Расчет статически неопределимых систем; метод сил

Лекция 4. Расчет статически неопределимых систем. Метод сил. 1. Понятие о статически неопределимых системах Статически неопределимой называется система, внутренние усилия которой нельзя определить только из уравнений статики (равновесия). Статически неопределимые системы (СНС) отличаются от статически определимых рядом свойств: 1. Они надежнее, разрушение некоторых элементов не всегда приводит к разрушению всей системы. 2. Они выдерживают большую нагрузку. 3. У них деформации меньше. 4. Изменение температуры, смещение опор, неточность изготовления элементов вызывают дополнительные усилия. 5. Внутренние усилия зависят от физических и геометрических характеристик элементов. У статически неопределимых систем есть так называемые «лишние» связи, число которых называется степенью статической неопределимости. Степень статической неопределимости простой системы определяется из дискового аналога по следующей формуле: 2 Ш С С 3 Д Например, степени статической неопределимости балки (рис. 4.1 а) и рамы (рис. 4.1 в) будут: n=2*0+0+4-3*1=1 и n=2*0+1+4-3*1=2. Использование этой формулы при расчете сложных рам затруднительно. Поэтому можно применить другой подход, вводя два понятия: 1) замкнутый контур - замкнутая цепь из элементов и связей системы; 2) удалённая связь - связь замкнутого контура, исключенная из жесткого соединения элементов (рис. 4.1 б, г, е). Степень статической неопределимости сплошного замкнутого контура равняется трем. Поэтому степень статической неопределимости системы из пк замкнутых контуров, из которых удалены пуд связей, будет n=3nK - nуд. При использовании этой формулы для балки (рис. 4.1 а) и рам (рис. 4.1 в, д) необходимо определить общее число замкнутых контуров nK и удаленных связей пуд (рис. 4.1 б,г,е). Тогда - для балки: n=3 2-5=1; - для обеих рам: n=3 2-4=2, n=3 2-4=2. Рисуно ок 4.1 2. Вы ыбор основ вной систеемы Расчет статически с неопредеелимой си истемы наачинается с превращения ее в стати ически опрределимую ю. Для этогоо необходи имо исключить лишнние связи и заменить их реаккции неизвеестными си илами. Поллученная си истема назы ывается оснновной сисстемой (ОС). Напримерр, у балки (рис. 4.2 аа), которую ю далее бу удем назыввать заданн ной систем мой (ЗС), степень статической с й неопредеелимости n=1. Если исключить и лишнюю связь с (праввую опорру) и обозначить неизвестную рееакцию чер рез X, полу учим ее ОС С (рис. 4.2 б). б Рисуно ок 4.2 Способовв исключен ния лишниих связей очень мно ого (теореетически - бесконечн ное числло). Наприм мер, лишню юю связь м можно искключать как на рис. 44.2 в-е. Од днако одна из этихх схем (рисс. 4.2 е) гео ометрическки изменяеема и для дальнейшеего расчетаа непригод дна. Все оостальные схемы моггут быть прриняты за основную о систему. с На рисс. 4.3 изобр ражена одиин раз статтически нео определимаая рама. Дл ля получен ния осноовной системы (ОС) необходим мо удалитьь одну связь. Удаленние связи 2 приводитт к мехаанизму (осставшиеся три связии параллеельны), уд даление сввязи 4 - к мгновен нно измееняемой си истеме (линии действвия оставш шихся трех х реакций связей пер ресекаютсяя в одноой точке). Таким об бразом, сввязи 2 и 4 не являю ются лишнними. На рис. 4.3б б-1г изоббражены ваарианты основной сисстемы. За счет с выбор ра в качествве неизвесттного какоголибоо внутреннеего усилия (рис. 4.3г)), основных х систем мо ожет быть бесконечно о много. Рисуно ок 4.3 пользоватьься известнным теореттическим положением м о том, чтто в линейн ноЕсли восп упруугих систем мах внешняяя нагрузкаа распредел ляется един нственным м образом, то т результааты расччетов по раазличным ОС должнны быть одинаковым о ми. Однакоо объем вычислений в й в разных ОС моожет быть разным. Поэтому из и многих вариантовв ОС нуж жно выбираать наибболее раци иональную. Напримерр, в нашем м примере первый ваариант ОС С (рис. 4.2 б) преддпочтительнее остальн ных, т.