Передача механической энергии жидкостью и газами

1. Лекция 2. ПЕРЕДАЧА МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ЖИДКОСТЬЮ И ГАЗАМИ Механическая энергия в объемном приводе передается от источника рабочей среды (насоса, компрессора, пневмосети или аккумулятора) к объемному двигателю посредством жидкости или газов. Для математического описания процесса передачи механической энергии рассмотрим энергосодержание рабочей среды. С этой целью в установившемся потоке рабочей среды выделим элементарный объем δW (рис. 2.1.). Малая величина выделенного объема позволяет принять внутри него равномерно распределенное давление р и одинаковую плотность ρ рабочей среды. Кроме того, используем широко применяемый в гидравлике и пневматике метод замены скоростей отдельных среды средней по сечению потока скоростью u. В соответствии с принятыми допущениями элементарный объем δW жидкости или газов можно считать механической системой материальных частиц и рассматривать энергосодержание с позиции физических основ классической механики. Полная механическая энергия системы материальных частиц рассматривается в физике в виде двух основных составляющих частей: потенциальной и кинетической энергий. Применительно к элементарному объему δW полную механическую энергию δАМ представим в виде суммы потенциальной энергии δАП и кинетической – δАК : При математическом описании потенциальной энергии ее разделяют на внешнюю и внутреннюю. Внешняя потенциальная энергия системы материальных частиц обусловлена действием на нее внешних потенциальных сил, т.е. сил приложенных со стороны тел, не входящих в систему. Внутренняя потенциальная энергия системы обусловлена внутренними силами взаимодействия между частицами и связана у жидкостей и газов с их объемной деформацией где δАС - внешняя потенциальная энергия, обусловленная внешними силами; δАД - внутренняя потенциальная энергия элементарного объема среды, обусловленная деформацией. На рабочую среду в объемном приводе действуют две внешние системы сил: сила земного притяжения (гравитационная сила) и силы со стороны вытеснителей в объемных машинах. где δАГ – гравитационная энергия элементарного объема рабочей среды; δАВ – потенциальная энергия, переданная элементарному объему рабочей среды вытеснителем в объемной машине. Элементарный объем рабочей среды δW имеющий массу δm = ρ·δW и поднятый на высоту z относительно объемного двигателя, способен при опускании в поле земного тяготения совершить работу, которая и отражает его гравитационную энергию: где g - ускорение свободного падения, принимаемое равным 9,81 м/с2 (без учета относительной скорости движения). От вытеснителя объемной машины к рабочей среде и обратно потенциальная энергия передается в форме работы. Элементарная работа δАВ вытеснителя равна скалярному произведению проекции результирующей силы Рl на касательную к траектории движения на элементарное перемещение вдоль траектории δl: В качестве примеров рассмотрим поршневой и пластинчатый вытеснители объемных машин. Для поршневого вытеснителя где р – давление рабочей среды, d – диаметр поршня. Для пластинчатого вытеснителя, совершающего поворотное движение где В – ширина пластины, r1 и r2 – радиусы поверхности ротора и статора, δφ – элементарное угловое перемещение пластины с ротором. У вытеснителей других типов выражения для определения элементарной работы будут иметь иной вид. Чтобы аналитическое описание элементарной работы привести к единой форме, введем понятие элементарного объема δW, вытесняемого или освобождаемого вытеснителем при его элементарном перемещении в рабочей камере. Для поршневого вытеснителя элементарный объем цилиндрической формы Для пластинчатого вытеснителя элементарный рабочий объем с трапецеидальным поперечным сечением Таким образом, внешняя потенциальная энергия элементарного объема рабочей среды, измеряемая элементарной работой вытеснителя в камере объемной машины, Принцип передачи энергии посредством рабочей среды под давлением объясняет принятые термины «объемная гидромашина», «объемная пневмомашина» и «объемная машина». Внутренняя потенциальная энергия δАД элементарного объема δW рабочей среды связана с внутренними потенциальными силами взаимодействия между частицами. Эти силы проявляются в виде работы при объемной деформации жидкости или газа, поэтому внутренняя потенциальная энергия среды измеряется работой, которое может совершить данное количество рабочей среды в камере объемной машины при расширении до объема Vmax вследствие уменьшения давления от р до рmin : Величину рmin выбирают произвольно, так как в любом опыте можно измерить только изменение внутренней потенциальной энергии, а не ее абсолютное значение. Обычно величину рmin выбирают соответствующей глубокому вакууму (рmin 0 ) либо атмосферному давлению (рminрАТ ). Для газов при условии полного теплообмена с окружающей средой можно воспользоваться уравнением изотермического расширения идеального газа при его постоянной массе (без учета утечек и перетечек, m = const) Продифференцировав это уравнение при рmin = const и Vmax = const, сделаем подстановку величины V Введем полученное выражение в уравнение (3.11), заменив пределы, и выполним интегрирование: Поскольку практически можно принять pmin= рАТ, можно записать: Для газов при условии быстрого протекания процессов, когда теплообмен с окружающей средой пренебрежимо мал, можно использовать уравнение адиабатного расширения идеального газа при условии постоянства массы газа, участвующего в процессе где k – показатель адиабаты, который для воздуха можно принимать равным 1,4. Продифференцируем это уравнение и решим полученное выражение совместно с исходным: Подставив последнюю зависимость в уравнение (3.11), изменим