Проверка гипотез о различии в уровне проявления исследуемого признака (критерий Манна-Уитни)

Лекция 6. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАЗЛИЧИИ В УРОВНЕ ПРОЯВЛЕНИЯ ИССЛЕДУЕМОГО ПРИЗНАКА (КРИТЕРИЙ МАННА-УИТНИ) 1. Классификация психологических задач, решаемых статистическими методами ЗАДАЧИ УСТАНОВЛЕНИЯ СХОДСТВА ИЛИ РАЗЛИЧИЯ А. Выявление различия в уровне исследуемого признака Исследуется один и тот же показатель-признак в разных группах испытуемых (например, в контрольных и экспериментальных группах). Требуется определить различие в группах по этому признаку. Б. Оценка сдвига значений исследуемого признака Исследуется один и тот же показатель признака в одной и той же группе «до» и «после» экспериментальных или иных воздействий, чтобы определить эффективность этих воздействий. В. Выявление различий в распределении признака Сопоставление эмпирического распределения значений с теоретическим распределением, т.е. выявление формы закона распределения. Сопоставление двух эмпирических распределений между собой. ЗАДАЧИ ВЫЯВЛЕНИЯ СТЕПЕНИ СОГЛАСОВАННОСТИ А. Выявление изменений двух признаков (на одной и той же выборке испытуемых в одинаковых условиях). Б. Выявление изменений более двух признаков (на одной и той же выборке испытуемых в одинаковых условиях). ЗАДАЧИ ВЫЯВЛЕНИЯ ВЛИЯНИЯ А. Выявление влияния одного признака на другой признак Б. Выявление характера взаимодействия существенных условий эксперимента (естественного или лабораторного) в их влиянии на индивидуальные значения признака. В. Выявление влияния факторов на результаты эксперимента – индивидуальные значения признака. 2. Задача выявления различий в уровне проявления признака В психологических исследованиях одной из основных является задача выявления различий между двумя, тремя и более выборками испытуемых. Например, необходимо сравнить уровень проявления психологического признака:  в одной и той же группе, но при разных условиях или в разное время);  в разных группах (контрольной и экспериментальной);  в динамике – установить изменение показателя под влиянием экспериментальных воздействий. Статистические способы (правила), позволяющие по результатам наблюдений (экспериментальным данным) доказать наличие или отсутствие различий показателей психологических признаков, называются критериями различия. Характеристика любого критерия различия включает в себя: тип измерительной шкалы - номинальная, порядковая, интервальная, равных отношений; объем выборки (число испытуемых) – малая выборка, средняя, большая; объемы разных выборок – равные или неравные объемы; количество выборок, которые можно сравнить между собой с помощью критерия – две, три и т.д.; связность выборок - зависимость или независимость; количество генеральных совокупностей, из которых получены выборки – одна или несколько генеральных совокупностей; мощность критерия - способность критерия выявлять различия. Но чем мощнее критерий, тем более трудоемкой является процедура вычислений с его помощью. Если же значимые различия установлены с помощью менее мощного критерия, то и более мощный критерий заведомо подтвердит факт существования различий. Все критерии условно подразделяются на две группы:  параметрические - критерии, основанные на конкретном типе распределения генеральной совокупности или использующие параметры этой совокупности (средние, дисперсии);  непараметрические – критерии, не опирающиеся на знание типа распределения генеральной совокупности и не использующие параметры этой совокупности (критерии, свободные от распределения). Большинство данных, полученных в психологических экспериментах, не распределены по нормальному закону, поэтому непараметрические критерии являются более мощными (т.