Расчет переходных процессов методом дискретных схем замещения

10. Расчет переходных процессов методом дискретных схем замещения Состояние цепи после коммутации описывается линейной системой дифференциальных уравнений, решение которой относительно искомого переходного тока или напряжения составляет задачу расчета переходного процесса. Решение может быть найдено с использованием методов численного интегрирования. При использовании любого метода численного интегрирования (метода Эйлера, метода трапеций) дифференциальные уравнения заменяются конечно-разностными уравнениями, которым соответствуют чисто резистивные схемы замещения. Для расчета переходного процесса в таком случае используют методы анализа резистивных цепей, что значительно упрощает задачу. Для построения резистивных схем замещения реактивные элементы заменяют дискретными моделями. При этом производная заменяется конечным приращением: dx xk  xk 1 , где h  dt - некоторая малая величина, называемая шаг интегрирования  dt h (дискретизации). При использовании неявного метода Эйлера разностное уравнение имеет вид xk  xk 1  hf ( xk , tk ) . Для индуктивного элемента Заменим производную приращением Обозначим J Lk  ik 1 , GL  di 1  u. dt L h ik  ik 1 1  uk , тогда ik  ik 1  uk . L h L h . Получим чисто резистивную дискретную модель: L ik  J Lk  GLuk Для емкостного элемента du 1  i. dt C uk  uk 1 1 h  ik , uk  uk 1  ik , h C C C C  uk 1 , GC  . h h Заменим производную приращением ik  C C uk  uk 1 . Обозначим J Ck h h Получим чисто резистивную дискретную модель: ik  GC uk  J Ck При расчете переходного процесса методом дискретных схем замещения с использованием неявного метода Эйлера шаг интегрирования h выбирается в основном по условиям обеспечения заданной точности, расчет переходного процесса проводится до тех пор, пока xk  xk 1   . Может задаваться число итераций N для расчета переходного процесса на выбранном интервале t   0, t1  , при этом h  t1 . Составляют N чисто резистивную расчетную схему, заменяя реактивные элементы дискретными моделями. На каждом k -ом шаге интегрирования ( k -ой итерации) схема рассчитывается методом узловых потенциалов или другим методом. Для расчета необходимо задание начальных условий, т.е i0  i (0) и u0  u (0) . Пример 10.1. Рассчитать переходной процесс с использованием дискретных схем замещения. Обозначим G 1 , R J E . R интегрирования h . Рассчитаем GL  Выберем шаг h C и GC  . L h Составим резистивную схему для расчета k -ой итерации. При нулевых начальных условиях J L 0  iL 0  iL (0)  0 , J C 0  C C uC 0  uC (0)  0 . h h По методу узловых потенциалов на k -ой итерации G  GL  G L  рассчитаем 1k и 2k : GL   1k   J  J Lk  .  GL  GC  2 k   J Lk  J Ck  Для тока и напряжений на реактивных элементах на k -ой итерации: ik  J Lk  GL (1k  2k ) , uCk  2 k , uLk  1k  2 k . Подобные электрических резистивные цепей с схемы синтезируют численными методами топологические интегрирования, особенности их называют синтетические. Синтетические схемы используют для расчета переходных процессов в нелинейных электрических цепях, позволяя выбрать переменные, обеспечивающие однозначное решение. 11. Переходные процессы в нелинейных цепях Переходные процессы в нелинейных цепях существенно отличаются от переходных процессов в линейных цепях, так как описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Режимы могут быть устойчивыми и неустойчивыми. Возможны скачкообразные изменения режимов. Возможен режим автоколебаний, т.е. возбуждение колебаний в системе с постоянными ЭДС (источниками напряжения или тока). Возникновение того или иного режима в нелинейной цепи зависит не только от параметров цепи, характеристик нелинейных элементов, но и от начальных условий. 11.1. Особенности расчета переходных процессов в нелинейных цепях Для расчета переходного процесса в нелинейной цепи необходимо: а) рассчитать предшествующий процессу режим и, далее, пользуясь законами коммутации определить независимые начальные условия цепи; б) пользуясь законами Кирхгофа и компонентными уравнениями или характеристиками всех элементов цепи, включая нелинейные элементы, составить систему дифференциальных уравнений, описывающих переходной процесс; в) осуществить решение полученных нелинейных дифференциальных уравнений. При расчете процессов в нелинейных цепях нельзя: а) использовать принцип суперпозиции, т.е. представлять решение уравнений цепей в виде суммы частных решений уравнений, обусловленных действием отдельных источников энергии цепей; б) искать решение нелинейных уравнений цепей в виде сумм свободных и принужденных, либо преходящих и установившихся составляющих этих решений; в) использовать операторный метод расчета. 11.2. Выход на установившийся режим Если в линейных цепях установившийся режим не зависит от начальных условий (потокосцеплений индуктивных элементов и зарядов емкостных элементов цепи), а длительность процесса известна заранее ((3 – 5)τmin, где τmin - минимальная постоянная времени), то в нелинейных цепях отсутствует понятие постоянных времени и в общем случае невозможно по параметрам схемы оценить время переходного процесса. В таких цепях установившихся режимов может быть несколько, либо не быть вообще. В первом случае выход на конкретный режим определяется начальными условиями и даже небольшая ошибка в их определении может расчет переходного процесса привести к неистинному режиму. Во втором случае – случае возникновения в цепи хаотических колебаний, требуется умение их идентифицировать, иначе расчет можно продолжать бесконечно долго. Кроме того, установившийся режим может оказаться неустойчивым, т.е. малейшее его возмущение, обусловленное, например, вычислительными погрешностями его расчета, приводит к возникновению нового переходного процесса. 11.3. Методы расчета переходных процессов Получение конечных аналитических решений нелинейных дифференциальных уравнений цепи возможно лишь в редких частных случаях. В общем случае такие уравнения решаются численно по стандартным алгоритмам. Однако результаты численного расчета не дают качественной картины процессов – связи их характера со значениями параметров схемы и функциями источников, что необходимо для инженерной практики. В этой связи весьма ценными, наряду с численными методами, становятся численно-аналитические методы расчета переходных процессов: метод условной линеаризации и методы аналитической и кусочно-линейной аппроксимации. В этих методах путем введения упрощающих допущений нелинейные уравнения цепей аппроксимируют линейными, допускающими аналитические решения, уравнениями. Качественные методы позволяют провести анализ основных признаков переходного процесса, не решая системы нелинейных дифференциальных уравнений. Качественное исследование – это выявление общих свойств исследуемой цепи без интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений. Под общими свойствами понимают выяснение зависимости характера переходного процесса от начальных условий, возможности возникновения автоколебаний, резонансных явлений, исследование устойчивости режимов. 11.4. Численные методы расчета переходных процессов В основе этих методов лежит замена производных переменных состояния (токов в индуктивных элементах и напряжений на емкостных элементах) dx j dt конечными разностями. В результате дифференциальные уравнения, описывающие процессы в цепи, заменяются разностными уравнениями. Последовательное решение разностных уравнений на интервале исследования 0≤t≤T позволяет для искомой переменной xj(t) построить решетчатую функцию x j (kh) . Здесь h = T/N – шаг дискретизации решения (шаг интегрирования), k = 0,1,…N; при этом значение xj(0) – начальное условие процесса, полагается известным. Применяют явные и неявные методы Эйлера, метод трапеций и т.д. 1) Интегрирование уравнений состояния цепи явным методом Эйлера. Метод последовательных интервалов. Пусть цепь содержит один накопитель энергии и описывается нелинейным дифференциальным уравнением x  f ( x, t ), x(0)  x0 , 0t T . Замена производной x первой левой разностью (применение явного метода Эйлера) приводит к разностному уравнению xk  xk 1  hf ( xk 1 , tk 1 ), xk  x (tk ) k  1, 2,...N , решение которого позволяет построить таблицу t h 2h ∙∙∙ Nh=T x x0 x1 x2 ∙∙∙ xN=x(T) и получить решетчатую функцию xn, n =0,1,…, N для искомой переменной x(t). Если цепь содержит два накопителя энергии и описывается системой дифференциальных уравнений  x1  f1 ( x1 , x2 , tk ); x1 (0)  x10 ; ,   x2  f 2 ( x1 , x2 , tk ); x2 (0)  x20 ; то замена производных первыми левыми разностями: x1k  x1k 1  hf1 ( x1k , x2 k , tk ); x2 k  x2 k 1  hf 2 ( x1k , x2 k , tk ); позволяет построить таблицу t h 2h ∙∙∙ Nh=T x1 x10 x11 x12 ∙∙∙ x1N=x1(T) x2 x20 x21 x22 ∙∙∙ x2N=x2(T) в которой xik  xi (tk )  xi (kh), i  1, 2,; k  1,...N . Метод последовательного вычисления значений переменных состояния в точках t = h, 2h,…,NT при замене производных в дифференциальных уравнениях цепи первыми левыми разностями в теории электрических цепей иногда называют методом последовательных интегралов. 2) Интегрирование уравнений состояния цепи неявным методом Эйлера. Полярные методы интегрирования, метод трапеций. При использовании неявного метода Эйлера производные в уравнениях состояния цепи заменяются первыми правыми разностями. При этом дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением xk  xk 1  hf ( xk , tk ); xk  x (tk ) , в котором неизвестное значение переменной xk содержится как в его левой, так и в правой части. Решая последовательно при k = 0,1,…N это уравнение можно построить и решетчатую функцию x (kh) искомой переменной состояния x(t). Следует заметить, что результаты расчета значений x(kh) при использовании явного и неявного метода интегрирования уравнений состояния будут разными. Пару методов интегрирования – явного и неявного методов Эйлера - называют полярными методами и полагают, что истинное значение решетчатой функции x(kh) находится между значениями x (kh) , рассчитанными по явному и неявному методам Эйлера. Если же взять среднее арифметическое выражение решения, найденного двумя методами, то полученное разностное уравнение xk  xk 1  h  f ( xk 1 , tk 1 )  f ( xk , tk ) 2 определяет также неявный метод интегрирования, называемый методом трапеций. 3) Выбор шага интегрирования. Правило Рунге. Шаг интегрирования h можно положить 0,1 min , где  min - минимальная постоянная времени цепи, линеаризованной в начальной точке расчета (t  0) . Для выбора шага интегрирования h , обеспечивающего расчет процесса с заданной точностью, можно использовать следующий подход. Для цепи, описываемой дифференциальным уравнением согласно разностному уравнению вычисляется значение x H ( H )  x0  Hf ( x0 ,0) , где h = H – пробный шаг интегрирования. Далее этот шаг делится пополам и вычисляется вначале значение x H / 2 ( H )  x H / 2 ( H / 2)  x H / 2 ( H / 2)  x0  H f ( x0 , 0) , 2 а затем значение H  H /2 H f  x ( H / 2),  . Здесь верхний индекс Н или Н/2 указывает на 2  2 шаг, с которым ведется расчет. Сравнение значений переменой x(t) в точке t =H, рассчитанных за один шаг xH(H) и за два шага xH/2(H) дает следующую формулу для оценки погрешности вычисления x ( Н ) с шагом Н: R2 xH (H )  xH / 2 (H ) xH (H ) ) 100%. Описанное правило вычисления погрешности интегрирования на данном шаге Н носит название правила Рунге. При выборе шага h, обеспечивающего расчет с погрешностью, не превышающей некоторого значения R0(%) вначале выбирается пробный шаг Н и оценивается погрешность расчета. Если оказывается, что R≤R0, то можно ограничиться этим выбором, если нет, то в качестве пробного шага выбирается шаг Н´=Н/2 и процедура повторяется. И так, рекурсивно до тех пор, пока не будет найден шаг, обеспечивающий неравенство R≤R0. Метод условной линеаризации 11.5. Методика использования этого метода заключается вольтамперных, вольт-кулонных и вебер-амперных в замене нелинейных характеристик нелинейных резистивных, емкостных и индуктивных элементов на рабочем участке линейной характеристикой с последующим формированием системы линейных уравнений цепи. Рассмотрим задачу расчета переходного процесса, возникающего в цепи после размыкания ключа (рис. 11.1). Нелинейный элемент – катушка с ферромагнитным сердечником, задана однозначная зависимость  (i) . Рис. 11.1 Составим дифференциальное уравнение цепи после коммутации: d  Ri ( )  E , где R = R1 + R2. dt Определим рабочий участок характеристики  (i) . В момент коммутации (t = 0) ток в катушке не изменяется скачком, установившемся режиме i(t  )  т.е. i(0 )  i(0 )  ER3  I0 , R1R2  R2 R3  R1R3 в E  I . R1  R2 Таким образом, начальная точка а на рабочем участке (рис. 9.1) имеет координаты: i(0)= I0, Ψ(0) = Ψ0; конечная точка с имеет координаты i(∞) = I∞; Ψ (∞) = Ψ∞. Во время переходного процесса значения тока и потокосцепления меняются в пределах: I0≤ i(t) ≤ I∞ и Ψ0≤ Ψ(t) ≤ Ψ∞. Рис. 11.2 Заменим характеристику  (i) на рабочем участке (рис. 11.2) отрезком ас прямой (не проходящей через начало координат), уравнение которой i ( )    0 , Lэ где Lэ – эквивалентная индуктивность участка. Эквивалентную индуктивность определим по приращениям: Lэ    0 . I  I0 Подставив в исходное дифференциальное уравнение цепи уравнение i ( )  получим:  уст  Lэ   0 , L0 d R R    E   0 . Найдем его решение в виде (t )   уст  Ae pt , где dt Lэ Lэ E   0 . Корень характеристического R (0 )  (0 )   0 находим постоянную интегрирования А. (t )     ( 0    )e pt . Для тока i(t )  11.6. уравнения: p   R 1/с. Из условия Lэ Таким образом,    ( 0    )e pt   0 . Lэ Метод кусочно-линейной аппроксимации Для повышения точности расчета рабочий участок характеристики заменим отрезками нескольких прямых, в рассматриваемой задаче по условию отрезками ab, bc (рис. 11.2). Расчет для каждого участка выполним так же, как Постоянные интегрирования найдем из условия для линейной цепи. непрерывности изменения рассматриваемой величины при переходе с одного участка на другой. Для каждого участка определим момент времени, соответствующий переходу на следующий участок. Рассмотрим решение на каждом участке. I. Первый участок ab. На этом участке в интервале времени 0≤ t ≤ t1 значение тока и потокосцепления изменяются в пределах I0≤ i(t) ≤ Ib и Ψ0≤ Ψ(t) ≤ Ψb , т.е. эквивалентная индуктивность на первом участке LI   I  b   0  iI Ib  I 0 . Переходной ток на линейном участке определим классическим методом: iI (t )  iIуст  iIпрех (t )  E pt  AIe I , R1  R2 где корень характеристического уравнения R1  R2 1/c. Из условия i(0+) = i(0–) = I0 находим постоянную интегрирования AI . LI pI   Время t1, соответствующее моменту перехода на второй участок определим из условия i(t1) = Ib: t1  I i 1 ln 0 Iуст . pI I b  iIуст II. Второй участок bс. На этом участке в интервале времени t1≤ t ≤ ∞ значение тока и потокосцепления изменяются в пределах Ib ≤ i(t) ≤ I∞ и Ψ b ≤ Ψ(t) ≤ Ψ∞, т.е. эквивалентная индуктивность на втором участке: LII  Ток при t  t1  II     b .  iII I  Ib iII (t )  iIIуст  iIIпрех (t )  уравнения р2 = − (R1 + R2)/LII E p ( t t )  AIIe II 1 , корень характеристического R1  R2 1/с. Учитывая, что i(t1) = Ib, находим постоянную интегрирования AII . На втором участке вследствие насыщения (LII< LI) постоянная времени меньше, чем на первом. 11.7. Метод аналитической аппроксимации нелинейной характеристики Метод аналитической аппроксимации предполагает возможность интегрирования нелинейного дифференциального уравнения цепи с учетом выбранной аппроксимации i ( )  k  2 : d  Rk  2  E. dt Разделяя переменные в полученном уравнении dt   вычислим откуда 1 d 1 t  2  Rk  (0) E / Rk   2 RkE e2 RkEt  d , E  Rk  2   E / RK    ,  ln  E / RK     (0)  E / RK   E / RK    . E / RK   E / RK   или после подстановки значений параметров аналитически выражают зависимость  (t ) . и ток i (t ) через заданную аппроксимацию i  k  2 . Полученное аналитическое решение позволяет анализировать в общем виде влияние отдельных параметров цепи на зависимости тока и потокосцепления от времени. Замечание: Для выражения нелинейной зависимости  (i) или i( ) применяется множество различных аналитических формул: полиномы, гиперболические и тригонометрические функции. Если в течение рассматриваемого промежутка времени ток меняет направление, то для выражения кривых намагничивания следует пользоваться нечетными функциями, если переходной процесс происходит на некоторой части цикла перемагничивания, то в аналитическое выражение необходимо ввести постоянную составляющую тока или потокосцепления. 11.8. Метод усреднения Метод усреднения при решении многих задач по существу совпадает с методом медленно меняющихся амплитуд. Он применяется при расчете переходных процессов и установившихся процессов в электрических цепях, обладающих фильтрующими и резонансными свойствами для основной гармоники; при анализе учитывают только основную гармонику, а высшими гармониками пренебрегают. Дифференциальное уравнение цепи с источниками э.д.