Прикладная механика

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОСИСТЕМ И ТЕХНОЛОГИЙ» С. В. Савелькаев ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Новосибирск СГУГиТ 2018 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ 4 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН 5 1.1. Основные определения 5 1.2. Классификация кинематических пар 7 1.2.1. Условия существования кинематических пар 7 1.2.2. Классификация кинематических пар в зависимости от числа условий связи 7 1.2.3. Классификация кинематических пар по роду относительного движения звеньев 9 1.2.4. Классификация кинематических пар по характеру соприкосновения элементов пары 10 1.2.5. Классификация кинематических пар по способу замыкания 11 1.3. Основные виды механизмов 12 2. СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ 12 2.1. Определение степени подвижности плоского механизма 12 2.2. Порядок структурного анализа плоского механизма 13 2.3. Основные виды плоских рычажных механизмов 16 3. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ 18 3.1. Методы кинематического анализа 18 3.2. Задачи кинематического анализа 18 3.3. Планы положений механизма 19 3.4. Построение планов скоростей и ускорений 20 3.5. Свойства плана скоростей 22 3.6. Свойства плана ускорений 22 4. ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ 23 4.1. Задачи и методы силового анализа 23 4.2. Характеристика сил, действующих на звенья механизма 24 4.3. Кинетостатический метод 25 4.4. Определение сил инерции 25 4.5. Условие статической определимости кинематической цепи 30 4.6. Силовой расчет структурных групп 32 4.6.1. Силовой расчет группы 1-го вида 32 4.6.2. Силовой расчет группы 2-го вида 35 4.6.3. Силовой расчет группы 3-го вида 37 4.6 4. Силовой расчет начального звена 40 5. СИНТЕЗ ПЕРЕДАТОЧНЫХ МЕХАНИЗМОВ. ПРОСТЫЕ ЗУБЧАТЫЕ МЕХАНИЗМЫ 43 5.1. Основные понятия 43 5.2. Классификация зубчатых механизмов 44 5.3. Основная теорема зацепления 45 5.4. Свойства эвольвентного зацепления 48 5.5. Методы изготовления зубьев 48 5.6. Изготовление зубчатых колес методом обкатки 49 5.6.1. Основные понятия 49 5.6.2. Способы обработки зубьев при методе обкатки 52 5.6.3. Установка рейки при нарезании и виды зубчатых колес 54 5.7. Определение размеров зубчатых колес 55 5.7.1. Определение толщины зуба по дуге делительной окружности 55 5.7.2. Определение толщины зуба на любом радиусе 55 5.7.3. Определение угла зацепления 56 5.7.4. Определение радиуса окружности выступов 58 5.8. Виды зацеплений двух зубчатых колес 58 5.9. Особенности конического зацепления 59 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 62 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 63 ВВЕДЕНИЕ Теория механизмов и машин – наука об исследовании и проектировании механизмов и машин по их кинематическим и динамическим свойствам. Программа курса базируется на знаниях курсов физики, математики, информатики и теоретической механики. Теория механизмов и машин классифицирует механизмы, изучает строение механизмов, связи между частями механизма, изучает кинематику и динамику механизма. Кинематика включает в себя связь между скоростями и ускорениями звеньев. Динамика изучает силы, действующие на механизм, дает их анализ и классификацию и позволяет производить силовой расчет механизма. Изучение кинематики и динамики будем производить на основе типовых механизмов. Типовые механизмы – простые механизмы, имеющие при различном функциональном назначении широкое применение в машинах и приборах. Для таких механизмов разработаны типовые методы и алгоритмы синтеза и анализа. Этот курс является базовым для дисциплин, связанных с проектированием и конструированием механизмов, машин, приборов, таких как «Детали приборов и основы конструирования», «Основы автоматизированного проектирования» и т.п. