Работа. Элементарная работа. Полная работа.

ЛЕКЦИЯ 4. РАБОТА __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 4. 1.Элементарния работа. Полная работа Пусть сила – равнодействующая всех сил системы, приложена к точке Р, а – элементарное перемещение (бесконечно малое) точки Р по дуге Р1Р2 – траектории движения точки. Отметим, что элементарное перемещение направлено по вектору скорости точки. Определение. Элементарной работой dА силы называют скалярное произведение между вектором силы и вектором элементарного перемещения точки приложения силы, рис. 4.1, а: (4.1) Единицей й работы в системе СИ является джоуль: 1 Дж=1 Н·м. Элементарная работа является скалярной величиной. Если – угол между вектором силы и вектором перемещения точки Р – , то выражение (4.1) можно представить в виде , (4.2) где – проекция силы на направление элементарного перемещения (скорости) точки. Знак элементарной работы зависит от знака тригономической функции , рис. 4.1,б: – угол – острый, то , – угол – тупой, то , – угол , то . Полная работа силы. Пусть точка Р совершает конечное перемещение из положения в положение , описывая дугу (), рис. 4.2. Разобьем дугу на n произвольных малых участков, обозначив длину участка с номером k через . Тогда элементарная работа силы на k-м участке будет равна , а на всем пути от до – сумме работ на отдельных участках. Тогда полную работу можно выразить через сумму: (4.2,а) Точное значение работы получим переходя к пределу, при условии, что число участков n неограниченно возрастает, а длина каждого участка убывает: . Такой предел называется криволинейным интегралом первого рода по и записывается следующим образом . (4.3) Полная работа А силы вычисляется интегрированием элементарной работы на рассматриваемом конечном перемещении : где момент времени соответствует точке , а момент времени – точке Полную работу, совершаемую вектором силы на элементарном перемещении , можно выразить как (4.4) Постоянная сила. Если рассматриваемая сила является величиной постоянной , то где S путь, пройденный точкой по дуге P1P2 . Так как то выражение для работы можно представить в виде Если угол или , то причем эта формула применима как для прямолинейного, так и криволинейного движения. Мощность. Мощность силы (или работоспособность источника силы) оценивают той работой, которую она может совершить за единицу времени. По определению, мощность Таким образом, мощность равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости точки. Единицей мощности в системе СИ является ватт: 1 Вт=1 Дж/c. Из полученного выражения мощности видно, что чем больше скорость движения точки, тем меньше сила при одной и той же мощности. Так, например, когда железнодорожному локомотиву надо увеличить силу тяги, то для этого надо уменьшить скорость движения локомотива. Работа силы тяжести. Пусть точка массой m перемещается по в поле силы тяжести mg (g – ускорение свободного падения), рис. 4.3. Тогда: . Вычислим работу, которую совершает сила тяжести по формулам (4.1). Имеем Вывод: Работа силы тяжести: 1. Равнаесли материальная точка опускается с высоты до уровня ( ); 2. Равна если материальная точка подымается от уровня до высоты ( ). 3. Работа силы тяжести не зависит от траектории перемещения точки; по замкнутому перемещению работа силы тяжести равна нулю (точки и лежат на одном уровне). Работа линейной силы упругости. Пусть материальная точка Р прикреплена к пружине, которая растянута и занимает положение P1 (). Будем считать это положение начальным (t=0), рис. 4.4. Длина нерастянутой пружины xo. Под действием растянутой пружины со стороны которой к точке Р будет приложена сила упругости (k >0 – коэффициент жесткости пружины), точка P начнет движение влево по оси Ox. Тогда работа силы упругости на перемещении от до будет равна Вывод: Работа линейной силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости пружины k на разность квадратов конечного удлинения пружины и начальной длины пружины (квадрат деформации пружины). Пусть