к. в ней эпюры ы строятся легче. л Поэтому основная о система с доллжна быть: 1) обязательно геом метрически и неизменяеемой; 2) простоой для расч чета; 3) учитыввать особен нности соооружения и действующ щей нагруззки. Для зааданных си имметричнных систем м, при выб боре основвной систеемы выгод дно сохрранять симм метрию (ри ис. 4.4). Рисуно ок 4.4 На рисс. 4.4а, 4.4вв изображенны рамы, содержащи с ие замкнуты ый контур, и статичесски неоп пределимыее внутренн ним образом м. Для получения осн новной систтемы можн но избавитьься от кконтура, раазрезав его о (рис 4.44б). Поскол льку при этом э возниикает три неизвестн ных внуттренних уссилия в точ чке С, то замкнуты ый контур трижды т сттатически неопредели н им. Внеддрение шаррнира в ко онтур пониижает его статическу ую неопрееделимостьь на единицу. Если и система статически и неопредделима вну утренним образом, о тто степень статическкой неоп пределимоссти определ ляется по ф формуле n = - W = 3К 3 – Ш, где К – колич чество конттуров, Ш – число шаарниров в контурах. к Д Для рамы на н рис. 4.4в в точкках А и В в конту ур помещеено два шаарнира и для д получеения основвной систем мы необбходимо оттбросить од дну внутрееннюю свяязь (n = 1), В качествве неизвесттной выгод дно выбррать усилиее в ригеле, который ппредставляеет собой шарнирно оппертый стеержень. 3. Суущность метода м сил В рассматтриваемом м методе раасчета статтически нео определим мых систем м за основн ные неиззвестные прринимаютсся силы (вннутренние усилия). Поэтому П он и называеется методдом сил. Изучим метод м сил на н примере предыдущ щей балки. Потребуеем, чтобы ее ЗС (рис. 44.2 а) и ОС С (рис. 4.2 б) б были экввивалентны ыми. Для этогоо перемещеение в напр равлении иисключенно ой связи до олжно равнняться нулю ю: ∆ 0. По принц ципу суперп позиции, этто перемещ щение равно сумме пееремещени ия ∆ (рис. 4.5 4 а) отт неизвестн ной реакции и X и перем мещения ∆ (рис. 4.5 б) б от заданнной силы P. P Поэтомуу ∆ ∆ ∆ 0. Это урравнение, учитывающ у щее геометтрические особенност о ти системы ы, называеттся ураввнением совместност ти деформ маций. Рисуно ок 4.5 Так как сила с X неи известна, пперемещен ние ∆ неп посредственнно опредеелить нелььзя. Поэттому рассм мотрим еди иничное со стояние (Е ЕС) основной системы ы, где дейсствует тольько един ничная силла P=1 (ри ис. 4.5 в). Перемещеение δ, воззникающеее в нем в направлен нии един ничной силы, называеется податлливостью, и его уже можно м опрееделить. В линейн но-упругой й системе по закону у Гука ∆ δX. Тогдаа последнеее уравнен ние прин нимает вид ∆ Его называют н каноничесским ураввнением метода м ссил. Такое уравнен ние полуучается дляя любой од дин раз стаатически неопредели н имой систеемы. Если известны δ и ∆ ,и из него опрределяется неизвестнаая сила: ∆ / . Если в си истеме имееется n лиш шних связей й, то нужно о исключитть все эти лишние л свяязи и вы ыбрать ОС с n неизвесстными X1, X2, ..., Xn. Тогда, из условий экквивалентн ности ЗС и ее ОС ((условий равенства р нулю н перем мещений в направлен ниях исклю юченных сввязей) мож жно состаавить n ураавнений совместностии деформац ций: При расссмотрении n различчных едини ичных сосстояний сиистемы и определен нии подаатливостей δ ураввнений: по раазличным направлени иям, эти уравнения у приводятсся к систееме Она называется системой й канонических ураввнений меетода сил л. Здесь δ - главн ные коэфф фициенты, δ – боковвые коэфф фициенты. Свободные С е члены ∆ называюттся грузоовыми коэф ффициентаами. Систем му с больш шим количееством ураавнений необходимо решать на компьютеере. С этоой целью введем в матр ричные обоозначения: где δ - матриц ца податливости, X - вектор нееизвестных х, ∆ - векттор нагруззки, 0 - нулльвектоор. В резулльтате этого система кканоническких уравнений приниимает вид: ∆ 0. Из этого матричного м о уравнениия определяяется векто ор неизвесттных: ∆ Здесь - обратнаяя матрица пподатливоссти. 