с или токов и двумя реактивными элементами можно свести относительно некоторой переменной х к виду: d2 x  dx   2 x  f  x, , t  , 2 dt  dt  где ε – малый параметр, определяющий близость закона изменения переменной х к гармоническому; f- функция, определяемая нелинейными характеристиками элементов цепи. Точность метода тем выше, чем меньше параметр ε, т.е. чем ближе колебания к гармоническим. При решении конкретных задач часто параметр ε не выносится, а близость к гармоническому закону определяется малостью значений коэффициентов правой части или другими соображениями, например, данными эксперимента. Решение дифференциального уравнения ищется в виде x  a(t )cos ; dx  a(t )sin , dt где Ψ = [ωt – φ(t)] – полная фаза. При этом уравнения установления амплитуды а = а(t) и φ = φ(t) фазы переменной х, или укороченные уравнения, имеют вид: 2 da   f (a cos , a sin , t )sin d; dt 2 0 d   dt 2a 2  f (a cos , a sin , t ) cos d. Малый параметр ε в правой части указывает на медленные изменения амплитуды а и фазы φ. Поэтому при интегрировании в течение периода (усреднении) амплитуда и фаза в подынтегральных выражениях принимаются постоянными. При решении задач можно вместо времени t ввести безразмерное время τ = ωt. 11. 9. Изображение траекторий переходных процессов на фазовой плоскости. Качественное исследование различных процессов в электрических цепях, описываемых дифференциальными уравнениями первого и второго порядка производят в ряде случаев с помощью фазовой плоскости. Обычно фазовую плоскость применяют для исследования процессов в электрических цепях, содержащих источники постоянной э.д.с. Фазовой плоскостью называется координатная плоскость, в которой по оси абсцисс откладывается исследуемая величина x, а по оси ординат – ее производная по времени y dx . Применительно к задачам электротехники под x подразумевают ток, напряжение, dt заряд, индукцию и т.п. Если процесс в электрической цепи описывается дифференциальным уравнением первого или второго порядка, то состояние цепи в любой момент времени характеризуется точкой на фазовой плоскости, называемой изображающей точкой. С течением времени изображающая точка перемещается, описывая на фазовой плоскости линию, которую называют фазовой траекторией. Вид фазовой траектории зависит от конфигурации схемы, характера нелинейности и соотношения параметров цепи. В случае периодического процесса фазовая траектория представляет замкнутую кривую, описываемую изображающей точкой в течение каждого периода. Замкнутую фазовую траекторию называют предельным циклом. Для непериодического процесса фазовая траектория представляет незамкнутую кривую. Если процесс описывается дифференциальным уравнением первого порядка, то изображающая точка перемещается только по одной кривой. Если же процесс описывается дифференциальным уравнением второго порядка, то в зависимости от начальных условий получаются различные фазовые траектории. Семейство фазовых траекторий, изображающих процессы, возможные в данной цепи, называют фазовым портретом данной цепи. Фазовый портрет дает представление о характере исследуемого процесса без решения дифференциального уравнения данной электрической цепи. Так фазовые траектории в виде эллипсов соответствуют незатухающим синусоидальным колебаниям. Амплитуда колебаний равна полуоси эллипса, направленной по оси абсцисс, а частота равна отношению вертикальной полуоси к горизонтальной. В реальном колебательном контуре фазовые траектории имеют вид спиралей, завивающихся вокруг начала координат. Основные свойства фазовой плоскости: 1) Движение изображающей точки в верхней полуплоскости, где dx  0 может dt происходить только в направлении увеличения переменной x , а в нижней полуплоскости, 59 где dx  0 , только в направлении уменьшения dt x . По замкнутой траектории – предельному циклу – движение возможно только в направлении движения часовой стрелки. 2) Изображающая точка может пересекать ось абсцисс только под углом  2 . 3) Особые точки (устойчивые и неустойчивые состояния равновесия) определяют из условия dx  0 . Для цепи с одним накопителем возможна особая точка типа узел. dt Устойчивый узел будет в том случае, если p  0 . Для цепи с двумя накопителями особые точки: узел (при действительных корнях характеристического уравнения одного знака, устойчивый узел если p1  0, p2  0 ), фокус (при комплексно-сопряженных корнях, устойчивый фокус если действительная часть корней меньше нуля), седло (при действительных корнях разного знака), центр (при паре мнимых корнях). Устойчивые особые точки соответствуют устойчивым состояниям равновесия (рис. 11.3). Рис. 11.3 60 12. Линейные цепи с распределенными параметрами В линиях электропередач при частоте 50 Гц и напряжениях до 35 кВ можно пренебречь токами, обусловленными емкостью между проводами (токами смещения) и проводимостью изоляции (токами утечки). При больших напряжениях, встречающихся в электроэнергетике и больших частотах для линий связи пренебрегать токами смещения и утечки нельзя. Ток в проводах не одинаков в разных сечениях линии. Кроме того, нет участка линии, который не охватывался бы переменным магнитным потоком. Переменное магнитное поле наводит вдоль линии э. д. с. самоиндукции, следовательно, напряжение между проводами не одинаково в разных сечениях линии. Таким образом, токи и напряжения оказываются функцией двух координат i( x, t ) , u ( x, t ) : временной – времени t и пространственной – координаты (длины) x, отсчитываемой вдоль выбранного направления. Уравнения, описывающие процессы в линии, будут уравнениями в частных производных. При описании процессов необходимо учесть, что электрическая емкость, индуктивность распределены вдоль линии. Характеризовать способность какого- либо участка поглощать электромагнитную энергию можно электрическим сопротивлением, которое также распределено вдоль линии. Характеризовать утечку токов между проводами через гирлянды изоляторов можно распределенной проводимостью. Следовательно, сколь угодно малый элемент линии имеет электрическое сопротивление и индуктивность, между проводами – емкость и проводимость. Линию или другое электротехническое устройство, имеющее большую протяженность в одном направлении, рассматривают как цепь с распределенными параметрами или длинную линию. Линии электропередач, линии связи, высокочастотные коаксиальные линии радиотехнических и телевизионных устройств, обмотки трансформаторов и электрических машин при воздействии на них импульсных ЭДС – цепи с распределенными параметрами. Можно считать распределение параметров равномерным, если взаимное расположение, сечение проводов, параметры сред не изменяются вдоль линии. Такая линия называется однородной. Такое рассмотрение является идеализацией процесса, так как в реальности провис проводов, изменение окружающих условий нарушает равномерность распределения. Также для упрощения математического описания процессов будем также считать, что параметры линии не зависят от интенсивности процессов. Для однородной линии могут быть определены первичные параметры - сопротивление, индуктивность, емкость и проводимость на единицу длины. Первичные параметры задаются как R0 , Ом/м [Ом/км] - сопротивление прямого и обратного проводов (жилы и оболочки) на единицу длины; L0 , Гн/м [Гн/км] – индуктивность петли, образуемой прямым и обратным проводами (внешняя индуктивность кабеля); C0 , Ф/м [Ф/км] – емкость между проводами (емкость кабеля); G0 , См/м [См/км] – проводимость между проводами (жилой и оболочкой). 12.1. Уравнения однородной линии Однородную длинную линию представим в виде множества одинаковых соединенных в цепочку малых элементов длиной dx . Каждый участок имеет сопротивление R0 dx , индуктивность L0 dx , емкость C0 dx и проводимость G0 dx , причем сопротивление R0 dx и индуктивность L0 dx будем считать включенными в один провод (рис. 12.1). При этом токи и напряжения есть функции двух переменных i( x, t ) , u ( x, t ) и на рассматриваемой длине ток и напряжение имеют приращения соответственно i dx и x u dx . x Рис. 12.1 Обозначим расстояние от начала линии до рассматриваемого элемента через x . Мгновенные значения тока и напряжения в начале элемента длиной dx обозначим i и u , в начале следующего i  i u dx и u  dx . x x Составим уравнения на основании законов Кирхгофа: u  R0 dxi  L0 dx i  G0 dx(u  i u  u  dx t t u  u i dx)  C0 dx (u  dx)  i  dx t t t t Пренебрегая величинами второго порядка малости, получим:  u i i u dx  R0 dxi  L0 dx ;  dx  G0 dxu  C0 dx x t x t  или u i i u  R0i  L0 ;   G0u  C0 x t x t Решение полученных уравнений в частных производных при определенных начальных и граничных условиях дает возможность определить мгновенные значения i( x, t ) и u ( x, t ) . Эти уравнения справедливы при соблюдении условий однородности линии, т.е. описывают процессы в линии в наиболее простом варианте. При подключении линии с потерями к источнику постоянного напряжения уравнения линии имеют вид:  u i  R0i ;   G0u . x x Кабельные и воздушные линии электропередачи При передаче электроэнергии на расстояния используются линии открытого типа (воздушные линии - ВЛ) и закрытого типа (кабельные линии - КЛ). Наиболее распространены линии трехфазного переменного тока открытого типа. Радиальной считается линия, в которую мощность поступает только с одной стороны, т.е. от единственного источника питания. От магистральной линии отходит несколько ответвлений. Различают распределительные и питающие линии, линии межсистемной связи. У воздушной линии провода поддерживаются над землей с помощью опор, изоляторов и арматуры. Главным элементом воздушной линии являются провода фаз линии А, В, С. Все материалы, используемые для проводов воздушных линий электропередачи, имеют небольшое удельное сопротивление, высокую механическую прочность, стойкость к изменяющимся условиям окружающей среды. Неизолированные провода и тросы могут быть однопроволочные и многопроволочные, изготовленные из одного материала (сплава) или из разных материалов. Конструкции неизолированных проводов приведены на рисунке ниже. а) б) в) г) д) Конструкции неизолированных проводов: а) однопроволочный; б) многопроволочный из одного материала; в) многопроволочный из двух материалов; г) расширенный; д) полый Расширенные и полые провода разрабатывались для применения ВЛ напряжением более 220 кВ с целью уменьшения последствий явления коронного разряда на проводах и явления поверхностного эффекта. Для ВЛ СВН и УВН используется расщепление фазы на несколько составляющих. В отечественных линиях 330 кВ используют расщепление фазы на два провода, фиксируемых распорками на расстоянии 40 см друг от друга. На ВЛ 550 кВ применяется конструкция "равносторонний треугольник" для пучка из трех проводов. Для защиты проводов от прямых ударов молнии применяются грозозащитные тросы. Грозозащитные тросы выполняются из стальных оцинкованных многопроволочных канатов сечением 35, 50 и 70 мм2. На ВЛ более 110 кВ имеющих стальные или железобетонные опоры, грозозащитные тросы подвешиваются вдоль всей линии. Опоры предназначены для поддержания проводов и тросов на определенной высоте над поверхностью земли. Изоляторы обеспечивают необходимый промежуток между проводом и опорой. С помощью линейной арматуры провода закрепляются на изоляторах, изоляторы - на опорах. Фундаменты обеспечивают устойчивость всей конструкции: Опора воздушной линии: 1 – провода фаз (A, B, C); 2 – защитные тросы (Т1, Т2); 3 – опора; 4 – гирлянда изоляторов; 5 – элементы арматуры; 6 - фундаменты Для воздушной линии переменного тока существует зависимость максимальной передаваемой мощности от ее длины - чем длиннее линия, тем меньше предельная мощность, которую можно передать. Кабельные линии переменного тока имеют длину не более 15-20 км, прежде всего из-за высокой стоимости кабеля. Для передачи и распределения электроэнергии применяются силовые кабели низкого, среднего и высокого напряжения, изолированные провода и волоконно-оптические кабели. Силовые кабели низкого напряжения применяются в трехфазных системах с заземленной нейтралью при напряжении 220/380 В и в основном исполнении имеют три фазных провода и один нулевой для соединения с заземленной нейтралью. Силовые кабели среднего напряжения применяются в распределительных сетях с изолированной нейтралью на напряжении 6, 10, 20 и 35 кВ. Конструкция силовых кабелей приведена на рисунке ниже. Конструкция силового кабеля: 1 - ПВХ-оболочка; 2- ПВХ-изоляция; 3- алюминиевая жила Конструкция силового кабеля: 1 – токопроводящая жила; 2 – фазная изоляция; 3 – поясная изоляция; 4 – заполнитель; 5 – металлическая броня; 6 – подушка; 7 – броня; 8 – наружный покров. В кабельной линии один или несколько кабелей расположены в земле или специальных сооружениях (коллекторах, туннелях, каналах и т.д.). Воздушные и кабельные линии электропередачи обладают активным сопротивлением проводов, емкостью системы и индуктивностью, в случае несовершенной изоляции проводимостью. Для линий переменного тока электромагнитные процессы, связанные с передачей электроэнергии, носят волновой характер и линия электропередачи рассматривается как цепь с распределенными параметрами. Для описания процессов вводят понятие бегущих волн, рассматривая напряжение и ток в сечении линии как результат наложения прямых и обратных волн. Рассчитывается фазовая скорость бегущей волны, длина волны, коэффициент распространения, волновое сопротивление линии. При равномерном распределении параметров определяют параметры линии на единицу длины (первичные или погонные параметры), вводя допущение о линейности параметров. Для двухпроводной линии первичными параметрами являются: R0 , Ом/м [Ом/км] - сопротивление прямого и обратного проводов на единицу длины; петли, образуемой прямым и обратным проводами; L0 , Гн/м [Гн/км] – индуктивность токовой C0 , Ф/м [Ф/км] – емкость между проводами; G0 , См/м [См/км] – проводимость между проводами). Для трехпроводной и четырехпроводной линии - взаимные индуктивности токовых петель провод-провод и провод-земля, взаимные емкости и проводимости. Индуктивность и емкость воздушной линии определяются ее конструкцией - расстоянием между фазами, взаимным расположением, диаметром проводов и длиной линии. У ВЛ расстояние между фазами - около 10 м (у ВЛ 500 кВ - 12 м); на одноцепных опорах, как правило, применяют расположение проводов по вершинам треугольника или горизонтальное. Собственная и взаимная индуктивность каждой фазы зависит от размеров "петель" проводземля и провод-провод. Для трехпроводной линии роль нейтрального провода выполняет земля. Ток в земле обычно учитывают токами в трех фиктивных проводах, оси которых находятся на расстоянии Dэ от осей проводов линии (см. рисунок ниже). Это расстояние называют "эквивалентной глубиной протекания обратного тока". Оно зависит от частоты переменного тока и от удельной проводимости почвы. В качестве среднего значения эквивалентную глубину протекания обратного тока при частоте f  50 Гц принимают равным 1000 м. При таком учете тока в земле получаются три петли, каждая из которых состоит из реального и фиктивного проводов. Индуктивность токовых петель провод-земля для каждой фазы принимается  Определение собственной индуктивности фаз трехпроводной линии - достаточно сложна задача. Также значительные трудности возникают при моделировании активного сопротивления нулевого провода Rз . одинаковой LA  LB  LC  L . Взаимные индуктивности токовых петель провод-провод M AB , и M CA различны. Для учета заряда, индуцированного на поверхности проводов и земли, вводят между всеми проводами и землей частичные емкости (см. рисунок ниже). Существуют специальные методики определения собственных и взаимных емкостей системы проводов. M BC Условные схемы для расчета параметров трехпроводной линии электропередачи Для того, чтобы линии были симметричными элементами трехфазной цепи их выполняют с круговой перестановкой или так называемой транспозицией проводов. На линиях длиной до 100 км обычно осуществляется один цикл транспозиции. Длина линии делится на три части (или кратные трем равные части), каждый провод занимает три различных возможных положения и, таким образом, M AB  M BC  M CA  M . Для линии с транспозицией проводов собственные емкости проводов относительно земли CAB  CBC  CCA  Cm . CA  CB  CC  C , взаимные емкости между проводами Схема цикла транспозиции фаз воздушной линии Напряжения и токи длинной линии зависят от времени и координаты (сечения), их расчет сложен из-за взаимного влияния между фазными проводами и нулевым проводом. Схема замещения участка dx трехфазной линии с нулевым проводом приведена на рисунке ниже. Схема замещения участка dx трехфазной линии с нулевым проводом Обозначения на схеме замещения: LA  LB  LC  L - индуктивность токовой петли, образованной соответствующим фазным проводом и землей [на единицу длины]; M з индуктивность нулевого провода токовой петли, образованной землей и фазным проводом [на единицу длины]; M AB  M BC  M CA  M - взаимные индуктивности между соответствующими проводами фаз [на единицу длины]; RA  RB  RC  R - активные сопротивления проводов [на единицу длины]; Rз - активное сопротивление длины]; CA  CB  CC  C - собственная емкость длины]; CAB  CBC  CCA  Cm - взаимные емкости фазных нулевого провода [на единицу фазных проводов [на единицу между фазными проводами [на единицу длины]; GA  GB  GC  G - проводимость между соответствующими фазными проводами и нулевым проводом (изоляции) [на единицу длины]; GAB  GBC  GCA  Gm - проводимость между фазными проводами и нулевым проводом (изоляции) [на единицу длины]. Линейные преобразования четырехпроводной трехфазной системы в три независимых однофазных контура исключают эти взаимные влияния. Параметры схем замещения для прямой и обратной последовательности отличаются от параметров схемы замещения для нулевой последовательности. воздушной линии не превышает 300 км, а кабельной линии 50 км, используют упрощенные схемы, в которой частичные емкости предполагаются сосредоточенными либо в середине линии, либо разделены поровну между ее концами. Для однородной линии длиной l : Lл  l  Lф , Rл  l  R , Cл  l  Cф , принимая G  0 схема замещения трехфазной линии с нулевым проводом для токов прямой и обратной последовательности имеет вид, приведенный на рисунке ниже. Схема замещения трехфазной линии с нулевым проводом для прямой и обратной последовательности Воздушная линия имеет существенно большую индуктивность и значительно меньшую емкость, чем кабельная линия. Для воздушной линии процессы, связанные с индуктивностью, определяют максимальную мощность, которую можно передать по линии. Емкость воздушной линии практически не влияет на передаваемую мощность, при приближенных расчетах емкостью воздушной линии можно пренебречь. В кабельных линиях индуктивность мала (расстояние между прямым и обратным проводом порядка нескольких сантиметров), а емкость кабеля - один из основных параметров. Для симметричных режимов при расчетах используют эквивалентную схему замещения для одной фазы. Наиболее простые схемы (для приближенных расчетов) замещения ВЛ и КЛ на одну фазу (например, А) приведены на рисунке ниже.  