Проценты в финансовых операциях

3. ПРОЦЕНТЫ В ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЯХ Разработка многих разделов бизнес-плана невозможно без элементарных знаний финансовой математики. Трудно оценить наиболее оптимальный путь финансирования проекта, невозможно грамотно учесть временное обесценение денежных средств или оценить влияние инфляции без изучения основ финансовой математики, поэтому следующие разделы будут посвящены именно ей. В широком смысле финансовая математика — это любые финансовые вычисления для достижения какой-либо цели. Финансовая математика является ядром финансового менеджмента, представляет собой аппарат и методы расчетов, необходимые при финансовых операциях, когда оговариваются значения трех параметров: стоимостные характеристики (размеры платежей, кредитов, долговых обязательств), временные данные (даты и сроки выплат, отсрочки платежей, продолжительность льготных периодов), специфические элементы (процентные и учетные ставки) [3]. Введем основные понятия финансовой математики. Проценты — это доход от предоставления капитала в долг. Будем обозначать проценты латинской буквой I. Процентная ставка — это величина, которая характеризует интенсивность начисления процентов. Исходную инвестированную сумму будем называть первоначальной суммой и обозначать латинской буквой Р. Наращенная сумма S — это первоначальная сумма и проценты S = Р + I. Период начисления — это промежуток времени, за который начисляются проценты. Интервал начисления — это минимальный промежуток времени, по прошествии которого происходит начисление процентов. Например, первоначальная сумма может быть инвестирована на 2 года (период начисления), а проценты на нее будут начисляться каждый квартал (интервал начисления). Период начисления будем считать в годах, а количество лет обозначим n. При этом если в году несколько интервалов начисления, то m обозначим количество начислений в каждом году. Различают два способа начисления процентов: декурсивный и антисипативный. При декурсивном способе проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Декурсивная процентная ставка i называется ссудным процентом. При антисипативном (предварительном) способе проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Антисипативная процентная ставка d называется учетной ставкой. В обоих способах начисления процентов процентные ставки могут быть простыми (в течение всего периода начисления применяются к первоначальной сумме), либо сложными (в каждом интервале начисления применяются к текущей наращенной сумме). 3.1. Простые ставки ссудных процентов Пусть Р — первоначальная сумма, S — наращенная сумма, i — годовая процентная ставка (проценты простые). Так как проценты простые, то в течение всего периода начисления они применяются к первоначальной сумме Р. Предположим, что первоначальная сумма Р была помещена в банк под i процентов годовых (проценты простые). По прошествии 1 года наращенная сумма S = Р (первоначальная сумма) + iP (проценты) = Р(1 + i). По прошествии еще 1 года (всего 2х лет) наращенная сумма S = Р(1 + i) (наращенная сумма после одного года) + iP (проценты) = Р(1 + 2i). По прошествии еще 1 года (всего 3х лет) наращенная сумма S = Р(1 + 2i) (наращенная сумма после двух лет) + iP (проценты) = Р(1 + 3i). Если п — период начисления процентов (в годах), то наращенная сумма через п лет: S = Р(1 + ni) (3.1) Пример 3.1. Первоначальная сумма 10000 руб. помещена в банк на 2 года под 10% годовых, проценты простые ссудные. Найти наращенную сумму. Дано: Р = 10000 руб. п = 2 года i = 10% Найти: S=? Решение: наращенная сумма после двух лет S = Р(1 + 2i) = 10000(1 + 2*0,1) = 12000 руб. Зная первоначальную сумму Р, наращенную сумму S, простую годовую процентную ставку i, можно определить период начисления п (в годах): n = (S/P-1)/i (3.2) Пример 3.2. Первоначальная сумма 3000 руб., наращенная сумма 4500 руб., условия вклада 20% годовых, проценты простые ссудные. Определить период наращения. Дано: Р = 3000 руб. S = 4500 руб., i = 20% Найти: п =? Решение: период начисления п=(4500/3000 – 1)/0,2= 2,5 года. Зная первоначальную сумму Р, наращенную сумму S, период начисления п (в годах), можно определить простую годовую процентную ставку i: i =(S/P-1)/n (3.3) Пример 3.3. Первоначальная сумма 2000 руб. через пол года составила 2200 руб. Определить простую процентную ставку ссудного процента. Дано: Р = 2000 руб. S = 2200 руб., п = 0,5 года Найти: i =? Решение: простая процентная ставка i = (2200/2000 – 1)/0,5 = 0,2 (или 20% годовых). 