материальная точка Р прикреплена к пружине, которая растянута внешней силой F от до . Тогда к точке Р будут приложены внешняя сила F и сила упругости , рис. 4.5. Вычислим работу этих сил на перемещении от до : . (4.6) Пример 4.1. Тело весом подвешено на пружине (рис. 4.6). Верхний конец пружины закреплен неподвижно. Вычислить наибольшее расстояние, на которое опустится тело, если в начальный момент времени пружина не растянута. Решение. В начальный момент времени тело находился в точке . Промежуточное положение тела обозначим через , а нижнее положение, соответствующее максимальному удлинению пружины, обозначим через . Удлинение пружины обозначим через , а ее максимальное удлинение через . На тело действует две силы: – сила тяжести тела и реакция пружины (сила упругости), направленная вверх. Т. к. скорость тела в точках и равна нулю, то из теоремы о кинетической энергии следует, что работа сил и , равна нулю. Следовательно Откуда . 4.2. Работа сил, приложенных к твердому телу Пусть точка С – точка центра масс твердого тела (назовем эту точку полюсом), а точка – любая другая точка тела. Будем представлять твердое тело как механическую систему, состоящую из N отдельных точек, взаимное расстояние между которыми не изменяется. Пусть на твердое тело действует система внешних сил Тогда на любую -ю точку твердого тела будут приложены внешняя сила и внутренняя сила (рис. 4.7). I. Поступательное движение твердого тела. При поступательном движении все точки тела имеют одинаковые траектории, скорости и ускорения. Пусть скорость центра масс рассматриваемого твердого тела равна , тогда . Тогда, если сила приложена к точке , то элементарная работа будет равна: Твердое тело считаем состоящим из пар взаимодействующих точек, для каждой из которых сумма элементарных работ внутренних сил равна нулю, следовательно Вычислим полную работу на перемещении Здесь В частном случае, если главный вектор, приложенный к центру масс тела является постоянным, т. е. =const, работу определяют по формуле (рис. 4.8) где S – путь, на котором вычисляют работу, – главный вектор внешних сил, k – число внешних сил, совершающих работу. Пример 4.2. Вычислить работу, которую нужно совершить для подъема тела массой 50 кг на высоту 10м по наклонной доске, составляющей угол с горизонтом, рис. 4.9. Рис.4.9 Решение. Будем поднимать тело равномерно (а=0) по наклонной плоскости. При заданных условиях вычислим путь  который пройдет тело по наклонной плоскости, рис. 4.9, а: . При равномерном подъеме груза, имеем: Вычислим работу, которую совершает сила на перемещении : . Если поднимать тело на 10м через неподвижный блок (рис. 4.9, б), то работа, которую совершит сила при подъеме тела на высоту h=10м, будет равна . Как видим, силы и совершают одинаковую работу! Наклонная плоскость уменьшает величину силы, но увеличивает путь, который проходит тело. Если поднимать тело вертикально, уменьшается путь, но увеличивается сила – золотое правило механики! II. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси в плоскости. Пусть ось вращения тела Oz перпендикулярна плоскости вращения Oxy, тогда ( || ). Скорость точки , расположенной на расстоянии от центра вращения, равна = и направлена перпендикулярко к в направлении вращения тела (рис. 4.10). Пусть к любуй точке будут приложены внешняя сила и внутренняя сила . Вычислим элементарную работу этих сил при повороте тела на угол d: Вычислим элементарную работу системы сил Здесь: – проекция вектора внешней силы на перемещение ; – проекция вектора внутренней силы на перемещение . Имеем Здесь – главный момент внутренних сил; – главный момент внешних сил. Итак, . Определение. Элементарная работа внешних сил, приложенных к какой либо точке тела вращающегося в плоскости Oxy вокруг неподвижной точки О равна произведению главного момента внешних сил относительно центра вращения на дифференциал угла поворота тела. Полная работа . (4.9) В частном случае, если главный момент внешних сил относительно центра постоянным, т. е. =const, работу определяют по формуле Здесь – главный момент внешних сил, – угол поворот тела, k– число сил, совершающих работу. Эмпирический подход. При вращении твердого тела вокруг неподвижного центра О в плоскости (рис. 4.11, а) перемещение точки приложения силы вычисляется по формуле , где – кратчайшее расстояние между точкой и центром вращения (радиус вращения точки М), причем . Тогда элементарную работу силы определим по формуле . Здесь – момент силы относительно центра вращения О. Элементарная работа силы, приложенной к к.