Расчет цепи однофазного синусоидального тока со смешанным соединением элементов R, L, C

Лекция 2 (онлайн обучение) Расчет цепи однофазного синусоидального тока со смешанным соединением элементов R, L, C. 1. Начертите исходную схему цепи (рис. 2.1). 2. Запишите исходные данные для расчетной схемы цепи (табл. 2.1). По исходным данным и исходной схеме начертите расчетную схему цепи с указанием всех ее параметров. Укажите на схеме токи и напряжения. 3. Рассчитайте действующие комплексные значения токов l цепи. 4. Рассчитайте действующие комплексные значения напряжения U на последовательном и параллельном участках цепи. 5. Начертите схему включения амперметра в неразветвленном участке цепи, вольтметра на параллельном участке цепи и определите их показания. 6. Начертите схему включения ваттметра для измерения активной мощности параллельного участка цепи и определите его показание. 7. Составьте баланс мощности цепи. 8. Постройте на комплексной плоскости векторную диаграмму цепи Т а б л и ц а 2.1. Исходные данные для расчета цепи рис. 2.1. Институт мехатроники и информационных технологий (ИМИТ) Текстильный институт имени А.Н. Косыгина (ТИ им. А.Н. Косыгина) Институт химических технологий и промышленной экологии (ИХТПЭ) Технологический институт легкой промышленности (ТИЛП) № варианта Напряжение = (120 + p + N)e град град град град 1 2 3 4 5 6 7 8 9 112 -42 100 82 86 23 54 -90 1 123 73 108 -43 87 -90 75 34 2 76 -65 123 -90 70 92 95 33 3 143 54 109 -53 98 -90 63 40 4 104 49 75 68 32 90 100 -75 5 95 -29 114 67 90 68 80 -23 6 157 47 150 -69 150 -79 100 38 7 49 39 65 -75 68 49 43 45 8 83 90 78 -43 58 -37 100 79 9 108 62 56 56 89 -54 43 32 10 145 -30 87 -78 98 43 98 28 11 88 -90 54 68 107 34 128 -73 12 76 32 93 -75 58 72 98 -32 13 65 56 107 -56 87 -38 124 -66 14 127 58 87 -34 136 -56 85 76 15 58 37 62 48 45 -63 39 -33 16 42 -23 68 -33 35 48 53 70 17 98 38 48 85 -31 26 -78 18 75 -42 108 65 109 90 67 -42 19 86 -65 48 -90 121 63 75 22 20 143 -32 121 90 98 75 43 -72 21 45 75 104 -21 87 -45 66 90 22 105 -90 67 76 98 34 107 -64 23 98 65 96 12 111 -45 58 -90 24 104 -32 76 78 90 78 85 37 25 89 75 105 -90 68 -38 75 32 26 65 -12 121 90 76 32 86 15 27 98 -74 85 63 76 23 108 -90 28 102 46 98 -90 87 -59 100 45 29 98 -32 82 58 72 90 70 30 56 65 79 78 70 -90 95 -35 1 89 52 82 90 58 -43 73 -23 2 53 -32 48 45 69 47 59 -90 3 112 48 100 -79 89 33 50 4 108 -35 78 93 78 100 69 5 83 43 92 -90 100 -38 90 6 43 -54 65 75 43 65 24 76 7 48 90 62 47 34 34 50 39 8 80 35 72 -90 63 48 47 9 84 43 65 89 -24 56 63 10 55 32 80 49 63 90 52 64 11 30 52 47 39 -15 49 48 12 65 -32 39 53 48 52 37 13 73 -90 48 45 54 -38 63 28 14 28 -45 39 90 58 41 62 -73 15 50 90 43 42 72 -26 63 58 16 73 -18 49 43 82 -90 59 64 17 45 62 53 42 -34 53 48 18 64 -90 38 -53 50 49 69 64 19 70 38 55 90 65 -52 79 58 20 33 65 74 -34 35 42 23 35 21 65 -42 54 16 76 45 54 -90 22 43 32 76 -23 54 32 46 37 23 64 40 43 -30 45 90 32 -25 24 80 25 65 -20 67 50 96 -90 25 53 -74 65 25 70 -50 56 43 26 85 65 76 -42 70 -90 57 23 27 80 40 65 -45 43 22 75 -40 28 50 60 24 -18 56 -32 76 29 48 -28 76 32 74 -56 100 190 30 65 30 45 43 85 -35 110 N – номер студента по журналу (номер варианта), p – номер группы. В табл. 2.1 сопротивления цепи заданы в показательной форме Указания к выполнению домашнего задания № 2 Рис. 2.1. Исходная схема цепи переменного тока При расчете цепей синусоидального тока приходится производить различные операции над синусоидальными функциями времени одинаковой частоты, но с различными амплитудами и начальными фазами. Операции с этими функциями связаны с трудоемкими и громоздкими тригонометрическими преобразованиями. Значительно проще эта задача решается при изображении синусоидальных функций времени комплексными числами. При таком изображении расчет цепей синусоидального тока осуществляется теми же методами, что и при расчете цепей постоянного тока, только в комплексном виде. Расчет цепей синусоидального тока комплексным методом осуществляется при помощи комплексных чисел, которые могут быть представлены в показательной или алгебраической формах записи. 