Расчет сооружений смешанным и комбинированным методами. Расчет сооружений методом конечных элементов

Л е к ц и я 8 Расчет сооружений смешанным и комбинированным методами. Расчет сооружений методом конечных элементов Расчет сооружений смешанным и комбинированным методами Кроме методов сил и перемещений, при расчете статически неопределимых систем могут использоваться и другие методы. Например, когда структура расчетной схемы сооружения по длине и высоте неоднородна (одна часть имеет малое количество лишних связей, а другая - большое количество лишних связей и малую подвижность), выгодно использовать смешанный или комбинированный методы. 1.Смешанный метод расчета Этот метод основан на смешанном выборе неизвестных основной системы статически неопределимой системы - в одной части они выбираются по методу сил (удалением лишних связей), а в другой - по методу перемещений (введением дополнительных связей). Поэтому основные неизвестные этого метода состоят из двух типов величин - сил и перемещений, а их общее количество определяет число неизвестных метода. Так как к одной части основной системы применяется метод сил, то и основная система смешанного метода может выбираться по-разному. Как и в методах сил и перемещений, в смешанном методе рассматриваются единичные и грузовое состояния основной системы. Эпюры усилий в этих состояниях строятся по-разному - в одной части как в методе сил (например, методом простых сечений), а в другой части - как в методе перемещений (с использованием таблицы метода перемещений). Канонические уравнения смешанного метода также бывают двух типов. Уравнения первого типа - кинематические уравнения, аналогичные уравнениям метода сил. Они выражают условия равенства нулю перемещений в удаленных связях. Уравнения второго типа - статические уравнения, аналогичные уравнениям метода перемещений. Они выражают условия равенства нулю реакций во введенных связях. Если обозначить неизвестные силы через X1, X2, … Xk, а неизвестные перемещения через Zk+1, Zk+2,…, Zn, канонические уравнения смешанного метода будут двух типов Как обыч чно, в этих х уравненияях выполняяются равеенства ураввнения I-го типа, кром ме коэффицциентов ,… , . Однакоо в , определяем о мых в основной систееме как перемещения от ед диничных сил Xi=1 (i=1,2,..., k), входяят коэффи ициенты , опрееделяемые как перем мещения оот единичн ных перем мещений ZJ =1 (j=k+1, ...,n). А в ураввнения II--го типа, кроме ообычных коэффициеентов коэф ффициенты ы , , … вход дят ,, опред деляемые ккак реакции и от единич чных сил X Xi=1. Упроститть их опред деление поззволяет слеедующая тееорема. Вторая теорема Релея. Р Велличина пер ремещения системы в i-ом нап правлении от о единничного перремещенияя j-ой связии равна рееакции в j-ой связи оот действи ия единичнной силы ы в ом напрравлении, вззятой с обрратным зн наком, т.е. Грузовыее коэффици иенты каноонических уравнений й смешанноого методаа AP ('=1,2,..,k) и RjPP (j=k+1, ....,n) определ ляются таккже как в методах м сил л и перемещ щений. Окончатеельная эпю юра изгибаающих мо оментов в смешанноом методе строится по форм муле M=M MjX+... +MkX + +1Z++... +MnZn+M MP. k+Mk+ Правиильность этой э эпюры провверяется таакже как в методах сиил и перемещений: пееремещениия в удален нных связяхх и реаккции во ввееденных свяязях должнны равнятьься нулю. Алгоритм м смешанн ного методда состоит из следующих этаповв: 1. Опред деление чиссла неизвесстных. 2. Выборр основной й системы. 3. Записьь каноничееских уравннений. 