-л. точке тела, вращающегося вокруг неподвижного центра в плоскости, равна произведению вращающегося момента на элементарный угол поворота тела. Мощность. Так как , (5.10) то мощность в случае вращения твердого тела вокруг неподвижной оси . Мощность силы, приложенной к вращающемуся вокруг неподвижной оси твердому телу, равна произведению угловой скорости тела на момент силы относительно оси вращения. Пример 4.3. Катушка массой m и радиусом R приводится в движение постоянной силой F, приложенной в точке А(рис. 4.12). Катушка катится без скольжения по гладкой поверхности. Вычислить работу всех внешних сил, если центр катушки переместился на расстояние . Решение. Катушка совершает плоское движение без скольжения, тогда мгновенный центр скоростей находится в точке касания катушки с плоскостью (точка Р на рис.4.13). В соответствии с направлением движения примем положительное направление угла поворота катушки – вращение против часовой стрелки. Через точку Р проходит мгновенная ось вращения, вычислим элементарную работу внешних сил, приложенных к катушке, вращающейся в плоскости Oxy вокруг точки Р: (а) Здесь: ; , где N – сила нормальной реакции. Получили: . Пример 4.4. Катушка массой m и радиусом R приводится в движение постоянной силой F, приложенной в точке А (рис. 4.14). Катушка катится вправо без скольжения по шероховатой поверхности. Вычислить работу всех внешних сил, если центр катушки переместился на расстояние , – коэффициент трения качения, r – радиус катушки. Решение. Катушка совершает плоское движение. Так как качение происходит без скольжения, то мгновенный центр скоростей находится в точке касания катушки с плоскостью (точка Р на рис.4.15). Направим ось Ox по направлению движения катушки. В соответствии с направлением движения примем положительное направление угла поворота – вращение против часовой стрелки. Пусть центр катушки С переместится на . При этом катушка повернется на угол . Тогда Через точку Р проходит мгновенная ось вращения, вычислим элементарную работу внешних сил, приложенных к катушке, вращающейся в плоскости Oxyвокруг неподвижной оси Pz, вычислим элементарную работу. Работа внешних сил, приложенных к точкам тела, вращающегося в плоскости Oxy вокруг точки Р (точки мгновенного центра скоростей) равна произведению главного момента внешних сил относительно центра вращения на угол поворота тела : . На тело приложены силы: – внешняя сила F; – сила тяжести mg, – нормальная реакция N смещена велечину на коэффициент трения качения от вертикали, проходящей через центр цилиндра в сторону движения центра тяжести цилиндра. Вычислим меиенты от этих сил относительно точки Р. Имеем: – линии действия силы mg пересекают ось вращения; , где N – сила нормальной реакции. Справка. Моментом трения качения называется произведение коэффициента трения качения на нормальную реакцию опоры N: . Вычислим подную работу: (а) Получили: . Пример 4.5. Катушка массой m и радиусом R приводится в движение постоянной силой F, приложенной в точкеА(рис. 4.16). Катушка катится вправо без скольжения по шероховатой поверхности.