Распределения плотности вероятности. Равномерный закон. Биномиальный закон

РАВНОМЕРНЫЙ ЗАКОН. В случае, когда различные значения случайной величины имеют одинаковые плотности вероятностей, возникает закон равномерной плотности. Он находит. широкое применение в технике, экономике и в гуманитарных науках. С помощью этого закона моделируются случайные величины и случайные процессы. Плотность вероятности закона выражается зависимостью: , где а и в – ближний и дальний пределы изменения случайной величины. Числовые характеристики закона равномерной плотности вычисляются по формулам: ; График распределения плотности вероятности закона равномерной плотности БИНОМИАЛЬНЫЙ ЗАКОН. Возникает при условиях: 1) в результате одного испытания может появиться одно из двух противоположных событий А и В; 2) вероятности событий А и В не меняются от опыта к опыту; 3) испытания производятся по схеме с возвращением, т.е. после каждого испытания условия появления события А и В приводятся в первоначальное состояние. – число сочетаний из S элементов по m раз; р – вероятность появления события А при одном испытании; q – вероятность появления события В, противоположного событию А; m и n – соответственно числа появления события А и события В при S – испытаниях. При этом m + n = S. Числовые характеристики биноминального закона вычисляются по формулам. Математическое ожидание: M(m)=Sp; Дисперсия D(m)= Spq. Графики распределения вероятностей биноминального закона при S = 20 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН. Если вероятность события в биномиальном законе стремится к нулю и произведение РS стремится к бесконечности, биноминальный закон преобразуется в нормальный. Плотность вероятности нормального закона выражается с помощью зависимости: , – математическое ожидание случайной величины (параметр положения); σ – среднее квадратическое отклонение (параметр формы). Функция плотности распределения для нормального закона в зависимости от среднего квадратического отклонения Важные свойства:Если , то ; Если , то ; , то ; Отсюда - Правило шести сигм ЛОГАРИФМИЧЕСКИ НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОЕ В том случае, когда логарифм рассматриваемой случайной величины распределен нормально, возникает логарифмически-нормальный закон. Плотность вероятности логарифмически-нормального закона описывается зависимостью: , – математическое ожидание (параметр положения); – математическое ожидание (параметр формы). Функция плотности распределения для логарифмически нормального закона. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ χ-КВАДРАТ ПИРСОНА В случае, когда случайная величина представляет собой последовательность квадратов случайной величины, возникает закон распределения χ-квадрат Пирсона. Плотность вероятности закона выражается зависимостью: где – частные значения случайной величины; n – число наблюдений (число степеней свободы); – гамма-функция Эйлера/ Функция плотности распределения вероятности χ-квадрат Пирсона в зависимости от числа наблюдений По мере увеличения числа наблюдений n закон распределения χ-квадрат Пирсона приближается к нормальному закону. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТЬЮТЕНТА (t – распределение) Если имеются две случайные величины x и y и первая из них центрированная и нормированная распределена по нормальному закону, а вторая по закону χ-квадрат Пирсона, то их отношение: образует распределение Стьюдента, плотность вероятности которого выражается зависимостью: где t – случайная величина; n – число испытаний (степеней свободы). Закон является однопараметрическим. Параметром является число степеней свободы . Следует отметить, что при n → ∞ t-распределение стремится к нормальному закону. Распределение Стьюдента (по сравнению с нормальным законом) приписывает большую вероятность большим отклонениям и меньшую – малым отклонениям. Функции плотности распределения вероятности нормального закона и закона Стьюдента. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН В случае, когда рассматриваемое явление характеризуется внезапными отказами изделия (например, в теории надежности), распределение времени их возникновения описывается с помощью показательного закона, плотность вероятности которого имеет вид: где t – случайная величина, например время работы ЭЦН до его внезапного отказа; – математическое ожидание случайной величины (параметр положения); μ – интенсивность (среднее число событий в единицу времени). Функция плотности распределения вероятности показательного закона ЗАКОН ВЕЙБУЛЛА Плотность вероятности закона Вейбула выражается зависимостью: где t – случайная величина; n – параметр формы; μ – параметр масштаба. r – случайная величина, вызываемая, например, радиальным биением вала, (эксцентриситетом), несоосностью деталей и т.д. Закон Вейбулла преобразуется в показательный закон при n = 1 и в закон Релея при n = 2. При n = 3,25 закон Вейбулла преобразуется в нормальный закон. Функция плотности распределения вероятности закона Вейбулла ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Гамма-распределение представляет собой суперпозицию, т.е. наложение нескольких показательных законов. Плотность вероятности такого закона выражается зависимостью: где t – случайная величина, например время; – параметр, численно равный числу складываемых показательных законов;λ – параметр, численно равный интенсивности числа событий каждого из складываемых законов; – гамма-функция Эйлера. При = 1 гамма-распределение преобразуется в показательный закон, а при = 2 – в закон Эрланга первого порядка. При и гамма-распределение преобразуется в закон распределения χ-квадрат Пирсона. Функции плотности распределения вероятности гамма-распределения в зависимости от параметров α и λ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФИШЕРА (F-распределение) Если имеются две случайные величины, распределенные по законам χ-квадрат Пирсона со степенью свободы К1 и К2 , то их отношение образует распределение Фишера: . Функции плотности распределения вероятности закона Фишера в зависимости от параметров К1 и К2 При К → ∞ F-распределение преобразуется в нормальный закон. F- распределение применяется в дисперсионном анализе и при проверке адекватности математической модели.