4. Рассмотрение ед диничных и грузового о состояний й. 5. Построение эпюр р в этих соостояниях. 6. Опредееление коэффициентоов и свобод дных члено ов каноничческих ураввнений. 7. Решен ние канонич ческих ураавнений. 8. Построение эпюр р M, Q, N . 9. Провеерка правил льности рассчета. Как ви идим, этот алгоритм совпадает с алгоритм мами методда сил и перемещени п ий. Однаако, по сутти, каждый этап расчеета отличаеется от них. В качеестве примеера рассмоотрим неко оторые этап пы расчетаа рамы, преедставленн ной на ррис. 8.1 а. Число неи известных, если ее раассчитыватть методам ми сил и перемещени п ий, будуут мс мп 3 уд угл 3∗2 2 ли ин 2 1 4 3 н рис. 8.1 б, Когда выбираетсся основнаая система по смешаанному меттоду как на числло неизвесттных будет см 1 1 2 Тогда каноническ к кие уравне ния запишу утся так: Коэффици иенты кано онических уравнений й и∆ определяю ются как в методе си ил - переемножением м единично ой и грузоввой эпюр моментов м по рис. 8.1 вв, д, а коэффициенты r22 и R22P определляются как к в методде перемещ щений - вырезанием в м узлов ед диничного и грузоового состтояний по рис. р 8.1 г, д. Коэффи ициент проще вссего опредееляется какк в метооде перемещ щений - по о рис. 8.1. Т Тогда, по втторой теорееме Релея, имеем Рисуно ок 8.1 Дальнеейший расч чет ведетсяя, как обыч чно, по указзанному вы ыше алгори итму. 2. Коомбиниров ванный меетод расчеета В этом методе осно овная систеема выбираается части ично по меттоду сил (н не удаляя все в лиш шние связи) или части ично по меттоду перем мещений (н не вводя доополнителььные связи во все н необходим мые места).. Поэтому, если осно овная систеема выбираается по меетоду сил, то она будет статтически нео определим мой. Если же ж она выб бирается поо методу перемещени п ий, то буудет кинем матически неопределиимой. В сввязи с этим м, эпюры в единичны ых и грузовых состтояниях основной си истемы смеешанного метода ну ужно строиить для неестандартн ных элем ментов. Пооэтому, кр роме осноовных неи известных, в этом м методе вы ыбираются и вспоомогательн ные неизвеестные. И Их общее число бу удет равнно числу неизвестн ных смеш шанного меетода. Использоование ком мбинироваанного метода обыч чно прощ ще чем исспользован ние смеш шанного метода, м т.к. основны ые неизвесттные в нем рассматтриваются отдельно от вспоомогательн ных. Поэттому сооттветствующ щие два типа каннонических х уравнен ний расссматриваюттся раздел льно. А в смешанн ном метод де, как м мы видели и, оба ти ипа каноонических уравнений у приходитсся рассматр ривать совм местно. При расчете симметтричных раам комбини ированный метод даетт преимущ щества, если и разлложить нагррузку на си имметричнуую и кососсимметричн ную составвляющие. Рассмотрим Р м этотт случай на примере рамы р (рис. 88.2 а), числ ло неизвесттных которрой по мето одам сил и переемещений будут б мс мп 3 уд угл ли ин 3∗1 2 1 3 3 Внешн нюю нагру узку преддставим каак сумму симметриичной (рис. 8.2 б) и косоосимметрич чной (рис. 8.2 в) нагруузок. Рисуно ок 8.2 Как былоо установл лено при ррасчете сим мметрично ой рамы меетодом сил, метод сил с выгооден при расчете на н кососим мметричну ую нагрузк ку. Действвительно, при выбооре осноовной систеемы как наа рис. 8.2 б,, симметричные неизв вестные X1 и X3 буду ут обращатьься в нулль, и поэтоому из трех х уравненийй останетсяя только од дно канониическое ураавнение Рисуно ок 8.3 Аналогич чно, при расчете на симм метричную ю нагрузкку, кососи имметричн ные неиззвестные