Пуассоновский и винеровский процесс

Тема № 4 Пуассоновский и винеровский процесс Рассмотрим процесс  , t  T  , который t состоит из случайных величин, принимающих значения из  0 , т.е. 0,1,2,... . Эти значения можно интерпретировать как количество наступлений некоторых (одинаковых) событий. Потоком событий в прикладной теории случайных процессов называют последовательность событий, наступающих одно за другим в какие-то, вообще говоря, случайные моменты времени. Определение. Случайный процесс t , t  T  с непрерывным временем T  [0; ) называется пуассоновским процессом, если он удовлетворяет следующим условиям: 1). 0  0 . 2). t , t  [0; ) – процесс с независимыми приращениями. 3). Для любых t1  t2 и любого s приращения t  t , t s  t s одинаково 2 1 распределены (условие однородности во времени). 4). (Условие ординарности). При h  0 выполняется P  t h  t  1  h  o(h ) , при любом t  [0; ) 2 1 фиксированном , 0     ; P  t h  t  2  o h  . Ординарность случайного процесса можно интерпретировать таким образом, что события в некотором потоке за достаточно малый промежуток времени либо не наступают, либо наступают по одному, а не по несколько.   Величина   lim t h t  0 является параметром пуассоновского процесса, и h 0 h иногда называется интенсивностью или средней плотностью. Теорема (Хинчина). Если t , t  [0; ) - пуассоновский процесс с параметром t  k   0 , то для всех t  0 имеет место равенство P t  k    e t для всех k! k   0 , т.е. случайная величина  t имеет распределение Пуассона с параметром t . Доказательство. Применим метод характеристических функций. Пусть     E e it – характеристическая функция случайной величины  t . t Так как  t h   t h  t    t  0  (где  0  0 ) и выполнено условие независимости приращений пуассоновского процесса, то с использованием теоремы характеристической функции суммы независимых случайных величин получаем:    E e      E e  i  t h t i  t 0  t h i h t  h  t    E e i  t h t  о        . t Это выполняется потому, что по условию однородности во времени величина t h  t распределена так же, как и h 0  0  h . Исследуем поведение функции  h   при h  0 . По условию ординарности:   n 2 n2  P h  n   ein   P h  n   P h  2  o h  , поэтому   h     P h  n   e in  P 0  0  P h  1  ei n 0 Следовательно, o h   1  h  he i  o h  . t h    t   h пределу при    t      e i  o 1 . Если перейти к h  0 , то получим, что верно равенство d t    t      e i  . dt Обозначим y t   t   , a    e i  и получим дифференциальное уравнение dy t   a  y t  , решение, которого записывается в виде y(t )  c  e ta . dt Постоянную с определяем из условия c  y(0) . Так как 0  0 , то 0 ( )  Ee i0  1 . Следовательно, y(0)  1 и c  1 . Значит y t   e ta и t ( )  e  t  ei   . Получившаяся функция – это характеристическая функция распределения Пуассона с параметром t . Отсюда по теореме единственности получаем, что t - случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром t . Теорема доказана. Утверждение. Пуассоновский процесс является цепью Маркова. Доказательство. Докажем, что для пуассоновского процесса выполняется определение цепи Маркова: P tn1  kn 1 t1  k1 ,,tn  kn      P tn1  kn 1 , tn  kn , , t1  k1  P tn  kn , , t1  k1    P tn1  tn  kn1  kn , tn  tn1  kn  kn1 ,..., t1  0  k1  P tn  tn1  kn  kn 1 ,..., t1  0  k1  . Вследствие независимости приращений это отношение равно: P tn1  tn  kn1  kn  P tn  tn1  kn  kn 1  P t1  t0  k1  P tn  tn1  kn  kn1  P t1  t0  k1              P tn1  tn  kn 1  kn . Теперь рассмотрим   P tn1  kn 1 tn  kn     P tn1  kn 1 , tn  kn P tn1  tn    k  k   P  P    k  P tn  k n n1 tn n tn    P   0  kn t n1  tn  k n 1  k n , tn  0  k n  P tn  0  kn  P   tn1     tn  kn1  kn . n Таким образом, определение выполнено. Утверждение доказано. В теории массового обслуживания и в некоторых других практических областях вместо понятия пуассоновского процесса используется термин пуассоновский поток. Иногда употребляется термин простейший поток событий. Пуассоновский процесс можно интерпретировать как процесс появления некоторого события (поток событий) в моменты времени t  T   0,   . Тогда t - число появлений этого события до момента времени t . Траектория пуассоновского процесса является ступенчатой функцией с разрывами первого рода. Поток событий называется потоком с ограниченным последействием, если случайные величины T1 , T2 ,...,Tn ... , представляющие собой интервалы времени между соответственно 1-м и 2-м, 2-м и 3-м и т.д., n-м и (п+ 1)-м событиями и т.д., независимы. Поток событий называется стационарным, если вероятность наступления того или иного числа событий за какой-либо промежуток времени зависит только от длины этого промежутка и не зависит от момента его начала. Стационарность потока означает, что его вероятностные характеристики не зависят от времени, т.