Проверка статистических гипотез. Сравнение двух генеральных средних.

Глава 3. Проверка статистических гипотез. Сравнение двух генеральных средних. 3.1. Проверка статистических гипотез. Простая гипотеза. Статистическая гипотеза – понятие более ёмкое, чем просто оценка значения неизвестного параметра. Пусть с помощью статистического эксперимента мы хотим проверить простую гипотезу о том, что неизвестное среднее µ равно некоторому значению µ0: -H0. Эта гипотеза будет основной. Альтернативной ей является также простая гипотеза H1 (µ<µ0). Например, известно, что в среднем за смену на станке производится 110 деталей. Станок сломался, и его отремонтировали. Получив на отремонтированном станке показатели за n смен, мы хотим проверить гипотезу о том, что производительность станка не изменилась, если альтернативной гипотезой является та, по которой производительность изменилась; или что производительность станка увеличилась, или что производительность станка уменьшилась. 3.2 Понятие критической области и уровня значимости .при решении таких задач также применяется аппарат построения для соответствующей статистики области Iβ, вероятность попадания в которую β достаточно близка к 1. При попадании статистики, построенной по выборке, в эту область применяется основная гипотеза (в нашем примере, что производительность станка не изменилась и равна 110); в противном случае, если значение статистики попало в область, противоположную Iβ, принимается альтернативная гипотеза (производительность станка изменилась). В задачах о проверке гипотез принято область, противоположную Iβ, называть критической, а число α=1-β – уровнем значимости. Уровень значимости α обычно берут равным 0,05, иногда 0,01. При α=0,05 мы, проверяя на деле истинную гипотезу о том, что µ= µ0, т.е. в среднем 5 из 100 истинных гипотез. Эту ошибку α, когда отбрасывается основная гипотеза, называют ошибкой первого рода, в отличие от ошибки второго рода, которую совершают, приняв основную гипотезу, когда она ложна. В простых случаях областями Iβ оказываются уже знакомые доверительные интервалы. При проверке гипотезы Θ=Θ0 мы строим с доверительной вероятностью β=1-α при альтернативной гипотезе Θ≠Θ двусторонний, а при гипотезах Θ>Θ0 и Θ< Θ0 односторонние с нижней границей хн и верхней границей xв доверительные интервалы. Если этот интервал накрывает Θ0, гипотеза H0 принимается, если не накрывает – отвергается. Приведём некоторые примеры. Пример 5. В задаче про ремонт станка проверяем гипотезу об изменении производительности станка, если за 31 смену получены данные о производительности, для которых x = 100, s 2 = 202. Уровень значимости α=0,05 (β=0,95) и ν = n-1 = 30. Значения tn,β, участвующие в процессе доверительного интервала, отыскиваются в таблицах 3 и 6, β или α в верхней строке: 20 I 0,95 = x + t30;0,95 = 100 ± 7,45. 30 Вывод – гипотеза о том, что производительность станка не изменилась, не проходит на уровне значимости 5%, так как старая производительность, равная 110, в 95-процентный доверительный интервал для новой средней производительности не попала. Более того, она не попала бы в доверительный интервал, даже если бы мы задались 98-процентным уровнем доверия, для которого t 30;0,98 = 2,46(I 0,98 ± 8,98) . Т.е. наша выборка показала, что гипотеза о том , что производительность станка не изменилась, не проходит даже на уровне значимости 2%. Только при уровне доверия 0,99(t 30;0,98) = 2,75) интервал становится таким большим ( I 0,99 = 100 ± 10,04 ), что мы уже не можем быть на 99% уверены, что изменение выработки не случайно. Увидев, что новые показатели хуже старых, берём в качестве альтернативной гипотезу о том, что новое среднее меньше старого (такая альтернатива естественна, если x < µ 0 ), т.е. производительность станка уменьшилась. Это предположение подтверждается даже на уровне значимости 0,01. Действительно, строим односторонний доверительный интервал для уровня доверия 0,99. Значения t n , β ,участвующие в построении одностороннего доверительного интервала, отыскиваются снова по таблицам 3, 6. I 0,99 = (−∞, x + t v , 0,01 20 30 = (−∞,100 + 2,46 * 3,65) = (−∞,108,98). Так как µ0=110 не входит в построенный односторонний интервал, можно принять гипотезу о том, что производительность уменьшилась, на уровне значимости 1%. Подчеркнём, что вывод о приемлемости основной гипотезы, её непротиворечивости имеющимся данным не означает того, что доказана её истинность. Принимая её, в некотором проценте случаев мы ошибёмся. Перечислим критерии, по которым, не привлекая понятия доверительного интервала, проверяется статистическая гипотеза о том, что среднее значение генеральной совокупности µ=µ0 на уровне значимости (они выведены из формул для двустороннего и одностороннего доверительного интервала для уровня доверия β=1-α). Вычисляем по выборке значение статистики 1. T= x − µ0 . s n Критическая область для односторонней проверки гипотезы, что среднее значение генеральной совокупности µ=µ0 по сравнению с альтернативой µ≠µ0 на уровне значимости α определяется неравенством T > t n −1,α (tn-1,α) отыскивается по таблицам 3, 6 из [1,2] критических значений распределения Стьюдента , α в нижней строке таблицы 6). 2. Критическая область для односторонней проверки гипотезы, что среднее значение генеральной совокупности µ=µ0 по сравнению с альтернативой µ>µ0 на уровне значимости α определяется неравенством T > t n −1,α (tn-1,α отыскивается также по таблице 6 критических значений распределения Стьюдента, α в нижней строке). Критическая область для односторонней проверки гипотезы, что среднее 3. значение генеральной совокупности µ=µ0 по сравнению с альтернативой µ<µ0 на уровне значимости α определяется неравенством T < −t n −1,α (tn-1,α) отыскивается по таблице 6 критических значений, α в нижней строке). Если вычисленное значение статистики T попадает в критическую область, то основная гипотеза отвергается. Вероятность попадания в эту область равна принятому уровню значимости α.. В этом случае принимается альтернативная гипотеза. В нашем случае про станок T=-2,74, а t30;0,01 = 2,58. Так что основная гипотеза не проходит, а проходит альтернативная гипотеза µ<110 при уровне значимости 0,01.