Расчет статически неопределимых систем; метод перемещений

Лекция 3 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ. МЕТОД ПЕРЕМЕЩЕНИЙ Как уже знаем, при расчете статически неопределимых систем методом сил исключаются лишние связи, а за неизвестные принимаются силы (усилия) в этих связях. После их вычисления из канонических уравнений можно определять все остальные усилия, а также перемещения, напряжения и деформации системы. Напряженно-деформированное состояние (НДС) статически неопределимых систем можно устанавливать и по-другому. В этом случае связи не исключаются, а делается наоборот - в систему вводятся дополнительные связи. За неизвестные принимаются перемещения во введенных связях, которые определяются из канонических уравнений. Поэтому этот метод называется методом перемещений. 1. Неизвестные метода перемещений Установим минимальное число узловых перемещений, необходимых для определения напряженно-деформированного состояния статически неопределимой стержневой системы. С этой целью определим простейшие деформации некоторого стержня АВ стержневой системы, которые он получает при переходе в новое положение A'B' под воздействием внешней нагрузки (рис. (6.1 а). Данная задача упрощается, если стержень закрепить по обоим концам и, задавая его концам некоторые независимые перемещения, привести стержень к окончательному деформированному состоянию A'B'. Рисунок 6.1 Как следует из рис. 6.1, для этого концам закрепленного стержня АВ необходимо последовательно задавать поступательные (линейные) перемещения ∆ и ∆!" (рис. 6.1 б, в), угловые перемещения "! и "" (рис. 6.1 г, д), а внутри стержня приложить внешнюю нагрузку (рис. 6.1 е). От перемещения ∆ всего стержня внутренние усилия и деформации не возникают (на рис. 6.1 б M1 =0). Внутренние усилия и деформации от местной нагрузки, действующей в пределах закрепленного стержня АВ, можно найти отдельно. Значит, для определения НДС всего стержня достаточно знать три неизвестных перемещения - два угловых перемещения его концов "! , "" и одно поступательное перемещение - взаимное смещение концов стержня ∆!" . Поэтому степень кинематической неопределимости отдельного стержня равняется трем. 2. Выбор основной системы Основная система метода перемещений должна быть кинематически определимой. Для ее получения в заданную систему следует ввести столько дополнительных связей, чтобы концы всех стержней были закреплены, т. е. исключены их перемещения. Поэтому общее число вводимых связей будет равно числу неизвестных метода перемещений. Однако число вводимых связей может быть весьма большим. Например, рама на рис. 6.2 а состоит из пяти стержней. По результатам проведенного выше анализа, степень ее кинематической неопределимости (или число неизвестных метода перемещений) будет 5*3=15. Это число можно уменьшить, если принять следующие гипотезы: 1) поперечные и продольные деформации стержней малы; 2) длина хорды, соединяющей концы изогнутого стержня, равна первоначальной длине стержня; 3) в упругом рамном узле углы между стержнями сохраняются. Действительно, в этом случае в данной раме достаточно будет знать только три перемещения - поступательное перемещение А и два угловых перемещения !! и !" (рис. 6.2 а). Таким образом, число неизвестных уменьшилось намного - с пятнадцати до трех. Рисунок 6.2 Из третьей гипотезы следует, что число неизвестных угловых перемещений будет определяться по формуле: nугл = числу упругих рамных узлов. Для определения числа неизвестных поступательных перемещений (в дальнейшем их будем называть линейными перемещениями) во все узлы рамы, включая и опоры, нужно ввести шарниры (рис. 6.2 б). Тогда число линейных перемещений легко определяется по известной формуле кинематического анализа для фермы: !лин = # = 2!У − !С − !С& В рассматриваемой раме имеем !лин = 2 ∗ 6 − 5 − 6 = 1. Общее число всех неизвестных перемещений определяется по формуле ! = !угл + !