3.1.1. Математическое дисконтирование в случае простых ссудных ставок Математическим дисконтированием называется операция, когда по наращенной сумме S, периоду начисления п и простой процентной ставке i определяют первоначальную сумму Р: Р =S/(1+ni) (3.4) Пример 3.4. По истечении квартала наращенная сумма составила 7210 руб., простая процентная ставка ссудного процента 12% годовых. Определить первоначальную сумму вклада. Дано: S = 7210 руб., i = 12% п = 0,25 года Найти: Р = ? Решение: первоначальная сумма P=7210/(1+0,25*0,12)=7000 руб. 3.1.2. Английская, немецкая и французская практики начисления процентов В формуле S = Р(1 + ni) период начисления п измеряется в годах. Это не всегда удобно, когда период начисления меньше года (например, с 22 мая по 24 декабря того же года). В этом случае полагают п = t/T, где t — период начисления (в днях), T — продолжительность года (в днях), тогда S = Р(1 + it/T) (3.5) Дата выдачи и дата погашения ссуды всегда считаются за один день. В немецкой практике начисления процентов один полный месяц равен 30 дням, продолжительность года T = 360 дней. Такие проценты носят наименование обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды, обозначается 360/360. Во французской практике период начисления процентов равен фактическому сроку, продолжительность года T = 360 дней, называются обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, обозначаются 365/360. В английской практике период начисления процентов равен фактическому сроку, продолжительность года T= 365 дней (невисокосный год) или 366 дней (високосный год), называются точные проценты с точным числом дней ссуды, обозначаются 365/365. Пример 3.5. Первоначальная сумма 3000 руб. помещена в банк под 12% годовых, проценты простые ссудные, на срок с 22 мая по 24 декабря того же года. Определить наращенную сумму в каждой из практик начисления процентов. Дано: Р = 3000 руб. i = 12% t: 22.05 – 24.12 Найти: S = ? Решение: В немецкой практике начисления процентов продолжительность года T = 360 дней, t = 10 (май) + 6*30 (июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь) + 24 (декабрь) - 1 (день открытия и день закрытия счета считаются за один день) = 213 дней. Тогда S = Р(1 + it/Т) = 3000*(1 + 0,12*213/360) = 3213 руб. Во французской практике продолжительность года Т = 360 дней, t = 10 (май) + 30 (июнь) + 31 (июль) + 31 (август) + 30 (сентябрь) + 31 (октябрь) + 30 (ноябрь) +24 (декабрь) - 1 (день открытия и день закрытия счета считаются за один день) = 216 дней. Тогда S = Р(1 + it/Т) = = 3000*(1 + 0,12*216/360) = 3216 руб. В английской практике продолжительность года Т = 365 дней, t = 216 дней. Тогда S = Р(1 + it/T) = 3000*(1 + 0,12*216/365) = 3213,04 руб. 3.2. Сложные ставки ссудных процентов Пусть Р — первоначальная сумма, S — наращенная сумма, i — годовая процентная ставка (проценты сложные). Так как проценты сложные, то в конце каждого интервала начисления процентная ставка применяется к наращенной сумме на начало этого интервала начисления. Предположим, что первоначальная сумма Р была помещена в банк под i процентов годовых (проценты сложные ссудные). По прошествии первого года наращенная сумма S = Р (сумма на начало этого интервала начисления) + iP (проценты) = Р(1 + i). По прошествии второго года наращенная сумма после двух лет S = Р(1 + i) (наращенная сумма после одного года) + iP(1+i) (проценты) = Р(1 + i)(1 + i) = P(1+i)2. По прошествии третьего года наращенная сумма S = Р(1 + i)2 (наращенная сумма после двух лет) + iP(1+ i)2 (проценты) = Р(1+i)(1+i)2 = Р(1 + i)3. Если п — период начисления процентов (в годах), то наращенная сумма через п лет: S = Р(1 + i)n (3.11) Пример 3.9. Первоначальная сумма 10000 руб. помещена в банк на 2 года под 15% годовых, проценты