При более точных расчетах надо учитывать, что емкостной ток, связанный с изменением заряда при переменном напряжении, приводит к потерям энергии в линии. Кроме того, этот ток приводит к нежелательному повышению напряжения в промежуточных точках линии. а) б) в) Схемы замещения одной фазы линии электропередачи в симметричном режиме: а) полная схема замещения; б) упрощенная схема замещения воздушной линии; в) упрощенная схема замещения кабельной линии. Допущение о линейности параметров линии правомерно, если не учитывать коронный разряд и явление поверхностного эффекта. Влияние короны учитывается введением поправок для параметров, полученных при линейной постановке задачи. Явление поверхностного эффекта определяет увеличение значений активных сопротивлений в зависимости от частоты, изменения индуктивностей токовых петель и параметров нейтрального провода. Для расчетов использую частотные характеристики или упрощенные формулы для учета поверхностного эффекта. 12.2. Установившийся режим в однородной линии при синусоидальном напряжении источника. При расчете установившихся режимов при синусоидальном напряжении источника заданной частоты   2f используют комплексный метод расчета. Так как в рассматриваемых процессах токи и напряжения – функции двух переменных i( x, t ) , u ( x, t ) , то соответствующие им комплексные токи и напряжения остаются функцией одной пространственной координаты x: i( x, t )  Im ( x) , u( x, t )  U m ( x) или i( x, t )  I ( x) , u( x, t )  U ( x) , где U ( x) I ( x) , U ( x)  m . Учитывая, что I ( x)  m 2 2   d  j ,  t x dx получим уравнения для комплексных токов и напряжений:  dU  R 0 I  jL0 I  ( R 0  jL0 ) I dx  dI  G 0U  jC0U  (G 0  jC0 )U . dx Обозначим Z0  R 0  jL0 - комплексное сопротивление на единицу длины, Y0  G 0  jC0 - комплексная проводимость на единицу длины. Тогда  dU dI  Z0I и   Y0U . dx dx Продифференцируем уравнения:  d 2U dI d2 I dU  Z   Y0 и . После подстановки 2 2 dx dx dx dx получаем уравнения Гельмгольца:  d 2U dU d2 I dI  Z Y   Z 0Y0 и . 0 0 2 2 dx dx dx dx Дифференциальные уравнения, определяющие комплексные напряжения и ток U ( x) и I ( x) одинаковые. Определим вторичные параметры однородной линии: характеристическое (волновое) сопротивление распространения Zс  Z0 R 0  jL0  Y0 G 0  jC0 (также обозначают Zв ) и коэффициент   Z 0 Y 0  ( R 0  jL0 )(G 0  jC0 ) . Коэффициент распространения принято представлять в виде     j , где действительные величины α и β называют коэффициентом ослабления (α) и коэффициентом фазы (β). Единицей коэффициента ослабления является Нп/м [Нп/км], а коэффициента фазы рад/м [рад/км] (Нп – непер, рад – радиан). Рис. 12.2 Решение дифференциального уравнения для комплексных напряжений и токов U = U(x) и I = I(x) в координате, находящейся на расстоянии х от начала линии (рис. 12.2) может быть представлено в виде алгебраической суммы двух составляющих прямых и обратных волн: U = Uпр + Uобр, где U пр  A1e A1  A1e j1  x I = Iпр – Iобр, Iпр = Uпр/Zс, Iобр = Uобр/Zс, x  A1exe jx , U обр  A2e  A2exe jx , , A2  A2e j 2 -комплексные постоянные интегрирования. Пусть на входе линии (рис. 12.3,а) напряжение U (0)  U1  U1пр  U1обр  A1  A2 , ток I (0)  I1  I1пр  I1обр  U1обр  A2  A1 A2 U I Z  , следовательно, U1пр  A1  1 1 с , Zc Zc 2 U1  I1Z с . 2 Если расстояние отсчитывается от конца линии (рис. 12.3,б), то для комплексного напряжения и тока сумма составляющих прямых и обратных волн U = Uпр + Uобр, I = Iпр – Iобр, x для прямой волны U пр  A3e  A3exe jx , обратной U обр  A4e A3  A3e j3 , A4  A4e j 4 x  A4exe jx , -комплексные постоянные интегрирования. При x  0 в конце линии U (0)  U 2  U 2пр  U 2обр  A3  A4 , I (0)  I2  I2пр  I2обр  следовательно, U 2пр  A3  U2  I2Zс U I Z , U 2обр  A4  2 2 с . 2 2 A3 A4  , Zc Zc а) б) Рис. 12.3 Введенные понятия прямых и обратных волн при установившемся синусоидальном режиме облегчают представление и анализ процессов в линиях с распределенными параметрами. Физически существует результирующий режим, разложение на составляющие – удобный прием анализа процессов. В уравнение для напряжения (U = Uпр + Uобр) оба слагаемых результирующего напряжения входят со знаком «плюс», так как напряжение и прямой и обратной волны направлены от прямого провода к обратному. Для тока ( I = Iпр – Iобр) положительное направление выбрано по току прямого провода, поэтому второе слагаемое имеет знак «минус», т.е. результирующий ток находится как разность прямого и обратного тока. Переход в вещественную (временную) область дает решение для мгновенных значений ( x  0 в начале линии): x u( x, t )  2 Ae sin(t x  1 )  2 A2ex sin(t  x  2 ) ; 1 i( x, t )  2 A1 x A e sin(t  x  1  )  2 2 ex sin(t  x   2  ) , Zc Zc где Zс и θ – модуль и фаза характеристического (волнового) сопротивления Zc  Zce j . Каждое из слагаемых напряжения и тока описывает бегущую волну. Причем первое слагаемое соответствует прямой волне – она движется в направлении возрастания координаты х, а второе слагаемое – обратной волной, которая движется в направлении убывания координаты х. Замечание: Каждое из слагаемых в любой фиксированной координате х= х1 представляет собой периодическую функцию времени, т.е. описывает простые гармонические колебания с частотой, определяемой частотой источника   2f . Любое колебание определяется амплитудой и фазой. Так как рассматриваемая линия с потерями, то по мере распространения колебаний вдоль линии часть электромагнитной энергии поглощается и амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону: для прямой волны напряжения по закону 2 A1ex , для обратной 2 A2ex . Рис. 12.4. Затухающая прямая волна, движущаяся от начала линии вписывается в область, ограниченную огибающими  2 A1ex (рис. 12.4). Волна, движущаяся от конца лини – обратная волна также вписывается в область, ограниченную огибающими  2 A2ex (рис. 12.5). Рис. 12.5 Основными характеристиками бегущей волны являются фазовая скорость и длина волны. Фазовой скоростью волны v называется скорость перемещения фиксированной фазы колебания, перемещаясь t x  1  const . Тогда с которой фаза остается постоянной, т.е. d dx dx  (t  x  1 )  0 и    , фазовая скорость v   . dt dt dt  Для обратной волны t  x   2  const и выражение для фазовой скорости аналогично, но с обратным знаком. Длиной волны λ называется расстояние между ближайшими двумя точками, колеблющимися в одной фазе. Расстояние берется в направлении движения волны, определяется из для прямой и обратной волны λ (рис. 12.4, 12.5) соотношения t ( x  )  1  t x  1  2 t  ( x  )   2  t  x   2  2 . Следовательно, длина волны λ  Длина волны зависит от частоты и фазовой скорости:   или 2π . β v . При этом изменение f фазы по длине линии l составит  l («фазовый набег»). Это изменение фазы будет существенно влиять на процессы в линии, если  l будет соизмерим с 2 или длина линии будет соизмерима с длиной волны (рис. 12.6). На разных частотах длина волны разная, поэтому линия длиной l может быть рассмотрена и как цепь с распределенными параметрами (рис. 12.6) и как цепь с сосредоточенными параметрами, если l l 2 и . Рис. 12.6 12.3. Длинная линия как четырехполюсник. Уравнения однородной линии с гиперболическими функциями Для однородной линии, рассматриваемой как четырехполюсник (рис. 12.7), волновое сопротивление совпадает с характеристическим сопротивлением.  Рис. 12.7 Уравнения линии как симметричного четырехполюсника могут быть записаны в Апараметрах: U 1   A11  I   A  1   21 A12  U 2  , A22   I 2  Так как A1  U 2   A22  I   A  2   21 A12  U 1  , A11   I 1  U1  I1Z с U I Z , A2  1 1 с , то подставив эти выражения в уравнения 2 2 линии, получим: U ( x)  A1e I ( x)   x x  A2e  1 1 U 1  I 1 Z с  e x  U 1  I 1 Z с  e x , 2 2   x 1  U  x A1  x A2 x 1  U 1 e  e    I1 e   1  I1 e . Zс Zс 2 Zс 2 Zс   Группируя члены в левой и правой части, будем иметь уравнения линии в гиперболических функциях: U ( x)  U 1 e  γx e  x 2 x U e e I ( x)   1 Zc 2   I Z e 1  x x c   I e x 1 e  x 2 e 2  x  U 1   U ch  x  I 1Z c sh  x 1 Zc sh  x  I 1 ch  x Формулы (7.8) определяют комплексные ток и напряжение в любой точке линии по значениям напряжения и тока в начале линии. Принимая x  0 в конце линии, т.е. U (0)  U 2  U 2пр  U 2обр  A3  A4 , I (0)  I2  I2пр  I2обр  x U ( x)  A3e  A4e I ( x)   x  A3 A4 U  I2Zс U I Z , A4  2 2 с , получим  , учитывая, что A3  2 Zc Zc 2 2 1 1 U 2  I 2 Z с  e x  U 2  I 2 Z с  e x , 2 2  x 1  U   x A3 x A4  x 1  U 2 e  e    I 2 e   2  I 2 e . Zс Zс 2 Zс 2 Zс   Комплексные ток и напряжение при заданных значениях напряжения и тока в конце линии могут быть найдены по формулам (уравнения линии в гиперболических функциях): U ( x)  U 2 ch  x  I 2 Z c sh  x I ( x)  U2 sh  x  I 2 ch  x Zc . Таким образом, А-параметры при рассмотрении линии как четырехполюсника имеют вид: A11  ch  l  A22 , A12  Zc sh  l , A21  sh  l Zc . Разделив первое уравнение линии в А-параметрах на второе уравнение, с учетом Z н  Z с th l U U2  Z н (см. рис. 12.7) получим входное сопротивлении линии Z вх  1  Z с . I2 I1 Z с  Z н th l В режиме холостого хода (х) (Zн = ∞) и в режиме короткого замыкания (к) (Zн = 0) для входного сопротивления линии имеем Z х  Z с cth l , Z к  Z с th l. Имеют место следующие соотношения: Zс  ZхZк , Для входного сопротивления Z вх  Z х Zн  Zк , Zн  Zх th l  Z к Zх . линии, работающей в режиме согласованной нагрузки (Zн = Zс) имеем Zвх = Zс. Если Zн =Zс, то U ( x)  U 2 ch  x  I 2 Z c sh  x  U 2e I ( x)  и входное сопротивление x U2 x sh  x  I 2 ch  x  I2e Zc U1 U 2   Z c  Z c e j . I1 I2 Активная мощность может быть найдена по формуле P( x)  UI cos   отношение мощностей на выходе и входе линии   Для линии длиной l: l  ln U 22 Zc e2x cos  , P2  e2l . P1 U1 I U I  ln 1 , l  ln 1  ln 1 , l  u1  u2   i1   i2 , где U2 I2 U2 I2 u1 , u2 , i1 , i2 –начальные фазы напряжений и токов в начале и конце линии. Если U 2  U 20 , то при отсчете расстояния от конца линии мгновенные значения u ( x, t )  U 2 mex sin(t  x), i ( x, t )  U 2 m x e sin(t  x  ). Zc При произвольном сопротивлении нагрузки в линии возникает обратная волна. Комплексную число  , определяемое по формуле  Zн  Zc Zн  Zc называют коэффициентом отражения. Оно связывает комплексы напряжений и токов обратной (отраженной) и прямой (падающей) волн в конце линии U 2обр  U 2пр (рис. 12.8). Так как U 2  U 2пр  U 2обр  U 2пр (1  ) , то U 2пр  U U2 , I 2пр  2пр , I 2обр  I 2пр . Zc (1  ) Тогда U пр ( x)  U 2прexe jx , U обр ( x)  U 2обрexe jx  U 2прexe jx . Рис. 12.8 При Zн =Zс x   0 , обратной волны не возникает и U ( x)  U 2пр  U 2e , x I ( x)  I2пр  I2e . Отсутствие обратной волны имеет то преимущество, что вся мощность, переносимая прямой волной концу линии, поглощается сопротивлением нагрузки. Если   0 , то часть мощности прямой волны возвращается источнику обратной волной. 12.4. Линия без искажений Воздушная или кабельная линия связи, предназначенная для передачи радиотехнических сигналов (речь, музыка), может быть использована только при соблюдении условия, что коэффициент затухания  и фазовая скорость не зависят от частоты. Токи и напряжения линий связи несинусоидальные, периодические, содержат в разложении гармоники высших частот. При этом кабельные линии, из-за близкого расположения проводов друг к другу имеют малое индуктивное сопротивление X L 0  L0 по сравнению с активным сопротивлением проводов R0 и им можно пренебречь. Активная проводимость утечки G0 мала по сравнению с реактивной проводимостью BC 0  C0 , обусловленной емкостью между проводами. Полагая L0  0 и G0  0 , имеем Z0  R0 и Y0  jC0 , следовательно,     1 R0C0 . Коэффициент затухания и 2 коэффициент фазы пропорциональны квадратному корню из частоты и гармоники более высоких частот будут затухать сильнее. Фазовая скорость v   также для гармоник  разной частоты будет разная. Амплитудные и фазовые искажения приводят к искажению формы кривых токов и напряжений, т.е. к искажению речи, музыки. Если на высоких частотах соотношения изменяются L0 , R0 C0 , G0 т.е. фазовая скорость практически не зависит от частоты, то из-за амплитудных искажений линия связи без особых приспособлений непригодна для передачи сигналов. Для отсутствия искажений необходимо, чтобы выполнялись условия: R0 G0  L0 C0 В таком случае   ( R 0  jL0 )(G 0  jC0 )  R 0 G 0  j L0C0 . Коэффициент затухания   min  R 0 G 0 , коэффициент фазы   min   L0C0 . Фазовая скорость не зависит от частоты v  vmax  неискажающей линии Z с     L0C0 Z0 L0  Y0 C0 1 . L0C0 Волновое сопротивление для R0  j L0 L0  . G0 C  j C0 Как правило, у кабельных линий отношение искусственно увеличивают индуктивность. L0 R мало, а 0 велико. В линиях связи C0 G0 Пример 12.3. Рассчитать индуктивность катушек, при включении которых последовательно через каждый километр линии связи с параметрами R0 = 2,5 Ом/км, G0= 10-6 См/км, L0=210-3 Гн/км, C0=810-9 Ф/км, линия будет неискажающей. Решение: Индуктивность неискажающей линии L0  R0C0 , L0=0,02 Гн/км. G0 Следовательно, дополнительные катушки должны быть Lдоп=0,02 – 0,002 = 0,018 Гн/км. Замечание. Для осуществления передачи без искажения необходимо, чтобы отсутствовали отраженные волны, т. е. приемник и линия должны быть согласованы. 12.5. Линии без потерь Для высокочастотных линий часто с достаточно большой точностью можно пренебречь R0 и G0 по сравнению с L0 и C0 . В таком случае двухпроводные воздушные линии и коаксиальные кабели рассматривают как линии без потерь. При R0= 0, G0= 0:   0,    L0C0 ,     j  j . Волновое сопротивление имеет вещественный характер Z c  Z c e j  Z c  L0 . C0 Фазовая скорость v    1 L0C0 и волновое сопротивление не зависят от частоты, т.е. линия без потерь является неискажающей линией. Для двухпроводной воздушной линии без потерь волновое сопротивление Zc  300  400 Ом, фазовая скорость примерно равна скорости света v  c  3 108 м/с. Для кабельной линии Zc  50 150 Ом, фазовая скорость меньше скорости света v  1,5 108 м/с. Так как волновое сопротивление в линиях без потерь вещественное («чисто активное»), токи прямой и обратной волн совпадают по фазе с соответствующими напряжениями прямых и обратных волн. Уравнения длинной линии с гиперболическими функциями от комплексного аргумента для линии без потерь переходят в уравнения с круговыми функциями для вещественного аргумента: ch(x  jx)  ch( jx)  cos(x) , sh(x  jx)  sh( jx)  j sin(x) . Если заданы напряжение и ток в конце линии, то уравнения линии имеют вид: U ( x)  U 2 cos x  jZ c I 2 sin x . sin x I ( x)  j U 2  I 2 cos x Zc При этом входное сопротивление линии длиной : Z вх  Z c 1  e j 2l Z н  jZ c tg l .  Zc Z c  jZ н tg l 1  e j 2l Если U 2  U 20 , I 2  I 2  2 , мгновенные значения напряжения и тока в линии без потерь имеют вид: u ( x, t )  2U 2 cos x sin t  2Z c I 2 sin x sin(t  i ( x, t )  2   2 ) 2 U2  sin x sin(t  )  2 I 2 cos x sin(t  2 ) . Zc 2 Кривые распределения мгновенных значений тока и напряжения вдоль линии для моментов времени t1  0 и t2  T представлены на рис. 12.9. 