Прикладные задачи технической механики

Московский государственный машиностроительный университет «МАМИ» Курс лекций по предмету «Прикладные задачи технической механики» ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ Движение тела называют ПОСТУПАТЕЛЬНЫМ, если любой отрезок, взятый внутри тела, остается, параллелен самому себе все время движения. Рассмотрим некоторое тело, которое движется поступательно в выбранной системе координат (рис. 6). Выберем некоторый отрезок АВ внутри тела. Положение точек А и В определяют радиус – вектора и . Дополним рисунок вектором . Тогда очевидно можно записать, что . Рис. 6 По определению поступательного движения и из предположения, что мы имеем дело только с абсолютно твердыми телами, следует, что вектор является постоянным, а это означает, что законы движения точек А и В отличаются лишь на некоторую постоянную величину. Если продифференцировать предыдущее равенство, то получим Продифференцировав еще раз, также получим Таким образом, ПРИ ПОСТУПАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ ТЕЛА ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ ВСЕХ ЕГО ТОЧЕК ОТЛИЧАЮТСЯ НА ПОСТОЯННУЮ ВЕЛИЧИНУ, ТРАЕКТОРИИ ПРИ НАЛОЖЕНИИ СОВПАДАЮТ, СКОРОСТИ ВСЕХ ТОЧЕК РАВНЫ МЕЖДУ СОБОЙ И УСКОРЕНИЯ ТАКЖЕ РАВНЫ МЕЖДУ СОБОЙ. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ Движение тела называются ВРАЩАТЕЛЬНЫМИ, если при движении тела существуют, по крайней мере, две (а если тело плоское и движется в своей плоскости – то одна) точки тела (или неизменно с ним связанные), которые остаются неподвижными все время движения. Линия, проходящая через эти две точки (если движение плоское, то перпендикулярно плоскости движения), называется ОСЬ ВРАЩЕНИЯ. Рассмотрим некоторое тело, которое движется вращательно (рис. 7а) и точки А и В – неподвижны. Все точки, лежащие на оси вращения, неподвижны, так как если бы было не так, т.е. точка С имела некоторую скорость VС0, то в следующий момент времени эта точка сместилась бы по направлению скорости в другую точку пространства и, следовательно, не смогла бы сохранить одновременно и расстояние ВС, и расстояние АС, т.е. был бы нарушен принцип абсолютно твердого тела. Значит точка С - неподвижна. Рассмотрим точки, лежащие не на оси вращения, например, точку М (рис. 7а). Расстояние от этой точки до оси вращения – LМС. Так как точка С неподвижна, а тело абсолютно твердое, то LМС величина постоянная, и, следовательно, траектория точки М – окружность. Все точки тела, удаленные на расстоянии LМС от оси вращения, должны двигаться по одинаковым траекториям (окружности) и с одинаковыми по величине скоростями и ускорениями (иначе изменилось бы их взаимное расположение, т.е. тело деформировалось, а это противоречило бы гипотезе об абсолютной жесткости рассматриваемого тела). Таким образом, все точки, принадлежащие цилиндрическим поверхностям внутри тела, образующие которых параллельны оси вращения, имеют одинаковые характеристики движения. Рис. 7 Осталось рассмотреть, чем отличается движение точек, лежащих на одном луче, например СМ. Пусть точка М переместится в положение М1 (рис. 7б). Луч СМ должен остаться прямым, следовательно, положение луча СМ удобно характеризовать одной характеристикой – углом поворота , поэтому ЗАКОН ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ – ЭТО ЗАВИСИМОСТЬ УГЛА ПОВОРОТА ОТ ВРЕМЕНИ . При этом дополнительно вводятся характеристики: • угловая скорость ; • угловое ускорение . Тогда перемещение произвольной точки С в естественной системе координат может быть выражено Если продифференцировать это выражение, получим выражение для скорости (3) Если продифференцировать еще раз, то получим выражение для касательного ускорения (4) Нормальное ускорение определяется соотношением (5) Поскольку нормальное и касательное ускорение всегда перпендикулярны друг другу, то модуль полного ускорения может быть вычислен Таким образом, определены характеристики всех точек тела при его вращательном движении. Передача вращения а) ременная передача Рассмотрим ременную передачу (рис. 8а), состоящую из двух шкивов 1 и 2, а также ремня 3. Шкивы имеют соответственно угловые скорости и , а диаметры шкивов - и . Движение шкивов вращательное, а движение той части ремня, которая находится между шкивами – поступательное. Поэтому точки касания ремня и шкивов должны иметь одинаковую скорость, т. е. VA = VB. Но для точек шкива эту скорость можно выразить по формулам вращательного движения (3) Рис. 8 и, следовательно, б) зубчатая передача На рис. 8б условно показана зубчатая передача, где шестерня 4 является ведущей, а 5 – ведомой. Шестерни имеют соответственно делительные диаметры и . Шестерни движутся вращательно с угловыми скоростями и , и, поскольку проскальзывать друг относительно друга они не могут, то в точке касания С их скорости должны быть одинаковы . Мы опять получаем . В отличие от ременной передачи зубчатая передача меняет направление вращения. Кроме того, пользуясь известным для зубчатого зацепления соотношением можем получить , где z4 и z5 – число зубьев взаимодействующих шестерен. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ Движение тела называется ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫМ, если траектория любой точки тела располагается в определенной плоскости все время движения и плоскости движения всех точек тела совпадают или параллельны между собой. Рассмотрим тело, которое движется плоскопараллельно (рис. 9), т.