ссудные сложные. Дано: Р = 10000 руб. п = 2 года i = 15% Найти: S = ? Решение: наращенная сумма после двух лет S = Р(1 + i)n = 10000(1 + 0,15)2 = 13225 руб. Зная первоначальную сумму Р, наращенную сумму S, сложную годовую процентную ставку i, можно определить период начисления п (в годах): n = ln(S/P)/ln(1 + i) (3.12) Пример 3.10. Определить за какой срок первоначальная сумма 3000 руб. вырастет до 4500 руб., если условия кредитора 20% годовых (проценты ссудные сложные). Дано: Р = 3000 руб. S = 4500 руб. i = 20% Найти: п = ? Решение: период начисления ln(4500/3000)/ln(1 + 0,2) = 2,2 года. п = ln(S/P)/ln(1+i) = Зная первоначальную сумму Р, наращенную сумму S, период начисления п (в годах), можно определить сложную годовую процентную ставку i n i = √ S /P -1 (3.13) Пример 3.11. Определить под какую ставку сложного ссудного процента необходимо поместить сумму 2000 руб., чтобы через три года она составила 3500 руб. Дано: Р = 2000 руб. S = 3500 руб. п = 3 года Найти: i = ? n Решение: сложная ссудная процентная ставка i = √ S /P−1 = 3 √ 3500/2000 - 1 =0,205 (или 20,5% годовых). 3.2.1. Математическое дисконтирования в случае сложных ссудных ставок Математическим дисконтированием называется операция, когда по наращенной сумме S, периоду начисления п и сложной процентной ставке i нужно определить первоначальную сумму Р: Р = S/(1 + i)n (3.14) Пример 3.12. Определить первоначальную сумму, если наращенная сумма 7000 руб., период начисления 2 года, сложная процентная ставка 12% годовых. Дано: S = 7000 руб. п = 2 года i = 12% Найти: Р = ? Решение: первоначальная сумма Р = S/(l + i)n = = 7000/(1 + 0,12)2 = 5580,36 руб. 3.2.4. Начисление сложных процентов несколько раз в году. Номинальная процентная ставка Начисление сложных процентов может происходить несколько раз в году. В этом случае указывают номинальную процентную ставку j, на основании которой рассчитывают процентную ставку для каждого интервала начисления. Если в году т интервалов начисления, то на каждом из них процентная ставка равна j/m. Тогда наращенная сумма S = Р(1 + j/m)nm. Аналогично вышесказанному из этой формулы можно выразить любую величину через остальные: Р = S/(1 + j/m) nm (3.17) п = ln(S/P)/mln(1+ j/m) nm j = m( √ S /P−1) (3.18) (3.19) Пример 3.15. Найти наращенную сумму, если на первоначальную сумму 7000 руб. в течении двух лет начисляются проценты по сложной номинальной процентной ставке 12% годовых ежеквартально. Дано: Р = 7000 руб. п = 2 года j = 12% т = 4 (в году 4 квартала) Найти: S = ? Решение: наращенная сумма S = Р(1 + j/m)nm = 7000(1 + 0,12/4)2*4 = 8867,39 руб. 3.5. Эквивалентные ставки. Очень часто перед инвестором стоит задача выбора одного из этих вариантов инвестирования первоначальной суммы. Возникает задача сравнения между собой различных процентных ставок. Две ставки называются эквивалентными, если при одинаковой первоначальной сумме Р и на одинаковом периоде начисления п они приводят к одинаковой наращенной сумме S. При сравнении двух ставок из разных классов для одной из них находят эквивалентную ей ставку из другого класса и проводят сравнение двух ставок из одного класса. 3.5.1. Нахождение эквивалентной простой ссудной процентной ставки для сложной ссудной процентной ставки Пусть Р — первоначальная сумма, п — период начисления. При использовании простой процентной ставки i наращенная сумма S1= Р(1 + ni). При использовании сложной процентной ставки iC наращенная сумма S2 = Р(1 + iс)n Так как ставки эквивалентны, то наращенные суммы равны: S1 = S2, то есть Р(1 + ni) = Р(1 + iс)n. Следовательно 1 + ni = (1 + iс)n => i = ((1 + iс)n -1)/n (3.27) Пример 3.24. Какой вариант инвестирования первоначальной суммы на 3 года лучше: под простую процентную ставку 18% годовых или под сложную процентную ставку 15% годовых? Дано: i = 18% iс = 15% n =3 года Найти: наилучший вариант. Решение: найдем эквивалентную простую ссудную процентную ставку для сложной ссудной процентной ставки iс = 15% годовых за период начисления п = 3 года. i = ((1 + iс)n -1)/n = ((1 + 0,15)3 - 1)/3 = 0,174 (или 17,4% годовых) < 0,18. Таким образом, лучше вариант с простой ссудной процентной ставкой.