Z1 и Z3 мето ода перемеещений (ри ис. 8.3 а) также т обрат атятся в ну уль, и из тррех ураввнений остаается тольк ко одно канноническоее уравнениее Таким об бразом, расчет заданнной системы ы с тремя неизвестны н ыми сводиттся к просты ым расччетам двух систем,, имеющиих по од дной неизвестной. Окончател льная эпю юра изги ибающих моментов оп пределяетсся суммой двух д решен ний: СЧЕТ СОО ОРУЖЕНИ ИЙ МЕТОД ДОМ КОН НЕЧНЫХ ЭЛЕМЕН НТОВ (МКЭ) РАС Соврем менная выч числительнная техника позволяеет проводитть расчеты ы сооружен ний с боолее подрообным опи исанием ихх внутренней структтуры и с более точ чным учеттом дейсствующих нагрузок. Для этогоо разработтаны спец циальные м методы раасчета, срееди котоорых наибольшее расп пространенние получил метод конечных элеементов (М МКЭ). нятие о мет тоде конеч чных элемеентов 1. Пон Методд конечны ых элемент тов – это метод расч чета сооруужений, осснованный на рассм мотрении сооружени с ия как совоккупности типовых т эл лементов, нназываемых х конечным ми элем ментами (К КЭ). В дисскретном методе м мы ы рассмотр рели три типовых стержневы ых элемен нта, котоорые исполльзуются и в МКЭ какк конечныее элементы ы. Напримеер, элементт 3-его тип па в МКЭ Э называеттся фермен нным (рис. 8.4 а), а 1-го 1 типа – плоским стержневы ым конечны ым элем ментом (рисс. 8.4 б). При П расчетте простран нственных рам исполльзуется КЭ Э бруса (ррис. 8.4 вв). В расчеттах плоски их тел (плиит или пласстин) испол льзуются ттреугольны ый (рис. 8.44 г) или четырехуггольный (р рис. 8.4 д) конечныее элементы ы. При расччете просттранственн ных соорружений моогут испол льзоваться призменный КЭ (ри ис. 8.4 е) или тетраээдальный КЭ К (рис. 8.4 ж) и др. д Для расч чета различчных соору ужений раззработано м множество других КЭ Э. Рисуно ок 8.4 МКЭ – дискретн ный метод. В этом методе соор ружение деелится на определенн о ное числло КЭ, соед диненных между соббой в узлаах конечно-элементноой модели. А нагруззка, дейсствующая на сооруж жение, перреносится в узлы. Это позвооляет опрееделять НД ДС соорружения черрез узловы ые усилия и перемещеения конечн но-элементтной модел ли. Как мы ы знаем, можно м выббирать разные расчеттные схем мы сооружеения. Но и в предделах одной расчетно ой схемы можно выбирать раззные расчеетные модеели по МК КЭ, потоому что соооружение можно м разббить нетольько на разное количесство одноти ипных КЭ, но и прредставить его как ко омбинацию ю различных типов КЭ Э. С другоой стороны ы, при расчеете соорружения моогут быть реализовааны различ чные вариаанты МКЭ в формах х метода сил, метоода перемещ щений и см мешанногоо метода. В настоящеее время шиирокое расп пространен ние полуучил МКЭ в форме меетода перем мещений. 2. Вари иационны ые основы М МКЭ При решении р многих м заддач статикки, динами ики и устоойчивости сооружен ний опрееделяется их и полная потенциал п льная энерггия U: Здесь W – работта внешниих сил, V – работа внутренних в х сил. Обы ычно все они о преддставляются в виде функций, ф ззависящих от перемещений, дееформаций,, напряжен ний элем ментов рассчетной мо одели соорружения. Исследование этого выражени ия позволяяет выяввить важны ые законы ы механикки, называемые прин нципами. Например, существуует прин нцип Лагрранжа-Дири ихле: для того что обы механ ническая ссистема находилась н ь в равнновесии, еее полная потенциал п льная энер ргия должн на быть постоянно ой. Из этоого принципа следует, что приращение полной потенциальной энергии системы, находящейся