Принципы прогнозирования стационарных ARMA процессов

Лекция №9. Принципы прогнозирования стационарных ARMA процессов В данной лекции обсуждаются основы задачи прогнозирования временных рядов и в частности прогнозирование процессов ARMA. Для более подробного изучения данного раздела рекомендуется обратиться к учебнику Hamilton J. D. Time series analysis. Princeton university press, Princeton, New Jersey. 1994. Глава 4. Принципы прогнозирования Рассмотрим задачу построения прогноза  значения некоторой переменной , основанного на известных значениях некоторых переменных . Ключевой момент решения задачи прогнозирования – это выбор функции отклонения (функции потерь, вида ошибки прогноза, loss function, forecast error type). Большая часть известных результатов относится к задачам построения прогнозов в терминах среднеквадратической ошибки прогноза: , . Наилучшим в среднеквадратическом смысле прогнозом является условное математическое ожидание  при известных : . Линейный прогноз, линейная проекция Рассмотрим прогнозы , которые линейны по известным переменным : . Одним из вариантов линейного прогноза является линейная проекция  на  – линейный прогноз , некоррелированный с : . По определению линейной проекции: . Тогда, если матрица  невырожденная, то . Линейная проекция является наилучшим в среднеквадратическом смысле линейным прогнозом. Для построения линейной проекции в набор переменных  включают константу: . Прогнозы, основанные на бесконечном числе наблюдений Прогноз на основе лагов ошибки Рассмотрим стационарный процесс, представимый в виде : , , , , , . При известной истории ошибок на момент времени  , наилучший в СКС линейный прогноз имеет вид Ошибка и СКО такого прогноза составляет , .   Например, прогнозирование процесса : Оптимальный прогноз имеет вид: СКО прогноза имеет вид:   Запись прогноза в терминах лагового оператора Для более компактной записи прогноза, основанного на бесконечном числе наблюдений, используют лаговый оператор: где , а оператор  «оператор уничтожения»  приравнивает в полиноме отрицательные степени к нулю. Прогноз на основе лагов переменной Рассмотрим стационарный процесс, представимый в виде : , , , , , . Частными случаями такого процесса являются стационарные процессы , процессы , стационарные смешанные процессы  и т.д. При бесконечном числе известных наблюдений  можно использовать обратимость процесса и получить оптимальный прогноз в виде прогноза процесса . Например, для процесса  можно выразить последовательность значений ошибки  и построить прогноз. В общем виде прогноз имеет вид (формула Винера – Колмогорова): , где .   Прогноз стационарного процесса В терминах  процесс имеет вид , где Тогда , , .   Прогноз стационарного процесса , где ,  элементы матрицы , . Тогда оптимальный линейный прогноз процесса имеет вид т.е. вычисление оптимального прогноза стационарного процесса  для любого горизонта прогноза  требует не более  последних известных значений ряда. Ошибка прогноза имеет вид: , . Самый простой способ вычислить такой прогноз – это рекурсия: , где , для   Прогноз обратимого процесса сразу применим формулу Винера – Колмогорова: , ; Тогда прогноз имеет следующий вид ; Упростим вид прогноза на 1 шаг вперед:     Прогноз обратимого процесса сразу применим формулу Винера – Колмогорова: , ; Тогда прогноз имеет следующий вид ; где .   Прогноз стационарного процесса сразу применим формулу Винера – Колмогорова: , , , или в форме рекурсии , для , , где .   Прогноз стационарного процесса Прогноз в форме рекурсии: 1) на один шаг вперед: , ; 2) на  шагов вперед, : 3) : , где , если .   Прогнозы, основанные на конечном числе наблюдений Аппроксимация оптимального прогноза Один из способов обойтись конечным числом наблюдений – это положить ошибки в моменты времени, предшествующие выборочному диапазону наблюдений, равными нулю: . Например, при прогнозировании процесса , вычисление величин , начинается с момента времени , полагая, что  для :                                ,                                ,                                , … Качество такой аппроксимации зависит от размера выборки  (чем больше, тем точнее) и коэффициентов процесса (чем ближе процессы к необратимым и/или нестационарным, тем хуже приближение).   Точный прогноз на основе конечной выборки Под вычислением точных прогнозов, основанных на конечной выборке, понимают вычисление оптимального линейного прогноза величины  на основе ее последних  значений  ̶  необходимо вычислить точную линейную проекцию  величины  на вектор , т.е. , , . Если процесс, порождающий величины , стационарен в дисперсии, то