лин и называется степенью кинематической неопределимости. Сами неизвестные перемещения обозначаются однотипно: Z 1 , Z 2 , Z 3 , …, Zn. После определения числа неизвестных в заданной системе (ЗС) следует вводить столько же связей для исключения перемещений концов ее стержней. Например, в рассмотренную раму введем две заделки и одну опорную связь. Полученная схема (рис. 6.2 в) будет основной системой (ОС) метода перемещений. Таким образом, для получения ОС метода перемещений необходимо: в упругие рамные узлы заданной системы ввести !угл заделок; в направлении поступательных перемещений узлов заданной системы ввести плин опорных связей (они вводятся так, чтобы система с введенными шарнирами стала геометрически неизменяемой). Введенные связи, хотя внешне и похожи на обычные опорные связи, от них принципиально отличаются, потому что: 1) введенная заделка исключает лишь угловое перемещение узла, оставляя возможность линейного смещения; 2) введенная опорная связь исключает только линейное перемещение узла, оставляя возможность поворота (рис. 6.2 г, д). При соблюдении этих требований ОС метода перемещений, по-сути, является единственной. Пусть необходимо выбрать ОС метода перемещений для рамы (рис. 6.3 а). Она имеет четыре жестких узла. Значит, число угловых неизвестных !угл = 4. Для определения числа линейных неизвестных во все узлы и опоры рамы введем шарниры (рис. 6.3 б). Тогда имеем: !лин = 2!У − !С − !С( = 2 • 8 - 8 - 6 = 2. Поэтому общее число неизвестных будет п = пугл + плин =4+2=6. Вводя в жесткие узлы ЗС четыре заделки и две опоры, исключающие линейные перемещения узлов рамы (последние вводятся так, чтобы механизм на рис. 6.3 б стал геометрически неизменяемым), получаем требуемую ОС (рис. 6.3 в). Рисунок 6.3 3. Сущность метода перемещений Рама четырежды статически неопределима. При ее расчете методом сил нужно исключать четыре лишние связи и выбирать основную систему, например, такую как на рис. 6.4 б. Рисунок 6.4 При использовании же метода перемещений раму следует превратить в кинематически определимую. Для этого в заданную систему (ЗС) достаточно ввести ! = !угл + !лин =1+0=1 кинематическую связь. Если неизвестное угловое перемещение узла обозначить через z, получим основную систему (ОС), показанную на рис. 6.4 в. Потребуем, чтобы усилия и деформации ОС были такими же, как у ЗС. Для этого перемещение Z должно быть равно углу поворота узла рамы $ (рис. 6.4 а), а реактивный момент во введенной заделке основной системы (рис. 6.4 в) должен равняться нулю: R =0. Эту реакцию определим, рассматривая единичное и грузовое состояния основной системы. В единичном состоянии введенной связи зададим единичное перемещение Z=1 и определим возникающую в ней реакцию r (рис. 6.4 г). Такая реакция от единичного перемещения называется жесткостью. В грузовом состоянии приложим только внешнюю нагрузку и во введенной связи основной системы определим реакцию RP (рис. 6.4 д). С учетом упругости системы и принципа суперпозиции, наше уравнение приводится к виду ! ∙ # + %! = 0 Оно называется каноническим уравнением метода перемещений. Если известны реакции r и RP, то из него можно найти величину узлового перемещения: # = −%! /! Если степень кинематической неопределимости стержневой системы равна n, ее ОС получается введением n дополнительных связей с неизвестными Z1, Z2, ..., Zn. Чтобы ОС была эквивалентна ЗС, реакции во введенных связях должны равняться нулю. С учетом этого можно записать n уравнений. После рассмотрения n единичных состояний, одного грузового состояния и дальнейшего определения реакций (реактивных усилий) во всех состояниях, эти уравнения приводятся к следующему виду: ì r11 Z1 + r12 Z 2 + ! + r1n Z + R1P = 0; n ï ï r21 Z1 + r22 Z 2 + ! + r2 n Z n + R2 P = 0; í !!!!!!!!!!!! ï ïr Z + r Z + ! + r Z + R = 0. nP nn n î n1 1 n 2 2 Все вместе они называются системой канонических уравнений метода перемещений. Здесь !!! - главные коэффициенты, !!" - боковые коэффициенты. Свободные члены "!# являются грузовыми коэффициентами. После введения матриц и векторов: система канонических уравнений записывается в матричной форме: ! ∙ $ + "# = 0 где r - матрица жесткости, Z - вектор неизвестных, RP - вектор нагрузки, 0 нуль-вектор. Отсюда определяется вектор неизвестных: ( = −*$% +& где *$% - обратная матрица жесткости. 