2.1. Перевод комплексного числа из показательной формы в алгебраическую Перевод комплексных чисел из показательной формы записи в алгебраическую, осуществляются по формуле Эйлера через тригонометрическую форму записи. Рассмотрим этот перевод на примере комплексного сопротивления. а) Z = z = z cos+ j z sin = R. Действительная часть комплексного сопротивления равна активному сопротивлению R, на схеме такая цепь изображается: б) Z = z = z cos+ j z sin = j z = j Коэффициент при «+j» равен индуктивному сопротивлению цепи , на схеме такая цепь изображается: в) Z = z = z cos+ j z sin = – j z = – j Коэффициент при «–j» равен емкостному сопротивлению цепи , на схеме такая цепь изображается: г) Z = z = z cos + j z sin = R + j. На схеме такая цепь изображается: д) Z = z = z cos+ j z sin = R -j. На схеме такая цепь изображается: 2.2. Перевод комплексного числа алгебраической формы в показательную. Действия с комплексными числами Деление и умножение комплексных чисел можно производить: а) В алгебраической форме. При делении в алгебраической форме числитель и знаменатель дроби домножаются на комплексное число, сопряженное знаменателю (комплексное число, у которого перед «j» меняется знак на противоположный). Произведение двух комплексно-сопряженных чисел равно сумме квадратов действительной и мнимой части (коэффициента при «j») исходного числа. При умножении комплексных чисел произведение: б) В показательной форме. При перемножении комплексных чисел в показательной форме показатели степени при «j» складываются алгебраически, при делении показатель степени при «j» знаменателя вычитается из показателя степени при «j» числителя. 2.3. Расчет цепей методом эквивалентных преобразований Как было сказано выше, расчет цепей синусоидального тока в комплексном виде можно производить всеми известными методами расчета цепей постоянного тока: методом эквивалентных преобразований, применением законов Кирхгофа, методом узловых потенциалов, методом контурных токов и т.п. Расчет цепей с одним источником энергии проще производить методом эквивалентных преобразований. Этот метод заключается в том, что, преобразуя схему, приводим ее к схеме с последовательным соединением сопротивлений. Пример такого преобразования см. в пункте 2.6, пример 2.1. Расчет цепи методом эквивалентных преобразований производится с помощью закона Ома: где – комплексное действующее значение тока; – комплексное действующее значение напряжения; Z – комплексное сопротивление цепи. Z = R + j- j = R + j( = z, где R – активное сопротивление цепи, Ом; j – комплексное индуктивное сопротивление цепи; = = – модуль (величина) индуктивного сопротивления цепи, Ом; – j – комплексное емкостное сопротивление цепи; = 1/2() = 1/( – модуль емкостного сопротивления цепи, Ом; j( – комплексное реактивное сопротивление цепи; ( – модуль реактивного сопротивления цепи, Ом; z = – модуль полного комплексного сопротивления цепи, Ом. Угол в зависимости от величин R, цепи может принимать различные значения 0 до . = 0 – при идеальном активном сопротивлении цепи (Z = R); – при идеальном индуктивном сопротивлении цепи (Z = ); – при идеальном емкостном сопротивлении цепи (Z = ); 0 < < – при активно-индуктивном сопротивлении цепи (Z = ); < < 0 – при активно-емкостном сопротивлении цепи (Z = ). Сопротивления цепи могут быть соединены: 1. Последовательно (рис. 2.2.): по всем элементам цепи протекает один и тот же ток = / Z. Сопротивление цепи: Z = , Ом, где R = , Ом; = , Ом; = , Ом; z = , Ом; , «», если > ; «», если . Рис. 2.2 2. Параллельно (рис. 2.3): по каждой ветви цепи протекает свой ток , а в неразветвленной цепи – ток . Рис. 2.3 ,, где ,, . 