в равновесии, должно равняться нулю: ∆ Вычисление приращения функции обычно заменяется вычислением его приближенного значения − дифференциала. В результате этого получается вариационное уравнение Лагранжа где символ означает вариацию, вычисление которого схоже с вычислением дифференциала функции. Тогда последнее уравнение формулируется как принцип Лагранжа: для равновесия системы необходимо, чтобы вариация работы ее сил на возможных перемещениях равнялась нулю. Принцип Лагранжа позволяет свести задачу определения НДС сооружения к отысканию экстремума полной потенциальной энергии. С учетом (1), принцип Лагранжа принимает вид Принцип Лагранжа используется для сведения континуальной задачи расчета сооружений к дискретной задаче путем аппроксимации (приближенного определения) непрерывных полей перемещений, деформаций, напряжений внутри конечного элемента по его узловым перемещениям. В строительной механике используются и другие вариационные принципы, такие как принципы Кастильяно, Рейсснера, Ху-Вашицу и др. Однако мы будем пользоваться только вариационным принципом Лагранжа как основы варианта МКЭ в форме метода перемещений. 3. Аппроксимация конечного элемента Имея КЭ разного типа, при выборе конечно-элементной модели сооружения можно вводить узлы с разным числом степеней свободы. Например, в плоской системе могут рассматриваться узлы как с тремя степенями свободы (рис. 18.2 а), так и с двумя (рис. 18.2 б) или даже с одной степенью свободы. В первом случае учитываются два линейных (поступательных) и одно угловое перемещение узла, во втором – два линейных перемещения, а в третьем − лишь одно поступательное перемещение. В пространственной системе узлы могут иметь шесть (рис. 18.2 в) или три степени свободы (рис. 18.2 г). Для уп порядочени ия степенейй свободы и соответсствующих перемещен ний узлов КЭ К все оони нумерууются в определенном м порядке и собираю ются в общиий вектор перемещен п ний u. Чтобы воспольззоваться принципом м Лагранжа, вводяятся так называем мые кооррдинатныее функции,, аппроксим мирующиее непрерывное поле пперемещени ий внутри КЭ К череез перемещеения ее узл лов: Здесь – вектор перемещеений внутреенних точеек КЭ, C – матрица координатн к ных функкций, α – вектор коэффици ентов. Эл лементы матрицы м C выбираю ются в ви иде поли иномов, неп прерывных х внутри К КЭ. Если в полиноме учитываеттся миним мальное чиссло член нов, то такоой КЭ назы ывается сим мплекс-элеементом. При П учете большего числа член нов поли инома, КЭ называется н я комплексс-элементо ом. В качеестве примера рассмоотрим просстейший ферменный КЭ с узлами i и j (ррис. 18.3 а) в местноой системее координатт своббоды по оси и . Его уззлы имеют по одной ппоступател льной степеени и соотвветствующиие им узло овые перемещения узлахх КЭ дейсттвуют силы ы и и . Доп пустим, чтто в ((рис. 18.3 б). б Перемеещения вну утренних тточек элеемента буд дем аппрокксимироватть полином мом перввой степени и Запишем его в маатричной ф форме: 1 где 1 − матрица координаатных фун нкций, неиззвестных кооэффициен нтов. Подстаавив 0и в ннаш полин ном, получи им два равеенства: − векттор С друугой сторо оны, и (рис. 188.3 б). Учитывая У их, преддыдущие раавенства пеерепишем ттак: Тогда их и можно записать з в матричной й форме 1 0 1 и представить как к матричноое уравнени ие связыввающее век ктор узловвых перемеещений черезз матрицу 1 1 и вектор ко оординат Опредеелим векто ор : Тогда или Входящ щая сюда матрица 1 наззывается м матрицей