Принципы механики: принцип Даламбера, принцип Лагранжа

Лекция 4. Принципы механики План лекции Тема 13. Принцип Даламбера 13.1 Принцип Даламбера для материальной точки 13.2 Принцип Даламбера для механической системы 13.3 Вычисление главного вектора и главного момента сил инерции 13.4 Приведение сил инерции твердого тела Тема 14. Принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики 14.1 Классификация связей, налагаемых на систему 14.2 Возможные перемещения системы. Число степеней свободы 14.3 Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа) 14.4 Общее уравнение динамики (принцип Даламбера – Лагранжа) Приложения Приложение А. Вопросы для самоконтроля по материалу лекции 4 (тема 13) Приложение Б. Вопросы для самоконтроля по материалу лекции 4 (тема 14) Тема 13. Принцип Даламбера 13.1 Принцип Даламбера для материальной точки Понятие силы инерции точки Векторная величина, равная по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленная противоположно этому ускорению, называется силой инерции точки   F u  ma. Формулировка принципа Даламбера для точки Если в любой момент времени к действующим на точку активным силам и реакции связи присоединить силу инерции, то полученная система сил будет уравновешенной a  и F  N  F  0. 13.2 Принцип Даламбера для механической системы Если в любой момент времени к каждой из точек системы кроме действующих на нее внешних и внутренних сил присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применять все уравнения равновесия статики e i и Fk  Fk  Fk  0, k  1,...,n 13.3 Вычисление главного вектора и главного момента сил инерции Главный вектор сил инерции системы Главным вектором сил инерции механической системы называется геометрическая сумма сил инерции точек системы и и R   Fk . Главный момент сил инерции относительно центра Главным моментом сил инерции механической системы относительно некоторого центра называется геометрическая сумма моментов сил инерции точек системы относительно того же центра и М0    и m0 (Fk ). Вычисление главного вектора сил инерции системы Главный вектор сил инерции механической системы (в частности, твердого тела) равен произведению массы системы (тела) на ускорение центра масс и направлен противоположно этому ускорению.   R и   maC . 2 Вычисление главного момента сил инерции относительно центра и оси Главный момент сил инерции механической системы (твердого тела) относительно некоторого центра или оси z равен взятой со знаком минус производной по времени от кинетического момента системы (тела) относительно того же центра или оси  и dK 0 dK М0   и М Zи   Z . dt dt 13.4 Приведение сил инерции твердого тела Приведение сил инерции твердого тела, движущегося поступательно и Силы инерции тела приводятся к равнодействующей, равной R и проходящей через центр масс тела. Приведение сил инерции при вращательном движении твердого тела вокруг оси, проходящей через центр масс тела В этом случае система сил инерции тела приводится к одной паре сил с и моментом М оz , лежащей в плоскости симметрии тела и М ОZ   J OZ  ω   J OZ  ε. Приведение сил инерции при плоском движении твердого тела вокруг оси, проходящей через центр масс тела В этом случае система сил инерции тела приводится к лежащей в и плоскости симметрии силе, равной R , и приложенной в центре масс С тела, и паре с моментом М оzи = – JCZ ε. Вопросы для самоконтроля по теме 13 даны в приложении А Тема 14. Принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики 14.1 Классификация связей, налагаемых на систему Определение связей Связями называются любого вида ограничения, которые налагаются на положения и скорости точек механической системы и выполняются независимо от того, какие на систему действуют заданные силы. Стационарные и нестационарные связи Связи, не изменяющиеся со временем, называются стационарными, а изменяющиеся со временем – нестационарными. Геометрические и кинематические (дифференциальные) связи Связи, налагающие ограничения на положение (координаты) точек системы, называются геометрическими, а налагающие ограничения еще и на скорости (первые производные от координат по времени) точек системы – кинематическими или дифференциальными. 3 Голономные и неголономные связи Геометрические и интегрируемые дифференциальные связи называются связями голономными, а неинтегрируемые дифференциальные связи – неголономными. Удерживающие и неудерживающие связи Удерживающими связями называются связи, которые накладывают ограничения, сохраняющиеся при любом положении системы, неудерживающими – связи, которые этими свойствами не обладают (от таких связей система может «освобождаться»). 14.2 Возможные перемещения системы. Число степеней свободы Определение возможных перемещений Возможными (или виртуальными) перемещениями механической системы называется любая совокупность элементарных перемещений точек этой системы из занимаемого в данный момент времени положения, которые допускаются всеми наложенными на систему связями.  Возможные перемещения обозначаются символом δ (δs, δх,  r и т.