Расчет динамических режимов цепи при произвольных воздействиях (интеграл Дюамеля)

Лекция 15 Расчет динамических режимов цепи при произвольных воздействиях (интеграл Дюамеля) 0, t  0 1. Единичная функция 1 t    1, t  0 , t  0 2. Единичный импульс   t    0, t  0  d1 t   t     t  dt  1 – нормированная функция Дирака dt или  0 f t    0 f  t   1 t  1 1 t 2 2 df   t  dt ,   t 0,   t  t     f t     f    t    d  f t      f     t    d  t   t  f t   f  t  t  f  t  t    t    1  t    f t  d  2 2 2 Схемное моделирование источников в виде функции 1 t  Переходная и импульсная характеристики цепи Переходная характеристика – реакция цепи (отклик) на воздействие в виде единичной функции при нулевых ННУ  h  t   . Импульсная характеристика – реакция цепи на воздействие в виде единичного импульса при нулевых ННУ  h  t   . 1 t   h  t    t   h  t   t   d1 t   dh   h  t   dt dt  h  t  , h  t  – временные характеристики цепи Схемная реализация для определения h  t  и h  t  1. h t   uвых  t  uвых  t   uвх  t  1 t  h  t   2. dh  t  1/c dt iвых  t  iвых  t    g  t  [См] – uвх  t  1 t  переходная проводимость h t   h  t   dh dt h t   iвых  t  iвых  t   J t  1 t  3. 4. h t   Пример 1: h  t  , h  t   ? uвых  t  uвых  t    r  t  [Ом] J t  1 t  iL (0)  0, uвх (t )  1(t ) uвых  t   iL t   r iL  t   iLуст  iLсв  t   iLуст  Ae  1 L , r iLуст  t 0  t  r    L E 1  1(t ) r r iL  0   iLуст  A  A  iLуст   E 1   1(t ) r r t  E  1  e  r   1(t )  t t     u t   uвых  t   E 1  e   1(t ) , В  h  t   вых  1 e 1 t    dh 1 t r t h  t    e  e , 1/c. dt  L iL  t   Вывод соотношения для расчета динамических режимов при произвольном воздействии uвх  t    t  u     t    d   u     t    d вх вх   (так как нас интересует момент времени t). С другой стороны: uвх  t   t  du    u   вх  вх t  duвх    uвх    t    d  uвх  t   uвх    duвх    uвх   d    t    N    const duвх    N   t      t   h  t  duвх    duвых   duвых    N  h t    uвых  t   t  duвых     t t  u   d  h t    вх  uвых  t    uвх   h  t    d (считаем, что воздействие начинается при t  0 ). Этот интеграл называется интегралом Дюамеля (свертка uвх и h  t  ). t uвых  t   uвх  0   h  t    uвх'   h  t    d uвх'    duвх dt t  Разложение импульса по методу наложения 0  t  tимп t uвых  t   uвх  0   h  t    uвх'    h  t    d t  tимп tи uвых  uвх  0   h  t    uвх'    h  t    d  uвх  tимп   uвх  tимп    h  t  tимп  . Пример 1 (продолжение): uвых  t   ? 0, t  0  uвх  t   u0  kt , 0  t  t0 0, t  t   t h t   1  e  ,   L . r   k , t  t0 uвх'  t    0, t  t0 1). 0  t  t0 t   uвых  t   U 0 1  e    t    t     t      k 1  e d   U 1  e       0    0    t t t         U 0 1  e   kt  ke   e   t t t       k d   k e  e d      t t         .  U 0 1  e   kt  k 1  e      2). t  t0 . t0 uвых  t   uвх  0   h  t    u ' вх t    h  t      uвх'    h  t   d     u0  1  e   t     k  1  e  0 t0 t0  t        d  k0e  .  t Пример 2 r=100 Ом C=10 мкФ u вх В uвых(t) – ? a)  0, t  0 u вх (t )   t   u0 (1  e ), t  0 u0  5 В   rC t ,c a) Находим переходную функцию u (t ) h(t )  вых uвх (t ) u вх ( t ) 1( t ) uCуст  uвх  1(t ) uC (0)  0 t uCсв (t )  Ae – характеристическое уравнение 1 r 0 pC p   rC  100 106 10  1 мс, uC (0)  uCуст  A  0 => A  uCуст  1(t ) 1  t 103 uC (t )  1(t )(1  e ) Переходная характеристика: 3 u (t ) h(t )  C  1  e  t 10 1(t ) Импульсная характеристика: 3 h (t )  103 et10 б) Находим uвых(t) : u0=5 t uвых (t )  uвх (0)  h(t )   uвх ( )  h(t   )d uвх (0)  0 u uвх ( )  0 e      3 5 103  e  5 103 e 10  3 10 t t  t t t      u0 t u0  u0 t    e   uвых (t )   e 1  e  d   e d   e d  u0 e    0  0   t u0    t  3  t  u t  t   u0  e   1  0 e   u0 1  e  (1  )   5 1  e10 t (1  103 t )        б) 0< t < 1 мс uвх1 (t )  103 t , В 1< t <2 мс uвх 2 (t )  2 103 t , В а) 0 ≤ t < 1 мс t uC (t )  u (0)  h(t )   u1 ( )  h(t   )d  t 0  (1  e10 t )   103 (1 e10 (t  ) )d  103  3 3  10 t  1  e 3 103 t B t t 3 3 3 3  103103 e10 t e10   103 t  e10 t (e10 t  1)  б) 1 мс ≤ t < 2 мс t1 uC (t )   10 (1 e 3 103 ( t  ) t )d   (103 )(1  e10 (t  ) )d  3 t1 t1 t t  103103  e10 t e10    (103 )d  103 e 10 t  e10  d  1  e 10 t 1, 72  (103 )(t  103 )  3 3 e 103 t 103 t (e e t1103 3 3 t1 3 t1 103 t )  1  1, 72e  10 t  1  1  2, 72e 10 t  3  4, 44e 10 t  103 t B 3 3 3 в) t ≥ 2 мс t1 uC (t )   10 (1 e 3 103 ( t  ) t2 3 3 t1  1  1, 72e10 t  103103  e10 t (e210 3 3 3 103  e10 3 103 )  2,97e10 t B Пример 3 r1=2 Ом r2=8 Ом C=50 мкФ uc(t) - ? a) Находим переходную функцию h(t) u (t ) h(t )  C uвх (t )  1(t ) uвх (t ) h(t )  hсв (t )  hуст (t )  Ae pt  hуст (t ) uC уст  hуст  2103 )d   (103 )(1  e10 (t  ) )d  1  1, 72e10 t  103  103  e10 t e10  1(t ) r2  0,8 1(t ) В r1  r2 rr 1  1 2  0 – характеристическое уравнение pC r1  r2 rr где 1 2  rэкв r1  r2 1 1 p  с-1 5 Crэкв 8 10 A  uC уст  0,8 1(t ) 5 h(t )  0,8(1  et /810 )   8 105 с 1) 0< t