3 Рис. 12.9 Распределение напряжения и тока в каждый момент времени является синусоидальным. Изменение тока и напряжения во времени в любой фиксированной точке также будет синусоидальным. При   4 , т.е. если длина линии будет равна четверти длины волны, тогда напряжение и ток в начале линии U1  U ( )  jI2 Zc , I1  I ( )  j U2 . Для поддержания Zc постоянного напряжения в конце линии, которое может изменяться вследствие изменения нагрузки, необходимо в начале линии поддерживать I1  const . Для линии длиной в полволны   2 U1  U ( )  U 2 , I1  I ( )   I2 , т.е. ток и напряжение в начале линии равны по модулю и противоположны по фазе току и напряжению в конце линии. Рассмотрим, как меняется входное сопротивление линии без потерь в зависимости от x  k Z вх ( x)   4 - расстояния от конца линии, кратного четверти длины волны. Так как U ( x) Z  jZ ctgx , то при k  2n (четное) Z вх ( x)  Z н , при k  2n  1  Zc н I ( x) Z c  jZ нtgx (нечетное), то Z вх ( x)  Zc . Так как расстояние, равное длине волны соответствует изменению фазы прямой и обратной волн на 2  360 , очень удобно для иллюстрации использовать окружность и векторные диаграммы. Так как при заданном U 2  U 20 можно расположить этот вектор на комплексной плоскости, представив его как векторную сумму U 2  U 2пр  U 2обр . Так как U 1  U 1пр  U 1обр , а U 1пр  U 2пр , U 1обр  U 2обр  это можно проиллюстрировать поворотом вектора U 2пр против часовой стрелки на угол  по часовой стрелки на угол  и поворотом вектора U 2обр (рис. 12.10). Полученная векторная сумма должна соответствовать расчету комплекса U 1 по формуле U 1  U 1пр  U 1обр . Рис. 12.10 12.6. Стоячие волны Для линии без потерь активная мощность в любом сечении x равна активной мощности приемника P1  P( x)  P2 . В том случае, если P2  0 в линии возникает режим стоячих волн. При этом P2  U 2 I 2 cos(u  i )  0 в случае: 1) I 2  0 линия разомкнута на конце (холостой ход); 2) U 2  0 линия короткозамкнута на конце; 3) cos(u  i )  0 линия нагружена на чисто реактивное сопротивление. Для всех этих случаев модуль коэффициента отражения равен единице: 1) Z н   ,   1 ; 2) Z н  0 ,   1  1180 : 3) Z н   jX ,   1   . Таким образом, модуль падающей и отраженной волны одинаковый, т.е. U пр = U обр . Стоячая волна получается в результате наложения прямых и обратных волн с одинаковыми амплитудами. Математически уравнение стоячей волны представляется произведением двух функций, аргумент одной зависит от времени, а другой – от координаты. При холостом ходе ( I2  0) уравнения линии имеют вид: U ( x)  U 2 cos x . U I ( x)  j 2 sin x Zc В конце линии и точках x = kπ/β =kλ/2, k = 1,2,… будет максимум – пучность напряжения и нулевое значение – узел тока. На расстояниях от конца линии x = (2k+1)π/2β =(2k+1)λ/4 будут узлы напряжения и пучности тока. При холостом ходе, если U 2  U 20 мгновенные значения напряжения и тока: u ( x, t )  U 2 m cos x sin t , i( x, t )  U 2m sin x cos t Zc представляют собой уравнения стоячих волн. При x   4 входное сопротивление будет емкостного характера. На рис. 12.11 показано распределение действующего значения напряжения и тока вдоль разомкнутой линии. Рис. 12.11 При этом входное сопротивление линии, разомкнутой на конце: Z вх =  jZC ctg x   jZC ctg 2 x.  На рис. 12.12 показано изменение абсолютного значения и характера входного сопротивления в зависимости от длины линии. От x  0 до x   4 , от x   2 до x  характер входного сопротивления разомкнутой линии – чисто емкостной, от x  x  2 , от x  представлена 3  до x   - чисто индуктивный. При x  0, ,  , 4 2 параллельным резонансным последовательным резонансным контуром. контуром, при  4 3 4 до линия может быть x  4 , 3 5 , , 4 4 - Рис. 12.12 При коротком замыкании (U 2  0) уравнения линии имеют вид: U ( x)  jZ c I2 sin x . I ( x)  I2 cos x В конце линии и точках, отстоящих от него на целое число полуволн kλ/2, будут узлы напряжения и пучности тока. В точках, отстоящих от конца линии на расстояния (2k+1)λ/4, будут пучности напряжения и узлы тока. При коротком замыкании в случае, когда I 2  I 20 , мгновенные значения напряжения и тока: u( x, t )  I 2m Zc sin x cos t , i( x, t )  I 2m cos x sin t , в линии также наблюдается режим стоячей волны. На рис. 12.13 показано распределение действующего значения напряжения и тока вдоль короткозамкнутой линии. Входное сопротивление линии, короткозамкнутой на конце: Z вх =jZctgx  jZ ctg x  4 2 x . При  входное сопротивление будет индуктивного характера. На рис. 12.14 показано изменение абсолютного значения и характера входного сопротивления в зависимости от длины линии. Рис. 12.13 Рис. 12.14 Таким образом, емкостное и индуктивное сопротивление может быть заменено отрезками разомкнутой или короткозамкнутой линии. Следовательно, линия с реактивным сопротивлением нагрузки ничем не отличается от разомкнутой или короткозамкнутой линии (рис. 12.15). Рис. 12.15 При чисто реактивной нагрузке в линии также будут наблюдаться стоячие волны. Только в конце линии с реактивным сопротивлением нагрузки не будет ни пучности, ни узла тока или напряжения. На рис. 12.16 показано распределение действующего значения напряжения при емкостной нагрузке Z н   jX   jZc (модуль реактивного сопротивления численно равен волновому сопротивлению линии). Рис. 12.16 Для определения U ( x) и I ( x) можно воспользоваться уравнениями линии на холостом ходу. Принимая значение напряжения в пучности как U max , рассчитав y  длину разомкнутого отрезка линии, эквивалентного по входному сопротивлению можно записать: U ( x)  U max cos ( x  y)  4 - Zн , I ( x)  j U max sin ( x  y ) . Zc Условие эквивалентной замены Zн   jX   jZcctgy . При этом в случае емкостной нагрузки первым по напряжению будет узел. Расстояние до первого узла можно определить как x0  y  8 U max  и x0   4   8   4  y . В приведенном выше примере так как  8 Z н   jX   jZc , то . На нагрузке напряжение U 2  U (0)  U max cos y , следовательно U2 . cos y Для определения токов и напряжений можно воспользоваться и уравнениями линии, нагруженной на емкостное сопротивление с учетом того, что I2  U ( x)  U 2 (cos x  I ( x)  j При индуктивной короткозамкнутой линии U2 :  jX Zc sin x) X Z U2 (sin  x  c cos  x) . Zc X нагрузке эквивалентной длиной y  4 . заменой Условие будет отрезок эквивалентной замены Zн  jX  jZc tg y . При этом в случае индуктивной нагрузки первым по напряжению будет пучность. Расстояние до первого узла можно определить как x0  значение тока в пучности как I max , рассчитав y   4  2  y . Принимая - длину разомкнутого отрезка линии, эквивалентного по входному сопротивлению Z н , можно записать: I ( x)  Imax cos ( x  y) U ( x)  jZc Imax sin ( x  y) . На нагрузке напряжение U 2  U (0)  jZc Imax sin y , следовательно Imax  U2 . jZ c sin y Для определения токов и напряжений можно воспользоваться и уравнениями линии, нагруженной на емкостное сопротивление с учетом того, что I2  U ( x)  U 2 (cos x  Zc sin x) X U2 : jX I ( x)  j U2 Z (sin x  c cos x) . Zc X Для решения задачи определения токов и напряжений при реактивной нагрузке можно воспользоваться коэффициентом отражения: при Z н   jX   при Z н  jX    jX  Z c  1   , U 2обр  U 2пр   ;  jX  Z c jX  Z c  1 , U 2обр  U 2пр . jX  Z c На рис. 12.17 представлена векторная диаграмма U 2  U 2пр  U 2обр при емкостной нагрузке, т.е. когда U 2обр  U 2пр   . Поворот вектора U 2пр против часовой стрелки на угол x0 и поворот вектора U 2обр по часовой стрелки на угол x0 определяют узел напряжения, т.к. U ( x0 )  U пр ( x0 )  U обр ( x0 )  0 (модули U пр  U обр ). Расстояние до первого узла напряжения может быть найдено из соотношения x0   / 2   / 2 . Рис. 12.17 Замечание: Длинная линия может быть использована в качестве "измерительного устройства". По характеру распределения U(x) можно определить нагрузку линии - если первым наблюдается максимум напряжения, то нагрузка индуктивная, если первым минимум - емкостная. Если минимум - узел (значение напряжения в этом сечении равно нулю), то нагрузка чисто реактивная, измерив расстояние до первого узла напряжения, можно определить модуль сопротивления нагрузки. 12.7. Согласованный режим линии без потерь. Рассмотрим распределение действующего значения вдоль линии без потерь, нагруженную на активное сопротивление Z н  Rн  Zc . Примем U 2  U 20 . Уравнения линии в случае согласованной нагрузки имеют вид: U ( x)  U 2 cos x  jZ c I 2 sin x  U 2 (cos x  j sin x)  U 2e jx  U 2пр ( x) I ( x)  j U2 sin x  I 2 cos x  I 2 (cos x  j sin x)  I 2e jx  I 2пр ( x) Zc В любом сечении x линии действующее значение напряжения равно U(x)=U2, действующее значение тока I(x)=I2, сдвиг фаз  x)  x , т.е. линейно зависит от координаты x (рис. 12.18). Рис. 12.18 В линии отсутствует обратная волна, коэффициент отражения в случае Z н  Zc равен нулю:   Z н  Zc  0 , U 2обр  0 . Согласованный режим линии - режим бегущей волны. Z н  Zc Входное сопротивление в любом сечении Z вх ( x)  U ( x)  Zc . I ( x) Мгновенные значения напряжения и тока в линии без потерь в согласованном режиме имеют вид: u( x, t )  2U 2 sin(t  x) i ( x, t )  2 U2 sin(t  x) . Zc На рис. 12.19 представлено распределение действующего значения U(x) и I(x) при Zн  Zc  400 Ом и напряжении источника U1  20 В . Рис. 12.19 Если линия не согласована с нагрузкой, т.е.   0 , то в линии ток и напряжение представляются суммой прямых и обратных волн. В линии отсутствуют обратные волны, если   0 , т.е. Z н  Zc . Для согласования линии с нагрузкой применяют различные согласующие устройства. Идеальное согласование определяет условие передачи всей мощности в нагрузку. Отсутствие согласования полностью нарушает работу линии связи, делает невозможным передачу сигналов к приемнику, так как условие передачи будут зависеть от длины кабеля (линии связи). Линия без потерь длиной в четверть волны может быть использована в качестве согласующего устройства линии без потерь с волновым сопротивлением Z c и чисто резистивной (активной) нагрузки Z н  Rн (рис. 12.20). Например, так можно согласовать линию связи с антенной, имеющей чисто активное сопротивление. В этом случае четвертьволновая линия без потерь называется четвертьволновым трансформатором, так как приводит (трансформирует) волновое сопротивление линии связи Zc к сопротивлению нагрузки (антенны) Rн . Волновое сопротивление четвертьволновой линия без потерь обозначают Z TP . Рис. 12.20. Входное сопротивление в сечении 2-2' определяется по формуле Z вх22  Z TP  Rн  jZ TP tg  2 Z вх33  jZ TP tg lTP 4 = Z TP ,  Z TP  Rн Z TP  jZ вх33 tg lTP Z TP  jRн tg  4 так как tg     tg   . 4 2 Таким образом, для согласования линии связи с антенной необходимо, чтобы Zвх22  Zc или Z TP 2  Z c , ZTP  Zc Rн . Распределение в линии связи после согласующего устройства Rн будет соответствовать согласованному режиму (рис. 12.21). Рис. 12.21. Для согласования линии с активно-реактивной нагрузкой четвертьволновый трансформатор помещают на рассчитанном минимальном расстоянии у от нагрузки (рис. 12.22). Рис. 12.22 Недостатком использования четвертьволновых трансформаторов является необходимость наличия линии без потерь с рассчитанным волновым сопротивлением ZTP  Zc Rн . При невозможности этого используют разные схемы согласования с помощью шлейфов (линий без потерь длиной y, разомкнутых или короткозамкнутых на конце и имеющих чисто реактивное входное сопротивление), включаемых последовательно или параллельно в линию на рассчитанном расстоянии x от нагрузки (рис. 12.23). Рис. 12.23 Используют также сочетания четвертьволновых трансформаторов и шлейфов, например, для согласования линии без потерь с активно-реактивной нагрузкой (рис. 12.24). Рис 12.24. Выбор и расчет согласующего устройства проводится исходя из конкретных заданных условий и наличия соответствующих комплектующих. Согласование цепей - важнейшая задача радиотехники и электроники. 12.8. Линия без потерь при произвольной нагрузке. Стоячие и бегущие волны Рассмотрим распределение действующего значения напряжения и тока вдоль линии при активной нагрузке Z н  Rн  Zc . Примем U 2  U 20 . Так как U 2  Rн I2 , уравнения линии имеют вид: U ( x)  U 2 cos x  jZ c I 2 sin x  U 2 (cos x  j I ( x)  j R U2 sin x  I 2 cos x  I 2 ( j н sin x  cos x) Zc Zc Коэффициент отражения   следовательно, модуль Zc sin x) Rн Rн  Z c   , модуль коэффициента отражения   1 и, Rн  Z c отраженной волны меньше падающей U обр < U пр . При Rн  Zc коэффициент отражения отрицательный, следовательно, на векторной диаграмме вектора U 2обр и U 2пр противоположны (u2пр=uпр(0,t) u2обр= uобр(0,t) в противофазе) и U 2  U 2пр  U 2обр  (1   )U 2пр ; модуль U 2  (1   )U 2пр  U min (рис. 12.25). Через  4 вектора U 2обр и U 2пр будут сонаправлены (uпр(λ/4,t) uобр(λ/4,t) в фазе) и U ( 4)  U пр ( 4)  U обр ( 4)  (1   )U 2пр ; модуль U ( 4)  (1   )U 2пр  U max . Рис. 12.25 При Rн  Zc коэффициент отражения положительный, на векторной диаграмме вектора U 2обр и U 2пр сонаправлены (u2пр=uпр(0,t) u2обр= uобр(0,t) в фазе) и U 2  U 2пр  U 2обр  (1   )U 2пр ; модуль U 2  (1   )U 2пр  U max (рис. 12.26). Через  4 вектора U 2обр и U 2пр будут противоположны (uпр(λ/4,t) uобр(λ/4,t) в противофазе) U ( 4)  U пр ( 4)  U обр ( 4)  (1   )U 2пр ; модуль U ( 4)  (1   )U 2пр  U min . и Рис. 12.26 Таким образом, U min  U пр  U обр , действующее U max  U пр  U обр . наблюдается в точках x  0,  2, , точках x   4, 3 4, x  0,  2, , значение При U min  U  U max , напряжения Rн  Zc минимум где напряжения U min , максимум напряжения U max наблюдается в При Rн  Zc максимум напряжения U max наблюдается в точках , минимум напряжения U min наблюдается в точках x   4, 3 4, Распределение действующего значения тока также ограничено I min  I  I max , но так как I ( x)  Iпр ( x)  Iобр ( x) , то при Rн  Zc x  0,  2, , максимум тока I max наблюдается в точках , минимум тока I min наблюдается в точках x   4, 3 4, Rн  Zc минимум тока I min наблюдается в точках x  0,  2, , наблюдается в точках x   4, 3 4, ; если , максимум тока I max При этом U max  Zc I max , U min  Zc I min . На рис. 12.27 показано распределение действующего значения напряжения и тока при Zc  400 Ом и Zн  Rн  200 Ом . Коэффициент отражения   1 U 2обр   U 2пр , напряжение на нагрузке 3 I2  I2пр  I2обр  Rн  Z c 200  400 1   , Rн  Z c 200  400 3 2 U 2  U 2пр  U 2обр  (1   )U 2пр  U 2пр , ток 3 4 I2пр . Таким образом, на нагрузке - минимум напряжения и максимум 3 тока. При заданной и длине линии и напряжении на источнике ( x  ) можно определить напряжение на нагрузке U 2 ( x  0 ) и составляющие U 2пр и U 2обр из соотношения U1  U ( )  U 2 cos   jZ c I 2 sin   U 2 (cos   j U1 2 1 U2   U 2пр , U 2обр   U 2пр (cos   j 2sin  ) 3 3 Zc sin  )  U 2 (cos   j 2sin  ) Rн . Минимум x  0,  2, , x   4, 3 4, напряжения 2 U min  U 2  U пр  U обр  U 2пр 3 наблюдается в точках 4 , максимум напряжения U max  U пр  U обр  U 2пр наблюдается в точках 3 Для тока I max  U max U  I 2 , I min  min Zc Zc Рис. 12.27 Коэффициент бегущей волны kб  U min для реальных линий равен 0,5  0,6 . При U max kб  0 в линии наблюдается режим стоячих волн, т. к. в таком случае U min  0 как узел напряжения; при kб  1 U min  U max , в линии согласованный режим или режим бегущей волны. Коэффициент бегущей волны может быть определен через модуль коэффициента отражения kб  U min (1   )U 2пр 1     . U max (1   )U 2пр 1    x1  x0 +m , m  0,1, 2, 2 I max В сечениях с координатами где наблюдается минимум напряжения U min и максимум тока ( x0  0,  4 - расстояние до первого минимума напряжения), входное сопротивление чисто активное Zвх ( x1 )  kб Zc ; в точках x2 , где наблюдается максимум напряжения U max и минимум тока I min входное сопротивление чисто активное Z вх ( x2 )  Zc 1  kc Z c , где kc  kб kб если Rн  Zc , то kб  В общем - коэффициент стоячей волны. При активной нагрузке U min Rн U Z  , при Rн  Zc , то kб  min  c . U max Z c U max Rн случае линия нагружена на активно-реактивное сопротивление Z н  Rн  jX н . Распределение действующего значения напряжения и тока в линии также ограничено максимальным и минимальным значением U min  U  U max , I min  I  I max . Коэффициент отражения - комплексное число   Zн  Zc   . В этом случае в конце Zн  Zc линии не наблюдается максимум или минимум напряжения. Если нагрузка активноемкостная, то расстояние до первого минимума напряжения x0   4 , при активноиндуктивной  4  x0   2 , т.е. первым наблюдается максимум напряжения. На рис. 12.28 показано распределение действующего значения напряжения и тока при активноемкостной нагрузке, расстояние до первого минимума напряжения x0   4 . Рис. 12.28 В сантиметровом и дециметровом диапазонах волн для измерения комплексного входного сопротивления какого-либо приемника применяют измерительную линию в виде отрезка длинной линии без потерь. По распределению напряжений вдоль измерительной линии можно определить сопротивление нагрузки: коэффициент бегущей волны kб  U min U max Z вх  Z c и расстояние до первого минимума напряжения x0 . Тогда kб  j tg x0 . Для построения графика распределения действующего значения 1  jkб tg x0 напряжения U(x) и тока I(x) вдоль линии удобно пользоваться векторными диаграммами, рассчитав при заданном U1 или U2 составляющие U 2пр и U 2обр , аналогично рассмотренным ранее примерам. 13. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами. В цепях с распределенными параметрами, например, в длинных линиях, обмотках электрических машин и трансформаторов, включение и отключение какого-либо участка сопровождается переходными процессами. При большой протяженности линии изменение внешних электрических и магнитных полей (например, при грозовых разрядах) , также вызывает переходные процессы. Переходные процессы в линиях возникают при импульсном воздействии (например, передаче специальных импульсов для проверки линий на наличие повреждений). 13.1 Общее решение уравнений длинной линии без потерь. Прямые и обратные волны. При соблюдении условий однородности линии уравнения, описывающие процессы в линии - уравнения в частных производных: u i  R0i  L0 x t ; i u   G0u  C0 x t  Для линий без потерь ( R0  0 , G0  0 ) эти уравнения принимают вид: u i  L0 x t i u   C0 x t  В общем случае напряжения и токи длинных линий в переходных процессах, также как и в установившихся режимах удобно представлять как результат наложения напряжений и токов прямой и обратной волн: u ( x, t )  uпр ( x, t )  uобр ( x, t ) i ( x, t )  iпр ( x, t )  iобр ( x, t ) где uпр ( x, t ), uобр ( x, t ) - напряжения прямой и обратной волн, iпр ( x, t ), iобр ( x, t ) - токи прямой и обратной волн. Прямые волны напряжения и тока перемещаются в неискажающей линии со скоростью v  1 в одном направлении, например, от начала линии (х =0) к ее концу L0C0 (х =l), обратные волны напряжения и тока движутся с той же скоростью в обратном направлении. Здесь L0 , C0  индуктивность и емкость линии на единицу длины. В воздушных линиях v  c  3 108 м/с, а в кабельных линиях часто можно полагать, что v  0,5c  1,5 108 м/с. Прямые и обратные волны напряжения и тока связаны соотношением: uпр ( x, t )  Zciпр ( x, t ) , где Z c  uобр ( x, t )  Zciобр ( x, t ) L0 - волновое сопротивление линии без потерь. C0 13.2 Включение источника. Расчет прямой волны. В случае подключения к линии через пассивный четырехполюсник П источника с постоянным напряжением U (рис. 13.1), по линии распространяется прямая волна uпр ( x, t ) , которая рассчитывается по эквивалентной схеме в месте присоединения линии к источнику через пассивный четырехполюсник (х =0, сечение 1-1′ или точка А, рис. 13.2). Рис.13.1 Рис. 13.2 В расчетной схеме по рис. 13.2 определяют uпрA  uпр (0, t ) для t  0. При отсутствии реактивных элементов расчет uпрA сводится в расчету цепи постоянного тока. Если четырехполюсник П содержит реактивные элементы, то прямая волна напряжения в начале линии uпрA (t )  uпр (0, t ) рассчитывается любым методом расчета переходных процессов в цепях с сосредоточенными параметрами. Искомые напряжение и ток прямой волны: x uпр ( x, t )  uпрA (t  ), v При отсутствии обратной волны x iпр ( x, t )  iпрA (t  ). v напряжение и ток в линии u( x, t )  uпр ( x, t ) , i( x, t )  iпр ( x, t ) для всех x  t  v , где t – расчетное время. 13.3 Расчет обратной волны. Обратные волны тока и напряжения возникают, когда прямая волна встречает на своем пути неоднородность – нагрузку или подключение (последовательное или параллельное) другого двухполюсника (рис. 13.3) или четырехполюсника с сосредоточенными или распределенными параметрами (рис. 13.4). В последнем случае кроме обратных волн напряжения возникают волны напряжения и тока, прошедшие во вторую линию. Иногда эти волны называют преломленными. По существу – это прямые волны во второй линии. Рис. 13.3 Рис. 13.4 Для расчета обратной волны в результате отражения от нагрузки (рис. 13.3) используют эквивалентную схему (рис. 13.5) для t   1  l1 (после «падения» прямой v1 волны на нагрузку). В расчетной схеме uпад  uпрB  uпр (l , t ) . Рис.13.5 Так как uB  uпрB  uобрB , uпрB  uпр (l , t ) то, рассчитав uB (t ) , находят uобрB (t )  uB (t )  uпрB (t ) в конце линии (х = l). Можно рассчитать iB  iпрB  iобрB и определить iобрB . Распределение волн напряжения и тока вдоль линии можно определить и для координаты x (направление движения обратной волны) и для координаты x : x ) v lx uобр ( x, t )  uобрB (t  ) v uобр ( x, t )  uобрB (t  Расчет обратных и прошедших волн напряжения и тока в цепи рис. 13.4 производится по эквивалентной схеме рис. 13.6. В расчетной схеме uпад  u1прB  u1пр (l , t ) . Рис. 13.6 Рассчитав напряжение в сечениях 2-2' («слева» от точки В) и в 3-3' («справа» от точки В) определяют отраженную (обратную первой линии) и преломленную (прямую второй линии) волны: uB 22  u1прВ  u1обрВ , uB33  u2прВ . Пусть t   t  l1 . Для токов и напряжений первой линии при отсчете координаты по v1 направлению движения обратной волны u1обр ( x1, t )  u1обрB (t   u2пр ( x2 , t )  u2прB (t   x1 ). v1 Для второй линии x2 ) . Тогда v2 u1обр ( x1 , t )  u1обрB (t  l1 l1  x1  ) v1 v1 l x u2пр ( x2 , t )  u2прB (t  1  2 ) v1 v2 . В случае подключения второй линии непосредственно к концу первой линии обратная волна в первой линии может быть рассчитана по коэффициенту отражения  а Z c 2  Z c1 , Z c1  Z c 2 прошедшая во вторую линию волна (преломленная волна) по преломления коэффициенту n 2Z c1 , Z c1  Z c 2 При отсчете времени с момента прихода волны к месту соединения линий: u1обр ( x1, t )  u1пр ( x1, t ) , при х1 = l1 и х'1 =0 u2пр ( x2 , t )  nu1пр ( x1, t ) , при х1 = l1 и х2 = 0. Коэффициент отражения удобно использовать и в случае отражения волны от резистивной нагрузки, в таком случае   Rн  Z c , uобр ( x, t )  uпр ( x, t ) при х = l и х' =0, Rн  Z c время отсчитывается с момента отражения волны от нагрузки. 13.4. Переходные процессы в линии с ненулевыми начальными условиями Переходные процессы в линиях при ненулевом предшествующем режиме удобнее всего рассчитать с использованием метода наложения. Используется "сведение к нулевым начальным условиям" - расчет возникающих в линии волн в месте, где происходит изменение (коммутация) и последующее сложение результатов расчета с напряжениями и токами в линии до коммутации (в предшествующем режиме). u ( x, t )   u0 предшествующий режим i ( x, t )  расчет сведением к нулевым начальным условиям  i0 предшествующий режим uпр  uобр iпр  iобр расчет сведением к нулевым начальным условиям При замыкании ключа (рубильника) напряжения и токи равны суммам соответственно напряжений и токов до коммутации (рис. 13.7) и напряжений и токов, возникающих в результате включения в эту ветвь источника ЭДС с напряжением Uр, равным напряжению на разомкнутом рубильнике (ключе) и отсутствии других источников токов и напряжений (рис. 13.8,а). Рис. 13.7 В цепи по схеме рис. 13.7 рассчитывают токи и напряжения в линиях до коммутации u0 и i0 (в установившемся режиме при постоянном источнике линия без потерь представляет собой короткозамкнутый участок) и напряжение на рубильнике Uр. Рис. 13.8,а Рис. 13.8,б Переходный процесс в цепи по схеме рис. 13.8,а рассчитывают при нулевых начальных условиях. При этом составляют расчетную схему с сосредоточенными параметрами (рис .13.8,б), рассчитывают токи и напряжения в рассматриваемом сечении, а затем переходят к прямым и обратным волнам в линии. Полное решение при ненулевых начальных условиях находят по методу наложения: u ( x, t )   uпр  uобр u0 по схеме 13.7 i ( x, t )  i0 по схеме 13.8  iпр  iобр по схеме 13.7 по схеме 13.8 При размыкании ключа (рубильника) напряжения и токи равны суммам соответственно напряжений и токов до коммутации (рис. 13.9) и напряжений и токов, возникающих при включении в эту ветвь источника тока с током Iр, равным по значению, но противоположным по направлению току в ветви до коммутации, при отсутствии других источников токов и напряжений (рис. 13.10,а). Рис.13.9 В цепи по схеме рис. 13.9 рассчитывают токи и напряжения в линиях коммутации u0 и i0 и ток в рубильнике Iр. до Рис. 13.10,а Рис. 13.10,б Переходный процесс в цепи по схеме рис. 13.10,а рассчитывают при нулевых начальных условиях. Составляют расчетную схему с сосредоточенными параметрами (рис.13.10,б), рассчитывают токи и напряжения в рассматриваемом сечении, а затем переходят к прямым и обратным волнам в линии. Полное решение при ненулевых начальных условиях находят по методу наложения: u ( x, t )   uпр  uобр u0 по схеме 13.9 i ( x, t )  по схеме 13.10  iпр  iобр i0 по схеме 13.9 по схеме 13.10 13.5. Расчет переходных процессов в линиях операторным методом При расчете операторным методом рассчитывают операторные изображения U(p,x) и I(p,x) напряжений u(х,t) и токов i(х,t) в линии. Можно использовать операторный коэффициент отражения ( p)  Z Н ( p)  Z c , Z Н ( p)  Z c связывающий операторное изображение падающей и отраженной волн. Оригиналы i( x, t )  L1 I ( p, x) , u ( x, t )  L1 U ( p, x) могут быть найдены с помощью обратного преобразования Лапласа (L–1) или теоремы разложения. Применяют и решение Даламбера (в виде последовательности единичных функций). 14. Элементы электроэнергетических систем Основные термины и определения. Вращающееся магнитное поле 14.1. Электроэнергетической системой (ЭЭС) называется совокупность электростанций, электрических сетей, соединенных между собой и связанных общностью режима в непрерывном процессе производства, преобразования, распределения и потребления электроэнергии. Отдельные звенья электроэнергетической системы могут быть удалены друг от друга на сотни километров, но все элементы системы взаимно связаны и взаимодействуют, образуя единый механизм. Энергия, произведенная в системе, равна энергии, потребленной в ней. При снижении мощности электростанций автоматически снижается потребляемая мощность, и наоборот. Преобразование и передача энергии происходит во всех элементах системы и сопровождается потерями энергии. Все процессы, связанные с короткими замыканиями, включениями, отключениями, нарушениями устойчивости в электроэнергетической системе совершаются в течение долей секунд и требует применения специальных автоматических устройств - аппаратов защиты от перенапряжений, релейной защиты, автоматических регуляторов, автоматических выключателей и т.д. Электрическая сеть как часть электроэнергетической системы обеспечивает возможность выдачи мощности электростанций, ее передачу на расстояние, преобразования на подстанциях и ее распределение до конкретных приемников. Все элементы электроэнергетических систем проектируются для работы при определенном напряжении. Эти напряжения называются номинальными и соответствуют линейным значениям напряжений трехфазной системы переменного тока. В настоящее время для электрических сетей стандартизированы четыре напряжения меньше 1 кВ и двенадцать напряжений выше 1 кВ (Табл. 14.1). Таблица 14.1. Стандарты напряжений электрических сетей 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 низкие (НН) напряжения, [В] средние (СН) напряжения, [кВ] высокие (ВН) напряжения, [кВ] Местные Местные Районные 13 14 15 сверхвысокие (СН) напряжения, [кВ] 40 220 380 660 3 6 10 20 35 110 150 220 330 500 750 Распределительные  Распределительные 16 ультравысоки е (УВН) напряжения, [кВ] 1150 Региональные Системообразующие Механизм такого "автоматизма", конечно, более сложен и происходит за счет других изменений в системе. В любой момент времени соблюдается баланс мощности, т.е. равенство генерируемой и потребляемой мощности. Если при изменении генерируемой или потребляемой мощности возникает "небаланс", то баланс автоматически восстанавливается за счет изменения частоты и напряжения. Потребляемая мощность становится равной генерируемой мощности, так как в соответствии со статическими характеристиками нагрузки мощность нагрузки меняется с изменением частоты и напряжения. Это обстоятельство требует специальных мер по регулированию частоты и напряжения в системе, так как эти изменения могут быть существенными и не допустимыми. По конструкции сети делятся на внутренние проводки (до 1 кВ), кабельные (до 500 кВ) и воздушные (до 750-1150 кВ). Основными элементами ЭЭС являются генераторы, трансформаторы, двигатели, линии электропередачи и потребители электроэнергии: асинхронные двигатели - двигатели, частота вращения которых определяется частотой напряжения сети и механической нагрузкой; воздушная линия передачи - линия электропередачи, провода которой поддерживаются над землей с помощью опор, изоляторов; гидрогенератор - электрический генератор с частотой вращения, зависящей от угловой скорости гидравлической турбины (как правило, 600 об/мин и ниже); двигатель - электрическая машина, преобразующая электрическую энергию в механическую; кабельная линия электропередачи - линия электропередачи, выполненная одним или несколькими кабелями, прокладываемыми непосредственно в земле или в различных кабельных сооружениях (коллектор, туннель, шахта, кабельная камера); линия электропередачи (ЛЭП) - электроустановка, предназначенная для передачи электрической энергии между элементами ЭЭС; потребитель электроэнергии - группа электроприемников, объединенных общим технологическим производством и расположенных на общей территории; синхронный генератор - генератор с постоянной частотой вращения ротора; трансформатор - электромагнитный статический преобразователь энергии, имеющий две или более индуктивно связанные обмотки и предназначенный для изменения напряжения; турбогенератор - электрический генератор, приводимый во вращение паровой или газовой турбиной; электрическая машина - устройство для взаимного преобразования механической и электрической энергий; электроприемник - электрическая машина, аппарат или комплекс, преобразующие электрическую энергию в иные виды энергии. Под главной схемой электрических соединений электростанции (подстанции) понимают совокупность основного оборудования (генераторы, трансформаторы, линии передачи), сборных шин, коммутационной и другой аппаратуры со всеми соединениями между ними; схема, показывающая взаимное соединение, взаимодействие элементов схемы в различных режимах (в т.ч. аварийных), резервирование элементов и т.д. Расчеты параметров установившихся режимов ЭЭС, устойчивости режимов, расчеты переходных режимов (например, токов короткого замыкания) базируются на теории цепей. Для выполнения расчетов прежде всего необходимо построить математическую модель элемента ЭЭС. Под математической моделью элемента понимается система уравнений, их коэффициентов (параметров) и равенств, описывающих определенное состояние или процесс в элементе. Огромное количество элементов реальных устройств ЭЭС (электрических машин, трансформаторов, линий электропередач и т.д.) обусловливает сложный характер их математических моделей. Чем сложнее элемент и процессы, протекающие в этом элементе, тем сложнее математическая модель. Нет универсальных математических моделей. В большинстве расчетов используют схемы замещения, отражающие интересующие свойства элемента и процессы, протекающие в нем. Сложным устройствам могут соответствовать схемы замещения, составленные только из двухполюсных элементов (индуктивные, емкостные, резистивные) и многополюсных элементов. Необходимыми допущениями являются допущения о фазной симметрии элементов, о линейности параметров элементов. Математические модели элементов для расчета установившихся режимов при частоте, близкой к номинальной, будут отличаться от математической модели элемента для определения перенапряжений, токов короткого замыкания в переходном режиме. Важнейшим показателем является качество электроэнергии - соответствие частоты и напряжения переменного тока их номинальным значениям. Необходимо обеспечить нормальный установившийся режим (основной режим) ЭЭС - режим, при котором обеспечено заданное качество электроэнергии без перегрузок ЭЭС и выполняется экономичное и надежное электроснабжение потребителей. В основе принципа действия наиболее распространенных электрических машин переменного тока лежит возможность получения вращающихся магнитных полей. Вращающимся магнитным полем называется магнитное поле, ось которого вращается в пространстве с постоянной угловой частотой. Если при этом величина индукции в любой точке оси магнитного поля остается постоянной, то такое поле называется круговым вращающимся магнитным полем. Это связано с тем, что его можно изобразить вращающимся в пространстве вектором неизменной длины, конец которого при вращении описывает окружность. Вращающееся магнитное поле образуется системой обмоток, сдвинутых в пространстве относительно друг друга. Нужно иметь как минимум две пространственно смещенные обмотки с несовпадающими по фазе токами для создания вращающегося магнитного поля. Формирование кругового вращающегося магнитного поля является необходимым условием работы асинхронных и синхронных машин. Вращающееся магнитное поле было получено в 1884 году физиком Феррарисом. Но он ошибочно полагал, что данное явление не имеет практического применения. Большой вклад в развитие многофазных электрических систем внес талантливый инженер Никола Тесла, также открывший в 1888 году явление вращающегося магнитного поля и тогда же получивший патенты на создание двухфазных генераторов, двигателей, трансформаторов. Двухфазная система имеет две обмотки, расположенные перпендикулярно относительно друг друга. Вращающееся магнитное поле получается при использовании двух переменных токов, сдвинутых относительно друг друга на четверть периода. Рис. 14.1. Принцип действия двухфазного генератора и двигателя. Конструкции двухфазных машин, одним из изобретателей которых был Никола Теста, имели существенные недостатки: выступающие полюса, сосредоточенные обмотки на полюсах и роторе, необходимость использования четырех проводов. Более совершенной, оптимальной по многим параметрам является трехфазная система, разработанная и предложенная к практическому применению русским инженером Михаил Осиповичем Доливо-Добровольским. На Международной выставке в г. Франкфурте-на-Майне ДоливоДобровольский демонстрировал работу трехфазной системы электропередачи переменного тока с длиной линии 170 км, напряжением 25100 В, в состав которой входили: трехфазный синхронный генератор 230 кВА, 95 В, соединение обмоток статора в «звезду», частота 30-40 Гц, 150 об/мин; повышающий и понижающий трансформатор; трансформаторы для питания освещения и асинхронный короткозамкнутый двигатель мощностью 100 л.