Прикладная теория вероятностей и математическая статистика

Прикладная теория вероятностей и математическая статистика 1.7. Схема Бернулли Предположения. Случайный эксперимент. Наблюдаем за тем, произойдет ли случайное событие А. Успех – если в результате случайного эксперимента произойдет с.с. А. Неудача – если в результате случайного эксперимента произойдет с.с. 𝐴. Обозначения: 𝑃 𝐴 = 𝑝, 𝑃 𝐴 = 𝑞, 𝑝 + 𝑞 = 1. Проводим n таких экспериментов. Опыты проводятся независимо друг от друга!!! 2 1.7. Схема Бернулли Опр. 1.7.1. Последовательность испытаний называется схемой Бернулли, если: 1. Все испытания проводят независимо друг от друга 2. В каждом испытании фиксируются только два исхода – появление с.с. 𝐴 и противоположного ему с.с. 𝐴 3. Вероятность наступления с.с. 𝐴 (успеха) не меняется от испытания к испытанию. 3 1.7. Схема Бернулли Вероятность события, состоящего в том, что в n испытаниях «успех» наступил ровно k раз, вычисляется по формуле: 𝑃𝑛 𝑘 = 𝐶𝑛𝑘 𝑝𝑘 𝑞𝑛−𝑘 . Такие вероятности называются биномиальными вероятностями. 4 1.7. Схема Бернулли Пример 1. Фирма по производству ручек заявляет, что среди ей продукции 2% бракованных изделий. Из партии с продукцией этой фирмы наудачу выбирают 10 ручек. Найти вероятность того, что среди выбранных ручек А) не будет ни одной бракованной; Б) число бракованных ручек будет не больше 3, но не меньше одной. 𝑃𝑛 𝑘 = 𝐶𝑛𝑘 𝑝𝑘 𝑞𝑛−𝑘 5 Раздел 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕМА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 6 2.1. Определение случайной величины Опр. 2.1.1. Случайной величиной называют числовую функцию ξ 𝜔 или ξ принимающую вещественные значения и заданную на множестве всех элементарных исходов Ω. Типы случайных величин (с.в.) 1. Дискретные 2. Непрерывные 7 2.1. Определение случайной величины Опр. 2.1.2. Функцией распределения случайной величины ξ 𝜔 называют функцию действительного аргумента 𝑥, определенную равенством: 𝐹ξ 𝑥 = 𝑃 ξ < 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝑅 8 2.1. Определение случайной величины Свойства функции распределения 1. Ограниченная функция 0 ≤ 𝐹ξ 𝑥 ≤ 1 2. Неубывающая функция ∀𝑥2 > 𝑥1 : 𝐹ξ 𝑥2 ≥ 𝐹ξ 𝑥1 3. Предельное поведение функции lim 𝐹ξ 𝑥 = 1 𝑥→+∞ lim 𝐹ξ 𝑥 = 0 𝑥→−∞ 4. Вероятность попадания с.в. ξ 𝜔 в полуоткрытый интервал [𝑎, 𝑏) 𝑃 𝑎 ≤ ξ < 𝑏 = 𝐹ξ 𝑏 − 𝐹ξ 𝑎 9 2.1. Определение случайной величины Свойства функции распределения (продолжение) 5. Если 𝑥0 – точка разрыва функции распределения, то 𝑃 ξ = 𝑥0 = lim 𝐹ξ 𝑥 − lim 𝐹ξ 𝑥 𝑥→+𝑥0 𝑥→−𝑥0 6. Функция распределения непрерывна слева, т.е. если 𝑥0 – точка разрыва функции распределения, то за значение функции в этой точке принимают предел слева: 𝐹ξ 𝑥0 = lim 𝐹ξ 𝑥 𝑥→−𝑥0 10 2.2. Дискретная случайная величина Опр. 2.2.1. Будем называть с.в. дискретной (д.с.в.) в том случае, когда множество значений, которое она принимает конечно или счетно. Пример 2. Случайный эксперимент состоит в том, что тетраэдр с пронумерованными гранями подбрасывают дважды. Наблюдают за тем, на какую грань упадёт тетраэдр. Случайная величина ξ – число выпадений «1». Какие значения принимает ξ? 11 2.2. Дискретная случайная величина Опр. 2.2.2. Законом распределения д.