются характеристики прочности и при других видах нагружения. σв = 4.3. Сдвиг. Срез Сдвиг - это такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении стержня возникает только поперечная (перерезывающая) сила Qy или Qz , а остальные силовые факторы равны нулю (рис. 4.14). Срез - это частный случай сдвига при с << b. Примеры среза: разрезание ножницами металлических прутков, пластин и др. Для определения внутренней силы рассмотрим равновесие мысленно отсеченной правой части стержня длиной х. При этом внутренняя сила Qy равна F и является равнодействующей касательных напряжений t y , лежащих в плоскости сечения и направленных параллельно F. При сдвиге (срезе) принимается равномерное распределение напряжений по сечению, тогда Qy ty = , (4.24) A где А - площадь поперечного сечения стержня. Условие прочности при сдвиге (срезе) имеет вид Q τ max = рас £ [ τ] , (4.25) A где Qрас - внутренняя перерезывающая сила в наиболее нагруженном сечении стержня; [t] - допускаемое напряжение на срез. Элемент в форме прямоугольника, выделенный на рис. 4.14, после приложения нагрузки получил геометрические искажения (рис. 4.15), которые характеризуются абсолютным сдвигом a и относительным сдвигом (угол сдвига γ ): a (4.26) tg g » g = . h Экспериментально установлено, что при упругом деформировании связь между напряжением и угловой деформацией прямо пропорциональна, то есть соответствует закону Гука: t = G×g. (4.27) Величина G называется модулем упру- гости при сдвиге. С позиции прочности на срез рассчитываются различные соединения: заклепочные, резьбовые, сварные, шпоночные и др. Пример. Определить диаметр d заклепки, если известны: сила F и допускаемое напряжение на срез [t] (рис. 4.16). Решение. Сила F, растягивающая листы, вызывает срез заклепки по площади p×d2 A= . 4 Из условия прочности (4.25) Q p×d2 F или ³ , A³ [t] [t] 4 откуда 4× F d³ . p × [t]