с. с числом полюсов, равным восьми, что соответствовало синхронной скорости 450-600 об/мин. В трехфазной электрической машине три обмотки расположены под углом 1200 относительно друг друга. Одна фаза обмотки состоит из проводников, распределенных равномерно на 1/3 внутренней поверхности статора (внешнего массивного неподвижного полого цилиндра из ферромагнитного материала). Две другие фазы обмотки занимают такие же участки внутренней поверхности статора, так что в целом трехфазная обмотка представляет собой систему проводников, равномерно распределенных вдоль воздушного зазора. Внутри статора соосно с ним расположена подвижная часть электрической машины - ротор. Между статором и ротором находится воздушный зазор. Рис. 14.2. Двухфазная и трехфазная система Если для наглядности представить обмотки статора состоящими из одного витка, то на статоре будет только шесть пазов, в каждом из которых будет лежать половина витка обмотки. Обозначим начала витков обмоток буквами A, B и C, а концы витков буквами X, Y и Z. Обозначим также направления тока в витках обмоток, считая положительным направление от начала к концу обмотки. Тогда для положительных значений тока стороны A, B и C будут обозначены крестом, а стороны, Y и Z – точкой. Рассмотрим магнитное поле одной фазы обмотки электрической машины. Для обмотки A- X ось магнитного потока - ось А (направление по правилу правого винта), плоскость, перпендикулярную оси магнитного потока называют нейтралью. Нейтраль делит статор и ротор на две части - полюса N и S. При синусоидальном токе в обмотке статора i(t )  I m sin t в любой момент времени распределение магнитной индукции в воздушном зазоре синусоидальное. В каждой точке воздушного зазора индукция изменяется по тому же закону, что и ток. Если  - угол по окружности статора, отсчитанный от оси А, то магнитная индукция меняется по закону B(t )  Bm sin t cos  , где Bm - магнитная индукция на оси А (   0 ) при токе i  I m , т.е. в моменты времени, соответствующие t  0; 2 . В точках, расположенных от оси А по окружности     3  B наибольшая величина магнитной индукции равна Bm cos( )  m . В плоскости нейтрали 3 2     и магнитная индукция равна нулю при любом значении тока. Магнитное поле 2 одной обмотки с синусоидальным током - пульсирующее. Рис. 14.3. Пульсирующее магнитное поле обмотки:  -угол по окружности статора, отсчитанный от оси А; (1…6) – шесть различных моментов времени: t1=/2=90 (t1=T/4) … t6=0 (t6=0). Используя тригонометрическую формулу можно разложить индукцию на две B B B(t )  Bm sin t cos   m sin(t  )  m sin(t  )  B  B . составляющие: Таким 2 2 B B образом, пульсирующее поле математически раскладывается на два синусоидальных B магнитных поля с одинаковой амплитудой m , одно из которых вращается в порядке 2 следования фаз А, В, С, а другое - в противоположную сторону (прямые и обратные составляющие). В двух других катушках, расположенных по трети окружности статора, оси которых расположены в пространстве под углом 120º относительно друг друга с токами двух других фаз, также формируется пульсирующее магнитное поле. Токи в обмотках прямой последовательности чередования фаз: iA (t )  I m sin t , 2 2 ) , iC (t )  I m sin(t  ) . Тогда пульсирующее магнитное поле каждой 3 3 B B обмотки: BA (t )  Bm sin t cos   m sin(t  )  m sin(t  )  BA  BA , 2 2 iB (t )  I m sin( t  BA BB (t )  Bm sin(t  BA 2 2 B B 4 )cos(  )  m sin(t  )  m sin(t    )  BB  BB 3 3 2 2 3 BB BC (t )  Bm sin(t  BB 2 2 B B 4 )cos(  )  m sin(t  )  m sin(t    )  BC  BC 3 3 2 2 3 BC BC Поля всех трех катушек складываются, причем обратные составляющие в сумме дают ноль, а прямые составляющие складываются и дают результирующее магнитное поле с 3Bm индукцией , одинаковое во всех точках пространства и в любой момент времени, 2 вращающееся с одинаковой угловой скоростью  в порядке следования фаз А, В, С, т.е. 3B по часовой стрелке: B  BA  BB  BC  m sin(t  ) , B  BA  BB  BC  0 . Таким 2 3B образом, результирующая магнитная индукция B  m sin(t  ) . Максимум индукции 2 3B Bmax  m перемещается по окружности по направлению от начала первой катушки А к 2 началу второй катушки В, т.е. в сторону катушки с отстающим по фазе током. Рис. 14.4. Результирующая магнитная индукция в различные моменты времени В течении одного периода магнитное поле катушек совершает полный оборот от А к В и далее к С, т.е. по часовой стрелке. Направление вращения зависит исключительно от последовательности чередования фаз токов в катушке. Если поменять местами токи в фазах В и С, сохранив подключение в фазе А, то направление вращения магнитного поля изменится на противоположное. Угловая частота, с которой магнитное поле вращается в пространстве полностью определяется частотой питающей сети и электрической схемой обмоток. Если увеличить число витков вдвое и соединить их в обмотки так, чтобы по окружности пакета статора располагались две чередующиеся пары групп с одинаковым направлением тока, то образуется магнитное поле с двумя парами полюсов. Оно также будет вращаться в пространстве, перемещаясь за один период колебаний токов на угол соответствующий расстоянию между одноименными полюсами, т.е. на 180 . Значит, угловая скорость вращения поля будет вдвое меньшей. Таким образом, угловая частота вращения 60  f1 2f1 магнитного поля равна n  [об/мин] или   [рад/с] , где f1 - частота p p питающей сети, а p - число пар полюсов обмотки статора. Отсюда возникает ряд возможных скоростей вращения магнитного поля для промышленной сети частотой 50 Гц: 3000, 1500, 1000, 750, 600 [об/мин]. 14.2. Синхронные генераторы Синхронные генераторы (СГ) предназначены для преобразования механической энергии паровой, газовой или гидравлической турбины в электрическую. В основе работы синхронных генераторов лежит явление электромагнитной индукции. Часть машины, которая создает магнитное поле, называют индуктором, а ту часть, где располагается обмотка, в которой индуктируется ЭДС, называют якорем. Обычно якорем называют неподвижную часть электрической машины (статор). Статор синхронного генератора состоит из сердечника (магнитопровода), набранного их листов электротехнической стали, в пазах которого укладывается обмотка. Обмотки статора подсоединены к внешней трехфазной системе. Подвижная часть машины - ротор. На роторе расположены обмотка возбуждения, подсоединенная к цепи возбуждения, и демпферные обмотки, замкнутые накоротко. Синхронные машины по конструкции делятся на два типа: явнополюсные с сосредоточенной обмоткой ротора (рис. 14.5) и неявнополюсные с обмоткой, распределенной по пазам (рис. 14.6). Ротор приводится во вращение источником механической энергии: вращаемые паро- и газотурбинами называют турбогенераторами, а вращаемые гидравлическими турбинами - гидрогенераторами. У синхронной машины частота вращения подвижной части ротора постоянна и определяется при заданной f 60  f частоте f переменного тока числом пар полюсов ротора p: n  [об/с] или n  p p [об/мин]. Большинство турбогенераторов имеет число пар полюсов, равное единице, и для f =50 Гц частота вращения n =3000 об/мин. Для генератора с большим числом полюсов частота вращения 1500, 1000, 750, 600 об/мин. Рис. 14.5. Внешний вид явнополюсного ротора: 1 - остов ротора; 2 - обод ротора; 3 вал; 4 - контактные кольца; 5 - катушка обмотки возбуждения; 6 - сегмент демпферной обмотки; 7 - стержень демпферной обмотки; 8 - пакет сердечника полюса; 9 вентиляционный канал. Рис. 14.6. Внешний вид неявнополюсного ротора: 1- контактные кольца; 2- бандажное кольцо; 3 - массивный магнитопровод ротора; 4 - немагнитный клин паза ротора; 5 вентилятор; 6 - хвостовик ротора. К ободу ротора прикрепляются полюсы, на которые надеваются катушки обмотки возбуждения. Концы обмотки возбуждения присоединяются к двум кольцам, укрепленным на валу ротора. На кольца накладываются щетки, к которым присоединяется источник постоянного напряжения (возбудитель). Мощность возбудителя 0,25-2% от номинальной мощности синхронного генератора. Система возбуждения в значительной степени определяет надежность работы синхронного генератора. В зависимости от источника энергии, используемого для питания обмотки возбуждения, системы возбуждения разделяются на три группы: 1) электромашинное возбуждение с использованием генератора постоянного тока; 2) электромашинное возбуждение с использованием генератора переменного тока с преобразованием в постоянный; 3) самовозбуждение путем преобразования части электрической энергии переменного тока генератора в энергию постоянного тока возбуждения. Взаимодействие магнитных полей статора и ротора создает электромагнитный момент, направленный в генераторном режиме электрической машины навстречу механическому моменту паровой, газовой или гидравлической турбины. Угловое ускорение синхронной машины пропорционально сумме моментов, действующих на роторы турбины и генератора: d 2 J 2  MТ  MЭ , dt где J - момент инерции роторов турбины и генератора;  - угол поворота ротора; МТ вращающийся момент турбины; МЭ - тормозной электромагнитный момент генератора. В случае равенства этих двух моментов ротор генератора будет вращаться с постоянной угловой скоростью, обеспечивая индуктирование ЭДС обмотки статора стабильной частоты. Это нормальный синхронный режим работы генератора, когда частота вращения (угловая скорость) ротора определяется частотой напряжения сети. При аварийном отключении генератора от нагрузки токи статора и электромагнитный момент становятся равными нулю, а из-за сохраняющегося вращающегося механического момента ротор начинает разгоняться сверх номинальной скорости. Предельно возможную частоту вращения при аварийном отключении называют угонной частотой вращения или угонной угловой скоростью. Механическая прочность ротора генератора должна быть рассчитана с учетом угонной скорости. При коротких замыканиях, качаниях, асинхронных режимах , после отключения генератора необходимо быстро уменьшить магнитное поле обмотки возбуждения генератора, эта операция (гашение поля) осуществляется специальным аппаратом гашения поля (АГП). При этом время гашения поля должно быть возможно меньшим, а возникающие при гашении индуктированное перенапряжение в обмотке ротора не должно превышать допустимых значений. Вращение ротора с размещенной на нем обмоткой возбуждения, создающей переменное магнитное поле, приводит к возникновению (индуктированию) ЭДС в проводниках обмотки статора. При присоединении генератора к нагрузке, т.е. к потребителю электрической энергии или к электрической сети, ЭДС обмотки статора создают электрический ток. Обмотка статора - трехфазная, поэтому возникающие токи трехфазные. Эти токи создают вращающееся магнитное поле. Магнитное поле обмотки статора вращается с той же частотой вращения, что и ротор. В синхронном генераторе магнитное поле ротора и магнитное поле статора оказываются взаимно неподвижными, вращающимися синхронно. Трехфазные обмотки маркируются буквами А, В, С (начала обмоток) и X, Y, Z (концы обмоток). Все шесть концов обмоток генератора обычно выводятся на его щиток. Соединяя три конца обмоток в одну общую точку и выводя три начала обмоток во внешнюю сеть, получают соединение фазных обмоток "звезда". Соединяя конец первой обмотки с началом второй, конец второй с началом третьей, конец третьей с началом первой и сделав от точек соединения отводы во внешнюю сеть, получают соединение "треугольник" (рис. 14.7). Рис. 14.7. Соединение фазных обмоток генератора Все электрические машины обладают свойством обратимости. Любой генератор может работать как двигатель, т.е. преобразовывать электрическую энергию в механическую. У трехфазного синхронного двигателя (СД) обмотки статора подключены к системе трехфазных переменных токов, а обмотка ротора к источнику постоянного напряжения. Токи статора создают вращающееся магнитное поле, угловая скорость вращения определяется частотой переменного тока и числом полюсов статора. Так как ротор обладает значительной массой и большой инерцией, то после включения статора ротор не будет вращаться. Для пуска синхронного двигателя применяют специальное устройство. Отличие СД от СГ состоит в том, что электромагнитный момент МЭ, который был тормозящим у генератора, теперь является движущим, определяющим направление вращения ротора. Функцию тормозящего момента выполняет механическая нагрузка (подъем груза, вентиляция, привод насосов и т.д.). Синхронный двигатель может быть также использован как синхронный компенсатор. При малых токах возбуждения ротора ток в обмотке статора имеет реактивный характер (индуктивный с отстающим cos  ), увеличивая ток возбуждения ротора, можно добиться того, что ток в обмотке статора будет иметь cos   1 . При дальнейшем увеличении тока возбуждения ротора СД, продолжая нести механическую нагрузку, будет работать с опережающим cos  , т.е. токи статора будут емкостными. В этом случае двигатель будет подобен емкостной нагрузке (конденсатору) и может быть использован в качестве компенсирующего устройства. Кроме синхронных компенсаторов для компенсации реактивной мощности используют конденсаторные батареи, реакторы и ряд других устройств, называемых источниками реактивной мощности (ИРМ). Математическая модель электрической машины состоит из дифференциальных уравнений движения ротора, дифференциальных уравнений для токов в замкнутых контурах ротора, уравнений связи между напряжениями и токами, уравнениями для статора и дополняется математическими моделями систем возбуждения. В точных расчетах это очень сложная система нелинейных дифференциальных уравнений, однако в некоторых инженерных расчетах (например, в расчетах токов короткого замыкания) машина замещается постоянными ЭДС и индуктивностью, при расчетах кратковременных перенапряжений - ЭДС, индуктивностью и емкостью или только емкостью обмоток. При этом основным допущением является фазная симметрия элементов электрических машин. В некоторых случаях допускается линейность параметров, что позволяет значительно облегчить расчет. При этом модели и параметры, используемые в схемах замещения и рассчитанные для установившегося режима (для частот, близких к номинальным) не подходят для описания переходных процессов, вызванных переключениями или аварийными режимами. Синхронный генератор имеет трехфазную симметричную обмотку статора и обмотку возбуждения, расположенную на роторе. Обмотки обладают собственными и взаимными индуктивностями (между катушками и между фазами), а также емкостями (межкатушечными, междуфазными и к сердечнику статора или ротора), сопротивлениями проводов обмоток и имеют утечки изоляции (к сердечнику статора и междуфазные). Индуктивности и сопротивления зависят от частоты, сердечник изготовлен из ферромагнитного материала (наличие гистерезисных явлений). Для расчета статических индуктивностей используют приближенные формулы (см. табл. 14.2). Собственные и взаимные индуктивности явнополюсной электрической машины являются достаточно сложными периодическими функциями угла положения ротора, для исследования берется разложение в тригонометрический ряд. Так при учете одного члена ряда для статических индуктивностей используют приближенные формулы (см. табл. 14.2). Взаимная индуктивность отрицательна, что вытекает из сопоставления направлений потоков в обеих обмотках и осей этих обмоток. Таблица 14.2. Приближенные формулы для определения статических индуктивностей систем Название Конструкция и геометрические параметры Индуктивность системы Поле однородно: Dl 2 w ; 4 L M0   0 3 Обмотки трехфазной неявнополюсной электрической машины L0  0 Поле синусоидально: L L 8 L ; M  2 0 2  Собственные индуктивности отдельных фаз: Обмотки трехфазной явнополюсной электрической машины LA  L0  L2 cos2 LB  L0  L2 cos(2  2 / 3) LC  L0  L2 cos(2  2 / 3) Взаимные индуктивности цепей статора M AB   L0 / 2  L2 cos(2  2 / 3)  - угол положения ротора M BC   L0 / 2  L2 cos2 M CA   L0 / 2  L2 cos(2  2 / 3) M BA  M AB ; M CB  M BC ; M AC  M CA Вывод математической модели генератора в установившемся режиме проводят с использованием комплексного или операторного метода. В первом случае синусоидальные токи, напряжения и ЭДС заменяют векторными (комплексными) величинами. Во втором случае применяется преобразование Лапласа или ЛапласаКарсона. При использовании комплексного или операторного метода дифференциальные уравнения для токов и напряжений заменяются линейными уравнениями для комплексных токов и напряжений или операторных изображений токов и напряжений, что существенно упрощает расчет. Вводится понятие комплексных и операторных сопротивлений: синхронные индуктивности (реактивности) X  L при заданной угловой скорости   ном ; операторные сопротивления X ( p) . Работа синхронной машины в различных режимах определяется ее характеристиками: 1) характеристика холостого хода1 синхронного генератора (зависимость индуктированной в статоре ЭДС от тока возбуждения при разомкнутой внешней цепи при вращении с синхронной скоростью, соответствующей номинальной частоте генератора E0  f ( I в ) ) 2) характеристики короткого замыкания (зависимость токов обмотки статора от токов обмотки возбуждения при коротком замыкании обмоток статора) 3) характеристики генератора при активной, индуктивной и емкостной нагрузки (нагрузочные или внешние характеристики) 4) регулировочные характеристики (зависимость тока возбуждения от тока нагрузки для различных нагрузок при неизменном напряжении генератора и угловой скорости вращения) При построении наиболее простой схемы замещения СГ в установившемся режиме принимают, что параметры не зависят от частоты, пренебрегают емкостью и утечкой в изоляции. Схемы замещения формируются с помощью индуктивных катушек, активных сопротивлений в зависимости от соединения фазных обмоток статора и ротора. На рис. 14.8 приведена схема синхронного генератора с возбудителем и его схема замещения. Рис. 14.8. Схема синхронного генератора с возбудителем и его схема замещения При допущении равенства сопротивлений в обеих осях ( d и q) синхронного генератора, т.