д.). Число степеней свободы механической системы Число независимых между собой возможных перемещений механической системы называется числом степеней свободы этой системы. У механической системы с геометрическими связями число независимых координат, определяющих положение системы, совпадает с числом ее степеней свободы. Возможная работа силы Возможной работой называется элементарная работа, которую действующая на материальную точку сила могла бы совершить на перемещении, совпадающем с возможным перемещением этой точки. Возможная работа активной силы   δAa  F  δr . Возможная работа реакции связи   δAr  N  δr . Идеальные связи Идеальными называются связи, для которых элементарная работа их реакций на любом возможном перемещении системы равна нулю  δАkr  0. 4 14.3 Принцип возможных перемещений Теорема. Для равновесия механической системы с идеальными стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю  δАkе  0. Или в аналитической форме  (  F kха   х k   F kуa   у k   F kza   z k )  0 . 14.4 Общее уравнение динамики (принцип Даламбера – Лагранжа) Теорема. При движении механической системы с идеальными стационарными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю.  δАka   δ Аkи  0. Вопросы для самоконтроля по теме 14 даны в приложении Б 5 Приложение А Вопросы для самоконтроля по материалу лекции 4 (тема 13). 1. Что называется силой инерции точки? 2. Как формулируется Принцип Даламбера для материальной точки? 3. Как формулируется Принцип Даламбера для механической системы? 4. Что называется главным вектором сил инерции механической системы? 5. Что называется главным моментом сил инерции механической системы относительно центра? 6. Как вычисляется главный вектор сил инерции механической системы? 7. Как вычисляется главный момент сил инерции механической системы относительно центра? 8. Как вычисляется главный момент сил инерции механической системы относительно оси? 9. К какому простейшему виду приводятся силы инерции механической системы при ее поступательном движении? 10. К какому простейшему виду приводятся силы инерции механической системы при ее вращательном движении вокруг оси, проходящей через центр масс? 6 Приложение Б Вопросы для самоконтроля по материалу лекции 4 (тема 14). 1. Что называется связью? 2. Какие связи называются стационарными и нестационарными? 3. Какие связи называются геометрическими и кинематическими? 4. Какие связи называются интегрируемыми и неинтегрируемыми? 5. Какие связи называются голономными и неголономными? 6. Какие связи называются удерживающими и неудерживающими?. 7. Какие перемещения точки и системы называются возможными? 8. Что такое число степеней свободы системы? 9. Что называется возможной работой силы? 10.Какие связи называются идеальными? 11.В чем состоит принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа)? 12.В чем состоит общее уравнение динамики (принцип Даламбера-Лагранжа)? Приложение В Вопросы для самоконтроля по материалу лекции 1 (тема 3). 1. Понятие количества движения точки. 2. Физический смысл количества движения точки. 7 3. 4. 5. 6. 7. Физический смысл импульса силы. Понятие элементарного импульса силы. Понятие импульса силы за конечный промежуток времени. Вычисления импульса постоянной силы. Теорема об изменении количества движения точки в дифференциальной форме. 8. Теорема об изменении количества движения точки в конечной форме. 9. Теорема об изменении количества движения точки в конечной форме в проекции на ось. 10. Понятие момента количества движения точки относительно центра. 11. Понятие момента количества движения точки относительно оси. 12. Теорема об изменении момента количества движения точки относительно оси. 13. Следствие из теоремы моментов. 14. Физический смысл работы силы. 15. Понятие элементарной работы силы. 16. Формулы для вычисления элементарной работы силы. 17. Вычисление работы силы на конечном перемещении точки. 18. Вычисление работы постоянной силы. 19. Вычисление работы силы тяжести 20. Вычисление работы силы упругости пружины. 21. Вычисление работы силы трения. 22. Понятие кинетической энергии точки. 23. Терема об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме. 24. Терема об изменении кинетической энергии точки в конечной форме. 25. Теорема об изменении кинетической энергии точки в конечном виде при несвободном движении (случай движения без трения) 26. Физический смысл мощности. 27. Формула для вычисления мощности. 28. Мощность при равномерной работе. Приложение Г Вопросы для самоконтроля по материалу лекции 1 (тема 4). 1. Восстанавливающая сила. 2. Свободных колебаний точки без учета силы сопротивления. 8 3. Дифференциальное уравнение свободных колебаний точки без учета силы сопротивления. 4. Две формы общего решения дифференциального уравнения свободных колебаний точки без учета силы сопротивления. 5. Понятие амплитуды и фазы свободных колебаний точки. 6. Понятие круговой частоты и периода свободных колебаний точки. 7. Свойства свободных колебаний точки. 8. Влияние постоянной силы на свободные колебания точки. 9. Определение свободных колебаний точки с учета сил сопротивления. 10. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний точки. 11. Общее решение дифференциального уравнения затухающих колебаний точки. 12. Вынужденные колебания при отсутствии сопротивления. 13. Резонанс. Приложение Д Вопросы для самоконтроля по материалу лекции 1 (тема 5). 1. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки. 2. Понятие кориолисовой и переносной сил инерции. 3. Второй закон динамики относительного движения точки при переносном поступательном движении. 4. Принцип относительности классической механики. 5. Уравнение относительного покоя. 9