форм. Она О позвволяет аппрроксимироввать поле пперемещений внутрен нних точекк КЭ через перемещен ния узлоов. По анаалогии с перемещени п иями, полее внутренн них усилийй аппрроксимироввать через вектор в узлоовых сил P по формуле Наприм мер, для раассмотреннного КЭ им меет место зависимост з ть 4. Маттрица жест ткости КЭ в КЭ также т мож жно Известтные в механике м геометрич ческие и физическкие соотн ношения д для конттинуальныхх систем можно зааписать в виде, анаалогичном рассмотреенным ран нее ураввнениям дискретного подхода. Н Например, Здесь ̃ и – век ктора дефоррмаций и напряжений н й, а и – матрицы равновесияя и подаатливости континуальной систеемы. В оттличие от дискретноого подход да, уравнен ния конттинуальногго подхода удовлетворряются во всех в точках х системы.. При рассмотрени р ии конечнного элемеента как континуаль к ьной систеемы принц цип Лагрранжа можн но записатьь в виде где леввая и праваая части прредставляю ют возможн ные работы ы внутренни их и внешн них сил, а интегриррование вед дется по оббъему КЭ V. V После этого осущ ществляетсся переход к дискретн ной моделии КЭ с исп пользовани ием матррицы форм м H. Тогда, после рядда преобраазований, получается п я матрично ое уравнен ние, связы ывающее вектор в узло овых перем мещений u с вектором м узловых уусилий P КЭ К в которрой симметтричная кваадратная матрица м называается матр рицей жеесткости конечного о элемент та. Физический смы ысл элем мента kij эттой матриц цы – это рееакция, воззникающая в i-ом напправлении от заданноого един ничного перремещенияя в j-ом напправлении. Рассмоотрим прим меры получчения матриц жесткосстей некотоорых КЭ. а) Мат трица жессткости ф ферменного о элемента а В рассм матриваемом однооснном напряж женном сосстоянии (риис. 18.3) связь между м деф формациямии и перемеещениями КЭ К будет ̃ его с матрич чным ураввнением ̃ . Сравн нив ви идим, что о матрицаа равновессия являеттся дифф ференциалььным опер ратором с одним членом, т.е. связи и между деформацие д ей и напряяжением ̃ будеет / / . Тогда, из и уравнен ния , слеедует, что матрица податливос п сти . Для оп пределения матрицы ж жесткости КЭ вычисл лим В данн ном случаее интегриррование по о объему V сводитсяя к интегрированию по длин не l КЭ, т.к. т (F − площадь сечения КЭ). С уччетом этогго, получааем окон нчательную ю матрицу жесткости ж элемента: б) Мат трица жессткости К КЭ плоского бруса Рассмоотрим кон нечный элеемент бру уса с посттоянной пплощадью поперечноого сечен ния F и мооментом ин нерции I в некоторой й местной системе с кооординат (рис. 19.1 а). Векторр узловых перемещен п ний бруса определим о так: т Если не н учитыввать поперречную дееформацию ю (сдвиг), деформацию элемен нта но предстаавить как сумму двухх деформац ций – растяяжения (рисс. 19.1 б) и изгиба (ррис. можн 19.1 в). Перввая деформ мация расссматривал лась при изучении ферменного элемен нта. Поэттому изучи им только случай с чисттого изгибаа элемента.. В этом м случае век ктор узловы ых перемещ щений элем мента будеет короче: Перемеещения вн нутренних точек элем мента будеем аппрокссимироватьь полином мом третььей степени Четырее коэффици иента полиинома опрееделим по граничным г м условиям. Напримерр, в левоом конце элемента э при п 0 имеем , . Еще два д услоовия имеютт место дляя правого коонца. В резуультате досстаточно дллинной цеп почки выкл ладок полуучим матри ицу форм H , аппрроксимирую ющую вну утренние перемещен ния конечного ээлемента через ч векттор узлоовых