Расчет статически определимых систем на подвижную нагрузку

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ НА ПОДВИЖНУЮ НАГРУЗКУ Подвижной нагрузкой называется нагрузка, движущаяся по сооружению с некоторой скоростью. К примеру, такой нагрузкой является транспорт (рис. 1 а). Его можно рассматривать как систему взаимо-связанных параллельных сил, движущихся по сооружению (рис. 1 б). Рис. 1 1. Методы расчета сооружений на подвижную нагрузку Подвижная нагрузка вызывает в элементах сооружения переменные внутренние усилия. Расчет сооружения на подвижную нагрузку, даже без учета динамических эффектов (например, ускорений и инерционных сил), сложнее расчета на постоянную нагрузку. Потому что приходится решать несколько задач: 1) определять наиболее опасное (расчетное) положение нагрузки; 2) определять наибольшее (расчетное) значение этой нагрузки; 3) рассчитывать сооружение на расчетную нагрузку. Расчет на подвижную нагрузку можно вести двумя методами. Общий метод. Сущность метода: подвижная нагрузка рассматривается целиком и обозначается одной координатой; искомое внутреннее усилие выражается как функция этой координаты; эта функция исследуется на экстремум и определяется расчетное положение нагрузки; затем вычисляется расчетное значение внутреннего усилия. Этот метод универсален, но сложен для реализации. Метод линий влияния. Сущность метода: искомая величина (внутреннее усилие, реакция и др.) определяется как функция от подвижной единичной силы; строится график этой функции, а затем находятся расчетное положение и расчетное значение этой величины. Метод линий влияния более прост для реализации, позволяет достаточно просто определять расчетное положение нагрузки и ее величину. Поэтому далее остановимся только на нем. Линия влияния (ЛВ) – это график зависимости искомой величины от подвижной единичной силы P=1. Понятия ЛВ и эпюры нельзя путать, потому что эпюра показывает значение внутреннего усилия для всех точек (сечений) от постоянной нагрузки, а ЛВ показывает значение внутреннего усилия от подвижной единичной силы P=1 только для одного сечения. 2. Построение линий влияния усилий простой балки Рассмотрим консольную балку, на которую действует подвижная нагрузка P=1 (рис. 2 а). Рис. 2 1) Линии влияния опорных реакций Сумма моментов в правой опоре: MB=−RA l + 1 (l – x) = 0. Отсюда RA = l – x . l Для построения графика этой функции найдем положение двух точек: если x=0 , то RA=1; если x=l , то RA=0. Через эти точки проводим прямую и строим ЛВ реакции RA (рис. 2 б). Для определения правой опорной реакции составим уравнение MA=RBl – 1 x = 0. Отсюда RB = x . l Если x=0, то RB=0; если x=l, то RB=1. Через эти точки проводим прямую и строим ЛВ реакции RB (рис. 2 в). 2) Линии влияния поперечной силы и момента Они зависят от положения сечения, в котором определяются. а) Единичная сила правее сечения К В этом случае QK= RA , MK= RAa. Эти функции определяют правые ветви ЛВ поперечной силы и момента в сечении К (рис. 2 г, д). б) Единичная сила левее сечения К В этом случае внутренние усилия определяем через правую опорную реакцию. Тогда QK=– RB , MK=RBb. Эти функции определяют левые ветви ЛВ поперечной силы и момента в сечении К (рис. 2 г, д). Если сечение располагается на консольных (левой или правой) частях балки (рис. 3 а), ЛВ поперечной силы и момента будут совсем другими. Приведем результат их построения для двух сечений К1 и К2 (рис. 3 б-д). Рис. 3 В некоторых расчетных схемах (например, в этажных схемах разрезной балки) встречаются консоли с заделками справа или слева. ЛВ их усилий можно получить и без расчетов, используя соответствующие левые и правые части предыдущих линий влияния (рис. 3 б-д), считая, что в точках А и В имеются заделки. Полученные ЛВ опорных реакций и внутренних усилий используются как известные решения при расчете аналогичных балок и как промежуточные решения при расчете многопролетных балок. 