е. заранее можно указать такую плоскость Р, что плоскости движения всех точек тела будут параллельны этой плоскости. Возьмем некоторую точку А тела и проведем ее плоскость движения Р1, а также перпендикуляр к этой плоскости АВ. Все точки, которые лежат на АВ, должны иметь точно такие же характеристики движения, что и точка А. В противном случае расстояние между ними невозможно было бы сохранить, поскольку они двигаются в параллельных плоскостях, и была бы нарушена гипотеза абсолютно твердого тела. Поэтому необходимо предварительно определить характеристики движения тех точек, которые лежат в плоскости Р1, а для всех остальных точек достаточно отыскать соответствующую точку из плоскости Р1 - их характеристики должны быть одинаковы. Рис. 9 Таким образом, задача сводится к рассмотрению движения плоского тела в своей плоскости (сечение тела плоскостью Р1 на рис. 9). Поэтому плоскопараллельное движение можно называть ПЛОСКИМ. Рассматриваем плоскую задачу о движении тела (рис. 10). Выберем предварительно произвольную точку этого тела А (на практике следует выбирать такую точку, характеристики движения которой заранее известны). Эту точку назовем ПОЛЮС и рассмотрим как выражаются характеристики движения других точек тела через характеристики движения полюса. Проводим радиус-векторы точек А и В – и соответственно, а также вектор . Очевидно имеет место равенство Продифференцировав это равенство, получим (6) Рис. 10 Поскольку вектор имеет постоянный модуль (расстояние между точками А и В должно сохранятся), то можно понимать как скорость чистого вращения точки В вокруг точки А и, следовательно, ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ МОЖНО ВСЕГДА РАЗЛОЖИТЬ НА СОСТАВЛЯЮЩИЕ : ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВМЕСТЕ С ПОЛЮСОМ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ ПОЛЮСА. В этом случае имеем, основываясь на (3) и (6) (7) При этом ЗАКОНОМ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ тела следует считать две зависимости: – перемещение полюса и - угол поворота тела относительно некоторого заранее выбранного направления (горизонтального на рис. 10). Теперь выберем в качестве полюса точку С (рис. 10), а угол поворота будем характеризовать некоторым углом . Поскольку тело абсолютно твердое, то в любой момент времени должно выполняться соотношение ; где ; и, если это равенство дважды продифференцировать, последовательно получим Следовательно, ПРИ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ ПОСТУПАТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ ДВИЖЕНИЯ ЗАВИСИТ ОТ ВЫБОРА ПОЛЮСА ( и поскольку иначе движение было бы поступательным), а ВРАЩАТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ – НЕ ЗАВИСИТ. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела Теорема К1. Проекци скоростей двух точек тела на линию, их соединяющую, равны. Доказательство. Рассмотрим движущееся тело, у которого известны в некоторый момент времени скорости точек А и В - и (рис. 11). Если выбрать за полюс точку А, то должно выполняться равенство (6) Рис. 11 Поскольку - скорость чистого вращения точки В вокруг точки А, то она должна располагаться на касательной к соответствующей траектории (окружности радиусом АВ с центром в точке А), т.е. перпендикулярно линии АВ и, следовательно, ее проекция на линию АВ равна 0. Поэтому, если спроектировать вышеприведенное равенство на линию АВ, получим Мгновенный центр скоростей МГНОВЕННЫЙ ЦЕНТР СКОРОСТЕЙ – это такая точка плоского тела (или жестко связанная с ним), скорость которой в данный момент времени равна нулю. ТЕОРЕМА К2. При плоском непоступательном движении тела мгновенный центр скоростей всегда существует и причем только один. Доказательство. Рассмотрим некоторое движущееся тело, имеющее в данный момент времени в точках А и В скорости и (рис. 12). Проведем перпендикуляры к векторам скоростей в этих точках – они пересекутся в некоторой точке Р. Заметим, что проекция скорости точки А на линию АР и проекция скорости точки В на ВР равны нулю. Рис. 12 Из теоремы о проекциях скоростей двух точек тела (теорема К1) следует, что проекции скоростей всех точек, лежащих на линии АР также должны быть равны нулю, т. е. скорости этих точек должны быть либо перпендикулярны линии АР, либо быть равными нулю. Но то же самое можно сказать и про точки, лежащие на ВР – их скорости либо равны нулю, либо перпендикулярны ВР. Тогда про скорость точки Р однозначно можно сказать, что она равна нулю, поскольку быть одновременно перпендикулярной двум пересекающимся прямым она не может. Точка Р и есть мгновенный центр скоростей. Единственность мгновенного центра также следует из приведенного доказательства, так как ни для какой другой точки проекции скоростей и на линию, соединяющую их с этой самой точкой, будут равны нулю одновременно. Следствие 1. Для того, чтобы определить положение мгновенного центра необходимо знать направление скоростей двух точек тела. Мгновенный центр скоростей лежит на пересечении перпендикуляров к скоростям, проведенным из этих точек. Следствие 2. Чтобы определить угловую скорость вращения тела, необходимо знать положение мгновенного центра и величину скорости какой-либо точки тела. Угловая скорость равна отношению скорости любой точки тела к ее расстоянию до мгновенного центра скоростей. Действительно, если выбрать в качестве полюса мгновенный центр скоростей Р, то, поскольку его собственная скорость равна нулю, получим из (7) . Следствие 3. Чтобы определить скорость любой точки тела достаточно знать положение мгновенного центра скоростей и угловую скорость вращения тела. Скорость будет перпендикулярна линии, соединяющей рассматриваемую точку и мгновенный центр, а величина скорости равна произведению угловой скорости на расстояние от точки до мгновенного центра скоростей. Направление скорости следует выбирать в соответствии направлением вращения. Следствие 4. Отношение скорости любой точки тела к ее расстоянию до мгновенного центра скоростей есть величина постоянная для всех точек тела в данный момент времени. Действительно, поскольку угловая скорость не зависит от выбора полюса и одинакова для всех точек тела, то ее можно выразить через скорости различных точек Следствие 5. Чтобы определить положение мгновенного центра в случае, когда перпендикуляры к скоростям двух точек тела слились в одну линию, необходимо дополнительно провести линию через концы векторов скоростей. Ее пересечение с перпендикуляром к скоростям и будет мгновенным центром скоростей (рис. 13). Рис. 13 Следствие 6. Если перпендикуляры к скоростям двух точек тела оказываются параллельными прямыми, т. е. нигде не пересекаются, то это значит, что тело движется поступательно или мгновенно поступательно и говорят, что мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности. Нахождение ускорений при плоскопараллельном движении Продифференцировав выражение (6), получим , а если учесть, что траектории движения точек А и В могут быть произвольными, то получим (8) где и - касательное и нормальное ускорение полюса А; и касательное и нормальное ускорение точки В; и – касательное и нормальное ускорение условного вращательного движения точки В вокруг полюса А. На практике к расчету ускорений переходят после того, как определены скорости интересующих точек тела, а это значит, что величины ускорения и могут быть определены по формулам (2) или (5). Кроме того, в качестве полюса всегда следует выбирать точку, характеристики движения которой даны или уже определены, а это значит, что ускорения и также известны. Таким образом, в равенстве (8) являются неизвестными два ускорения - и . Чтобы определить их, необходимо спроектировать векторное равенство (8) на оси координат. Решив полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными, определяем недостающие ускорения. Полезно иметь в виду, что, если требуется определить только ускорение точки В, то достаточно составить одно уравнение, но такое, куда не войдет . Такое уравнение получается, если проектировать равенство (8) на линию, проходящую через точки А и В. После этого определяется полное ускорение точки В После того, как определено ускорение , можно определить, согласно (4), угловое ускорение вращения тела ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА С ОДНОЙ ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ Рассмотрим тело, у которого закреплена только одна точка - например 0 (рис. 15). Положение тела в этом случае удобно характеризовать положением в пространстве любого отрезка, жестко связанного с рассматриваемым телом, например ОК. В свою очередь его положение в системе координат XYZ легко определить тремя углами. Рис. 14 Следуя Эйлеру, эти углы определяются следующим образом. Выбирается дополнительная подвижная система координат , жестко связанная с телом. Пусть отрезок ОК будет линией пересечения плоскостей XOY и xOy. Эйлер ввел следующие углы, определяющие положение подвижной системы координат относительно неподвижной: угол СОБСТВЕННОГО ВРАЩЕНИЯ; угол ПРЕЦЕССИИ; угол НУТАЦИИ. Таким образом, ЗАКОНОМ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА С ОДНОЙ ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ ЯВЛЯЮТСЯ ТРИ ЗАВИСИМОСТИ УГЛОВ ПОВОРОТА. Первые и вторые производные от этих зависимостей будут соответствующими угловыми скоростями и угловыми ускорениями тела. В плоских задачах это не имело значения, но при решении пространственных важно знать, что УГОЛ ПОВОРОТА, УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ ЯВЛЯЮТСЯ ВЕКТОРАМИ, которые располагаются ВСЕГДА НА ОСИ ВРАЩЕНИЯ. Причем вектор угла поворота и вектор угловой скорости направлены в ту сторону, откуда вращение тела видно против часовой стрелки, а угловое ускорение совпадает с направлением угловой скорости, если тело ускоряется и противоположно ему, если движение замедляется. Эйлеровы углы в каждый момент времени определяют вектор действительного вращения тела, так называемую МГНОВЕННУЮ ОСЬ ВРАЩЕНИЯ. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА С ОДНОЙ ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ МОЖНО ПОНИМАТЬ КАК ЧИСТОЕ ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ МГНОВЕННОЙ ОСИ. СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА Если на тело не наложены связи – оно находится в СВОБОДНОМ движении. Положение тела в этом случае определяется так: выбирается полюс А, чье положение определяется тремя координатами XA, YA, ZA, и выбираются эйлеровы углы вращения тела вокруг полюса . Таким образом ЗАКОНОМ СВОБОДНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ЯВЛЯЮТСЯ ШЕСТЬ ЗАВИСИМОСТЕЙ СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА МОЖНО ПОНИМАТЬ КАК ОДНОВРЕМЕННО ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВМЕСТЕ С ПОЛЮСОМ И МГНОВЕННОВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ ПОЛЮСА. Отметим, что ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОГО ТЕЛА В СВОЕЙ ПЛОСКОСТИ МОЖЕТ БЫТЬ ТОЛЬКО ПОСТУПАТЕЛЬНЫМ, ВРАЩАТЕЛЬНЫМ ИЛИ их комбинацией, т.е. ПЛОСКИМ движением. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ До сих пор при изложении кинематики не принимался в рассмотрение один очень важный вопрос, а именно: как влияет на характеристики движения тела движение самой системы отсчета? Вопрос актуальный, так как в нашем распоряжении (в земных условиях) нет практически систем координат неподвижных или движущихся с постоянной скоростью (земная поверхность участвует во вращении нашей планеты вокруг собственной оси, сама планета движется вокруг Солнца и т. д.). Поэтому важно выяснить степень влияния движения самой системы отсчета, чтобы при необходимости вносить поправку в расчеты. Движение тела называется СЛОЖНЫМ, если оно регистрируется в подвижной системе координат. При этом движение тела относительно системы координат называется ОТНОСИТЕЛЬНЫМ, а движение самой системы координат – ПЕРЕНОСНЫМ. Рассмотрим движение точки в подвижной системе координат (рис. 15). За малый промежуток времени точка переместится из положения А в положение В, но одновременно с этим ведь перемещалась и система координат. Следовательно фактически точка окажется в положении С, т. е. Рис. 15 Поскольку речь идет о малых перемещениях за малые промежутки времени, с незначительной погрешностью можно считать, что соответствует вектору абсолютной скорости , скорости относительного движения , скорости переносного движения , т. е. (9) Теорема Кориолиса Если продифференцировать равенство (9), то учитывая, что относительная скорость изменяется при изменении переносной и наоборот, в правой части получится не два слагаемых, а четыре Первое слагаемое в правой части - это собственно относительное ускорение, четвертое - переносное ускорение, а второе и третье - результат взаимного влияния переносного и относительного движения друг на друга. Опуская здесь строгое доказательство, которое впервые получил Кориолис, приводим окончательный результат где кориолисово ускорение, равное удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на линейную скорость относительного. ТЕОРЕМА К3. Абсолютное ускорение точки, участвующей в сложном движении, равняется векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений. Доказательство. Без доказательства. По свойствам векторного произведения располагается так, чтобы быть перпендикулярным и , и , и направлено в ту сторону, откуда кратчайший поворот от к виден против часовой стрелки. Напомним здесь, что вектор угловой скорости всегда лежит на оси вращения. При определении направления кориолисова ускорения можно руководствоваться следующим правилом (правило Жуковского): чтобы получить направление кориолисова ускорения надо вектор относительной скорости спроектировать на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения и затем повернуть эту проекцию на 90 градусов по направлению действительного переносного вращения. Величина кориолисова ускорения может быть вычислена по формуле где острый угол между векторами и . Кориолисово ускорение будет отсутствовать (), если 1) это значит, что система координат движется поступательно или покоится; 2) это значит, что тело покоится в выбранной системе координат; 3) это значит, что точка движется в данный момент параллельно оси переносного вращения. Во всех остальных случаях сложного движения кориолисово ускорение присутствует. В частности, при движении тел по поверхности Земли на них действует кориолисово ускорение, при малых скоростях незначительное. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ Передают вращающий момент между параллельными валами. Прямозубые колёса (около 70%) применяют при невысоких и средних скоростях, когда динамические нагрузки от неточности изготовления невелики, в планетарных, открытых передачах, а также при необходимости осевого перемещения колёс. Косозубые колёса (более 30%) имеют большую плавность хода и применяются для ответственных механизмов при средних и высоких скоростях. Шевронные колёса имеют достоинства косозубых колёс плюс уравновешенные осевые силы и используются в высоконагруженных передачах. Колёса внутреннего зацепления вращаются в одинаковых направлениях и применяются обычно в планетарных передачах. Выбор параметров цилиндрических зубчатых передач обусловлен конструктивными и технологическими условиями. Передаточное отношение U определяется соотношением угловых скоростей (ω) или частот вращения (n) ведомого и ведущего колёс U = ω1 / ω2 = n1 / n2. Здесь и далее индексы 1 и 2 расставлены в порядке передачи механической энергии 1- ведущее (шестерня), 2- ведомое (колесо). Учитывая, что в зацепление входят колёса с одинаковым модулем (ГОСТ 9563-60), можно задавшись числом зубьев шестерни Z1 найти число зубьев колеса Z2 = U * Z1. Передаточное число U ограничено габаритами зубчатой передачи. Его рекомендуется принимать в диапазоне от 2 до 6. Нормальный ряд значений U стандартизирован в ГОСТ 2185-66. Ширина колеса задаётся обычно коэффициентом ширины a= b / Aw , где b – ширина венца; Aw – межосевое расстояние (ГОСТ 2185-66). Критерии расчёта эвольвентных зубьев Поскольку колёса в зацеплении взаимодействуют своими зубьями, то весьма часто в эксплуатации наблюдаются различные повреждения их рабочих поверхностей. Усталостное выкрашивание является наиболее серьёзным и распространённым дефектом поверхности зубьев даже для закрытых хорошо смазываемых и защищённых от загрязнения передач. На рабочих поверхностях появляются небольшие углубления, которые затем превращаются в раковины. Выкрашивание носит усталостный характер и вызвано контактными напряжениями, которые изменяются по отнулевому пульсирующему циклу. Выкрашивание приводит к повышению контактного давления и нарушению работы передачи. В открытых передачах поверхностные слои истираются раньше, чем в них появляются усталостные трещины, поэтому выкрашивание появляется весьма редко. Для предупреждения выкрашивания необходимо повышать твёрдость материала термообработкой либо повышать степень точности передачи, а также правильно назначать размеры из расчёта на усталость по контактным напряжениям. Абразивный износ является основной причиной выхода из строя передач при плохой смазке. Это, в первую очередь, открытые передачи, а также закрытые, но находящиеся в засорённой среде: в горных, дорожных, строительных, транспортных машинах. У изношенных передач повышаются зазоры в зацеплении и, как следствие, усиливаются шум, вибрация, динамические перегрузки; искажается форма зуба; уменьшаются размеры поперечного сечения, а значит и прочность зуба. Основные меры предупреждения износа – повышение твёрдости поверхности зубьев, защита от загрязнения, применение специальных масел. В расчёте на контактную выносливость абразивный износ учитывается занижением допускаемых контактных напряжений. Заедание происходит в высоконагруженных и высокоскоростных передачах. В месте контакта зубьев возникает повышенная температура, приводящая к молекулярному сцеплению металла с последующим отрывом. Вырванные частицы затем царапают трущиеся поверхности. Обычно заедания происходят вследствие выдавливания масляной плёнки между зубьев при совместном действии высоких давлений и скоростей. Меры предупреждения здесь те же, что и при абразивном износе. Рекомендуется также фланкирование зубьев, правильный выбор сорта масла и его охлаждение. Другой, реже встречающийся, но не менее опасный вид поломок – излом зуба. Такая поломка связана с напряжениями изгиба, также имеющими отнулевой пульсирующий характер. Излом зуба может привести к весьма тяжким последствиям вплоть до разрушения валов и подшипников, а иногда и всего механизма. Для предупреждения излома проводится расчёт зуба по напряжениям изгиба. Такой расчёт для закрытых передач выполняется в качестве проверочного после расчёта на контактные напряжения. Для открытых передач, где высока вероятность случайных перегрузок, этот расчёт выполняется как проектировочный. Усталостное выкрашивание, абразивный износ и заедание обусловлены поверхностной прочностью, а излом – объёмной прочностью зубьев. Поскольку поверхностные повреждения – главный вид поломок для закрытых передач, то расчёт на контактную выносливость выполняют в качестве проектировочного; расчёт на изгиб – в качестве проверочного. Для открытых передач всё наоборот, т.к. режим работы временный или даже разовый, а перегрузки значительные. Для выполнения расчётов на поверхностную и объёмную прочность рассмотрим силы в зубчатом зацеплении. Силы в зубчатом зацеплении Фактически, движение передаётся зубчатым зацеплением посредством силы нормального давления в точке контакта зубьев Fn , которая определяется, как интеграл от контактных напряжений к по всей площади S контакта зубьев Fn = ∫s(к) dS. Однако этот интеграл вычислить практически невозможно, т.