перемещений u: Компооненты этой й матрицы − функции и третьей сттепени. К ппримеру, Не прриводя до остаточно сложных вычислений, привведем лишь матри ицу подаатливости изгибного и элемента э и ее маатрицу жессткости Теперьь определим полную матрицу конечного элемента э брруса. Для этого э следуует объеединить узлловые переемещения ферменногго элементта u1i, u1j и узловые перемещен ния изгибного элем мента u2i, u3i, u2j, u3j в вектор узл ловых переемещений ээлемента бруса б u = { u1i u2i u33i u1 j u2 j u3 j } согласн но рис. 19..1. Это прииводит к об бъединению ю матриц ж жесткостей й ферменноого элем мента и элеемента бру уса. В резуультате получается окончательн о ная матриц ца конечноого элем мента брусаа: в) Мат трица жессткости пррямоугольного КЭ Рассмоотрим прям моугольныйй конечный й элемент постоянной п й толщины ы t с четырььмя узлам ми i, j, k, m и размераами 2a и 2b (рис. 19.2)). Векторр узловых перемещен п ний будет состоять из восьми ком мпонент: Перемеещения внутреннихх точек элемента э будем б апппроксимировать двуумя функкциями с воосемью неи известным и коэффиц циентами Для определенияя этих кооэффициен нтов запиш шем восем мь граничн ных услови ий. Напрример, в уззле i, где , , эти грааничные уссловия имееют вид В трехх остальных узлах записываю ются анал логичные шесть усл ловий. Тоггда матррица форм элемента э принимает п ввид где, наапример, – плоощадь прямоугольни ика. Окон нчательнаяя матрица жесткостии конечногго элементта получает ется в видее квадратн ной матррицы размеерами 8x8. Для Д нагляддности ее лучше л пред дставить в бблочном ви иде с блокаами один накового раазмера 2x2: Здесь μ – коэф ффициент Пуассона материалаа КЭ. Элеементы кааждого блоока матррицы опред деляются по о разным ф формулам. Например,, 5. Перенос нагру узки в узлы ы В расч четной модели соорружения по о МКЭ наагрузка доолжна бытть приложеена только в узлахх. Поэтому у действую ющую на систему внеузловую в ю нагрузку у необходи имо перееносить в уззлы. Порядоок переносса нагрузкии в узлы раасчетной модели в прростых случ чаях остаеттся таки им же, как и ранее. Например, Н в стержнеевых систем мах исполььзуется таб блица метоода переемещений. Если к прямоугольному К КЭ прилож жена изменяющаяся по линей йному закоону расп пределеннаяя нагрузкаа (рис. 20.11 а), то уззловые сил лы (рис. 200.1 б) опрееделяются по форм мулам ъемной наггрузки, нап пример соб бственногоо веса четырехугольноого При пеереносе объ КЭ, в каждый узел нужн но прикладдывать четтвертую часть его весса G (рис. 20.1 в). При П перееносе собсттвенного веса треугоольного КЭ Э в каждый й узел приикладывается его треттья частьь (рис. 20.11 г). В общеем случае вектор в узлоовой нагрузки опредееляется по ф формуле 6. Переход к общ щей систем ме координ нат Кажды ый КЭ в МК КЭ вначалее рассматри ивается в местной м сиистеме коор рдинат. Заттем осущ ществляетсяя переход к глобальнной (общей) системее координаат. Рассмоттрим поряд док такого переход да. Пусть некоторый й узел i в м местной сисстеме координат имеет пер ремещенияя 1i к сл ледует преообразовать в перемещ щения узла 1i u , 2i u , 3i u в общ щей u , 2ii u , 3i u , которые системе коорди инат x-y (ри ис. 20.2 а). Повороот коорд динатных осей осуществля о ется с ия координат. Для пллоской систтемы она имеет и вид преообразовани помощью ю матрицы Если координатн к ные систем мы ортогональны и по оворот осууществляеттся на уголл , то Для шаарнирного узла с двум мя степеняями свободы ы Эти матрицы