Применение эквивалентности бесконечно малых функций

Лекция 2. Применение эквивалентности бесконечно малых функций Функции f(x) и g(x) называются бесконечно малыми одного порядка f (x) малости при x  a , если lim  b  0 и  . x a g(x) Функция f(x) называется бесконечно малой более высокого порядка f ( x) малости, чем функция g(x) при x  a , если lim  0. xa g( x) Функция f(x) называется бесконечно малой более низкого порядка f ( x) малости, чем функция g(x) при x  a , если lim  . xa g( x) Функции f(x) и g(x), бесконечно малые при x  a , называются эквивалентными, если предел их отношения при x  a равен единице: f ( x) lim  1  f ( x ) g(x) xa g( x) Предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения эквивалентных им функций, т.е. если f ( x)  f 1 ( x) и g ( x )  g 1 ( x ) при x  a , то f 1 ( x) f ( x) lim  lim . xa g ( x ) x  a g 1 ( x) Сумма конечного числа бесконечно малых функций различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка. Отметим эквивалентности при x  0 : sin x  x tgx  x arcsin x  x arctgx  x ex 1  x ln 1  x   x a x  1  x  ln a Если при некотором предельном переходе функция y=f(x) есть функция бесконечно малая, т.е. lim f ( x)  0 , то при x  a справедливы следующие xa эквивалентности: sin f ( x)  f (x) tgf (x)  f (x) arcsin f ( x)  f (x) arctgf (x)  f (x) e f ( x )  1  f (x) ln 1  f ( x)  f (x) a f ( x )  1  f ( x)  ln a Если x  aa  0, a   , то в ряде случаев, применяя теорему о замене эквивалентными, удобно сначала ввести бесконечно малую функцию t=a-x (или t=x-a). tg 2 x . x 0 arcsin 3 x Пример 1. Найти lim Решение. 2x 2 tg 2 x  .   0   lim x  x 0 arcsin 3 x 3x 3   lim Поскольку имеем неопределенность вида 0  0  , заданное отношение бесконечно малых функций заменяем с учетом эквивалентностей x  0  2 x  0  tg 2 x 2x и x  0  3x  0  arcsin 3x 3x на отношение, эквивалентное им, устраняя тем самым неопределенность. sin  x  3 . x 3 x 2  4 x  3 Пример 2. Найти lim Решение. 1 x3 sin x  3  0  lim  lim  1  1. lim 2   x 3 x  4 x  3  0  x 3  x  3 x  1 x 3 x  1 3  1 2 0 Имеем неопределенность вида   . Используя тот факт, что при 0 заменяем числитель на x  3  x  3  0  sin x  3 (x-3), эквивалентную функцию, а знаменатель раскладываем на множители. Сокращая дробь на множитель (x-3), раскрываем неопределенность и вычисляем предел. 1  cos 3x . x 0 2x 2 Пример 3. Найти lim Решение. 2  3x  2 3x   2 sin 1  cos3x  0  1 1  2 9 x2 9 9 2 lim   2 lim lim   x 0 . lim   1  2 2 2 2 x 0   x  2x 2 x x 4 x0 x 4 4  0 2 0 Имеем неопределенность вида   . Проводим тригонометрическое 0 преобразование числителя и с учетом 3x 3x 3x 3x  3 x  x0  0  sin   sin 2    2  2  2 2 2 2 заменяем числитель на эквивалентную функцию. Сокращая полученную дробь на множитель x 2 , раскрываем неопределенность и вычисляем предел. cos 6 x  cos 2 x . x 0 arcsin 2 5 x Пример 4. Найти lim Решение. cos 6x  cos 2x  0   2 sin 2 x sin 4x 2x  4x =    lim =  2 lim = lim 2 2 2 x 0 x0 arcsin 5x  0  x0 arcsin 5x 5x 8x 2 8 16 =  2 lim  2    . 