Расчет статически неопределимых систем методом перемещений

Лекция 6 Расчет ст татически неопредел лимых сисстем методдом перемеещений Как уж же знаем, при расчеете статич чески неоп пределимыхх систем методом сил с искллючаются лишние л свяязи, а за нееизвестныее принимаю ются силы (усилия) в этих связзях. Послле их выч числения из и каноничческих ураавнений можно м опрееделять вссе остальн ные усиллия, а такжее перемещеения, напряяжения и деформации д и системы. Напряж женно-деформированнное состо ояние (НД ДС) статиически неопределим мых систем можно устанавли ивать и поо-другому. В этом случае с свяязи не иск ключаютсяя, а делаается наоб борот - в систему вводятся дополниттельные ссвязи. За неизвестн ные прин нимаются п перемещения во введденных связзях, которы ые определляются из каноническ к ких ураввнений. Поээтому этот метод назы ывается меетодом пер ремещенийй. 1. Нееизвестны ые метода перемещен п ний Устаноовим мин нимальное число узловых перемещениий, необх ходимых для д опрееделения напряженн но-деформиированного о состоян ния статиически нееопределим мой стерж жневой сисстемы. С этой й целью определим м простейш шие дефор рмации неекоторого стержня АВ стерж жневой си истемы, которые он получает при переходе в новоое положеение A'B' под п воздействием внешней в нагрузки н (ррис. (6.1 а). Данная задача упроощается, ессли стержеень закреепить по обоим о конц цам и, задаавая его кон нцам некотторые незаависимые перемещен п ния, приввести стерж жень к окон нчательном му деформи ированному у состояниию A'B'. Рисуно ок 6.1 Как следует из рис. 6.1, для этого концам закрепленного стержня АВ необходимо последовательно задавать поступательные (линейные) перемещения ∆ и ∆ угловые перемещения и (рис. 6.1 б, в), (рис. 6.1 г, д), а внутри стержня приложить внешнюю нагрузку (рис. 6.1 е). От перемещения ∆ всего стержня внутренние усилия и деформации не возникают (на рис. 6.1 б M1 =0). Внутренние усилия и деформации от местной нагрузки, действующей в пределах закрепленного стержня АВ, можно найти отдельно. Значит, для определения НДС всего стержня достаточно знать три неизвестных перемещения - два угловых перемещения его концов , и одно поступательное перемещение - взаимное смещение концов стержня ∆ . Поэтому степень кинематической неопределимости отдельного стержня равняется трем. 2. Выбор основной системы Основная система метода перемещений должна быть кинематически определимой. Для ее получения в заданную систему следует ввести столько дополнительных связей, чтобы концы всех стержней были закреплены, т. е. исключены их перемещения. Поэтому общее число вводимых связей будет равно числу неизвестных метода перемещений. Однако число вводимых связей может быть весьма большим. Например, рама на рис. 6.2 а состоит из пяти стержней. По результатам проведенного выше анализа, степень ее кинематической неопределимости (или число неизвестных метода перемещений) будет 5*3=15. Это число можно уменьшить, если принять следующие гипотезы: 1) поперечные и продольные деформации стержней малы; 2) длина хорды, соединяющей концы изогнутого стержня, равна первоначальной длине стержня; 3) в упругом рамном узле углы между стержнями сохраняются. Действительно, в этом случае в данной раме достаточно будет знать только три перемещения - поступательное перемещение А и два угловых перемещения и (рис. 6.2 а). Таким образом, число неизвестных уменьшилось намного - с пятнадцати до трех. Рисуно ок 6.2 Из треттьей гипоттезы следуеет, что числ ло неизвесттных угловвых перемеещений буд дет опрееделяться по п формулее nугл = числу упруугих рамныхх узлов. Для определени ия числаа неизвестных посступательнных перем мещений (в далььнейшем ихх будем наззывать линнейными пееремещени иями) во всее узлы рам мы, включаая и опорры, нужно ввести шаарниры (риис. 6.2 б). Тогда число линейнных перемеещений леггко опрееделяется по п известно ой формулее кинематического анализа для ф фермы лин н В рассм матриваемой раме им меем 2 лин У С 2∗6 С 5 6 1. Общеее число всех х неизвестнных перемещений определяетсяя по форму уле угл лин и н называется степеньью кинем матической й неопред делимостии. Сами неизвестн ные переемещения обозначают о тся однотиппно: Z 1 , Z 2 , Z 3 , …, Z n . После определен ния числа ннеизвестны ых в заданн ной систем ме (ЗС) слеедует вводи ить столько же сввязей для исключениия перемеещений концов ее сстержней. Например, в рассм мотренную ю раму введем две зааделки и од дну опорну ую связь. П Полученнаая схема (ррис. 6.2 вв) будет осн новной сисстемой (ОС С) метода а перемещеений. Таким образом, для д полученния ОС меттода перем мещений нееобходимо:: - в упругие рамные узлы ы заданной й системы ввести в - в направлеении постуупательных перемещ щений узллов заданн ной систем мы углл заделок; ввестти плин опоорных связзей (они ввводятся такк, чтобы система с ввведенными и шарнираами сталаа геометри ически неиззменяемой)). Введен нные связи и, хотя внеешне и по охожи на обычные оопорные связи, с от них н прин нципиальноо отличаюттся, потом му что: 1) введенная в заделка иссключает лишь л угловвое переемещение узла, у оставвляя возмоожность ли инейного смещения; с 2) введен нная опорн ная связьь исключаеет только линейное л пееремещени ие узла, осттавляя возм можность поворота п (ррис. 6.2 гг, д). При сооблюдении и этих треебований ОС О метода перемещеений, по-су ути, являеттся един нственной. мо выбратьь ОС метод да перемещ щений для рамы (рисс. 6.3 а). Она О Пусть необходим имееет четыре жестких узла. Знначит, чиссло углов вых неизввестных угл 4. Для Д опрееделения числа линей йных неизввестных во о все узлы ы и опоры рамы введ дем шарни иры (рис. 6.3 б). Тоогда имеем: лин 2 У С С = 2 • 8 - 8 - 6 = 22. Поэтому общее чиссло неиззвестных буудет п = пугл 4+2=6. Вво одя в жесткие узлы ЗЗС четыре заделки з и две д у + плин =4 опорры, исключ чающие лин нейные перремещенияя узлов рам мы (последнние вводяттся так, чтообы мехаанизм на ри ис. 6.3 б сттал геометррически неи изменяемы ым), получааем требуем мую ОС (ррис. 6.3 вв). Рисуно ок 6.3 3. Суущность метода м перемещений й Данны ый вопрос изучим и на следующем м примере (рис. 6.4 аа). Эта рам ма четыреж жды стати ически неоопределимаа. При ее ррасчете меттодом сил нужно искключать чеетыре лишн ние связи и и выбираать основну ую системуу, например р, такую каак на рис. 66.4 б. Рисуно ок 6.4 При использова в и ании же метода пееремещени ий раму следует превратить п кинеематически и определи имую. Дляя этого в заданную з систему (З (ЗС) достатточно ввессти лин н =1+0=1 угл кинематиче к ескую связзь. Если неизвестноее угловое перемещен ние узла обозначитть через z, получим п оссновную си истему (ОС С), показаннную на рисс. 6.4 в. Потреб буем, чтобы ы усилия и деформац ции ОС был ли такими ж же, как у ЗС С. Для этогго переемещение Z должно бы ыть равно ууглу повор рота узла раамы (рисс. 6.4 а), а реактивный р й момеент во введ денной задеелке основнной систем мы (рис. 6.4 4 в) долженн равнятьсяя нулю: R =0. = Эту рееакцию опр ределим, раассматриваая единичное и грузоввое состоян ния основн ной системы. В един ничном сосстоянии ввееденной сввязи задади им единичнное перемеещение Z=11 и опрееделим воззникающую ю в ней рееакцию r (рис. 6.4 г). г Такая рреакция отт единичноого переемещения называется н жесткост тью. В грузоовом состо оянии прилложим тольько внешню юю нагрузкку и во ввееденной свяязи осноовной систеемы опредеелим реакццию RP (рисс. 6.4 д). С учеетом упругости сисстемы и принципа п суперпозииции, наш ше уравнен ние привводится к виду в ∙ Оно наазывается каноническ к ким уравнеением мет тода перем мещений. Если известны и реакции р r и RP, то из него можно м наййти величи ину узловоого переемещения: / с кин нематическкой неопрееделимости и стержневвой системы ы равна n, ее Если степень ОС п получаетсяя введением м n дополннительных связей с неизвестны н ыми Z1, Z2, ..., Zn. Чтообы ОС была экви ивалентна ЗС, реакциии во введ денных связях долж жны равнятться нулю.. С учеттом этого можно м запи исать n ураавнений. После П рассм мотрения n единичны ых состояни ий, одноого грузовоого состоян ния и дальннейшего оп пределенияя реакций ((реактивны ых усилий) во всех состоянияях, эти ураввнения прииводятся к следующем с му виду:  r11 Z1  r12 Z 2    r1n Z  R1P  0; n   r21 Z1  r22 Z 2    r2 n Z n  R2 P  0;      r Z  r Z    r Z  R  0. nP nn n  n1 1 n 2 2 Все вместе в они и называю ются сист темой кан ноническиих уравнен ний метоода переемещений. Здесь член ны - главные кооэффициен нты, - бо оковые коэф ффициенты ы. Свободн ные являяются грузо овыми коэф ффициентаами. После введения матриц м и веекторов система канони ических уравнений зааписываетсся в матрич чной формее: ∙ где r - матрицаа жесткости и, Z - вектоор неизвесстных, RP - вектор наг агрузки, 0 - нуль-векттор. Отсю юда опредееляется век ктор неизвеестных: где - обратнаая матрица жесткости. 