е. способными с большей достоверностью отвергать нулевую гипотезу о сходстве) и при вычислениях «вручную» являются менее трудоемкими, чем параметрические критерии. От чего зависит выбор критерия различия? Психологу необходимо заранее, до проведения экспериментального исследования, выявить следующие характеристики: 1) определить связность (зависимость) или несвязность (независимость) выборки. Независимые выборки состоят из разных испытуемых. Но если обследуется одна и та же выборка испытуемых, несколько раз подвергающаяся аналогичным измерениям («замерам»), то имеем связанные, или зависимые, выборки данных; 2) определить однородность – неоднородность выборки; 3) оценить количество выборок и их объем, так как каждый критерий имеет ограничение по объему выборки; 4) выбрать критерий. Целесообразно начать работу с наименее трудоемкого критерия. Если критерий не выявил различия – следует применить более мощный (но и более трудоемкий) критерий; 5) при малом объеме выборки n выбрать уровень значимости p  0,05 , так как небольшая выборка и низкий уровень значимости приводят к увеличению вероятности принятия ошибочных решений. 3. Непараметрический критерий Манна-Уитни Назначение критерия. Данный критерий предназначен для оценки достоверности различий по уровню признака в двух независимых выборках. Он оценивает различие между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. Критерий является достаточно мощным и позволяет выявить различия между малыми выборками, когда объемы выборок от 3 до 60. Чем меньше эмпирическое значение критерия U эмп , тем более вероятно, что различия достоверны. Поэтому область принятия гипотезы о существенных различиях в уровне признака находится слева от критического значения U крит , а не справа, как в критерии Q . Ограничения применения критерия 1. Измерение признака должно быть произведено в шкале порядка, интервалов или равных отношений. 2. Выборки должны быть независимыми. 3. Объемы обоих выборок от 3 до 60 (если же n1  2 , то должно быть n2  5 ). Гипотезы  0 : Обе выборки не различаются по уровню проявления данного признака. 1 : Одна выборка превосходит другую выборку по уровню проявления данного признака. Описание действий Шаг 1. Проранжировать значения обеих выборок как одной, приписывая меньшему значению меньший ранг. Всего рангов получится столько, чему равна сумма объемов двух выборок N  n1  n2 . Шаг 2. Подсчитать сумму рангов в первой выборке  Ri (1) N  ( N  1) . 2 Шаг 3. Определить бóльшую из двух ранговых сумм и сформулировать гипотезы  0 Шаг 4. Определить значение U эмп по формуле Проверить, совпадает ли общая сумма рангов с расчетной суммой  Ri (2) . и второй выборке  Ri  и  1. n  (n x  1) U эмп  (n1  n2 )  x x , 2 где n1 – количество испытуемых в выборке 1; n2 – количество испытуемых в выборке 2; x – бóльшая из двух ранговых сумм; n x – количество испытуемых в группе с большей суммой рангов; x - номер выборки с большей суммой рангов. Шаг 5. Определить критическое значение U крит по таблице критических значений критерия U Манна–Уитни для уровня статистической значимости ni ищем в верхней строке, а большее значение ni   0,05 (или   0,01 ); меньшее значение - в левом столбце. Шаг 6. Строим ось значимости, на которой отмечаем критическое значение U крит и эмпирическое значение U эмпир . Чем меньше значения U , тем достоверность различий выше. Если U эмп  U крит (0,05) , то гипотеза «о сходстве»  0 отклоняется на уровне значимости 0,05 (с ошибкой 5%) и с достоверностью 0,95 принимается альтернативная гипотеза о значимости различий в уровне проявления признака. Если же U эмп  U крит (0,05) , то говорят, что нет оснований для отклонения гипотезы  0 о сходстве уровней проявления признака в двух выборках. Область принятия гипотезы  1 о различии выборок по уровню признака U эмп Область принятия гипотезы  0 о сходстве выборок по уровню признака U крит ( p) U эмп Если гипотеза «о сходстве»  0 по критерию U отклоняется на уровне значимости 0,05 (с ошибкой 5%), то она отвергается и на уровне значимости 0,01. 