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН 1.1. Основные определения Прибор – техническое устройство, которое позволяет осуществлять технологический процесс определенного рода, включает в себя двигатель, передаточный механизм, рабочее устройство. Двигатель и рабочее устройство имеют определённые механические характеристики. Они указаны в технических паспортах двигателя и рабочего устройства, в том числе число оборотов двигателя (n1) и число оборотов главного вала рабочего устройства (n2). 1 – угловая скорость, с которой вращается вал двигателя; 2 – угловая скорость, с которой должен вращаться главный вал рабочего устройства. 1/с; Чтобы привести в соответствие механические характеристики двигателя и рабочего устройства, между ними устанавливают передаточный механизм. Отношение угловой скорости ведущего звена к угловой скорости ведомого звена называется передаточным числом (отношением) механизма : . Пример – Дано: число оборотов n1 =700 об/мин., n2 = 70 об/мин. Передаточное число механизма определится как: i12 =1 /2 = n1/ n2 = 700/ 70 = 10. В качестве передаточного механизма могут быть использованы: • фрикционные передачи (с использованием трения); • ременные передачи; • зубчатые передачи. В качестве основных механизмов рабочего устройства наиболее часто используют рычажные механизмы. Механизм – совокупность подвижных материальных тел, из которых одно закреплено, а все остальные совершают движения в соответствии с определенным законом относительно неподвижного тела. Звенья – материальные тела, из которых состоит механизм. Стойка – неподвижное звено. Обычно за стойку принимают корпус или раму машины, а также все жестко связанные с ними детали. Стойка в механизме всегда одна. Стойка изображается как: или Звено, которому сообщается движение от двигателя, называется ведущим. Звено, совершающее движение, для выполнения которого предназначен механизм, называется ведомым. Рассмотрим в качестве примера кривошипно-ползунный механизм (рис. 1). Рис. 1. Кривошипно-ползунный механизм: 1 – кривошип; 2 – шатун; 3 – ползун Если звено 1 получает вращение от двигателя, то звено 1 – ведущее, а звено 3– ведомое. Кривошип, шатун, ползун – подвижные тела, называемые кинематическими звеньями. Кинематическим звеном называется тело или несколько тел, соединенных между собой неподвижно. Звенья соединяются в механизме с помощью кинематических пар. Кинематическая пара – подвижное соединение звеньев, допускающее их относительное движение. Соединение может быть по точке, линии или поверхности. Поверхность, линия или точка звена, находящаяся в соприкосновении с другим звеном, называется элементом кинематической пары. Любой механизм можно представить в виде кинематической схемы, состоящей из кинематических звеньев и кинематических пар. Все кинематические пары на схеме обозначают буквами латинского алфавита, например A, B, C и т. д. Каждому звену присваивают свой номер: номер 1 имеет ведущее звено, номер 0 – стойка и т. д. Звенья, соединяясь друг с другом, образуют кинематические цепи. Кинематической цепью называется связанная система звеньев, входящих в кинематические пары. Например, в кривошипно-ползунном механизме (рис. 1) кривошип 1 образует с неподвижным подшипником, находящимся в стойке, кинематическую пару A, дающую возможность вращения кривошипа относительно стойки 0. Шатун 2 с кривошипом 1 образует вторую кинематическую пару B, обеспечивающую вращение этих звеньев относительно друг друга. Шатун 2 с ползуном 3 – третью пару C, благодаря которой шатун и ползун могут поворачиваться друг относительно друга и ползун 3 с направляющими стойки (с неподвижным звеном) образует кинематическую пару D, позволяющую этим звеньям иметь между собой относительное поступательное движение. Совокупность этих звеньев, связанных кинематическими парами, образует кинематическую цепь, которая определяет данный кривошипно-ползунный механизм. 