Приведение уравнения с двумя переменными к каноническому виду методом характеристик

Лекция 3. Приведение уравнения с двумя переменными к каноническому виду методом характеристик 1. Приведение линейного уравнения с двумя переменными к каноническому виду методом характеристик. Будем говорить, что линейное уравнение 2-го порядка приведено к каноническому виду в точке , если главная часть его в этой точке имеет вид где . Для уравнений с двумя переменными существует способ приведения к каноническому виду сразу во всех точках области, где уравнение принадлежит к определенному типу. Этот способ называется методом характеристик. Метод характеристик. Пусть . В этом случае линейное уравнение 2-го порядка имеет вид или, короче, Выпишем главную часть уравнения и соответствующую квадратичную форму: Для выяснения, к какому типу относится рассматриваемое уравнение, воспользуемся методом ортогональных преобразований приведения квадратичной формы к каноническому виду. Выпишем матрицу квадратичной формы и составим характеристическое уравнение: Согласно методу ортогональных преобразований корни характеристического уравнения являются коэффициентами канонического вида квадратичной формы. Поскольку в силу теоремы Виета , получаем: 1) и разного знака – гиперболический тип; 2) и одного знака – эллиптический тип; 3) один или оба корня равны нулю – параболический тип. Гиперболический тип. Составим так называемое характеристическое уравнение (или уравнение для характеристик): Это уравнение, рассматриваемое как квадратное относительно , имеет положительный дискриминант (напомним, что сейчас рассматривается случай уравнения гиперболического типа, следовательно ), а потому распадается на два уравнения 1-го порядка: Пусть и – общие интегралы этих уравнений. Сделаем замену и выразим частные производные по старым переменным через частные производные по новым: Подставляем в главную часть уравнения: . Заметим, что коэффициенты при производных и в полученной формуле равны нулю. Действительно, Аналогично, . В итоге получаем: откуда после деления на приходим к виду Соответствующая главной части полученного уравнения квадратичная форма известным преобразованием сводится к нормальному виду , которому соответствует канонический вид уравнения гиперболического типа Отметим, однако, что и ранее полученное выражение называют каноническим видом гиперболического уравнения 2-го порядка с двумя переменными. Эллиптический тип. В рассматриваемом случае характеристическое уравнение имеет отрицательный дискриминант и, соответственно, комплексно-сопряжённые корни и . Следовательно, интегралы характеристического уравнения и комплексные и, более того, комплексно сопряженные. Делаем замену: . После замены главная часть примет вид (проверьте!) – канонический вид (после деления на ) уравнения эллиптического типа. Параболический тип. В случае параболического уравнения дискриминант уравнения для характеристик равен нулю, а потому имеется только один корень и, как следствие, всего один общий интеграл . Делаем замену: , где – произвольная функция класса , независимая с . После замены главная часть примет вид (проверьте!) , откуда опять-таки делением на получаем канонический вид для параболического уравнения. В заключение дадим определение, поясняющее название рассмотренного нами метода. Определение. Характеристиками уравнения называются кривые, задаваемые уравнениями , где – действительный интеграл уравнения . Посмотрим, какие характеристики имеют уравнения рассмотренных нами типов. 1) В эллиптическом случае, как было выяснено, интегралы и комплексные. Характеристик нет. 2) В гиперболическом случае имеем два семейства характеристик: и . 3) В параболическом случае имеется всего один общий интеграл, следовательно, и одно семейство характеристик.