к. неизвестен точный вид функции к. Используют другой приём: ещё неизвестную силу нормального давления Fn сначала раскладывают на три ортогональных проекции: • осевую силу Fa , направленную параллельно оси колеса; • радиальную силу Fr , направленную по радиусу к центру колеса; • окружную силу Ft , направленную касательно к делительной окружности. Легче всего вычислить силу Ft , зная передаваемый вращающий момент Мвр и делительный диаметр dw Ft = 2MВр / dw. Радиальная сила вычисляется, зная угол зацепления w Fr = Ft tgw. Осевая сила вычисляется через окружную силу и угол наклона зубьев  Fa = Ft tg. Наконец, если необходимо, зная все проекции, можно вычислить и модуль нормальной силы Fn = (Fa2 + Fr2 + Ft2)½ = Ft /(cosαw cosβ). Нормальная сила распределена по длине контактной линии, поэтому, зная длину l контактной линии, можно вычислить удельную погонную нормальную нагрузку qn = Fn / lΣ ≈ Ft /(b εαkε cosαw cosβ), где  - коэффициент перекрытия, k - отношение минимальной длины контактной линии к средней. Для двух цилиндрических колёс в зацеплении одноимённые силы равны, но противоположны. Окружная сила для шестерни противоположна направлению вращения, окружная сила для колеса направлена в сторону вращения. Расчёт зубьев на контактную выносливость Аналитическими методами теории прочности можно получить точное решение для вычисления напряжений в контакте двух эвольвентных профилей. Однако это слишком усложнит задачу, поэтому на малой площадке контакта геометрия эвольвентных профилей корректно подменяется контактом двух цилиндров. Для этого случая используют формулу Герца-Беляева: Здесь Епр – приведённый модуль упругости материалов шестерни и колеса Епр = 2 Е1 Е2 / ( Е1 + Е2), пр – приведённый радиус кривизны зубьев 1/пр = 1/1  1/2, 1,2 = 0,5dW 1,2 sin W ,  - коэффициент Пуассона, qn - удельная погонная нормальная нагрузка, []HE - допускаемые контактные напряжения с учётом фактических условий работы. Расчёт зубьев на контактную выносливость для закрытых передач (длительно работают на постоянных режимах без перегрузок) выполняют как проектировочный. В расчёте задаются передаточным отношением, которое зависит от делительных диаметров и определяют межосевое расстояние Аw (или модуль m), а через него и все геометрические параметры зубьев. Для открытых передач контактные дефекты не характерны и этот расчёт выполняют, как проверочный, вычисляя контактные напряжения и сравнивая их с допускаемыми. Расчёт зубьев на изгиб Зуб представляют как консольную балку переменного сечения, нагруженную окружной и радиальной силами (изгибом от осевой силы пренебрегают). При этом окружная сила стремится изогнуть зуб, вызывая максимальные напряжения изгиба в опасном корневом сечении, а радиальная сила сжимает зуб, немного облегчая его напряжённое состояние. A = изг А - сжатия А. Напряжения сжатия вычитаются из напряжений изгиба. Учитывая, что напряжения изгиба в консольной балке равны частному от деления изгибающего момента Mизг на момент сопротивления корневого сечения зуба W, а напряжения сжатия это сила Fr, делённая на площадь корневого сечения зуба, получаем: . Здесь b – ширина зуба, m – модуль зацепления, YH – коэффициент прочности зуба. Иногда используют понятие коэффициента формы зуба YFH = 1 / YH. Таким образом, получаем в окончательном виде условие прочности зуба на изгиб : A = qn YH / m ≤ []FE . Полученное уравнение решают, задавшись свойствами выбранного материала. Допускаемые напряжения на изгиб (индекс F) и контактные (индекс H) зависят от свойств материала, направления приложенной нагрузки и числа циклов наработки передачи []FE = []F KF KFC / SF; []HE = []H KH / SH. Здесь []F и [ ]H – соответственно пределы изгибной и контактной выносливости; SF и SH – коэффициенты безопасности, зависящие от термообработки материалов; KFC учитывает влияние двухстороннего приложения нагрузки для реверсивных передач; KF и KH - коэффициенты долговечности, зависящие от соотношения фактического и базового числа циклов наработки. Фактическое число циклов наработки находится произведением частоты вращения колеса и срока его службы в минутах. Базовые числа циклов напряжений зависят от материала и термообработки зубьев. Расчёт зубьев на изгиб для открытых передач (работают на неравномерных режимах с перегрузками) выполняют, как проектировочный. В расчёте задаются прочностными характеристиками материала и определяют модуль m, а через него и все геометрические параметры зубьев. Для закрытых передач излом зуба не характерен и этот расчёт выполняют, как проверочный, сравнивая изгибные напряжения с допускаемыми [42]. РАСЧЕТЫ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ Выбор материалов зубчатых передач и вида термообработки При выборе материала зубчатых колес следует учитывать назначение проектируемой передачи, условия эксплуатации, требования к габаритным размерам и возможную технологию изготовления колёс. Основным материалом для изготовления зубчатых колёс является сталь. Необходимую твердость в сочетании с другими механическими характеристиками (а следовательно, желаемые габариты и массу передачи) можно получить за счет назначения соответствующей термической или химико-термической обработки стали. В условиях индивидуального и мелкосерийного производства, в мало- и средненагруженных передачах, а также в передачах с большими габаритами колес (когда термическая обработка их затруднена) обычно применяют стали с твердостью не более 350 НВ, которая обеспечивается нормализацией или термоулучшением материала. При этом возможно чистовое нарезание зубьев непосредственно после термообработки с высокой точностью изготовления, а при работе передачи обеспечивается хорошая прирабатываемость зубьев без хрупкого разрушения их при динамических нагрузках. Для равномерного изнашивания зубьев и лучшей их прирабатываемости твёрдость шестерни НВ1 рекомендуют назначать больше твёрдости НВ2 колеса не менее чем на (10...15) НВ. В условиях крупносерийного и массового производства целесообразно применять зубчатые колеса с высокотвердыми зубьями. При твердости более 350 НВ её обычно выражают в единицах Роквелла - НRC (1 HRC » 10 НВ). Такая твердость обеспечивается после проведения упрочняющих видов термической и химикотермической обработки: закалки (обьемной или поверхностной), цементации с последующей закалкой, азотирования и др. Применение высокотвердых материалов является резервом повышения нагрузочной способности зубчатых передач, уменьшения их габаритов и массы. Однако с высокой твердостью материала связаны дополнительные трудности: плохая прирабатываемость зубьев, прогрессирующее усталостное выкрашивание рабочих поверхностей зубьев, необходимость проведения термообработки после зубонарезания. Большинство видов упрочняющей термообработки сопровождается значительным короблением зубьев. Для исправления формы зубьев, восстановления требуемой степени точности требуются дополнительные дорогостоящие зубоотделочные операции (шлифование, полирование, притирка и т.