1.2. Классификация кинематических пар 1.2.1. Условия существования кинематических пар Кинематические пары (КП) во многом определяют работоспособность машины, поскольку через них передаются усилия от одного звена к другому. Вследствие трения элементы пары находятся в напряженном состоянии и подвергаются износу. Поэтому при проектировании механизма большое значение имеет правильный выбор вида кинематической пары, её геометрической формы, размеров, конструкционных материалов и смазки. Необходимы три условия для существования кинематической пары: • наличие двух звеньев; • возможность их относительного перемещения; • постоянное соприкосновение этих звеньев. С целью облегчения правильного выбора кинематической пары их классифицируют в зависимости от числа условий связи, по роду относительного движения звеньев, по характеру соприкосновения элементов кинематических пар и способу замыкания пары. 1.2.2. Классификация кинематических пар в зависимости от числа условий связи Твердое тело, свободно движущееся в пространстве, имеет 6 степеней свободы. Его возможные движения могут быть представлены как вращение вокруг трёх осей координат и поступательное движение вдоль этих же осей (рис. 2). Рис. 2. Число степеней свободы любого тела в пространстве Звенья, соединённые кинематическими парами, получают в той или иной степени ограничения в их относительном движении. Ограничения, накладываемые на независимые движения звеньев, образующих кинематическую пару, называются условиями связи S. Н = 6 – S , где Н – число степеней свободы звеньев; S – число условий связей. Если звено не входит в кинематическую пару, т. е. не связано с другим звеном, то у него нет ограничений движению: S = 0. Если на материальные тела наложить 6 условий связи, они потеряют взаимную подвижность и получится жесткое соединение, т. е. кинематической пары не станет: S = 6. Таким образом, число условий связи, наложенных на относительное движение каждого звена, может изменяться от 1 до 5. Число условий связи кинематической пары определяет её класс (рис. 3). Рис. 3. Классы кинематических пар 1.2.3. Классификация кинематических пар по роду относительного движения звеньев По роду относительного движения звеньев различают кинематические пары: • поступательные; • вращательные; • винтовые. Если одно звено движется относительно другого поступательно, то такая пара называется поступательной. На схеме поступательные пары могут изображаться следующим образом: Если звенья, образующие пару, вращаются относительно друг друга, то такая кинематическая пара называется вращательной, и изображается она так: Условное обозначение винтовой кинематической пары на схеме следующее: 1.2.4. Классификация кинематических пар по характеру соприкосновения элементов пары По характеру соприкосновения элементов кинематических пар различают пары низшие и высшие. Низшие кинематические пары – пары, в которых элементы касаются друг друга по поверхностям конечных размеров. К ним относятся: поступательная (рис. 4), вращательная (рис. 5) и винтовая (рис. 6) пары. Низшие пары обратимы, т. е. характер движения не изменяется в зависимости от того, какое звено, входящее в пару, закреплено. Рис. 4. Поступательная кинематическая пара Рис. 5. Вращательная кинематическая пара Рис. 6. Винтовая кинематическая пара Высшие кинематические пары – это пары, элементы которых касаются друг друга по линии или в точке (рис. 7). а) б) Рис. 7. Механизмы с высшей кинематической парой: а) контакт по линии или в точке (кулачок с толкателем); б) два зуба контактируют по линии (зубчатое зацепление) Высшие пары необратимы. Точки контакта описывают различные кривые в зависимости от того, какое звено, входящее в пару, закреплено. 1.2.5. Классификация кинематических пар по способу замыкания По способу замыкания (обеспечения контакта звеньев пары) различают кинематические пары с силовым и геометрическим замыканиями. Силовое замыкание происходит за счёт действия сил веса или силы упругости пружины (рис. 8); геометрическое – за счёт конструкции рабочих поверхностей пары (рис. 9). Рис. 8. Силовое замыкание кинематической пары Рис. 9. Геометрическое замыкание кинематической пары 1.3. Основные виды механизмов Принята следующая классификация механизмов: а) по виду преобразования движения: • редукторы (угловая скорость ведущего звена больше угловой скорости ведомого звена); • мультипликаторы (угловая скорость ведущего звена меньше угловой скорости ведомого