м по озволяют использоваать матриц цы и векттора геомеетрическихх и жестткостных характерисстик КЭ, полученн ных в меестной сисстеме коо ординат, при п полуучении сооответствующих харакктеристик КЭ К в общеей системее координаат. Наприм мер, преообразование вектора координат к ппрямоугол льного КЭ с четырьмяя шарнирны ыми узлами и ij-k-m m (рис. 20.22 б), рассмо отренного в местной системе ко оординат , в общую систеему кооррдинат x-y осуществля о яет матрицца Эти матрицы м по озволяют использоваать матриц цы и векттора геомеетрическихх и жестткостных характерисстик КЭ, полученн ных в меестной сисстеме коо ординат, при п полуучении сооответствующих харакктеристик КЭ К в общеей системее координаат. Наприм мер, преообразование вектора координат к ппрямоугол льного КЭ с четырьмяя шарнирны ыми узлами и ij-k-m m (рис. 20.22 б), рассм мотренного в местной й системе координат к , в общ щую систеему кооррдинат x-y осуществля о яет матрицца Блоки Li , Lj, Lk k , Lm этойй матрицы имеют вид д (1). Имея матрицу жесткости ж К КЭ вм местной си истеме коор рдинат, мож жно опредеелять ее маатрицу жессткости в об бщей систееме кооррдинат по формуле ф 7. Объ ъединение конечныхх элементов в Пусть в расчетной моделии сооружен ния имеетсся m КЭ и n узлов, а вектора ее переемещений и узловых нагрузок н оппределены так: После построени ия матриц ж жесткостей й всех конеечных элем ментов опрееделения веекторов узл ловых нагррузок , ,…, , ,…, и в общей сисстеме коорд динат следуует сфоррмировать матрицу жесткости и и вектор р нагрузки и всего соооружения. Это мож жно продделать так. цы жесткоссти всех КЭов К соби ираются в единую диагональн д ную Вначаале матриц матррицу K , а вектора в узл ловых нагруузок − в ед диный вектор P : Они ещ ще не учиты ывают связзи между соседними с конечными к и элементами в узлах их прим мыкания. Для об бъединенияя КЭов в еддиную систтему исполььзуется энергет тический принцип п: энергияя конечно о-элементнной моделли систем мы равня няется сум мме энергий всех ее КЭ. В это ом случае матрица ж жесткостио объединенн ной системы будет определяться по форрмуле менты этой матрицы ссостоят тол лько из нуллей где Г – объединяяющая матррица. Элем иниц, а отд дельные ее блоки сооттветствуютт узлам КЭ Э и строятсяя по принц ципу: если КЭ К и еди содеержит данн ный узел, то записываается едини ичная матр рица, если нет – нулеевая матри ица. ющие узловвые нагруз ки будут объединятьсся по форм муле А сооответствую Однакоо получени ие матрицы ы жесткостти K и век ктора нагруузки P так ким способ бом требует больш ших вычислительны ых работ. Задача упрощаетсяя, если со оставить так т назы ываемую м матрицу индексов , определ ляющую соответстввие номер ров узловвых переемещений КЭов К узло овым перем мещениям всей модеели. Тогдаа матрицу жесткости K можн но получатть рассылк кой в ее бблоки отдельных бло оков матрииц жесткосстей КЭов по инфоормации, заключенно ой в матрицце индексов. При этом м рассылкаа идет с сум ммировани ием рассы ылаемого блока матр рицы жестткости КЭ с имеющи имся блокоом в матри ице K. Таккой метоод называеттся методо ом сложен ния жестк костей. Векторр узловой нагрузки н P формируеется аналоггично. В реезультате этих э действвий форм мируется разрешающ р щее уравнеение МКЭ,, по виду совпадающ щее с уравнением МК КЭ для оотдельногоо КЭ: Ku=P . Но уж же здесь K и P − м матрица жеесткости и вектор ннагрузки вссей систем мы. Матррицу K чассто называю ют глобалььной матрицей жест ткости. 