4. Определение коээффициенттов канонических ур равнений Коэффиц циенты при и неизвестнных δ - и грузовые коэффицииенты ∆ каноническ к ких ураввнений - возможные перемещеения от ед диничных сил и нагр грузки. У них н есть два д индеекса. Первы ый индексс i указываает на нап правление, а второй индекс j (или P) - на приччину перем мещения. Методикуу вычислен ния этих кооэффициен нтов изучим м на примеере некотор рой условн ной системы (рис. 4.6 4 а) и ее основной о ссистемы (ри ис. 4.6 б). Рисуно ок 4.6 Для оп пределения коэффицииентов ду рассмотрим два состояяния ОС: 1) иничное соостояние - воздействи в ие силы Xi= =l (рис. 4.6 в); i-ое еди 2) j-ое еди иничное соостояние - воздействи в е силы Хj= =1 (рис. 4.6 6 г). Если в этих состояниях воззникают вн нутренние усилия у M , Q , N и M , Q , N , то возм можная работа внутренних сил i--го состоян ния на дефо ормациях j -го состоян ния будет: в работа внеешних сил i-го состояяния на пер ремещенияхх jС другой стороны, возможная го соостояния раавна W 1∙δ δ δ По принц ципу возм можных пееремещени ий . Прирравнивая их, и получааем форм мулу для вы ычисления коэффицииентов при неизвестны ых: Теорема Максвелла. Перемещ щение в i--ом направвлении от единичной й силы в j--ом напрравлении равна р переемещению в j-ом направлени ии от еддиничной силы с в i--ом напрравлении, т.е. т . Эта теоррема позво оляет уменньшать объ ъем вычислений прии нахожден нии боковвых коэф ффициентовв системы каноническких уравнеений. Теперь выведем формулу вычисления грузовых коэффициентов. Вначале определим возможную работу сил i-го единичного состояния (рис. 4.6 в) на перемещениях грузового состояния (рис. 4.6 д): W 1∙∆ ∆ С другой стороны, возможная работа внутренних сил M , Q , N i-го единичного состояния на деформациях грузового состояния равна По принципу возможных перемещений Приравнивая их, получим формулу вычисления грузовых коэффициентов: ∆ Так как в рамах и балках перемещения определяются в основном изгибными деформациями, то коэффициенты канонических уравнений можно вычислять по сокращенным формулам: ∑ ⊗ ∑ ,∆ ⊗ где условный знак ⊗ использован для сокращения записи формулы вычисления интеграла Мора и означает условное «произведение» двух эпюр. 5. Проверка правильности коэффициентов При вычислении коэффициентов системы канонических уравнений возможны ошибки. Поэтому их надо проверять. Существует три способа проверки коэффициентов. 1. Построчная проверка проводится для проверки всех коэффициентов одного уравнения. Если сложить все коэффициенты при неизвестных i-го уравнения, то δ δ δ … δ M ⊗M M ⊗M M ⊗M∑ Здесь: ∑ ∑ ⋯ … M ⊗M δ M ⊗ M M … M ∑ - суммарная единичная эпюра, результат «произведения» i-ой единичной эпюры на эту эпюру. ∑ - Отсюда следует, что если сумма всех коэффициентов i-ой строки системы канонических уравнений равна произведению i-ой единичной эпюры на суммарную единичную эпюру, т.е. δ M ⊗M∑ то коэффициенты этой строки вычислены верно. 2. Универсальная проверка используется для одновременной проверки всех коэффициентов системы канонических уравнений. Приведем (без доказательства) только общее правило этой проверки: если сумма всех коэффициентов системы канонических уравнений равна произведению суммарной единичной эпюры на себя, т.е. δ M∑ ⊗ M∑ M∑ то все коэффициенты системы канонических уравнений вычислены верно. 3. Постолбцовая проверка используется для проверки коэффициентов одного столбца системы канонических уравнений. Приведем правило проверки столбца из грузовых коэффициентов: если сумма всех грузовых коэффициентов равна произведению суммарной единичной эпюры на грузовую эпюру, т.е. ∑ ∆ M∑ ⊗ , то грузовые коэффициенты вычислены верно. 6. Определение внутренних усилий После подсчета и проверки коэффициентов системы канонических уравнений, все они подставляются в уравнения, а потом система уравнений решается относительно неизвестных X 1 , X2, ..., Xn. Затем определяются внутренние усилия заданной статически неопределимой системы. Эту задачу можно решать двумя способами: 1) подстановкой найденных величин X 1 , X2, ..., Xn в основную систему и определением ее усилий M, Q, N; 2) используя эпюры внутренних усилий в единичных состояниях , , и в грузовом состоянии MP, QP, NP: ⋯ ; ⋯ (4.1) ; ⋯ При расчете рам и балок обычно используется только первая из этих формул, и по ней строится эпюра изгибающих моментов M. Эпюра Q строится по эпюре M с учетом дифференциальной зависимости, а эпюра N строится по эпюре Q способом вырезания узлов. Перед построением эпюр Q и N целесообразно убедиться в правильности эпюры М. Статическая проверка для М не применима, поскольку равновесие узлов не нарушится в случае как при умножении эпюр на любое число X i , так и при дальнейшем сложении уравновешенных эпюр в формуле (4.1). Необходимо выполнить кинематическую (деформационную) проверку. Смысл проверки заключается в проверке отсутствия перемещений по направлению отброшенных связей в основной системе. 