4. Элем ментарные состояни ия основно ой системы ы Как б было устаановлено в преды ыдущей леекции, кооэффициенты систем мы каноонических уравнений й метода пееремещени ий - реакци ии, определ еляемые в единичныхх и грузоовом состоояниях. Нап пример, - реакция,, возникающая в i-ой связи в j-о ом единичн ном состооянии, RiP - реакция, возникающ щая в i- ой связи с в гру узовом состтоянии. и равны суумме реакц ций отдельных стерржней, объ ъединенныхх в Все этти реакции узлахх основноой системы ы. Для ихх определеения необх ходимо раассчитывать статичесски неоп пределимыее стержни различнойй длины и жесткости с различнными закрееплениями по конц цам, получ чающие раазные переемещения или нагру уженные рразличными силами. С цельью упрощеения таких х расчетовв все типовые задачи, встреччающиеся при расчеете разли ичных осн новных систем, решаю ются для общего случ чая. Их наз азывают элементарны ыми состоояниями оссновной си истемы, а ррезультаты их расчето ов сводятсяя в таблицу у. Эти задаачи в боольшинстве случаев бывают статически неопред делимыми и поэтом му решаюттся метоодом сил. Рассмоотрим решеение двух ттиповых заадач. 1) Стеержень с равномерноо распредел ленной наггрузкой q Степен нь статической неоопределимости этой й системы ы (рис. 6.5 6 а) n= =1. Канооническое уравнение у имеет вид ∆ 0. Выбираая основнуую систему у (рис. 13.1 б), в еди иничном (ррис. 6.5 в) и грузовом м (рис. 6.5 д) д состояни иях строим м единичну ую (рис. 6.55 г) и груузовую эпю юры (рис. 6.5 6 е). Рисуно ок 6.5 Опредеелим коэфф фициенты кканоническкого уравнения: ,∆ ⊗ м неизвестн ную реакциию: а затем ∆ . Поосле этого из уравнен ний стати ики опред деляем осттальные рееакции, а по формуле изгибающих мооментов (рис. 6.5 ж). 2) Поворот одно ого конца сстержня с заделанны ыми концам ами сттроим эпю юру Пусть один конец ц стержня с заделанн ными концаами повораачивается на н единичн ный уголл (рис. 6.6 а). а У этой системы с стеепень стати ической нееопределим мости n=3. Однако, ессли не уччитывать продольную п ю деформаацию, вмессто заданно ой системы ы можно рассматрива р ать стерж жень с праавой опорой й в виде поолзуна (рисс. 6.6 б) и пр ринять n=22. Систем ма канонич ческих ураввнений буд дет: ∆ ∆ Если основную о систему с вы ыбрать сим мметричной й (рис. 6.6 в), в обои их единичн ных состоояниях (ри ис. 6.6 г, е) е единичнные эпюры ы , легко строоятся (рис. 6.6 д, ж).. В грузоовом состооянии (рис. 6.6 з) мом мент не возн никает, поээтому MP = 0 . Рисуно ок 6.6 Опредеелим коэфф фициенты кканоническких уравнеений: , ⊗ Из ри ис. 13.2 з следует, что ∆ каноонических уравнений у получаем Так какк MP = 0, имеем и 0, tan 6 , 1 . (рис. 6.6 6 и). и ∆ 1, а из Аналоггичные рассчеты провводятся дл ля всех тип повых слуучаев, встречающихсяя в разли ичных осн новных си истемах. Реезультаты их расчеттов сводяттся в един ную табли ицу (таблл. 6.1). Таблицаа 6.1 Таблицца метода перемещен п ний 5. Определение коэффициентов канонических уравнений Коэффициенты канонических уравнений метода перемещений можно определять статическим или кинематическим способами. Статический способ основан на определении реакций во введенных связях основной системы из уравнений статики. Для этого необходимо вырезать отдельные узлы или части основной системы и составлять уравнения равновесия (статики). Если искомая реакция является реактивным моментом, то она определяется из условия равенства нулю момента в узле ∑ 0; если же она является реактивной силой, то определяется из уравнения проекции на ось (например, на ось x) в направлении этой реакции ∑ 0. Статический способ достаточно прост для использования, поэтому является основным способом определения коэффициентов системы канонических уравнений. Первая теорема Релея. Реакция, возникающая в j-ой связи от перемещения i-ой связи на единицу, равна реакции i-ой связи от перемещения j-ой связи на единицу, т.