п.), что удлиняет технологический процесс изготовления зубчатых колес и значительно повышает стоимость передачи. Рекомендуемые для изготовления зубчатых колес марки конструкционных сталей, виды их термообработки и соответствующие основные механические характеристики приведены в табл. 2.1. При этом важно, чтобы размеры заготовок колес (диаметр Dзаг и толщина обода или диска Sзаг) не превышали предельных значений Dпред и Sпред . Таблица 2.1 Механические характеристики сталей Марка Dпред , Sпред , Термооб Твёрдость заготовки sв sт s-1 стали мм мм работка поверх-ности сердце-вины Н/мм2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 35 - - Н 163...192 НВ 550 270 235 40 120 60 У 192...228 НВ 700 400 300 45 - - Н 179...207 НВ 600 320 260 45 125 80 У 235...262 НВ 780 540 335 45 80 50 У 269...302 НВ 890 650 380 40Х 200 135 У 235...262 НВ 790 640 375 40Х 125 80 У 269...302 НВ 900 750 410 40Х 125 80 У+ТВЧ 45...50 НRCэ 269...302 НВ 900 750 410 40ХН 315 200 У 235...262 НВ 800 630 380 40ХН 200 125 У 269...302 НВ 920 750 420 40ХН 200 125 У+ТВЧ 48...53 НRCэ 269...302 НВ 920 750 420 35ХМ 315 200 У 235...262 НВ 800 670 380 35ХМ 200 125 У 269...302 НВ 920 790 420 35ХМ 200 125 У+ТВЧ 48...53 НRCэ 269...302 НВ 920 790 420 35Л - - Н 163...207 НВ 550 270 235 40Л - - Н 147 НВ 520 295 225 45Л 315 200 У 207...235 НВ 680 440 285 40ГЛ 315 200 У 235...262 НВ 850 600 365 20Х 18ХГТ 12ХН3А 200 125 У+ЦК 56...63 НRCэ 300...400 НВ 900 800 400 38ХМЮА - - А 57...67 НRCэ 30...35 НRC 1050 900 500 35ХМ 40ХН - 40 З 45...53 НRC 1060 1400 500 Примечания: 1. В графе "Термообработка" приняты следующие обозначения: Н - нормализация, У - улучшение, ТВЧ - закалка токами высокой частоты, З – объемная закалка, ЦК – цементация, А - азотирование. 2. Для цилиндрических и конических колёс с выточками принять меньшее из значений Dзаг, Sзаг. Расчет допускаемых напряжений Допускаемые контактные напряжения. Расчет на усталость рабочих поверхностей зубьев колес при циклических контактных напряжениях базируется на экспериментальных кривых усталости [1], которые обычно строят в полулогарифмических координатах (рис.2.1). Рис. 2.1 Здесь: sH - наибольшее напряжение цикла, NH - число циклов нагружений, sH lim(sH0)* - предел выносливости материала, NHG(NH0) - базовое число циклов (абсцисса точки перелома кривой усталости). __________________________________________________________________ * В расчётных формулах данного раздела в скобках приведены условные обозначения величин, принятые в технической литературе более ранних лет издания. Допускаемое контактное напряжение рассчитывают для каждого зубчатого колеса передачи по формуле , где определяют по эмпирическим зависимостям, указанным в табл.2.2; - коэффициент безопасности, рекомендуют назначать SH =1,1 при нормализации, термоулучшении или объемной закалке зубьев (при однородной структуре материала по всему объему); SH=1,2 при поверхностной закалке, цементации, азотировании (при неоднородной структуре материала по объему зуба); ZN ( KHL ) - коэффициент долговечности, , но £ 2,6 при SH = 1,1; и £ 1,8 при SH = 1,2. Если , то следует принимать . Коэффициент ZN учитывает возможность повышения допускаемых напряжений для кратковременно работающих передач ( при NH < NHG ). Расчет числа циклов перемены напряжений выполняют с учетом режима нагружения передачи. Различают режимы постоянной и переменной нагрузки. При постоянном режиме нагрузки расчетное число циклов напряжений , где c - число зацеплений зуба за один оборот (для проектируемого редуктора с=1); - частота вращения того зубчатого колеса, по материалу которого определяют допускаемые напряжения, об/мин; t – время работы передачи (ресурс) в часах; t = Lh. Постоянный режим нагрузки является наиболее тяжелым для передачи, поэтому его принимают за расчетный также в случае неопределенного (незадаваемого) режима нагружения. Большинство режимов нагружения современных машин сводятся приближенно к шести типовым режимам (рис.2.2): Рис.2.2 0 - постоянный, I - тяжелый, II- средний равновероятный, III - средний нормальный, IV - легкий, V - особо легкий Режим работы передачи с переменной нагрузкой при расчете допускаемых контактных напряжений заменяют некоторым постоянным режимом, эквивалентным по усталостному воздействию. При этом в формулах расчетное число циклов NH перемены напряжений заменяют эквивалентным числом циклов NHE до разрушения при расчетном контактном напряжении. , где - коэффициент эквивалентности, значения которого для типовых режимов нагружения приведены в табл.2.3. Таблица 2.3 Ре- жим Расчёт на контакт. усталость Расчёт на изгибную усталость ра- боты Термооб работка m/2 mH (KHE) Термическая обработка m mF (KFE) Термическ. обработка m mF (KFE) любая 3 1,0 улучшение, нормализация, азотирование 6 66 1,0 закалка объёмная, поверхност- ная, цементация 1,0 I 0,5 0,3 0,20 II 0,25 0,14 9 0,10 III 0,18 0,06 0,04 IV 0,125 0,038 0,016 V 0,063 0,013 0,004 Базовое число циклов NHG перемены напряжений, соответствующее пределу контактной выносливости , определяют по графику на рис.2.2 в зависимости от твердости поверхности зуба или рассчитывают по эмпирическим следующим зависимостям . Из двух значений (для зубьев шестерни и колеса) рассчитанного по формуле (2.1) допускаемого контактного напряжения в дальнейшем за расчетное принимают: - для прямозубых (цилиндрических и конических) передач - меньшее из двух значений допускаемых напряжений и ; - для косозубых цилиндрических передач с твердостью рабочих поверхностей зубьев Н1 и Н2 ³ 350 НВ - меньшее из двух напряжений и ; - для косозубых цилиндрических передач, у которых зубья шестерни значительно (не менее 70...80 НВ) тверже зубьев колеса - [ sH ]= 0, 5 ( + ) £ 1,25 [sH]min , где [sH]min - меньшее из значений [sH1] и [sH2] . Допускаемые напряжения изгиба. Расчет зубьев на изгибную выносливость выполняют отдельно для зубьев шестерни и колеса, для которых вычисляют допускаемые напряжения изгиба по формуле [1] , где - предел выносливости зубьев по напряжениям изгиба, значения которого приведены в табл. 2.2; SF - коэффициент безопасности, рекомендуют SF = 1,5...1,75 (смотри табл. 2.2); YA(КFC) -коэффициент, учитывающий влияние двустороннего приложения нагрузки (например, реверсивные передачи), при односторонней нагрузке YA =1 и при реверсивной YA = 0,7...0,8 (здесь большие значения назначают при Н1 и Н2 > 350 НВ); YN(KFL) - коэффициент долговечности, методика расчета которого аналогична расчету ZN (смотри выше). При Н £ 350 НВ , но £ 4 . При Н > 350 НВ , но £ 2,6 . При следует принимать =1. Рекомендуют принимать для всех сталей . При постоянном режиме нагружения передачи . При переменных режимах нагрузки, подчиняющихся типовым режимам нагружения (рис.2.2), , где принимают по табл. 2.3. 