пределы интегрирования и получим: Преобразуем полученный результат с помощью исходного уравнения адиабатного расширения идеального газа: Процесс расширения газа в пневмоприводе может происходить при ограниченном теплообмене с окружающей средой. В этом случае используется уравнение состояния для политропического процесса идеального газа при m=const: где n – показатель политропы (1 < n < k). Из сравнения уравнений (3.22) и (3.17) следует, что, произведя аналогичные преобразования (подобно тому, как мы это сделали для адиабатного процесса), можно получить уравнение для определения работы расширения газа для политропного процесса: Если в выражениях для работы, выполняемой при расширении рабочей среды заменить объем V на элементарный выделенный объем δW, то можно получить зависимости для внутренней потенциальной энергии этого объема. В результате суммирования внешней и внутренней потенциальных энергий по формулам (3.2) и (3.3) запишем общие выражения для потенциальной энергии элементарного объема в условиях изотермического, адиабатного и политропического процессов расширения: Каждая движущаяся в установившемся потоке рабочей среды элементарная масса δm имеет кинетическую энергию где α – коэффициент, зависящий от режима течения рабочей среды и профиля поперечного сечения потока (например, для жидкости при ламинарном течении α = 2, при развитом турбулентном режиме – α = 1). В результате рассмотрения процессов в рабочей среде и вывода аналитических выражений для составных частей механической энергии элементарного объема представляется возможным получить общие выражения для главной характеристики установившегося потока рабочей среды – полной удельной механической энергии рабочей среды. Под этой величиной подразумевается отношение полной механической энергии выделенного элементарного объема рабочей среды к его массе В соответствии с данным определением размерность величины а в системе СИ составляет Дж/кг. Поскольку джоуль является величиной производной, то единицу измерения величины а можно выразить через основные единицы: Дж/кг = Н·м/кг = кг·м·м/(кг·с2)= = м2/с2. Просуммировав в соответствии с выражением (3.1) составные части механической энергии (3.22), (3.23) и разделив почленно на δm = ρ·δW, получим в окончательном виде уравнения полной удельной механической энергии рабочей среды при установившемся режиме течения: для одномерного потока: • для газов при полном теплообмене с окружающей средой (изотермическом процесс) • для газов при отсутствии теплообмена с окружающей средой (адиабатный процесс) • для газов при ограниченном теплообмене с окружающей средой (политропический процесс) При течении газов со скоростью до 50 м/с можно пренебречь членом уравнения, отражающим кинетическую энергию. Приведенные уравнения полной удельной механической энергии рабочей среды применимы для элементарного объема установившегося потока рабочей среды. Течение рабочей среды считают одномерным (однокоординатным) и рассматриваемый элементарный объем δW выбирают примыкающим к анализируемой плоскости поперечного сечения 0-0 потока (см. рис. 3.1): где F - площадь поперечного сечения потока; δl- элементарный размер выделенного объема рабочей среды в направлении движения частиц. Величину δl принимают достаточно малой, что обеспечивает приемлемость основных допущений о равномерном распределении частиц и одинаковом давлении в элементарном объеме δW. Считают, что все частицы рабочей среды в элементарном объеме движутся с одинаковой средней по сечению скоростью u. Установившийся поток рабочей среды характеризуется объемным расходом Q, массовым расходом G и мощностью N. Объемным расходом Q рабочей среды через рассматриваемое сечение потока площадью F называется объемное количество этой среды, проходящее через сечение в единицу времени: При выбранной схеме расположения элементарного объема рабочей среды (см. рис. 3.1) Следовательно, для объемного расхода В соответствии с принятыми допущениями массовый расход рабочей среды связан с объемным плотностью ρ Мощностью N установившегося потока рабочей среды называют количество энергии, которую имеет масса рабочей среды, протекающей через сечение потока в единицу времени. Мощность потока связана с удельной механической энергией а и массовым расходом G Уравнения (3.25)-(3.27) полной удельной механической энергии рабочей среды в рассматриваемом сечении потока широко используют при проектировочных расчетах пневмоприводов. Рассмотрим связь полученных уравнений удельной механической энергии рабочей среды (3.25)-(3.27) с другими уравнениями, используемыми в пневматике. Средний член уравнения (3.26), полученного при отсутствии теплообмена с окружающей средой, представляет собой энтальпию единицы массы газов. Эта величина используется при пневматических расчетах. Энтальпией I некоторого объема V газов называют термодинамическую функцию, равную сумме внутренней энергии U и произведения давления на объем газа Для идеальных газов при температуре до 100 0С: где m = ρ·V - масса газов; ρ - плотность газа, cV - теплоемкость газа при постоянном объеме, Т - абсолютная температура. Энтальпия единицы массы газа (удельная теплоемкость) Для преобразования этого выражения воспользуемся известными зависимостями для показателя адиабаты k и газовой постоянной R где сP - удельная изохорная теплоемкость (теплоемкость газа при постоянном давлении). Используя приведенные зависимости, получим: Воспользуемся уравнением состояния газа (уравнением Клапейрона) в форме После совместного решения последних двух уравнений и исключения величины R будем иметь: Полученное выражение представляет собой средний член уравнения (3.24) удельной механической энергии при отсутствии теплообмена с окружающей средой.