2 x0 25x 25 25 0 Имеем неопределенность вида   . Применяем в числителе формулу 0 разности косинусов. С учетом эквивалентностей x  0  2x  0  sin 2x  2x ; x  0  4x  0  sin 4x 4x; 2 x  0  5x  0  arcsin 5x 5x  arcsin 2 5x  5x проводим замены на эквивалентные функции. Сокращая полученную дробь на множитель x 2 , раскрываем неопределенность и вычисляем предел. 3x 2 Пример 5. Найти lim 3 x . x0 e 1 Решение. 3x 2 lim 3 x  x 0 e 1 2  0  3 lim x  1 x  1 0  0 .  0   x 0 3 x 3  3 lim x0 0 Имеем неопределенность вида   . 0 При x  0  3x  0  e3x  13x. Заменяем знаменатель на эквивалентную функцию, и после сокращения дроби на x неопределенность устраняется. Односторонние пределы Число А называется правосторонним пределом, или пределом справа, функции y=f(x) в точке x =a, если для любого  > 0 существует число N() > 0 такое, что при 0 < x - a < N() выполняется неравенство f ( x)  A   . В этом случае пишут: lim f ( x)  A . xa  0 Число А называется левосторонним пределом, или пределом слева, функции y = f(x) в точке x = a, если для любого  > 0 существует число N() > 0 такое, что при 0 < а - x < N() выполняется неравенство f ( x)  A   . В этом случае пишут: lim f ( x)  A . xa  0 Все свойства предела функции распространяются на односторонние пределы. Между пределом функции в точке и односторонними пределами существует определенная связь: если оба односторонних предела функции в точке существуют и равны между собой, то предел функции в точке существует; если оба односторонних предела функции в точке существуют и не равны между собой, то предел функции в точке не существует. Подробная логическая цепочка рассуждений представлена в решении, поэтому дополнительные комментарии к решению примеров сочтены излишними. x . x2  0 x2 Пример 1. Найти lim Решение. a) x  20 x  2  x2  0 x2  00 1    x2 x =  ; x2 0 x  2 lim б) x  20 x  2  x2  0 x2  00 1    x2 x =  . x 20 x  2 lim 7 Пример 2. Найти xlim  3 0 1 x3 . Решение. a) x  3 0  x  3 x  3  0  x  3 0 0  1    x3 1  xlim 7 x  3 = 7    ;  3 0 б) x  3 0  x  3 x  3  0  x  3 0 0  1  xlim 7 x  3 = 7    3 0 1  0. 7  Пример 3. Найти xlim 0 0 3 1 e 1 x . 1    x3 Решение. a) x  0  0  x  0   xlim 0 0 б) 3 1 e 1 x 1 1 1    e x    e x  1    x  0; 1 1 1 x x  0  0  x  0     e  0  e x  1  1  x 3  xlim  3. 1 0 0 x 1 e основная литература: 1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Учебник. В 3-х томах. Т.1 -13-е изд., стер. СПб.: Изд-во «Лань», 2019. 608 с. Т.2 13-е изд., стер. СПб.: Изд-во «Лань», 2019. 800 с. Т.3 – 10-е изд., стер. СПб.: Изд-во «Лань». стер 2019. 656 с. 2. Зубков В.Г., Ляховский В.А., Мартыненко А.И., Миносцев В.Б., Пушкарь Е.А. Курс математики для технических высших учебных заведений. М.: МГИУ, 2012. 400 экз. https://e.lanbook.com/ ГМ курс 3. Миносцев В.Б., Мартыненко А.И., Ляховский В.А., Зубков В.Г. Курс высшей математики: Учебное пособие. Часть 1.М.: МГИУ, 2007; Часть 2.М.: МГИУ, 2007. Часть 3. М.: МГИУ, 2011. 400 экз. https://e.lanbook.com/ дополнительная литература: 1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2-х томах. М.: Интеграл - Пресс, 2009. 180 экз.