8. Учетт граничных услови ий Разреш шающее ураавнение М МКЭ нельзя сразу решить относиительно пер ремещений й u. Приччина в том м, что при и его состтавлении не н учтены граничны ые условия закреплен ния соорружения в опорах. Поэтому П м матрица жеесткости K являетсяя вырожден нной (т.е. ее опрееделитель равняется нулю). Ч Чтобы вы ыйти из положения, п , вектор перемещен п ний прихходится деллить на двее части – н а перемещения по зак крепленны ым (з) и неззакрепленным (н) н направлени иям: Так как к опоры ы сооруж ения обы ычно бываают достааточно жесткими, их переемещения можно м при инять равнными нулю ю (uз 0), 0 а нагруузку, прихо одящуюся на опорры, не учиттывать. В таком т случаае разрешаающее урав внение прееобразуетсяя в уравнен ние менььшего разм мера. Однаако такая процедураа существеенно меняяет структу уру матри ицы жестткости K и усложняетт дальнейш шее решение. му использзуется друугой прием м: все элем менты строок и столб бцов матри ицы Поэтом жестткости, сооответствую ющие закрееплениям, приравнив ваются нуллю, и лиш шь вместо их диаггональных элементовв ставятся единицы. В таком случае раазрешающеее уравнен ние упроощается безз нарушени ия ее струкктуры и при инимает ви ид: 9. Опр ределение перемещен п ний, усили ий и напря яжений После решения разрешаю ющего ураавнения и определеения вектора узловвых переемещений u из этогго вектораа можно выбирать в перемещен п ния отдельных КЭовв и опрееделять перремещения в интересуующих точ чках любого о i-го КЭ ппо формулее Усилияя в узлах и напряжениия внутри КЭов К вычи исляются поо формулам м В кон нкретных случаях ппоследнюю ю формулу у можно упроститьь. Наприм мер, напрряжения феерменного элемента э оопределяюттся так: 10. Пор рядок расч чета МКЭ Э В настоящее вр ремя разрааботаны вычислител в льные ком мплексы, позволяющ п щие рассччитывать на компььютере слоожные и разнообраазные оору ружения на различн ные воздействия. К таким относятся ррасчетные комплексы ы ABACU US, ANSIS, NASTRA AN, ЛИР РА, СУМРА АК и др. рассчитан Эти раасчетные комплексы к ны на использование мощных компьютер к ров, разнообразной вспомогательной апппаратуры ы, сложных х компьюттерных программ. Они О состооят из трехх основных х частей: 1. Препроцессор – предназначен для подготовки и ввода исходных данных в компьютер. Используется для формирования расчетной модели сооружения (автоматического разбиения на КЭ по задаваемой сетке), определения координат узлов, геометрических и физических характеристик КЭов, проверки правильности и полноты исходных данных. Дает возможность обзора расчетной модели в разных ракурсах на мониторе. 2. Процессор – блок математического расчета МКЭ. Входящие в него компьютерные программы предназначены для: составления и решения разрешающего уравнения; вычисления перемещений и деформаций, внутренних усилий и напряжений; проверки на прочность и жесткость; решения задач динамики и устойчивости. 3. Постпроцессор – предназначен для обработки результатов расчета, представления их в виде эпюр, в удобной для анализа табличной, графической и анимационной формах. Алгоритм расчета сооружений МКЭ состоит из следующих основных этапов: 1. Выбор расчетной модели. 2. Перенос нагрузки в узлы. 3. Определение матриц жесткостей КЭов. 4. Перевод матриц жесткостей КЭов в общую систему координат. 5. Сборка глобальной матрицы жесткости K. 6. Учет граничных условий. 7. Решение разрешающего уравнения Ku= P . 8. Вычисление внутренних усилий. 9. Обработка результатов расчета.