е. равенстве параметров элементов схем замещения прямой и обратной 1 или с "открытым контуром" последовательности ( L1  L2 , R1  R2 ) схема замещения трехфазного синхронного генератора для продольных сопротивлений с учетом трех фаз и нулевого провода имеет вид, приведенный на рис. 14.9. Рис. 14.9. Схема замещения трехфазного синхронного генератора В схеме замещения нулевой провод имеет индуктивность, равную сопротивление 1 ( L0  L1 ) и 3 1 ( R0  R1 ) , где L0 , R0 - индуктивность и сопротивление фазы генератора 3 нулевой последовательности. Так как индуктивность фаз генератора для нулевой последовательности меньше, чем для прямой, получается отрицательная индуктивность в нулевом проводе, что создает некоторые трудности при моделировании и расчете. На практике нейтраль синхронного генератора изолирована или заземлена через трансформатор напряжения, индуктивность которого на несколько порядков выше индуктивности нулевой последовательности. Для упрощенных расчетов используют эквивалентные однофазные схемы замещения (рис. 14.10, а, б). а) синхронный генератор б) синхронный двигатель Рис. 14.10. Однофазные схемы замещения: E0 - ЭДС, индуцируемая в статоре, U- напряжение обмотки статора, I - ток статора, Rя - активное сопротивление якоря, X я синхронное индуктивное сопротивление якоря При решении задач по ТОЭ трехфазный источник заменяется системой трехфазной ЭДС прямой (обратной, нулевой) последовательности при соединении фазных обмоток статора "звездой" или "треугольником" (рис. 14.11). При соединении фазных обмоток "звезда" общую точку обозначают 0 или N. Задается фазное или линейное напряжение, при расчете методом симметричных составляющих - сопротивления на фазу для токов прямой, обратной и нулевой последовательностей. Рис. 14.11 Схемные изображения трехфазного источника . 14.3. Трансформаторы В трансформаторе передача электрической энергии из первичной обмотки во вторичную осуществляется, как и в электрических машинах, посредством переменного магнитного потока. В основе лежит явление электромагнитной индукции, в соответствии с которым значение электродвижущей силы (ЭДС), наведенной в контуре, пропорционально скорости изменения магнитного потока, пронизывающего этот контур потока. Простейший двухобмоточный трансформатор состоит из замкнутого магнитопровода и двух обмоток с числом витков w1 и w2 (рис. 14.12). Магнитопровод набирают из изолированных листов специальной электротехнической стали, толщину листов выбирают из условий уровня потерь от индуктированных в них вихревых токов при заданной частоте источника. При частоте 50 Гц толщина листов равна 0,27-0,35 мм. По конструкции магнитопровода различают стержневые и броневые трансформаторы. У трансформатора стержневого типа обмотки охватывают стержни магнитопровода, у броневого магнитопровод как "броней" охватывает обмотки. На рис. 14.12 показано также условное обозначение однофазного двухобмоточного трансформатора. Рис. 14.12. Электромагнитная система однофазного двухобмоточного трансформатора и его схемное изображение: 1 - первичная обмотка; 2 - вторичная обмотка; 3, 4, 5 магнитопровод; 4 - стержень магнитопровода; 5 - ярма магнитопровода. Отношение индуктированных в первичной и вторичной обмотках ЭДС, равное w отношению чисел витков обмоток, называют коэффициентом трансформации n  1 . w2 При n  1 трансформатор называют понижающим, при n  1 - повышающим. Если первичную обмотку трансформатора при разомкнутой вторичной подключить к источнику переменного напряжения, то ток первичной обмотки i1  i0 ( ix ) называют током холостого хода. При подключении номинальной нагрузки токи первичной i1 и вторичной i2 обмоток при определенных допущениях также связаны соотношением через коэффициент трансформации. Для силовых трансформаторов установлены стандартные обозначения начал и концов выводов обмоток. В однофазном трансформаторе начало и конец обмотки высшего напряжения (ВН) обозначаются соответственно прописными буквами A и X, а обмотки низшего напряжения (НН) - строчными латинскими буквами a и x. В трехфазном трансформаторе начало и конец обмоток высшего напряжения (ВН) обозначаются соответственно прописными буквами A, B, C и X, Y, Z а обмотки низшего напряжения (НН) - строчными латинскими буквами a, b, c и x, y, z. Обмотки трансформатора могут быть соединены "звездой" или "треугольником". В трехфазных цепях для трансформации токов могут быть использованы три однофазных трансформатора и трехфазный трансформатор с одним сердечником (рис. 14.13). Рис. 14.13. Соединение фазных обмоток трех однофазных трансформаторов и трехфазного трансформатора с одним сердечником При расчете параметров двухобмоточного трансформатора принимаются допущения о симметрии фазных обмоток и магнитных контуров; магнитная проницаемость материала магнитопровода и активные сопротивления обмоток не зависят от температуры (линейность параметров); не учитываются емкости обмоток относительно земли, междувитковые емкости; сопротивления обмоток пропорциональны квадрату числа витков и т.д. В некоторых случаях магнитная проницаемость материала магнитопровода принимается как r   . Приближенные формулы для расчета индуктивности трансформаторов приведены в табл. 14.3.  Применяется также соединение "зигзаг". Таблица 14.3. Приближенные формулы для расчета индуктивности трансформаторов Название Двухобмоточный трансформатор с тонкими обмотками с одинаковым количеством витков Двухобмоточный трансформатор с одинаковым количеством витков w первичной и вторичной обмоток Конструкция и геометрические параметры Индуктивность системы При последовательном встречном включении L  0 при   w2  D122 a12  ,  l  4  l w2  w1  w При последовательном встречном включении 0 w2 S , где L l a a   S  d12  a12  1 2   3   1 a a     a2  a1   a12  1 2  3 3   при  l При составлении схемы замещения двухобмоточного трансформатора необходимо учитывать, что только часть магнитных потоков, создаваемых первичной и вторичной обмоткой трансформаторов, замыкаются через сердечник, другая (меньшая часть) замыкается через воздух вокруг отдельных витков в виде потоков рассеяния  S 1 и  S 2 . Потоки рассеяния индуцируют в своих обмотках ЭДС eS 1 и eS 2 . Если не учитывать потоки рассеяния, то схема замещения трансформатора упрощается (рис. 14.14). Рис. 14.14. Двухобмоточный трансформатор с первичной и вторичной обмоткой При испытаниях трансформаторов снимают характеристики холостого хода и короткого замыкания. Потерями в стали при опыте короткого замыкания можно пренебречь и считать, что мощность, потребляемая трансформатором в этом опыте равна мощности потерь в обмотках трансформатора. Так как ток холостого хода мал, можно считать, что мощность, потребляемая трансформаторам при холостом ходе примерно равна мощности потерь в стали. Упрощенные схемы замещения двухобмоточного трансформатора строятся по приведенным формулам (приведение вторичной обмотки к первичной) с использованием результатов опыта холостого хода. Для снятия характеристики холостого хода вторичную обмотку трансформатора размыкают, в первичную включают амперметр, вольтметр и ваттметр. Устанавливают U1НОМ, U2НОМ – номинальные значения напряжений обмоток, соответствующие номинальному (расчетному) режиму работы трансформатора. Рис. 14.15. Опыт холостого хода По данным опыта определяют: коэффициент E U U n  1  1HОМ  1HОМ (отношение показаний вольтметров); E2 U 2HОМ U 20 трансформации I1x – ток первичной обмотки (показание амперметра); P0 – потери в стали сердечника от гистерезиса Z0  P0  PW (показание ваттметра): параметры схемы замещения U1HОМ P , R0  20 , X 0  Z 02  R02 . Параметрами элементов схемы замещения являются I1x I1x также индуктивное и активное сопротивление первичной и вторичной обмоток ( R1 , X1  2fL1 , R2 , X 2  2fL2 ); используя коэффициент трансформации, рассчитывают для I2 , R2  n2 R2 , X 2  n2 X 2 . Приведенная эквивалентная n схема замещения двухобмоточного трансформатора показана на рис. 14.16 (приведенные параметры обозначаются штрихом в верхнем индексе). вторичной обмотки U 2  nU 2 , I 2  Рис. 14.16. Приведение параметров вторичной обмотки к первичной Расчетная Т-образная схема замещения двухобмоточного трансформатора приведена на рис. 14.17. Рис. 14.17. Т-образная схема замещения двухобмоточного трансформатора Важной величиной, характеризующей работу трансформатора, является коэффициент полезного действия (КПД), равный отношению активной мощности, отдаваемой трансформатором во вторичную сеть Р2, к активной мощности Р1, потребляемой из P сети:   2 . Активная мощность Р1 включает активную мощность Р2, потери в стали Pст , P1 электрические потери P1эл , P2эл в первичных и вторичных обмотках. В современных силовых трансформаторах КПД достигает 0,98‒0,995. Одна из важнейших задач при эксплуатации и совершенствовании силовых трансформаторов - уменьшение потерь холостого хода и короткого замыкания. Электродинамическая стойкость и надежность силовых трансформаторов связана с разработкой методов исследования поля рассеяния трансформаторов и появляющихся электродинамических сил, действующих на обмотки при коротком замыкании. При работе трансформатора возможны импульсные волны перенапряжения, возникающие из-за грозовых атмосферных разрядов. Нормы и методы испытаний силовых трансформаторов при различных режимах установлены соответствующими стандартами. При эксплуатации трансформаторного оборудования необходим контроль за тепловым режимом работы, применение современных систем охлаждения. В курсе ТОЭ в разделе "Линейные электрические цепи" рассматривается расчет токов и напряжений простейшего двухобмоточного трансформатора без ферромагнитного сердечника (воздушного трансформатора). При использовании комплексного метода воздушный трансформатор описывается линейной системой уравнений для комплексных токов и напряжений первичной и вторичной обмоток. Задаются параметры первичной и вторичной обмоток (сопротивление и индуктивность), взаимная индуктивность или коэффициент связи взаимоиндукции с учетом рассеяния магнитных потоков (рис. 14.18). Рис. 14.18. Схемное изображение двухобмоточного трансформатора В разделе "Нелинейные магнитные цепи" проводится расчет токов и потоков в устройствах, содержащих ферромагнитные сердечники. Задаются основные кривые намагничивания или петли гистерезиса для ферромагнитных материалов, геометрические размеры и конструкция магнитопроводов, число витков обмоток первичных и вторичных контуров. Вследствие нелинейной связи между индукцией и напряженностью магнитного поля для ферромагнитных материалов расчеты ведутся графоаналитическими методами, применяя различные апроксимации для заданных кривых. Используется комплексный метод при расчете по действующим значениям с заменой реальных несинусоидальных кривых токов и напряжений эквивалентными синусоидами. 14.4. Асинхронные двигатели У асинхронной машины угловая скорость вращения ротора меньше скорости вращения магнитного поля статора и зависит от нагрузки. Асинхронная машина также обладает свойством обратимости, т.е. может работать как в режиме двигателя, так и в режиме генератора. Асинхронный двигатель (АД) имеет две основные части неподвижный статор и вращающийся ротор. С внутренней стороны статора сделаны пазы, куда уложены обмотки статора. В пазах ротора размещается обмотка ротора. Воздушный зазор между статором и ротором делается возможно малым. В зависимости от конструкции ротора АД бывают с короткозамкнутым и фазным роторами. Наиболее распространен двигатель с короткозамкнутым ротором, так как он имеет простую конструкцию, простой пуск, допускает большие перегрузки. К недостаткам относят большой пусковой ток, чувствительность к колебаниям напряжения и т.д. При подключении обмоток статора к сети трехфазного синусоидального тока частотой f1 в воздушном зазоре между статором и ротором возникает вращающееся магнитное поле. Магнитные линии пересекают площадку, образованную обмотками неподвижного статора, и индуктировать синусоидальную ЭДС, частота которой равна частоте тока в обмотке статора. В момент пуска двигателя ЭДС, индуктированная в обмотке ротора, имеет максимальное значение и ток в обмотке ротора в несколько раз превышает номинальный ток. Токи ротора, взаимодействуя с вращающимся полем статора, создают вращающийся момент, под действием которого ротор начинает вращаться в сторону вращения поля статора. Ротор при своем вращении всегда отстает от угловой скорости вращения магнитного поля статора, т.е. вращается асинхронно. Если n1 - угловая скорость вращения вращающегося магнитного поля (синхронная скорость), n2 угловая скорость вращения ротора двигателя, то скольжение двигателя определяется по n n n формуле s  1 2 . В момент пуска двигателя n2  0 скольжение s  1  1 , при холостом n1 n1 ходе n2  n1 и s  0 , при номинальной нагрузке s  0,03  0,06 , для двигателей большой мощности s  0,01  0,03 . Скольжение двигателя в зависимости то нагрузки меняется незначительно, частота синусоидальных токов в роторе f 2 при постоянном скольжении определяется как f 2  sf1 . Увеличение нагрузки на валу двигателя вызывает увеличение тока в обмотке ротора, из-за магнитной связи между обмотками статора и ротора это вызывает увеличение тока в статоре. Математическая модель асинхронного двигателя состоит из дифференциальных уравнений движения ротора, дифференциальных уравнений для токов в замкнутых контурах ротора, уравнений связи между напряжениями и токами, уравнениями для статора и т.