е. не изменяются с течением времени. Стационарный поток с ограниченным последействием называется потоком Пальма. У потока Пальма случайные величины T1 , T2 ,...,Tn ... имеют один и тот же закон распределения (имеют одну и ту же функцию распределения). Пуассоновский процесс является потоком Пальма, поскольку он стационарен, случайные величины T1 , T2 ,...,Tn ... распределены по показательному закону и независимы в силу независимости приращений. Важными специальными случаями потока Пальма являются потоки Эрланга. Потоком Эрланга k-го порядка называется поток, получающийся из пуассоновского сохранением в нем каждого k-то события. Например, поток Эрланга 1-го порядка совпадает с исходным пуассоновским потоком и, следовательно, пуассоновский поток является потоком Эрланга 1-го порядка. Для случайной величины T k  - промежутку времени между двумя соседними событиями в потоке Эрланга k-го порядка, порожденном Пуассоновским процессом с интенсивностью   0 можно легко найти плотность: k 1   t  pT k   t   et , t  0  k 1! Самостоятельно найдите его числовые характеристики. Отметим, что обобщением пуассоновского процесса является нестационарный пуассоновский процесс или поток, для которого выполняется условие независимости   приращений, 0  0 , и ординарности, но вместе с тем интенсивность  t   lim t h t h 0 h зависит от t  [0; ) . Если для нестационарного пуассоновский поток с интенсивностью  t  , некоторый рассмотреть промежуток времени длиной   0 , начинающийся с момента t0 и дискретную случайную величину X t0,   — число событий, наступающих в потоке за промежуток времени t , t    , то выполняется свойство, что   0 0 X t0,   имеет t0  распределение Пуассона с параметром, равным   t dt t0 Рассмотрим теперь процесс принимающих значения из  . t , t  T  , который состоит из случайных величин, Определение. Винеровским процессом называется случайный процесс t , t  T  с непрерывным временем T   0,   , удовлетворяющий условиям: 1). 0  0 . 2). t , t [0; ) – процесс с независимыми приращениями. 3). Для любых t1  t2 и любого s приращения t  t ,  t2  s   t1  s одинаково 2 1 распределены. 4). При h  0 для моментов случайных величин h выполняются следующие свойства: E  h  ah  o  h  , E  h2  bh  o  h  , 3 E h  o  h  , где a, b   - постоянные величины, не зависящие от h , b  0 . Величины a и b являются параметрами винеровского процесса. Теорема (без доказательства). Если t , t   0,   - винеровский процесс, то при фиксированном t  0 выполняется, что t  N  at , bt  , т.е t имеет нормальное распределение с параметрами at и bt , и функция распределения случайной величины t имеет вид x   y  at  2  1 Ft  x   P t  x    exp   dy .   2 bt 2 bt    В отличие от пуассоновского процесса, винеровский имеет непрерывную траекторию. Винеровский процесс служит математической моделью одномерного броуновского движения и часто называется процессом броуновского движения. В случае a  0 и b  1 винеровский процесс называется стандартным винеровским процессом. Функционалы винеровского процесса Рассмотрим траекторию винеровского процесса  , t  0,   некоторое вещественное число a . Пусть  a - момент первого достижения уровня винеровского процесса. Величина  a является случайной величиной. t и зафиксируем a траекторией случайного Фиксируем некоторое вещественное T  0 . Рассмотрим выражение P T  a |  a  T   P T  a |  a  T   P T  a |  a  T   1 Утверждается, что P T  a |  a  T   P T  a |  a  T  . Если сформулировать нестрого, то число траекторий, входящих в левую часть, совпадает с числом траекторий, входящих в правую (т.е. происходит «отражение»). Каждой траектории мы сопоставляем отражённую траекторию. Для винеровского процесса, обладающего непрерывной траекторией, выполняется равенство P T  a |  a  T   0 . Следовательно, P T  a |  a  T   P T  a |  a  T   1 / 2 . Данное выражение есть принцип отражения. В силу непрерывности траекторий винеровского процесса верно следующее включение: T  a   a  T  . Следовательно, P T  a |  a  T   P T  a, a  T  P  a  T   P T  a P  a  T   1 . 2 Из этого равенства следует, что P  a  T   2P T  a . Рассмотрим стандартный винеровский процесс и найдём распределение его основных функционалов. Как мы уже определили ранее,  a - момент первого достижения уровня a траекторией винеровского процесса. По определению функции распределения F a  t  =P  a  t . Из принципа отражения, как показано выше, следует, что  2 y  1 F a  t  =P  a  t  2P t  a  2   e 2t dy . 2 t a Так как t  t  0  N (0, t ) и с учётом замены y / t  x мы получаем, что это выражение равно 2 2   x2  e dx .  a t  2  e  0 Таким образом, P  a    x2  2 dx  1 . Следовательно, с вероятностью 1 случайная величина  a конечна, и с вероятностью 1 траектория винеровского процесса достигает любого уровня. Теперь рассмотрим плотность  a : 2 p a  dF a (t ) dt  1 a a  3/ 2 e 2 t , t  0    2 t .  0, t0  Используя эту плотность, легко показать, что E a   . Таким образом, несмотря на то, что с вероятностью 1 случайная величина  a конечна, ее среднее значение равно бесконечности. Рассмотрим другой функционал винеровского процесса, равный максимальному значению s по всем s из отрезка  0,t  : t  max s . s 0,t    Очевидно равенство max s  x   x  t . s 0,t  Следовательно, 2 2   y2 1  Ft  x   P max s  x  P  x  t  F x  t    e dy . s 0,t   x   t Если сделать замену y t  v;  2 v dv y ; dy  , то получаем: t t 2  v v   2 2 1  Ft  x     e 2t dv    e 2t dv  t x t 0 x 2 x 2 x 2 v v   2 2    e 2t dv  1    e 2t dv . t 0 t 0 v  2 Отсюда следует, что Ft  x     e 2t dv при x  0 . t 0 Зная функцию распределения t , легко найти плотность 2 dFt  x  2  x2 t pt  x    e при x  0 . dx t Можно еще рассмотреть функционал винеровского процесса, равный минимальному значению s по всем s из отрезка  0,t  :  t  min s . s0,t  Докажите самостоятельно равенство для плотности этого функционала: p t  x   pt   x  при x  0 . Для доказательства рассмотрите новый винеровский процесс t , t   0,   .