с.в. называют таблицу, в верхней строке которой перечислены все значения с.в., а в нижней указаны вероятности, с которыми она их принимает. 𝑃 ξ = 𝑥𝑖 = 𝑝𝑖 , 𝑝𝑖 = 1 𝑖 Пример 2. Случайный эксперимент состоит в том, что тетраэдр с пронумерованными гранями подбрасывают дважды. Случайная величина ξ – число выпадений «1». Составьте закон распределения данной случайной величины. 12 2.2. Дискретная случайная величина Опр. 2.2.3. Математическое ожидание д.с.в. – это число E[ξ], которое вычисляют по формуле: ∞ 𝐸𝜉 = 𝑥𝑖 𝑝𝑖 𝑖=1 Пример 2. Случайный эксперимент состоит в том, что тетраэдр с пронумерованными гранями подбрасывают дважды. Случайная величина ξ – число выпадений «1». Вычислите математическое ожидание данной случайной величины. 13 2.2. Дискретная случайная величина Замечание: Если одна д.с.в. связана с другой д.с.в. некоторой функцией 𝜏 = 𝑔(ξ) , то математическое ожидание д.с.в. 𝜏 вычисляют по формуле: ∞ 𝐸 𝑔(𝜉) = 𝑔(𝑥𝑖 )𝑝𝑖 𝑖=1 Пример 2. Случайный эксперимент состоит в том, что тетраэдр с пронумерованными гранями подбрасывают дважды. Случайная величина ξ – число выпадений «1». Вычислите математическое ожидание случайной величины: 𝜏 = 𝜉 2 . 14 2.2. Дискретная случайная величина Для оценки разброса значений с.в. относительно математического ожидания используется дисперсия и с.к.о. Опр. 2.2.4. Дисперсией с.в. (и д.с.в., и н.с.в.) называют число V[ξ], которое вычисляют по формуле: 𝑉 𝜉 = 𝐸[ 𝜉 − 𝐸 ξ 2] Дисперсия д.с.в. вычисляют по формулам ∞ (𝑥𝑖 − 𝐸 ξ )2 𝑝𝑖 𝑉ξ = 𝑖=1 15 ∞ 𝑥𝑖 2 𝑝𝑖 − (𝐸 ξ )2 𝑉ξ = 𝑖=1 2.2. Дискретная случайная величина Опр. 2.2.5. Среднеквадратическим отклонением 𝜎 (с.к.о.) называют арифметический корень из дисперсии (положительное число) 𝜎= 1 0 1 E 1   0 V 1   1 (€2)    V 1   1 (€) 1 𝑉𝜉  100 100 E  2   0 V  2   10000 (€2)    V  2   100 (€) 2 16 2.2. Дискретная случайная величина Опр. 2.2.6. Модой д.с.в. называют такое значение с.в. 𝑥𝑀𝑜 , которое она принимает с наибольшей вероятностью. Различают унимодальные и бимодальные (полимодальные) с.в. 17 2.2. Дискретная случайная величина Опр. 2.2.7. Начальным моментом порядка k называют следующую числовую характеристику: 𝛼𝑘 = 𝐸[ξ𝑘 ] Опр. 2.2.8. Центральным моментом порядка k называют следующую числовую характеристику: 𝛽𝑘 = 𝐸 𝜉 − 𝐸 ξ 𝑘 18 2.2. Дискретная случайная величина Пример 4. Рассмотрим случайный эксперимент: игральный кубик подбрасывают 3 раза. Запишите закон распределения и функцию распределения для следующей случайной величины: ξ – число выпадений 1 очка в данном случайном эксперименте. Найдите математическое ожидание, дисперсию и моду данной случайной величины. 19 2.2. Дискретная случайная величина Пример 4. Рассмотрим случайный эксперимент: игральный кубик подбрасывают 3 раза. Запишите закон распределения и функцию распределения для случайной величины ξ. 20 2.2. Дискретная случайная величина Пример 4. 𝒙𝒊 𝒑𝒊 1 0,579 1 0,347 2 0,069 2 3 3 0,005 0,995 0,926 0,579 O 1 21