2.3. Проектный расчёт закрытой цилиндрической зубчатой передачи При проектном расчёте прежде всего определяют главный параметр цилиндрической передачи - межосевое расстояние , в мм. Расчёт производят по следующим формулам [1]: - для прямозубой передачи ; - для косозубой передачи . В указанных формулах знак "+" принимают в расчётах передачи внешнего зацепления, а знак "-" - внутреннего зацепления. Рекомендуется следующий порядок расчётов. При необходимости определяют (или уточняют) величину вращающего момента на колесе передачи T2 в Н×мм. В случае задания в исходных данных на курсовой проект вращающего момента номинальный момент на колесе рассчитываемой передачи . При задании полезной мощности привода (кВт) номинальный вращающий момент на колесе рассчитывают по формуле , где - частота вращения вала колеса , мин -1. Из табл. 2.4 назначают относительную ширину колёс в соответствии со схемой расположения колес относительно опор и выбранной ранее твёрдостью поверхностей зубьев. Бóльшие значения целесообразно принимать для передач с постоянными или близкими к ним нагрузками. В дальнейшем в расчетах может встретиться относительная ширина колес , которую рассчитывают с учетом зависимости . Рис.2.3 Коэффициент неравномерности нагрузки по длине контакта KHb выбирают по кривым на графиках рис. 2.3 а, б в соответствии с расположением колёс относительно опор и твёрдостью рабочих поверхностей зубьев колёс. Приведённый модуль упругости Eпр в случае различных материалов колёс рассчитывают по соотношению . Если в передаче используется для изготовления колёс один материал (например, сталь с E =2.1×105 МПа или чугун с E =0.9×105 МПа), тогда Eпр =E , МПа. Таблица 2.4 Относительная ширина колёс Схема расположения Твёрдость рабочих поверхностей зубьев колёс относительно опор H2 £ 350 HB или H1 и H2 £ 350 HB H1 и H2 > 350 HB Симметричная 0,3...0,5 0,25...0,3 Несимметричная 0,25...0,4 0,20...0,25 Консольная 0,20...0,25 0,15...0,20 Полученное значение межосевого расстояния aw (мм) для нестандартных передач рекомендуется округлить до ближайшего большего значения по ряду Ra20 нормальных линейных размеров (табл. 2.5). Таблица 2.5 Нормальные линейные размеры, мм (ГОСТ 6636-69) Ряды Дополн. Ряды Дополн. Ra10 Ra20 Ra40 размеры Ra10 Ra20 Ra40 размеры 1 2 3 4 5 6 7 8 40 40 40 200 200 200 41 205 42 210 44 45 45 220 220 46 230 48 240 49 50 50 50 250 250 250 52 53 260 55 270 56 56 280 280 58 290 60 300 62 310 63 63 63 320 320 320 65 330 67 340 70 350 71 71 360 360 73 370 75 380 78 80 80 80 400 400 400 82 410 85 420 440 90 90 450 450 92 460 95 480 98 490 100 100 100 500 500 500 102 515 105 530 108 545 110 110 112 560 560 115 580 120 600 118 615 125 125 125 630 630 630 130 670 650 135 690 140 140 710 710 145 730 150 750 155 775 160 160 160 800 800 800 165 825 170 850 175 875 180 180 900 900 185 925 190 950 195 975 Геометрический расчёт закрытой цилиндрической передачи Определяют модуль зацепления m (или mn для косозубой передачи) из соотношения m(mn) = (0.01...0.02)×аw , если H1 и H2 £ 350 HB и m(mn) = (0.016...0.0315)×аw , если H1 и H2 > 350 HB . Полученное значение модуля необходимо округлить до стандартного значения по 1-му ряду модулей: 1,0; 1,25; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5; 6; 8; 10 мм. При этом для силовых передач рекомендуют [1] принимать m(mn) ³ 1,5 мм. Для косозубой передачи угол наклона линии зуба назначают в пределах b = 8°...20°. Далее определяют суммарное число зубьев шестерни и колеса: для прямозубых колёс для косозубых колёс Полученное значение округляют до целого числа. Число зубьев шестерни определяют из соотношения: , где u – передаточное число передачи, . Здесь знак "+" - для внешнего зацепления, знак "-" - для внутреннего зацепления. Значение z1 следует округлить до целого числа. Из условия отсутствия подрезания зубьев необходимо назначать: для прямозубых и - для косозубых колёс . Зачастую для уменьшения шума в быстроходных передачах принимают . Рассчитывают число зубьев колеса передачи . Определяют фактическое значение передаточного числа передачи с точностью до двух знаков после запятой. Определяют фактическое межосевое расстояние. Для прямозубой передачи . Для косозубой передачи уточняют значение фактического угла наклона линии зуба Рабочую ширину зубчатого венца колеса рассчитывают как и округляют до целого числа по ряду Ra20 нормальных линейных размеров (табл. 2.5). Тогда ширина зубчатого венца колеса , ширина зуба шестерни b1 = b2 +(2...5) мм. Делительные диаметры рассчитывают по формулам: - для прямозубых колёс и -для косозубых колёс. Начальный диаметр шестерни - . Начальный диаметр колеса передачи - . Диаметры вершин зубьев колёс для прямозубых и - для косозубых колёс. Диаметры впадин зубьев колёс - для прямозубых и - для косозубых колёс. Точность вычислений диаметральных размеров колёс должна быть не выше 0,001 мм. Угол aw зацепления передачи принимают равным углу a профиля исходного контура: ° . Проверочный расчёт закрытой цилиндрической передачи Проверка контактной выносливости рабочих поверхностей зубьев колёс. Расчётом должна быть проверена справедливость соблюдения следующих неравенств [1] : - для прямозубых колёс ; - для косозубых колёс где ZHb - коэффициент повышения прочности косозубых передач по контактным напряжениям, . Все геометрические параметры рассчитываемых колёс определены в п.2.4. Для косозубой передачи дополнительно рассчитывают - коэффициент торцового перекрытия зубчатой передачи по формуле [1]: Здесь также знак "+" относится к передачам внешнего зацепления, а "-" -внутреннего зацепления. Рассчитывают (или уточняют) величину вращающего момента Т1 в Н×мм на шестерне проверяемой передачи: , где h - КПД передачи, он учитывает потери мощности в зубчатой передаче; обычно h = 0,97. Для определения коэффициента внутренней динамической нагрузки необходимо по табл. 2.6 назначить степень точности передачи в зависимости от окружной скорости в зацеплении , м/с. Таблица 2.6 Степени точности