Принятие решений в условиях неопределённости и риска

Тема 5. Принятие решений в условиях неопределённости и риска Лекция 13 2 Пример. Проблема студента Василия Василий – прилежный студент, который обычно получает хорошие отметки благодаря, в частности тому, что имеет возможность повторить материал в ночь перед экзаменом. Перед завтрашним экзаменом Василий столкнулся с проблемой. Его сокурсники организовали на всю ночь вечеринку, в которой он хочет поучаствовать. У Василия три альтернативы: участвовать в вечеринке всю ночь; половину ночи участвовать, а половину учиться; учиться всю ночь (а1, а2, а3). Профессор, принимающий завтрашний экзамен, непредсказуем, и экзамен может оказаться лёгким, средним или трудным (s1, s2, s3). В зависимости от сложности экзамена и времени, затраченного Василием на повторение, можно ожидать следующие баллы: 3 Какой выбор следует сделать Василию? Пример. Проблема студента Василия Альтернативы: а1 – участвовать в вечеринке всю ночь, а2 – половину ночи участвовать в вечеринке, а половину - учиться, а3 – учиться всю ночь. 4 Экзамен: s1 – лёгкий, s2 – средний, s3 – трудный. Экзаменационные баллы (из 100 возможных): Задачи принятия решений в условиях неопределённости (УН) – это задачи принятия решений, в которых влияние внешней среды учитывается, но вероятность реализации ее состояний неизвестна и не может быть оценена. Решения ЛПР 5 Состояния среды s1 s2 … sn d1 d2 h(d1,s1) h(d1,s2) … h(d1,sn) h(d2,s1) h(d2,s2) … h(d2,sn) … … h(dm,s1) … h(dm,s2) … … … h(dm,sn) dm Принятие решений в условиях неопределенности d – возможное решение s – состояние внешнего фактора ℎ(𝑑, 𝑠) – полезность решения 𝑑 при условии, что реализовалось состояние внешнего фактора 𝑠. max h(d , s ) d 6 Критерий «осторожного наблюдателя» (Критерий Вальда) Предположение. Среда всегда наихудшим образом влияет на исход любого решения. max min h(d , s )  min h(d 0 , s ) d s s d 0 – стратегия осторожного наблюдателя. (Максиминная стратегия) 7 Исходные данные в задаче принятия решений в УН Решения ЛПР 8 Состояния среды min h(d , s) s1 s2 … sn d1 d2 h(d1,s1) h(d1,s2) … h(d1,sn) h(d1 , s j1 ) h(d2,s1) h(d2,s2) … h(d2,sn) h(d 2 , s j2 ) … … … … … … dm h(dm,s1) h(dm,s2) … h(dm,sn) d 0 : max min h(di , s j ) di sj s h(d m , s jm ) Пример. Проблема студента Василия Состояния среды Решения ЛПР s1 – лёгк. экз. s2 – средн. экз. s3 – трудн. a1 – вечеринка 85 60 40 40 a2 – вечеринка 92 85 81 81 a3 – учиться 100 88 82 82  max min h(ai , s j ) экз. min h(d , s) s всю ночь полночи всю ночь ai sj Стратегия осторожного наблюдателя: учиться всю ночь. 9 Критерий «здорового оптимиста» Предположение. Среда всегда наилучшим образом влияет на исход любого решения. max max h(d , s )  max h(d1 , s ) d s s d1 – стратегия здорового оптимиста. 10 Пример. Проблема студента Василия Состояния среды Решения ЛПР s1 – лёгк. экз. s2 – средн. экз. s3 – трудн. a1 – вечеринка 85 60 40 85 a2 – вечеринка 92 85 81 92 a3 – учиться 100 88 82 max h(d , s) s экз. всю ночь полночи всю ночь 100  max max h(ai , s j ) ai Стратегия здорового оптимиста: учиться всю ночь. 11 sj Критерий «здорового оптимиста» Обозначим   max min h(d , s) d s   max max h(d , s) d – критерий осторожного наблюдателя – критерий здорового оптимиста s   характеризует уровень неопределенности в задаче.   h( d , s )   12 Пример. Проблема студента Василия Состояния среды Решения ЛПР s1 – лёгк. экз. s2 – средн. экз. s3 – трудн. экз. a1 – вечеринка всю 85 60 40 a2 – вечеринка 92 85 81 a3 – учиться всю ночь 100 88 82 ночь полночи   max min h(d , s)  82 d s   max max h(d , s)  100 d 13 100  82  8 s Уровень неопределённости в задаче – 8 баллов. Критерий Гурвица Предположение. Среда наилучшим образом влияет на исход любого решения с вероятностью 𝜶 и наихудшим образом с вероятностью 𝟏 − 𝜶 .   [0,1] 14 – субъективная вероятность Критерий Гурвица Ожидаемая полезность решения 𝑑 при уровне субъективной вероятности 𝛼: H (d )   max h(d , s )  (1   ) min h(d , s) s s max H (d )  H (d a ) d 𝑑𝛼 – решение по критерию Гурвица при уровне субъективной вероятности 𝛼 15 Пример. Пессимистическое решение Состояния среды Решения ЛПР s1 – лёгк. min h(d , s ) max h(d , s) экз. s2 – средн. экз. s3 – трудн. a1 – вечеринка всю 85 60 40 40 85 a2 – вечеринка 92 85 81 81 92 a3 – учиться всю 100 88 82 82 100 s s экз. ночь полночи ночь   0,1 H 0,1 (d )  0,1  max h(d , s)  (1  0,1) min h( d , s) s s H 0,1 (a1 )  0,1  85  0,9  40  44,5 H 0,1 (a2 )  0,1  92  0,9  81  82,1 H 0,1 (a3 )  0,1 100  0,9  82  83,8  max H 0,1 (d ) d 16 Критерий Гурвица при субъективной вероятности 0,1: учиться всю ночь. Пример. Оптимистическое решение Состояния среды Решения ЛПР s1 – лёгк. min h(d , s ) max h(d , s) экз. s2 – средн. экз. s3 – трудн. a1 – вечеринка всю 85 60 40 40 85 a2 – вечеринка 92 85 81 81 92 a3 – учиться всю 100 88 82 82 100 s s экз. ночь полночи ночь   0,8 H 0,8 (d )  0,8  max h(d , s)  0, 2  min h( d , s) s s H 0,8 (a1 )  0,8  85  0, 2  40  76 H 0,8 (a2 )  0,8  92  0, 2  81  89,8 H 0,8 (a3 )  0,8 100  0, 2  82  96, 4  max H 0,8 (d ) d 17 Критерий Гурвица при субъективной вероятности 0,8: учиться всю ночь. Пример. Реалистическое решение Состояния среды Решения ЛПР s1 – лёгк. min h(d , s ) max h(d , s) экз. s2 – средн. экз. s3 – трудн. a1 – вечеринка всю 85 60 40 40 85 a2 – вечеринка 92 85 81 81 92 a3 – учиться всю 100 88 82 82 100 s s экз. ночь полночи ночь   0,5 H 0,5 (d )  0,5  max h(d , s )  0,5  min h(d , s) s s H 0,5 (a1 )  0,5  85  0,5  40  62,5 H 0,5 (a2 )  0,5  92  0,5  81  86,5 H 0,5 (a3 )  0,5 100  0,5  82  91  max H 0,5 (d ) d 18 Критерий Гурвица при субъективной вероятности 0,5: учиться всю ночь. Критерий Лапласа Предположение. Внешний фактор 𝑠 является случайной величиной, распределенной по равномерному закону. Пусть множество состояний среды конечно: S  s1 , s2 ,..., sn  ; 1 P s j   , j  1,..., n n Ожидаемая полезность решения 𝑑 в предположениях Лапласа: 1 n H l (d )   h  d , s j  n j 1 19 Критерий Лапласа max H l (d )  H l (dl ) d dl – оптимальное решение по критерию Лапласа 20 Пример 1 n H l (d )   h  d , s j  n j 1 Состояния среды Решения ЛПР a1 – вечеринка всю ночь a2 – вечеринка полночи a3 – учиться всю ночь s1 – лёгк. экз. s2 – s3 – трудн. экз. 85 60 40 92 85 81 100 88 82 средн. экз. 1 85  60  40   61, 67 3 1 H l (a2 )   92  85  81  86 3 1 H l (a3 )  100  88  82   90 3 H l (a1 )  21 Решение по критерию Лапласа: учиться всю ночь. Критерий Сэвиджа Предположение. Среда всегда наихудшим образом влияет на исход любого решения в соответствии с функцией Сэвиджа hs  max h(d , s ) d H (d , s )  [h(d , s )  hs ] c – функция Сэвиджа (функция «сожаления») H (d , s)  0 c 22 Критерий Сэвиджа max min H (d , s )  min H (d c , s) c d s c s d c – оптимальное решение по критерию Сэвиджа 23 Пример H (d , s)  [h(d , s)  hs ] c Состояния среды Решения ЛПР s1 – лёгк. экз. s3 – трудн. экз. 85 60 40 средн. экз. a1 – вечеринка всю ночь a2 – вечеринка полночи a3 – учиться всю ночь 92 85 81 100 88 82 hs  max h(d , s) 100 88 82 d Функция Сэвиджа: 24 s2 – a1 a2 a3 s1 s2 s3 -15 -8 -28 -3 -42 -1 min -42 -8 Замечания 25 1. Рассмотренный пример – удивительное исключение из правил: обычно, различные критерии дают различные решения. Иногда – прямо противоположные. 2. Для решения задачи принятия решения в условиях неопределённости ЛПР выбирает критерий, наиболее подходящий именно ему. 3. В случае применения критерия Гурвица, как правило рассматривают три различных варианта решения: оптимистичный, пессимистичный и реалистичный. А далее ЛПР определяет свой собственный настрой и ориентируется на него. 4. При большом уровне неопределённости, как правило, привлекают команду экспертов и переводят задачу в разряд задач принятия решений в условиях риска. Экзамен по курсу Прикладные модели оптимизации 1. Любые задолженности по курсу принимаются (с потерей баллов). 2. Список экзаменационных вопросов выложу до 1 июня. 3. Информацию о форме проведения экзамена выложу в личный кабинет не позднее 10 июня. 4. Все вопросы – на e-mail с пометкой: «ПМО. ВОПРОС. Группа №…». 26 Домашнее задание № 6 Решите задачу принятия решения в условиях неопределённости, воспользовавшись каждым из рассмотренных критериев. СРОК: 02.06.2020 27