е. rji = rij. Эту теорему иногда называют теоремой о взаимности реакций. Она позволяет сократить объем вычислений побочных коэффициентов канонических уравнений. Кинематический способ основан на определении коэффициентов канонических уравнений перемножением эпюр. Этот способ применяется при сложности определения коэффициентов статическим способом или для проверки результатов статического способа. Для вывода формулы кинематического способа определим две возможные работы. Работа внешних сил j-го единичного состояния на перемещениях i-го состояния нам известна: . А возможная работа внутренних сил j-го единичного состояния на / деформации i-го состояния равна: По принципу возможных перемещений . Отсюда получаем искомую формулу: ∑ или ⊗ Формула вычисления грузовых коэффициентов отличается от аналогичной формулы метода сил (дается без вывода): ∑ где или ⊗ - грузовая эпюра изгибающих моментов в любой статически определимой системе, полученной из заданной системы удалением лишних связей. 6. Определение усилий После определения всех коэффициентов, они подставляются в систему канонических уравнений. Затем она решается и определяются неизвестные Z1, Z2, ..., Zn. После этого определяются внутренние усилия заданной статически неопределимой системы. Этот расчет выполняется аналогично методу сил. Вначале по формуле ⋯ ; определяются моменты. Затем по эпюре M определяются поперечные силы Q, а по ним - продольные силы N. Перед построением эпюр Q и N целесообразно убедиться в правильности эпюры М, то есть провести статическую проверку. Поскольку М строится в основной системе, то в ней проверяется отсутствие реакций во вновь введенных связях. Эта проверка равновесия узла является необходимым условием правильности значений моментов, примыкающих к фиктивным заделкам и круговым сечениям, содержащим вновь введенные связи. Для проверки остальных значений необходимо превратить заданную систему в статически определимую путем отбрасывания лишних связей. В полученной системе вычислить перемещения по направлению какой-либо отброшенной лишней связи. Если перемещение отсутствует, то значения моментов в эпюре М, участвующие в вычислении, верны. 7. Алгоритм метода перемещений Метод перемещений реализуется в следующей последовательности: 1. Определение степени кинематической неопределимости. 2. Выбор основной системы. 3. Запись канонических уравнений. 4. Рассмотрение единичных и грузового состояний. 5. Построение эпюр моментов во всех состояниях. 6. Определение коэффициентов канонических уравнений (при необходимости - их проверка). 7. Решение канонических уравнений. 8. Построение эпюр M, Q, N. 9. Проверка правильности расчета. Она проводится аналогично методу сил - статическим и кинематическим способами. Как видим, алгоритмы метода перемещений и метода сил совпадают. 8. Сравнение методов сил и перемещений При более подробном рассмотрении можно выявить не только сходные, но и принципиально отличающиеся стороны методов сил и перемещений. Рассмотрим некоторые из них: - оба метода используются для расчета статически неопределимых систем; при принятии одинаковых допущений оба приводят к единому результату, а при использовании в разных областях дополняют друг друга; - в методе сил неизвестными являются силы, а в методе перемещений неизвестными являются перемещения; при расчете одной и той же системы число их неизвестных часто бывает разным, поэтому одни системы выгоднее рассчитывать методом сил, другие - методом перемещений; - в методе сил основная система получается удалением связей, а в методе перемещений - введением связей; в методе сил вариантов основной системы много, а в методе перемещений она единственна; - единичные состояния в методе сил определяются воздействием единичных сил, в методе перемещений - единичных перемещений; - в методе сил необходимые эпюры в основной системе строятся обычным способом, а в методе перемещений - по готовой таблице; - коэффициенты канонических уравнений в методе перемещений определяются проще (из уравнений статики); - многие из боковых коэффициентов системы канонических уравнений метода перемещений равняются нулю, что упрощает ее решение и т.д.