3. Смешанное соединение (рис. 2.4): Рис. 2.4 Например, Для расчета такой цепи находится общее сопротивление Z. Сопротивления соединены параллельно Ом. Сопротивление оказывается при этом соединенным последовательно с Z = + , Ом. Схема рис. 2.4. превращается в схему рис. 2.5. Рис. 2.5 Ток определяется по закону Ома: = / Z. Для определения токов воспользуемся законом Ома для участка цепи. Определим напряжение на параллельном участке цепи : После чего найдем искомые токи в ветвях: , [A]; , [A]; После нахождения всех токов необходимо выполнить проверку, чтобы убедиться в правильности расчета: - по первому закону Кирхгофа:; - по второму закону Кирхгофа: , где . 2.4. Баланс мощности На основании закона сохранения энергии, суммарная мощность источников энергии должна быть равна суммарной мощности приемников: где = = ± j = ; j; ; ;. – комплексная мощность источника энергии; – комплексная мощность источника энергии; – комплексный ток, А; – сопряженный комплекс тока , A, – активная мощность источника цепи, Вт; – активная мощность приемников цепи, Вт; – реактивная мощность источников цепи, вар; – реактивная мощность приемников цепи, вар. – полная мощность источников цепи, ВА; – полная мощность приемников цепи, ВА. Баланс мощности является также проверкой правильности расчета цепи. 2.5. Векторная диаграмма Векторная диаграмма строится на комплексной плоскости и представляет совокупность векторов токов и напряжений цепи. Векторная диаграмма позволяет проверить правильность расчетов цепи. Построение векторной диаграммы надо начинать с выбора масштаба напряжений и токов. Векторная диаграмма может быть построена как в показательной, так и в алгебраической форме записи комплексных величин. При построении векторной диаграммы в показательной форме надо иметь в виду, что: - За условно положительное направление вращения в электротехнике принято направление против часовой стрелки, поэтому начальные фазы векторов откладываются от оси +1 против часовой стрелки, если они положительны и по часовой стрелке, если отрицательны. - Направление угла показывается от тока к напряжению. При построении векторной диаграммы в алгебраической форме по действительной оси откладывается действительная часть комплексного числа, а по мнимой – коэффициент при «j» в выбранном масштабе. Рассмотрим пример построения векторной диаграммы (при записи расчетных значений в показательной – рис. 2.6 и алгебраической – рис. 2.7 формах) для следующих данных: ; ; = 220 Рис. 2.6 Рис. 2.7 На векторной диаграмме можно производить сложение и вычитание векторов. При построении векторной диаграммы в домашнем задании, диаграммы токов и напряжений строятся на одном чертеже (см. рис. 2.10), при этом каждая из них строятся в своем масштабе! 2.6. Примеры расчета 1. Исходная схема цепи приведена на рис. 2.1. Рис. 2.8. 2. Исходные данные для составления расчетной схемы и дальнейших расчетов (табл. 2.1): . Z1= Z2= Z3= Z4= 3. Для составления расчетной схемы и определения параметров цепи переведем комплексные сопротивления Z1, Z2, Z3, Z4, записанные в показательной форме, в алгебраическую форму: Z1= Z1 – активно-емкостное сопротивление: R1 = 82,9 Ом; Z2 = Z2 – активно-индуктивное сопротивление: R2 = 13,9 Ом; – Z3 = Z3 – активно-индуктивное сопротивление: R3 = 79 Ом; – Z4 = Z4 – емкостное сопротивление: – 4. По исходной схеме и характеру сопротивлений составим расчетную схему цепи, рис. 2.8. 