Вычислить работу всех внешних сил, если центр катушки переместился на расстояние , – коэффициент трения качения, – сила трения, r – радиус сердечника катушки, к которой приложена сила. Решение. Катушка совершает плоское движение. Так как качение происходит без скольжения, то мгновенный центр скоростей находится в точке касания катушки с плоскостью (точка Р на рис. 4.17). Направим ось Oxпо направлению движения катушки. В соответствии с направлением движения примем положительное направление угла поворота – вращение против часовой стрелки. Пусть центр катушкиС переместится на . При этом катушка повернется на угол . Тогда Через точку Р проходит мгновенная ось вращения, вычислим элементарную работу внешних сил, приложенных к катушке, вращающейся в плоскости Oxyвокруг неподвижной оси Pz, вычислим элементарную работу: (а) Здесь: линии действия сил и mg пересекают ось вращения, поэтому ; далее , где N – сила нормальной реакции. Получили: . Выражение в скобках имеет размерность силы (H). Определим слагаемые в скобке как приведенную силу заданной механической системы, обозначим ее , тогда кинетическая энергия системы примет вид . 4.3. Работа сил, приложенных к элементам механических систем Определение. Работа внешних сил, приложенных к механической системе определяется выражением Здесь: S – путь, на котором вычисляют работу, – эффективная сила механической системы. Рассмотрим примеры вычисления эффективной силы механической системы Пример 4.6. Механическая система (рис. 4.18) состоит из диска (м) обмотанного нерастяжимой нитью, на концах которой прикреплен однородный каток (H, ). Каток катится без скольжения по наклонной шероховатой поверхности с углом наклона . К диску приложена пара сил с моментом H·м, Вычислить работу внешних сил, если центр катка прошел путь 5м. Решение. Направления движений тел изображены на рис. 4.19. Запишем уравнения, связывающие перемещение точек соприкосновения элементов системы. Перемещение центра катка обозначим через. Полную работу сил, приложенных к механической системе, совершают: момент вращения , вращающий диск и сила тяжести катка mg·sin. Имеем: Запишем уравнение, связывающие угол поворота диска и перемещение центра тяжести катка: Вычислим работу, совершаемую моментом вращения и силой тяжести катка m2g. Сообщим перемещение центра путь 5м, получим: H. Полная работа внешних сил равна: Дж. Ответ:Дж. Пример 4.7. Груз М, имеющий силу тяжести , с помощью нерастяжимой нити, переброшенной через блок А, приводит в движение каток В, катящийся без скольжения по горизонтальной плоскости, рис. 4.20. Блок А и каток В – однородные диски радиусом R. Их силы тяжести равны и , соответственно. Коэффициент трения качения катка k. Трением в осях катка и блока, а также массой нити пренебречь. Вычислить работу внешних сил. Решение. Напомним, что работа внутренних сил натяжения нити равна нулю (), рис. 4.21. Работа сил тяжести блока и реакция оси равны нулю, так как эти силы приложены к неподвижной точке О. Сила тяжести катка перпендикулярно перемещению, а силы N и Fтр приложены в точке, совпадающей с точкой мгновенного центра скоростей и, следовательно, работа их равна нулю.Работу производят сила тяжести m3g и момент сопротивления Мk,, препятствующим качению катка по плоскости рис. 4.22: Имеем (а) Здесь  – угол поворота катка при опускании груза М на h: . Подставляя полученные значениявеличин в (а), получим . Пример 4.8. Механическая система (рис. 4.23) состоит из составного диска 2 (H, м, м, радиус инерции относительно оси вращения м), обмотанного нерастяжимыми нитями, на концах которых прикреплен груз 1(H) и однородный каток 3 (H,). Каток катится без скольжения по наклонной шероховатой поверхности с углом наклона . К диску приложена пара сил с моментом H·м, а к оси катка сила H. Вычислить работу внешних сил, если груз 1 опустился вниз на 5м. Решение. Направления движений тел изображены на рис. 4.24. Запишем уравнения, связывающие перемещение точек соприкосновения элементов системы. Перемещение груза 1 обозначим через. Учтем, что путь, пройденный точкамиА, В и С, на соответствующих ободах дисков связаны между собой следующим образом, получим: ; , . Рис. 4.24 Вычислим работу, совершаемую внешними силами, при этом механической системе сообщим перемещение, при котором груз 2 опустится на. Тогда получим Полная работа будет равна H Дж.. Ответ:Дж.