4. Элементарные состояния основной системы Как было установлено в предыдущей лекции, коэффициенты системы канонических уравнений метода перемещений - реакции, определяемые в единичных и грузовом состояниях. Например, !!" - реакция, возникающая в i-ой связи в j-ом единичном состоянии, RiP реакция, возникающая в i- ой связи в грузовом состоянии. Все эти реакции равны сумме реакций отдельных стержней, объединенных в узлах основной системы. Для их определения необходимо рассчитывать статически неопределимые стержни различной длины и жесткости с различными закреплениями по концам, получающие разные перемещения или нагруженные различными силами. С целью упрощения таких расчетов все типовые задачи, встречающиеся при расчете различных основных систем, решаются для общего случая. Их называют элементарными состояниями основной системы, а результаты их расчетов сводятся в таблицу. Эти задачи в большинстве случаев бывают статически неопределимыми и поэтому решаются методом сил. Рассмотрим решение двух типовых задач. 1) Стержень с равномерно распределенной нагрузкой q Степень статической неопределимости этой системы (рис. 6.5 а) n=1. Каноническое уравнение имеет вид !" + ∆! = 0. Выбирая основную систему (рис. 13.1 б), в единичном (рис. 6.5 в) и грузовом (рис. 6.5 д) состояниях строим единичную (рис. 6.5 г) и грузовую эпюры (рис. 6.5 е). Определим коэффициенты канонического уравнения: ! " $ ! = " , ∆& = # $ ⊗ #& = − '" !=# #$% ($% а затем неизвестную реакцию: () = ) = − ∆# + # = ( *+. После этого из уравнений статики определяем остальные реакции, а по $ ) + #& строим эпюру изгибающих моментов (рис. 6.5 ж). формуле # = # Рисунок 6.5 2) Поворот одного конца стержня с заделанными концами Пусть один конец стержня с заделанными концами поворачивается на единичный угол (рис. 6.6 а). У этой системы степень статической неопределимости n=3. Однако, если не учитывать продольную деформацию, вместо заданной системы можно рассматривать стержень с правой опорой в виде ползуна (рис. 6.6 б) и принять n=2. Система канонических уравнений будет: !!! "! + !!" "" + ∆!# = 0 !"! "! + !"" "" + ∆"# = 0 Если основную систему выбрать симметричной (рис. 6.6 в), в обоих ((("( легко единичных состояниях (рис. 6.6 г, е) единичные эпюры (( '((! , ' строятся (рис. 6.6 д, ж). В грузовом состоянии (рис. 6.6 з) момент не возникает, поэтому MP = 0 . Рисунок 6.6 Определим коэффициенты канонических уравнений: " $$$$! = !!! = # #! , !"$% $$$"$ = 0, !"" = # $$$"$" = # !!" = !"! = $$ #$$! ⊗ # $% Из рис. 13.2 з следует, что # # # ∆!& = " tan + = " 1 = " и ∆"& = −+ = −1, а из канонических уравнений получаем $% .! = −6 #" , ." = Так как MP = 0, имеем $% . # $$$$! .! + # $$$"$." (рис. 6.6 и). #=# Аналогичные расчеты проводятся для всех типовых случаев, встречающихся в различных основных системах. Результаты их расчетов сводятся в единую таблицу (табл. 6.1). Таблица 6.1 Таблица метода перемещений 5. Определение коэффициентов канонических уравнений Коэффициенты канонических уравнений метода перемещений можно определять статическим или кинематическим способами. Статический способ основан на определении реакций во введенных связях основной системы из уравнений статики. Для этого необходимо вырезать отдельные узлы или части основной системы и составлять уравнения равновесия (статики). Если искомая реакция является реактивным моментом, то она определяется из условия равенства нулю момента в узле ∑ " = 0; если же она является реактивной силой, то определяется из уравнения проекции на ось (например, на ось x) в направлении этой реакции ∑ % = 0. Статический способ достаточно прост для использования, поэтому является основным способом определения коэффициентов системы канонических уравнений. Первая теорема Релея. Реакция, возникающая в j-ой связи от перемещения i-ой связи на единицу, равна реакции i-ой связи от перемещения j-ой связи на единицу, т.