3. Задача на применение критерия Манна-Уитни Задача. У студентов физического и психологического факультетов университета измерялся уровень невербального интеллекта. В таблице приведены значения показателя невербального интеллекта у 14 студентов физического и 12 студентов психологического факультетов. Студенты - физики Студенты - психологи Номер испытуемого Показатель Номер Показатель невербального испытуемого невербального интеллекта интеллекта 1 111 1 113 2 104 2 107 3 107 3 123 4 90 4 122 5 115 5 117 6 107 6 112 7 106 7 105 8 107 8 108 9 95 9 111 10 116 10 114 11 127 11 102 12 115 12 104 13 102 14 99 Можно ли утверждать, что одна из выборок превосходит другую по уровню невербального интеллекта? Решение Вопрос в задаче свидетельствует о том, что необходимо применить критерий различий. Условия применимости U -критерия выполняются: измерение в шкале интервалов; выборки независимые; так как объемы выборок n1  14 и n2  12 , то верно, что 3  n1 , n2  60 . Проранжируем значения признака, согласно правилам ранжирования, приписывая меньшему значению меньший ранг. Заполним таблицу ранговых сумм по выборкам студентов двух факультетов. В скобках указан номер значения показателя по степени нарастания признака – ранг, который получило бы значение признака, если бы не было одинаковых значений. Подсчет ранговых сумм по выборкам студентов Студенты – физики ( n1 Показатель невербального интеллекта 90 95 99 102 104 106 107 107 107 111 115 115 116 -127 Ранговая сумма  14 ) Ранг 1 2 3 (4) 4,5 (6) 6,5 9 (10) 11,5 (11) 11,5 (12) 11,5 (15) 15,5 (20) 20,5 (21) 20,5 22 26  Ri (1)  165 Студенты – психологи ( n 2 Показатель невербального интеллекта 102 104 105 107 108 111 112 113 114 117 122 123 Ранговая сумма  12 ) Ранг (5) 4,5 (7) 6,5 8 (13) 11,5 14 (16) 15,5 17 18 19 23 24 25 -  Ri (2)  186 Всего рангов столько, чему равно N  n1  n2  26 . Подсчитаем суммы рангов в выборке (1) и в выборке (2):  Ri (1)  1  2  3  4,5  6,5  9  11,5  3  15,5  20,5  2  22  26  165 ;  Ri (2)  4,5  6,5  8  11,5  14  15,5  17  18  19  23  24  25  186 . Общая сумма рангов равна Расчетная 165  186  351. N  ( N  1) 26  27  Ri    351 совпадает с общей суммой рангов. 2 2 сумма Теперь можно сформулировать гипотезы.  0 : группа студентов–психологов не отличается от группы студентов–физиков по уровню невербального интеллекта. 1 : группа студентов–психологов превосходит группу студентов–физиков по уровню невербального интеллекта. Определим эмпирическое значение U выборку студентов–психологов приходится бóльшая n x  nпс  12 подставим n (n  1) U эмп  n1n2  x x  x . На 2 ранговая сумма 186, значит, в формулу U эмп и получим: Tx  186 , по формуле 12 (12  1)  186  168  78  186  60 . 2 Определим критическое значение U по таблице (см. Приложения): за n1  12 принимаем меньшее значение n и ищем его в верхней строке, а за n2  14 принимаем большее n и ищем его в левом столбце: U кр  51 для p  0,05 . U эмп  14  12  Строим «ось значимости» для p  0,05 и отмечаем значения U крит (0,05)  51 и U эмп  60 . Область принятия гипотезы о различии выборок по уровню признака Область принятия гипотезы о сходстве выборок по уровню признака U крит (0,05)  51 Так как U эмп  60 больше U крит (0,05)  51 , U эмп  60 U то различия между уровнем невербального интеллекта студентов-психологов и студентов-физиков несущественны на уровне значимости 5%. Значит, с ошибкой 0,05 можно считать, что исследуемая группа студентов-психологов не превосходит по уровню невербального интеллекта группу студентов-физиков. 1. 2. 3. 4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ Приведите пример задачи сравнения независимых выборок по уровню признака. Какие характеристики выборки необходимо знать, чтобы определить выбор критерия различия? Каковы последующие действия исследователя, если применимый критерий не выявил различия в выборках по уровню признака? Найдите по таблице критических значений критерия Манна–Уитни значение U крит для , n1  13 , n 2  10 . p  0,05