д. При этом основным допущением является фазная симметрия элементов двигателя и нагрузки. Реактивные сопротивления, используемые в схемах замещения АД, зависят от частоты (скольжения). Частотные характеристики получают экспериментально. Составляют схему замещения, принимая значения параметров на частоте исследуемого процесса. Основной трудностью формирования математической модели является наличие междуфазных индуктивностей и емкостных связей. Для расчетов пусковых режимов составляют схему замещения фазной обмотки на единицу длины, рассматривают обмотку как цепь с распределенными параметрами. Вывод математической модели генератора в установившемся режиме проводят с использованием комплексного метода. При постоянном скольжении используют основные соотношения и эквивалентную схему замещения асинхронного двигателя. Основные соотношения для асинхронного двигателя: E2  4, 44k2 f 2 w2m - ЭДС, индуктированная в обмотке ротора; I 2  sE2 R  ( sX 2 )2 2 2 - ток в обмотке ротора, k2  1 - обмоточный коэффициент ротора, w2 - число витков обмотки ротора,  m - максимальное значение магнитного потока статора, R2 , X 2 - активное и реактивное сопротивление цепи ротора. Приведенная схема замещения асинхронного двигателя показана на рис. 14.18. Рис. 14.18. Схема замещения асинхронного двигателя: R1 , X 1 - активное и реактивное сопротивление цепи статора, R2 , X 2 - приведенные активное и реактивное сопротивление обмотки ротора, R0 , X 0 - параметры магнитной системы двигателя. Схема замещения аналогична схеме замещения трансформатора: роль первичной обмотки выполняет в двигателе обмотка статора, роль вторичной - обмотка ротора. Разница между асинхронным двигателем и трансформатором заключается в том, что у двигателя первичная и вторичная обмотка разделены воздушным зазором и при работе двигателя ротор вместе с обмоткой вращается, частота ЭДС и тока ротора зависит от нагрузки. Коэффициент полезного действия (КПД) асинхронного двигателя равен отношению активной мощности на валу двигателя Р2, к активной мощности Р1, потребляемой из P сети:   2 . В цепи статора имеются электрические потери P1эл , потери в стали статора P1 P1ст . Разница P1  ( P1эл  P1ст ) представляет собой мощность вращающего магнитного поля, называемую электромагнитной мощностью Pэм . Разница Pэм  ( P2эл  P2мех  P2ст ) определяет активную мощность на валу двигателя Р2 (учитываются электрические потери в цепи ротора P2эл , механические потери P2мех , обусловленные трением в подшипниках ротора, потери в стали ротора P2ст ). Коэффициент полезного действия (КПД) асинхронного двигателя может P P  ( P1эл  P1ст  P2эл  P2мех  P2ст ) .  2  1 P1 P1 быть определен по формуле: При решении задач ТОЭ используют схемы замещения асинхронного двигателя для прямой, обратной и нулевой последовательности. Также как и в случае синхронных генераторов сопротивления прямой, обратной и нулевой последовательностей для асинхронного двигателя - разные. Нормальным режимом работы двигателя считается режим прямой последовательности, когда магнитное поле и ротор вращаются в одну и ту же сторону с номинальным скольжением. Если подвести к обмоткам статора двигателя систему обратной последовательности, то вращающееся магнитное поле относительно ротора будет иметь угловую скорость, почти в два раза превышающую скорость движения поля относительно статора и во много раз превышающую скорость поля относительно ротора при нормальном режиме работы. В результате резко возрастут токи, индуцированные в роторе, которые в большей степени будут ослаблять наводящее их магнитное поле. В свою очередь, уменьшение ЭДС, наводимых магнитным полем в обмотках статора, вызовет увеличение токов в статоре и, следовательно, полное сопротивление двигателя для токов обратной последовательности будет меньше его сопротивления для токов прямой последовательности. Токи нулевой последовательности не создают вращающегося магнитного поля, потоки, создаваемые токами нулевой последовательности, одновременно во всех трех фазах направлены к ротору и замыкаются от ротора к статору по воздуху в торцевых частях двигателя. Сопротивление нулевой последовательности двигателя существенно отличается от сопротивления прямой и обратной последовательности. При расчетах трехфазных цепей двигатель представляется динамической трехфазной нагрузкой с соединением фазных обмоток "звезда", активноиндуктивного или индуктивного характера (рис. 14.19). Задаются сопротивление на фазу для токов прямой и обратной последовательности, иногда для расчета аварийных режимов- сопротивление нулевой последовательности. Рис. 4.19. Изображение двигателя как трехфазной нагрузки 14.5. Кабельные и воздушные линии электропередачи При передаче электроэнергии на расстояния используются линии открытого типа (воздушные линии - ВЛ) и закрытого типа (кабельные линии - КЛ). Наиболее распространены линии трехфазного переменного тока открытого типа. Радиальной считается линия, в которую мощность поступает только с одной стороны, т.е. от единственного источника питания. От магистральной линии отходит несколько ответвлений. Различают распределительные и питающие линии, линии межсистемной связи. У воздушной линии провода поддерживаются над землей с помощью опор, изоляторов и арматуры. Главным элементом воздушной линии являются провода фаз линии А, В, С. Все материалы, используемые для проводов воздушных линий электропередачи, имеют небольшое удельное сопротивление, высокую механическую прочность, стойкость к изменяющимся условиям окружающей среды. Неизолированные провода и тросы могут быть однопроволочные и многопроволочные, изготовленные из одного материала (сплава) или из разных материалов. Конструкции неизолированных проводов приведены на рис. 14.20. а) б) в) г) д) Рис. 14.20. Конструкции неизолированных проводов: а) однопроволочный; б) многопроволочный из одного материала; в) многопроволочный из двух материалов; г) расширенный; д) полый Расширенные и полые провода разрабатывались для применения ВЛ напряжением более 220 кВ с целью уменьшения последствий явления коронного разряда на проводах и явления поверхностного эффекта. Для ВЛ СВН и УВН используется расщепление фазы на несколько составляющих. В отечественных линиях 330 кВ используют расщепление фазы на два провода, фиксируемых распорками на расстоянии 40 см друг от друга. На ВЛ 550 кВ применяется конструкция "равносторонний треугольник" для пучка из трех проводов. Для защиты проводов от прямых ударов молнии применяются грозозащитные тросы. Грозозащитные тросы выполняются из стальных оцинкованных многопроволочных канатов сечением 35, 50 и 70 мм2. На ВЛ более 110 кВ имеющих стальные или железобетонные опоры, грозозащитные тросы подвешиваются вдоль всей линии. Опоры предназначены для поддержания проводов и тросов на определенной высоте над поверхностью земли. Изоляторы обеспечивают необходимый промежуток между проводом и опорой. С помощью линейной арматуры провода закрепляются на изоляторах, изоляторы - на опорах. Фундаменты обеспечивают устойчивость всей конструкции (рис. 14.21). Рис. 14.21. Опора воздушной линии: 1 – провода фаз (A, B, C); 2 – защитные тросы (Т1, Т2); 3 – опора; 4 – гирлянда изоляторов; 5 – элементы арматуры; 6 - фундаменты Для воздушной линии переменного тока существует зависимость максимальной передаваемой мощности от ее длины - чем длиннее линия, тем меньше предельная мощность, которую можно передать. Кабельные линии переменного тока имеют длину не более 15-20 км, прежде всего изза высокой стоимости кабеля. Для передачи и распределения электроэнергии применяются силовые кабели низкого, среднего и высокого напряжения, изолированные провода и волоконно-оптические кабели. Силовые кабели низкого напряжения применяются в трехфазных системах с заземленной нейтралью при напряжении 220/380 В и в основном исполнении имеют три фазных провода и один нулевой для соединения с заземленной нейтралью. Силовые кабели среднего напряжения применяются в распределительных сетях с изолированной нейтралью на напряжении 6, 10, 20 и 35 кВ. Конструкция силовых кабелей приведена на рис. 14.22 и 14.23. Рис. 14.22. Конструкция силового кабеля: 1 - ПВХ-оболочка; 2- ПВХ-изоляция; 3- алюминиевая жила Рис. 14.23. Конструкция силового кабеля: 1 – токопроводящая жила; 2 – фазная изоляция; 3 – поясная изоляция; 4 – заполнитель; 5 – металлическая броня; 6 – подушка; 7 – броня; 8 – наружный покров. В кабельной линии один или несколько кабелей расположены в земле или специальных сооружениях (коллекторах, туннелях, каналах и т.д.). В оптических кабелях поток информации передается по оптическим волокнам. Оптическое волокно имеет коаксиальную структуру и состоит из кварцевой сердцевины, кварцевой оболочки и наружного защитного покрытия (рис. 14.24). Оптический сигнал распространяется в волокне за счет полного внутреннего отражения передаваемого оптического импульса от границы сердцевина - оболочка. В результате световой импульс не выходит из волокна, что обеспечивает низкие потери при передаче. Оптические волокна разделяют на одномодовые и многомодовые. Рис. 14.24. Распространение оптических волн в оптическом волокне  Мода - тип колебаний, образующихся в оптическом волокне под действием электрических и магнитных полей и электрической поляризации. Основными параметрами оптического волокна являются затухание и дисперсия. Затухание обусловлено собственными потерями на счет поглощения и рассеивания передаваемого сигнала. Дисперсия представляет собой зависимость фазовой скорости световых волн от частоты и определяет полосу частот, пропускаемую оптическим волокном. Диаметр сердечника для одномодовых световодов составляет 6-8 мкм, для многомодовых - 50 мкм. Кроме оптических волокон важную роль в конструкциях играют оболочки из специальных материалов. Воздушные и кабельные линии электропередачи обладают активным сопротивлением проводов, емкостью системы и индуктивностью, в случае несовершенной изоляции проводимостью. Для линий переменного тока электромагнитные процессы, связанные с передачей электроэнергии, носят волновой характер и линия электропередачи рассматривается как цепь с распределенными параметрами. Для описания процессов вводят понятие бегущих волн, рассматривая напряжение и ток в сечении линии как результат наложения прямых и обратных волн. Рассчитывается фазовая скорость бегущей волны, длина волны, коэффициент распространения, волновое сопротивление линии. При равномерном распределении параметров определяют параметры линии на единицу длины (первичные или погонные параметры), вводя допущение о линейности параметров. Для двухпроводной линии первичными параметрами являются: R0 , Ом/м [Ом/км] сопротивление прямого и обратного проводов на единицу длины; L0 , Гн/м [Гн/км] – индуктивность токовой петли, образуемой прямым и обратным проводами; C0 , Ф/м [Ф/км] – емкость между проводами; G0 , См/м [См/км] – проводимость между проводами). Для трехпроводной и четырехпроводной линии - взаимные индуктивности токовых петель провод-провод и провод-земля, взаимные емкости и проводимости. Индуктивность и емкость воздушной линии определяются ее конструкцией - расстоянием между фазами, взаимным расположением, диаметром проводов и длиной линии. У ВЛ расстояние между фазами - около 10 м (у ВЛ 500 кВ - 12 м); на одноцепных опорах, как правило, применяют расположение проводов по вершинам треугольника или горизонтальное. Собственная и взаимная индуктивность каждой фазы зависит от размеров "петель" провод-земля и провод-провод. Для трехпроводной линии роль нейтрального провода выполняет земля. Ток в земле обычно учитывают токами в трех фиктивных проводах, оси которых находятся на расстоянии Dэ от осей проводов линии (рис. 4.25). Это расстояние называют "эквивалентной глубиной протекания обратного тока". Оно зависит от частоты переменного тока и от удельной проводимости почвы. В качестве среднего значения эквивалентную глубину протекания обратного тока при частоте f  50 Гц принимают равным 1000 м. При таком учете тока в земле получаются три петли, каждая из которых состоит из реального и фиктивного проводов. Индуктивность токовых петель провод Определение собственной индуктивности фаз трехпроводной линии - достаточно сложна задача. Также значительные трудности возникают при моделировании активного сопротивления нулевого провода Rз . земля для каждой фазы принимается одинаковой LA  LB  LC  L . Взаимные индуктивности токовых петель провод-провод M AB , M BC и M CA различны. Для учета заряда, индуцированного на поверхности проводов и земли, вводят между всеми проводами и землей частичные емкости (рис. 14.25). Существуют специальные методики определения собственных и взаимных емкостей системы проводов. Рис. 14.25. Условные схемы для расчета параметров трехпроводной линии электропередачи Для того, чтобы линии были симметричными элементами трехфазной цепи их выполняют с круговой перестановкой или так называемой транспозицией проводов (рис. 14.26). На линиях длиной до 100 км обычно осуществляется один цикл транспозиции. Длина линии делится на три части (или кратные трем равные части), каждый провод занимает три различных возможных положения и, таким образом, M AB  M BC  M CA  M . Для линии с транспозицией проводов собственные емкости проводов относительно земли CA  CB  CC  C , взаимные емкости между проводами CAB  CBC  CCA  Cm . Рис. 14.26. Схема цикла транспозиции фаз воздушной линии Напряжения и токи длинной линии зависят от времени и координаты (сечения), их расчет сложен из-за взаимного влияния между фазными проводами и нулевым проводом. Схема замещения участка dx трехфазной линии с нулевым проводом приведена на рис. 14.27. Рис. 14.27. Схема замещения участка dx трехфазной линии с нулевым проводом Обозначения на рис. 4.25: LA  LB  LC  L - индуктивность токовой петли, образованной соответствующим фазным проводом и землей [на единицу длины]; M з индуктивность нулевого провода токовой петли, образованной землей и фазным проводом [на единицу длины]; M AB  M BC  M CA  M - взаимные индуктивности между соответствующими проводами фаз [на единицу длины]; RA  RB  RC  R - активные сопротивления фазных проводов [на единицу длины]; Rз - активное сопротивление нулевого провода [на единицу длины]; CA  CB  CC  C - собственная емкость фазных проводов [на единицу длины]; CAB  CBC  CCA  Cm - взаимные емкости между фазными проводами [на единицу длины]; GA  GB  GC  G - проводимость между соответствующими фазными проводами и нулевым проводом (изоляции) [на единицу длины]; GAB  GBC  GCA  Gm - проводимость между фазными проводами и нулевым проводом (изоляции) [на единицу длины]. Линейные преобразования четырехпроводной трехфазной системы в три независимых однофазных контура исключают эти взаимные влияния. Параметры схем замещения для прямой и обратной последовательности отличаются от параметров схемы замещения для нулевой последовательности (табл. 14.4). Таблица 14.4. Параметры схем замещения для прямой и обратной последовательности Параметры схемы замещения для прямой и Параметры схемы замещения для нулевой обратной последовательности [на единицу последовательности [на единицу длины] длины] Lф  L1  L2  L  M - индуктивность линии фазы линии R1  R2  R провода  L0  L  2M  3M з - индуктивность фазы - сопротивление фазного R0  R  3Rз - сопротивление фазного В методе симметричных составляющих в однофазной схеме нулевой последовательности учитывают наличие нулевого провода утроением полного сопротивления нейтрального провода. Cф  C1  C2  C  3Cm - емкость фазы провода линии G1  G2  G  3Gm изоляции - проводимость C0  C - емкость фазы линии G0  G - проводимость изоляции При проведении практических расчетов на частоте f  50 Гц, когда длина воздушной линии не превышает 300 км, а кабельной линии 50 км, используют упрощенные схемы, в которой частичные емкости предполагаются сосредоточенными либо в середине линии, либо разделены поровну между ее концами. Для однородной линии длиной l : Lл  l  Lф , Rл  l  R , Cл  l  Cф , принимая G  0 схема замещения трехфазной линии с нулевым проводом для токов прямой и обратной последовательности имеет вид, приведенный на рис. 4.28. Рис 14.28. Схема замещения трехфазной линии с нулевым проводом для прямой и обратной последовательности Воздушная линия имеет существенно большую индуктивность и значительно меньшую емкость, чем кабельная линия. Для воздушной линии процессы, связанные с индуктивностью, определяют максимальную мощность, которую можно передать по линии. Емкость воздушной линии практически не влияет на передаваемую мощность , при приближенных расчетах емкостью воздушной линии можно пренебречь. В кабельных линиях индуктивность мала (расстояние между прямым и обратным проводом порядка нескольких сантиметров), а емкость кабеля - один из основных параметров. Для симметричных режимов при расчетах используют эквивалентную схему замещения для одной фазы.  При более точных расчетах надо учитывать, что емкостной ток, связанный с изменением заряда при переменном напряжении, приводит к потерям энергии в линии. Кроме того, этот ток приводит к нежелательному повышению напряжения в промежуточных точках линии. Наиболее простые схемы (для приближенных расчетов) замещения ВЛ и КЛ на одну фазу (например, А) приведены на рис. 14.29, а, б, в. а) б) в) Рис. 14.29. Схемы замещения одной фазы линии электропередачи в симметричном режиме: а) полная схема замещения; б) упрощенная схема замещения воздушной линии; в) упрощенная схема замещения кабельной линии. Допущение о линейности параметров линии правомерно, если не учитывать коронный разряд и явление поверхностного эффекта. Влияние короны учитывается введением поправок для параметров, полученных при линейной постановке задачи. Явление поверхностного эффекта определяет увеличение значений активных сопротивлений в зависимости от частоты, изменения индуктивностей токовых петель и параметров нейтрального провода. Для расчетов использую частотные характеристики или упрощенные формулы для учета поверхностного эффекта.