7. Алгоритм метода сил Порядок расчета рамы методом сил состоит из следующих этапов: 1. Определение степени статической неопределимости. 2. Выбор основной системы. 3. Запись канонических уравнений. 4. Рассмотрение единичных и грузового состояний. 5. Построение единичных и грузовой эпюр. 6. Определение коэффициентов канонических уравнений. 7. Решение системы канонических уравнений. 8. Построение эпюр M, Q, N. 9. Проверка правильности расчета. Она состоит из двух частей: 1) статическая проверка - проверка условий равновесия; 2) кинематическая проверка - проверка всех условий M ⊗ общего условия M∑ ⊗ 0 ( i = 1 . . . n ) или 8. Определение перемещений Перемещения статически неопределимых систем можно вычислять по известной формуле Мора. В системах с преобладанием изгибных деформаций (например, в рамах и балках) она имеет вид: ∆ Здесь ⊗ и M - эпюры моментов от единичной силы и нагрузки в заданной статически неопределимой системе. Однако, построение этих эпюр связано с решением трудоемких задач раскрытия статической неопределимости. Задача упрощается у я, если оддну из этих эпюр строить в основной й системее и испоользовать формулы ф ∆ ⊗ или ∆ ⊗ , гд де MQ и MP - единичн ная и грузоввая эпюрры в любой й основной й системе м метода сил. 9. Раасчет симм метричных х рам Симметрричными называютс н ся системы ы, расчетны ые схемы которых симметрич с чны отноосительно некоторой н оси. о Расчет л любой си имметричноой рамы (рис. 4.7 а) мож жно упро остить, ессли восп пользоватьсся ее симм метрией и рразложить внешнюю нагрузку нна симметричную (ррис. 4.7 бб) и кососим мметричну ую (рис. 4.77 в) нагрузкки. Рисуно ок 4.7 Тогда, хоття раму приходится ррассчитываать дважды ы, выбор оснновной сисстемы по рис. р 4.8 а дает значи ительный выигрыш в в вычислени иях. Рисуно ок 4.8 Канони ические уравнения меетода сил при п расчетее этой рамы ы будут: ∆ ∆ ∆ Во всех трех единичных состояниях построим эпюры моментов (рис. 4.8 б, в, г). Из них две эпюры (рис. 4.8 б, г) - симметричные, а одна (рис. 4.8 в) - кососимметричная. Симметричная (с) и кососимметричная (кс) эпюры взаимно- ортогональны, т.к. их "произведение" равно нулю. Поэтому следующие коэффициенты системы канонических уравнений обращаются в 0 и нуль: 0, и система канонических уравнений распадается на две независимые системы: ∆ ∆ ∆ Значит, некоторые коэффициенты можно не вычислять, а решение большой системы канонических уравнений заменить решением двух систем уравнений значительно меньших размеров. а) Расчет на симметричную нагрузку Так как эпюра изгибающих моментов при действии симметричной нагрузки также является симметричной (рис. 4.8 д), то она ортогональна кососимметричной эпюре Следовательно, ∆ . 0. Поэтому, как следует из уравнения (2), X2=0. Таким образом, при симметричной нагрузке кососимметричная неизвестная равна нулю. В этом случае эпюра изгибающих моментов будет строиться по формуле Она, как сумма симметричных эпюр, также будет симметричной. В этом случае эпюра Q будет кососимметричной, а эпюра N будет симметричной. б) Расчет на кососимметричную нагрузку В этом случае эпюра изгибающих моментов кососимметрична (рис. 4.8 е) и ортогональна симметричным эпюрам системы уравнений (1), X1=X3=0. и Итак, . Поэтому ∆ при ∆ 0, и, как следует из кососимметричной нагрузке все симметричные неизвестные равны нулю. Тогда эпюра изгибающих моментов строится по формуле к к она и эпюра N будут кососимметричными, а эпюра Q - симметричной. Окончательная эпюра определяется как сумма двух решений: к