3. Построение ЛВ при узловой передаче нагрузки В некоторых сооружениях нагрузка на их несущую часть может передаваться через вспомогательные балки. Например, такая конструктивная схема часто используется в мостах: там на главную балку накладываются поперечные балки, а на них – настил (рис. 4 а). В таких сооружениях нагрузка на главные балки передается через узлы пересечения главной балки с поперечными балками. Рис. 4 Если бы нагрузка действовала только на главную балку, ЛВ момента MK была бы как на рис. 4 б. Поэтому, когда единичная сила находится над поперечными балками, ординаты ЛВ будут такими же. Но, когда единичная сила находится между поперечными балками, ЛВ сглаживается (рис. 4 в). 4. Определение усилий по ЛВ Пусть ЛВ какого-то усилия S определяется уравнением y=f(x). По этому графику можно определять усилие S от произвольной нагрузки. Действие сосредоточенной силы (рис. 5 а). Если система упругая, то внутреннее усилие прямо пропорционально нагрузке. Поэтому S=Py. Если же действует несколько сил, то внутреннее усилие определяется по принципу суперпозиции: S= Pi yi . Действие распределенной нагруз-ки (рис. 5 б). Если рассматривать элементарную силу q(x)dx как сосредоточенную силу, то b Рис. 5 S=  q(x) y dx . a Когда же распределенная нагрузка постоянна, т.е. q(x)=q=const, то b S=q  y dx  q . a Здесь  – площадь ЛВ в области действия распределенной нагрузки. Если на сооружение действует несколько сосредоточенных сил и распределенных нагрузок, то по принципу суперпозиции S= Pi yi+ qj ωj . 5. Построение ЛВ усилий фермы Рассмотрим ферму (рис. 6 а). При воздействии только вертикальной нагрузки ее опорные реакции будут такими же как у вспомогательной балки (рис. 6 б). Поэтому ЛВ опорных реакций фермы будут аналогичны ЛВ балки (рис. 6 в, г). Для построения ЛВ продольных усилий фермы воспользуемся способами вырезания узлов и сквозных сечений. а) Использование способа вырезания узлов Для построения ЛВ N2-6 вначале рассмотрим узел 1. Так как к этому узлу силы не приложены, то по признаку 1 N1-6=0. После этого вырежем узел 6 фермы. Здесь могут быть два случая: 1) когда единичная сила P=1 находится в этом узле (рис. 6 е), то Y= N2-6 sin+1–1=0. Отсюда N2-6=0. 2) когда единичная сила P=1 находится вне этого узла (рис. 6 ж), то 1 RA. Y=N2-6 sin+RA=0. Отсюда N2-6= – sin  Тогда, используя ЛВ опорной реакции RA, можно построить ЛВ усилия N2-6 (рис. 6 д). Рис. 6 б) Использование способа сквозных сечений Поперек фермы проведем сквозное сечение I–I (рис. 7 а) и получим независимые левые и правые части. Единичная сила P=1 может находиться в обоих частях фермы. 1) Единичная сила левее сечения (рис. 7 б): M 7пр =N2-3 h+RB 2a=0. Отсюда N2-3= –2 ha RB ; Y пр = –N3-7 sin+RB=0. 1 RB . Отсюда N3-7= sinα 2) Единичная сила правее сечения (рис. 7 в): M 7лев = –N2-3 h – RA a=0. Отсюда N2-3= – ha RA ; Y лев =N3-7 sin+RA=0. 1 RA . Отсюда N3-7= – sinα В первом случае определяем ординаты ЛВ этих усилий между узлами 67, т.е. определяем их левые ветви, а во втором случае определяем ординаты обоих ЛВ между узлами 8-10, т.е. определяем правые ветви ЛВ. Соединив точки между узлами 7-8, получаем переходную прямую и окончательный вид ЛВ (рис. 7 г, д ). Рис. 7 Как видно из этих примеров, у ЛВ продольных усилий фермы есть следующее свойства: ветви ЛВ пересекаются под моментной точкой; если же моментной точки нет, ветви ЛВ параллельны.