зубчатых передач Степень Окружные скорости вращения колёс V, м/с точности прямозубых косозубых цилиндрических конических цилиндрических 6 до 15 до 12 до 30 7 до 10 до 8 до 15 8 до 6 до 4 до 10 9 до 2 до 1,5 до 4 Затем по табл. 2.7 находят значение коэффициента для рассчитываемой передачи. В косозубой передаче теоретически зацепляется одновременно не менее двух пар зубьев. Однако практически ошибки нарезания зубьев могут устранить двухпарное зацепление, и при контакте одной пары между зубьями второй пары может быть небольшой зазор, который устраняется под нагрузкой вследствие упругих деформаций зубьев. Это учитывают коэффициентом KHa , назначаемым из табл. 2.8. Таблица 2.7 Значения коэффициентов KHv и KFv Степень точнос- ти Твёрдость поверхнос- тей зубьев Коэф- фици- енты Окружная скорость V , м/с 1 2 4 6 8 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.03 1.06 1.12 1.17 1.23 1.28 KHv 1.01 1.02 1.03 1.04 1.06 1.07 а 1.06 1.13 1.26 1.40 1.53 1.67 6 KFv 1.02 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.02 1.04 1.07 1.10 1.15 1.18 б KHv 1.00 1.00 1.02 1.02 1.03 1.04 1.02 1.04 1.08 1.11 1.14 1.17 KFv 1.01 1.02 1.03 1.04 1.06 1.07 1.04 1.07 1.14 1.21 1.29 1.36 KHv 1.02 1.03 1.05 1.06 1.07 1.08 а 1.08 1.16 1.33 1.50 1.67 1.80 7 KFv 1.03 1.06 1.11 1.16 1.22 1.27 1.03 1.05 1.09 1.14 1.19 1.24 б KHv 1.00 1.01 1.02 1.03 1.03 1.04 1.03 1.05 1.09 1.13 1.17 1.22 KFv 1.01 1.02 1.03 1.05 1.07 1.08 1.04 1.08 1.16 1.24 1.32 1.40 KHv 1.01 1.02 1.04 1.06 1.07 1.08 а 1.10 1.20 1.38 1.58 1.78 1.96 8 KFv 1.03 1.06 1.11 1.17 1.23 1.29 1.03 1.06 1.10 1.16 1.22 1.26 б KHv 1.01 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.04 1.06 1.12 1.16 1.21 1.26 KFv 1.01 1.02 1.03 1.05 1.07 1.08 1.05 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 KHv 1.01 1.03 1.05 1.07 1.09 1.12 а 1.13 1.28 1.50 1.77 1.98 2.25 9 KFv 1.04 1.07 1.14 1.21 1.28 1.35 1.04 1.07 1.13 1.20 1.26 1.32 б KHv 1.01 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.04 1.07 1.14 1.21 1.27 1.34 KFv 1.01 1.02 1.04 1.06 1.08 1.09 Примечания: 1. Твёрдость поверхностей зубьев 2. Верхние цифры относятся к прямым зубьям, нижние – к косым зубьям. Таблица 2.8 Окружная скорость V , м/с Cтепень точности KHa KFa 7 1.03 1.07 До 5 8 1.07 1.22 9 1.13 1.35 5-10 7 1.05 1.20 8 1.10 1.30 10-15 7 1.08 1.25 8 1.15 1.40 Если в результате проверки выявится существенная недогрузка (свыше 10 %) передачи, то с целью более полного использования возможностей материалов зубчатых колёс возможна корректировка рабочей ширины зубчатого венца по соотношению . Уточнённое значение рабочей ширины венца рекомендуется округлить до нормального линейного размера (по табл.2.5). Проверка прочности зубьев по напряжениям изгиба. Расчёт выполняют отдельно для шестерни и для зубчатого колеса передачи после уточнения нагрузок на зубчатые колёса и их геометрических параметров. Проверяют справедливость соотношения расчётных напряжений изгиба sF и допускаемых напряжений [sF]: для прямозубых колёс и для косозубых колёс , где - коэффициент повышения прочности косозубых передач по напряжениям изгиба, . Здесь Yb -коэффициент, учитывающий повышение изгибной прочности вследствие наклона контактной линии на зубе к основанию зуба, , где  подставляют в градусах. Коэффициент неравномерности распределения нагрузки между одновременно зацепляющимися зубьями KFa назначают по табл. 2.8. Окружное усилие в зацеплении колёс рассчитывают по формуле , Н. Коэффициент неравномерности распределения нагрузки по длине линии контакта KFb определяют по графикам рис. 2.7 в, аналогично рассмотренному выше определению значения коэффициента KHb . Коэффициент формы зуба YF для прямозубых колёс назначают по табл. 2.9 в зависимости от фактического числа зубьев для прямозубых колёс и от числа зубьев эквивалентных колёс - для косозубых колес. Табл. 2.9 составлена для случая отсутствия смещения зуборезного инструмента (x=0) при зубонарезании. Если при проверочном расчёте рабочие напряжения изгиба в зубьях колёс оказываются значительно меньшей величины, чем допускаемые напряжения , то для закрытых передач это вполне допустимо, так как нагрузочная способность таких передач ограничивается, как правило, контактной выносливостью зубьев. Таблица 2.9 Коэффициент формы зуба YF Z или ZV YF Z или ZV YF Z или ZV YF Z или ZV YF Z или ZV YF Z или ZV YF 16 4,28 24 3,92 30 3,80 45 3,66 71 3,61 180 3,62 17 4,27 25 3,90 32 3,78 50 3,65 80 3,61 ¥ 3,63 20 4,07 26 3,88 35 3,75 60 3,68 90 3,60 22 3,98 28 3,81 40 3,70 65 3,62 100 3,60 2.5. Расчёт открытой цилиндрической зубчатой передачи Учитывая условия и характер работы открытых передач (недостаточная защищённость от загрязнения абразивными частицами и увеличенный абразивный износ при плохой смазке, большие деформации валов, что приводит к увеличению зазоров в зацеплении, возрастанию динамических нагрузок, к понижению прочности изношенных зубьев вследствие уменьшения площади их поперечного сечения и, как следствие, к поломке зубьев), данные передачи рекомендуют рассчитывать по напряжениям изгиба. В этих передачах выкрашивание не наблюдается, так как поверхностные слои зубьев изнашиваются и удаляются раньше, чем появляются усталостные трещины. Для проектного расчёта открытых передач по напряжениям изгиба определяют модуль зацепления из выражений [1]: для прямозубых колес для косозубых колес Здесь: - число зубьев шестерни открытой передачи (см. исходные данные); - коэффициент ширины зубчатого венца колеса относительно модуля, рекомендуют назначать для открытых передач ybm = 10...15; [sF1] - допускаемое напряжение изгиба зубьев шестерни, Н/мм2, определяют в соответствии с п.2.2. («Расчет допускаемых напряжений»); Т3 - момент на шестерне, Н×мм; ; - определяют по п.2.5. («Проверка прочности зубьев по напряжениям изгиба»); КFb - смотри рис. 2.3, б; YF3 - смотри табл. 2.9. Полученное значение модуля округляют в большую сторону до значения из стандартного ряда модулей (см. п.2.4). Зная значение модуля, определяют геометрические размеры шестерни : диаметр делительный - или диаметр вершин зубьев - диаметр впадин зубьев - ширина венца - Точность вычисления диаметров шестерни до 0,001 мм, значение ширины зубчатого венца округляют до целого числа по нормальным линейным размерам (см. табл. 2.5). Проверочный расчет такой передачи по контактным напряжениям выполняют в соответствии с п.2.5. («Проверочный расчет закрытой цилиндрической передачи»).