е. rji = rij. Эту теорему иногда называют теоремой о взаимности реакций. Она позволяет сократить объем вычислений побочных коэффициентов канонических уравнений. Кинематический способ основан на определении коэффициентов канонических уравнений перемножением эпюр. Этот способ применяется при сложности определения коэффициентов статическим способом или для проверки результатов статического способа. Для вывода формулы кинематического способа определим две возможные работы. Работа внешних сил j-го единичного состояния на перемещениях i-го состояния нам известна: !!" = #"! . А возможная работа внутренних сил j-го единичного состояния на деформации i-го состояния %%% $# /'( равна: %%%# $ %%%$ $ −*!" = + , -. '( По принципу возможных перемещений !!" = −*!" . Отсюда получаем искомую формулу: #"! = ∑ ∫ &% &&&! % &&&&" '( %%%$ -. или #"! = %%% $# ⊗ $ Формула вычисления грузовых коэффициентов отличается от аналогичной формулы метода сил (дается без вывода): $ &% &&&! %# %%%# ⊗ $)* 2") = − ∑ ∫ -. или #"! = −$ '( где $)* - грузовая эпюра изгибающих моментов в любой статически определимой системе, полученной из заданной системы удалением лишних связей. 6. Определение усилий После определения всех коэффициентов, они подставляются в систему канонических уравнений. Затем она решается и определяются неизвестные Z1, Z2, ..., Zn. После этого определяются внутренние усилия заданной статически неопределимой системы. Этот расчет выполняется аналогично методу сил. Вначале по формуле ####! $! + ! ###"#$" + ⋯ + ! ##### $# + !$ ; !=! определяются моменты. Затем по эпюре M определяются поперечные силы Q, а по ним - продольные силы N. Перед построением эпюр Q и N целесообразно убедиться в правильности эпюры М, то есть провести статическую проверку. Поскольку М строится в основной системе, то в ней проверяется отсутствие реакций во вновь введенных связях. Эта проверка равновесия узла является необходимым условием правильности значений моментов, примыкающих к фиктивным заделкам и круговым сечениям, содержащим вновь введенные связи. Для проверки остальных значений необходимо превратить заданную систему в статически определимую путем отбрасывания лишних связей. В полученной системе вычислить перемещения по направлению какой-либо отброшенной лишней связи. Если перемещение отсутствует, то значения моментов в эпюре М, участвующие в вычислении, верны. 7. Алгоритм метода перемещений Метод перемещений реализуется в следующей последовательности: 1. Определение степени кинематической неопределимости. 2. Выбор основной системы. 3. Запись канонических уравнений. 4. Рассмотрение единичных и грузового состояний. 5. Построение эпюр моментов во всех состояниях. 6. Определение коэффициентов канонических уравнений (при необходимости - их проверка). 7. Решение канонических уравнений. 8. Построение эпюр M, Q, N. 9. Проверка правильности расчета. Она проводится аналогично методу сил - статическим и кинематическим способами. Как видим, алгоритмы метода перемещений и метода сил совпадают. 8. Сравнение методов сил и перемещений При более подробном рассмотрении можно выявить не только сходные, но и принципиально отличающиеся стороны методов сил и перемещений. Рассмотрим некоторые из них: оба метода используются для расчета статически неопределимых систем; при принятии одинаковых допущений оба приводят к единому результату, а при использовании в разных областях дополняют друг друга; - - в методе сил неизвестными являются силы, а в методе перемещений неизвестными являются перемещения; при расчете одной и той же системы число их неизвестных часто бывает разным, поэтому одни системы выгоднее рассчитывать методом сил, другие - методом перемещений; - в методе сил основная система получается удалением связей, а в методе перемещений - введением связей; - в методе сил вариантов основной системы много, а в методе перемещений она единственна; - единичные состояния в методе сил определяются воздействием единичных сил, в методе перемещений - единичных перемещений; - в методе сил необходимые эпюры в основной системе строятся обычным способом, а в методе перемещений - по готовой таблице; - коэффициенты канонических уравнений в методе перемещений определяются проще (из уравнений статики); - многие из боковых коэффициентов системы канонических уравнений метода перемещений равняются нулю, что упрощает ее решение и т.д.