5. Расчет комплексных значений токов будем производить методом эквивалентных преобразований. Определим сопротивление цепи (рис. 2.9). Сопротивления Z2 и Z4 соединены последовательно: Z24 = Z2 + Z4 = 13,9 + j99 – j54 = 13,9 + j45 = 47,1. Рис. 2.9 Сопротивления Z24 и Z3 соединены параллельно: Z234 = (Z24 Z3)/( Z24 + Z3 ) = 41,1 86/(13,9 + j45 +79 + j31,8) = 4050,6/120,5 Общее сопротивление цепи Z: Z = Z1 + Z234 = 82,9 – j75 + 18,5 + j27,5 = 101,4 – j47,5 = 112 Ом. Ток цепи 1 найдем по закону Ома: 1 = /Z = 168/112=1,5= -0,34 + j1,46, A. Для 2 и 3 найдем напряжение на параллельном участке 234: 234 = 1Z234 = 1,533,6= -47 +j18, B. Токи цепи: Проверим правильность расчета по первому закону Кирхгофа: 1 = 2 + 3. -0,34 + j1,46 = 0,067 + j1,06 – 0,416 + j0,40 = -0,34 + j1,46. 6. Комплексные действующие значения напряжений - на параллельном участке: - На последовательном участке: . Проверим правильность расчетов по второму закону Кирхгофа: . = 34,74 + j164,3 33,6 + j164,8. 7. Схема включения приборов (рис. 2.9): амперметра «А» для измерения тока в неразветвленном участке цепи, вольтметра «V» для измерения напряжения на параллельном участке. Показания приборов: A (см. значение ); V (см. значение ). На рис. 2.9 представлена схема включения ваттметра (W) для измерения активной мощности всей цепи. В задании ваттметр требуется включить таким образом, чтобы он измерял активную мощность только параллельного участка цепи. Показания ваттметра: W P = ; cos(-25) = 0,906. 8. Баланс мощности цепи: . x(79 + j31,8) = 186,52 – j168,75 + 15,91 + j51,52 + 26,57 + j10,69 = 229 – j106,54 = 252,5 Равенство мощностей источника энергии и приемников подтверждает правильность расчета цепи. Векторная диаграмма цепи приведена на рис. 2.10. Рис. 2.10 2.7. Контрольные вопросы 1. Комплексное сопротивление цепи с последовательным соединением R = 80 Ом и xL = 60 Ом равно: в алгебраическом виде Z = , в показательном виде Z = . 2. Комплексное сопротивление цепи с сопротивлением xC = 100 Ом равно: в алгебраическом виде Z = , в показательном виде Z = . 3. Ветвь, состоящая из индуктивного сопротивления xL = 100 Ом и ветвь, состоящая из емкостного сопротивления xС = 50 Ом соединены параллельно, общее сопротивление цепи равно Z = . 4. Цепь, состоящая из ветвей пункта 3, подключена к источнику переменного напряжения = 100 В, токи ветвей равны 1 = ____, 2= ___, ток в неразветвленной части цепи = ______. 5. Соотношение между максимальным и действующим значением синусоидального переменного тока . 6. При построении векторных диаграмм за условно-положительное направление вращения принимается направление . 7. Синусоидальные величины с положительной начальной фазой откладываются от оси «+1» часовой стрелки. 8. Векторная диаграмма тока и напряжения ветви с активно-индуктивным сопротивлением Z= R + jxL имеет вид . 9. Векторная диаграмма тока и напряжения ветви с емкостным сопротивлением Z= -jxc имеет вид . 10. Общее сопротивление цепи с параллельным соединением ветвей с сопротивлением Z2 и Z3, соединенных последовательно с Z1 равно . 11. Активная мощность цепи равна нулю, если сопротивление цепи . 12. Реактивная мощность цепи будет положительной в цепи с ________ сопротивлением. 13. В цепи с активно-емкостным соединением полная комплексная сопряженная мощность равна . 14. Комплексная мощность цепи = . 15. Приборы в цепях синусоидального тока показывают . значение измеряемой величины. 16. Цепь синусоидального тока с последовательным соединением R, L, C, в которой XL = XC работает в режиме . 17. Если в цепи с активно-реактивным сопротивлением преобладает емкостное сопротивление, то ток напряжение. 18. Если в цепи, состоящей из параллельно включенных сопротивлений XL и XC, cos цепи = 1, то цепь будет работать в режиме .