звена); • муфты (угловая скорость ведущего звена равна угловой скорости ведомого звена). б) по движению и расположению звеньев в пространстве: • пространственные (все звенья движутся в разных, непараллельных плоскостях); • плоские (все звенья движутся в одной плоскости). в) по числу степеней подвижности механизма: • с одной степенью подвижности; • с несколькими степенями подвижности (интегральные – суммирующие, дифференциальные – разделяющие). г) по виду кинематических пар: • с низшими кинематическими парами (все кинематические пары механизма – низшие); • с высшими кинематическими парами (хотя бы одна кинематическая пара – высшая). д) по способу передачи и преобразования движения: • фрикционные (сцепления); • с зацеплением; • волновые (создание волновой деформации). е) по конструктивному исполнению и движению звеньев: • рычажные; • зубчатые; • кулачковые; • планетарные. 2. СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ 2.1. Определение степени подвижности плоского механизма В нашем курсе мы будем рассматривать структурный анализ на примере плоских механизмов. В плоском механизме все звенья движутся в одной плоскости, все оси параллельны друг другу и перпендикулярны плоскости механизма. На плоский механизм наложены три условия связи: в нем из шести независимых движений (рис. 2) возможны только три: поступательное вдоль осей X и Y и вращательное относительно оси Z. При этом звенья могут двигаться только в плоскости XOY. Число степеней свободы кинематической цепи, образующей плоский механизм – 3 n. В плоском механизме возможно наличие кинематических пар только 5-го и 4-го класса. Соединение звеньев парами 5-го класса в плоском механизме накладывает 2 связи, парами 4-го класса – 1 связь. Степень подвижности плоского механизма определяется соотношением: W = 3n – 2p5 – p4 , (2.1) где W – степень подвижности кинематической цепи (число степеней свободы); n – число подвижных звеньев; p5 – число пар 5 класса; p4 – число пар 4 класса. Это соотношение впервые было выведено в 1869 г. П.Л. Чебышевым и названо структурной формулой плоских механизмов. На рис. 10, а представлен механизм со степенью подвижности W = 1, на рис. 10, б – механизм со степенью подвижности W = 2. а) б) W = 3 3 – 2 4 = 1 W = 3 4 – 2 5 = 2 Рис. 10. Определение степени подвижности механизмов 2.2. Порядок структурного анализа плоского механизма Установлен следующий порядок структурного анализа механизма: • определение степени подвижности механизма (число степеней свободы); • выделение структурных групп механизма; • выделение механизма I класса; • определение класса механизма. Степень подвижности механизма W определяет число независимых параметров, которые необходимо задать механизму, чтобы движения всех звеньев механизма были определены, т. е. определяет число ведущих звеньев. Группа, состоящая из ведущего звена (или ведущих звеньев), соединенного кинематической парой со стойкой, должна иметь степень подвижности равную степени подвижности всего механизма. Ведущее звено, соединённое со стойкой одной кинематической парой, условно называется механизмом I класса со степенью подвижности W = 1 (рис. 11). W = 1 Рис. 11. Механизм I класса Если к механизму I класса присоединить кинематическую цепь, то получится кинематическая схема механизма. При этом степень подвижности всего механизма не должна измениться. Принцип образования механизмов, впервые сформулированный Л.В. Ассуром, заключается в следующем. Схема любого механизма может быть составлена последовательным присоединением к механизму I класса групп звеньев с нулевой степенью подвижности – групп Ассура. Группой Ассура называется незамкнутая кинематическая цепь с нулевой степенью подвижности. Сколько бы групп Ассура ни присоединяли к механизму I класса, степень подвижности механизма остаётся равной единице. Для плоского механизма, состоящего только из кинематических пар 5-го класса, степень подвижности групп Ассура определится согласно формуле Чебышева (2.1): W = 3n – 2 p5 = 0. (2.2) Поскольку n и p5 могут быть только целыми числами, из равенства (2.2) следует, что в группах Ассура возможны следующие сочетания количества звеньев и примыкающих к ним кинематических пар: n = 2, p5 = 3; n = 4, p5 = 6; n = 6, p5 = 9 и т. д. На практике встречаются только первые два сочетания (рис. 12). а) б) Рис. 12. Примеры структурных групп Ассура Разложение механизма на структурные группы необходимо для решения задач кинематического и динамического анализа, что обеспечит статическую определимость составляющих частей схем плоских механизмов. Структурный анализ механизма следует проводить путем расчленения его на структурные группы в порядке, обратном образованию механизма. Выделение групп Ассура начинают с наиболее удаленной группы (последней в порядке присоединения к механизму I класса). В результате отсоединения структурных групп остается механизм I класса. Класс группы Ассура определяется наивысшим числом кинематических пар, примыкающих к замкнутому контуру, входящему в группу. Класс механизма – наивысшим классом структурной группы, входящей в механизм. Группы второго класса и второго порядка (n = 2, p5 = 3) делятся на 5 видов, которые определяются взаимным расположением вращательных и поступательных пар (рис. 13). а) б) в) г) д) Рис. 13. Виды структурных групп II класса: а) группа 1-го вида (все пары вращательные); б) группа 2-го вида (на конце одного из звеньев поступательная пара); в) группа 3-го вида (в середине поступательная пара); г) группа 4-го вида (на конце обоих звеньев поступательные пары); д) группа 5-го вида (в середине и на конце одного из звеньев поступательные пары) Пример. Выполнить структурный анализ шарнирного механизма (рис. 14). Рис. 14. Структурная схема шарнирного механизма В соответствии с установленным порядком проведения структурного анализа: 1. Определяем степень подвижности механизма (число степеней свободы) W = 3n – 2p5 – p4; W = 33 – 24 – 0 = 1. 2. Выделяем структурную группу механизма – группу Ассура (последние два звена и три кинематических пары). Это группа II класса 1-го вида со степенью подвижности, равной W = 32 – 23 – 0 = 0. 3. Выделяем механизм I класса (ведущее звено со стойкой). Его степень подвижности равна W = 31 – 21 – 0 = 1. 4. Определяем класс и порядок механизма. В данном случае механизм образован присоединением группы Ассура II класса 1-го вида к механизму I класса. Этот механизм является механизмом II класса. 2.3. Основные виды плоских рычажных механизмов К простейшим плоским рычажным механизмам относятся: шарнирный четырехзвенник, кривошипно-ползунный механизм, кулисный механизм. Шарнирный четырехзвенник состоит из одного неподвижного звена (стойки) и трёх подвижных звеньев. Звенья соединены вращательными парами (рис. 15, а). а) б) в) Рис. 15. Простейшие плоские механизмы: а) шарнирный четырехзвенник; б) кривошипно-ползунный механизм; в) кулисный механизм Звено, совершающее полный оборот вокруг оси вращения, называется кривошипом (звено 1). Звено, которое совершает вращательное движение на неполный оборот, называется коромыслом (звено 3). Звено, совершающее плоскопараллельное движение, называется шатуном (звено 2). Если звено 3 соединить со стойкой поступательной парой, то оно будет называться ползуном, а весь механизм – кривошипно-ползунным механизмом (рис. 15, б). Если звенья 2 и 3 соединены между собой поступательной парой и звено 2 перемещается поступательно вдоль звена 3, как по подвижной направляющей, то механизм называется кулисным механизмом (рис. 15, в). Коромысло, служащее подвижной направляющей для ползуна называют кулисой, а ползун – камнем кулисы. Более сложные механизмы образуются присоединением различного вида структурных групп к рассмотренным основным рычажным механизмам. 3. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ 3.1. Методы кинематического анализа При проектировании новых машин и механизмов составляют несколько вариантов кинематических схем, проводят структурный анализ и выбирают лучший вариант. Затем осуществляется кинематический анализ. Кинематический анализ – это изучение движения механизма без учета действующих сил. Движения механизма описываются с помощью кинематических характеристик. Под кинематическими характеристиками (параметрами) понимают перемещения, скорости и ускорения точек звеньев, а также угловые скорости и ускорения звеньев. В результате кинематического анализа устанавливают соответствие кинематических параметров (перемещений, траекторий точек, скоростей и ускорений звеньев) заданным условиям, например: определение траекторий точек необходимо, чтобы при проектировании корпуса машины исключить столкновение звеньев при их движении. Кроме того, в результате кинематического анализа получают исходные данные для выполнения динамических расчётов. Знание кинематических параметров необходимо для расчёта сил инерции и моментов сил инерции, кинетической энергии механизма и мощности. Кинематическое исследование схем механизмов выполняют графическими и аналитическими методами. Первые отличаются наглядностью и относительной простотой, но не дают точных результатов. Аналитический метод позволяет получить требуемую точность, но отличается большей сложностью и трудоемкостью вычислений. Перемещения, скорости и ускорения звеньев определяют для нескольких положений в пределах цикла работы механизма, т. е. за один оборот ведущего звена. Основными методами кинематического анализа являются: • графический метод (метод построения планов); • аналитический метод; • метод построения кинематических диаграмм. Используя принципы структурного анализа, т. е. разложения механизма на группы Ассура, можно применять методы кинематического анализа не ко всему механизму в целом, а к отдельным его частям, что, как правило, упрощает задачу. 3.2. Задачи кинематического анализа К основным задачам кинематического анализа относятся: • определение положений звеньев при заданном положении ведущего звена и построение траекторий отдельных точек; • установление зависимости перемещений отдельных звеньев от законов перемещения ведущего звена; • определение зависимости скоростей отдельных звеньев от закона движения ведущего звена; • установление зависимости ускорений отдельных звеньев от закона движения ведущего звена. Движение звеньев зависит от закона движения ведущего звена, поэтому при решении задач кинематического анализа должны быть заданы следующие данные: • структурная схема механизма с указанием размеров звеньев и параметров их расположения; • закон движения ведущего звена. При кинематическом исследовании механизма расчет и построение планов скоростей и ускорений начинают от ведущего звена, угловая скорость которого обычно постоянна, и далее – по группам Ассура в порядке их присоединения. 3.3. Планы положений механизма Изображение кинематической схемы механизма, соответствующее определенному положению начального звена, называется планом механизма. Планы строятся в заданном масштабе. При этом различают понятия «масштаб» и «масштабный коэффициент». Масштабом физической величины называют длину отрезка в миллиметрах, изображающую единицу измерения этой величины. Масштабным коэффициентом физической величины называют отношение численного значения физической величины к длине отрезка в миллиметрах, изображающего эту величину. Масштаб и масштабный коэффициент являются взаимно обратными величинами. Масштабные коэффициенты обозначают буквой с индексом, указывающим, к какой величине они относятся. Например, масштабный коэффициент длин для плана механизма есть отношение какой-либо длины в метрах к отрезку АВ, изображающему эту длину на чертеже в миллиметрах:  =  / АВ. Рассмотрим построение планов механизма на примере. Пример 1. Кривошипно-ползунный механизм (рис. 16). Выбираем крайнее положение кривошипа (кривошип и шатун располагаются на одной линии). Рис. 16. Построение плана положений кривошипно-ползунного механизма Делим окружность радиуса ОА на равные части. Из точек деления (А1, А2, …) делаем засечки на оси движения ползуна (В1, В2 ...) радиусом, равным длине шатуна. Соединяем одноименные точки (А1 и В1, А2 и В2...). Найденные положения точки В определяют положение поршня (ползуна) при рабочем ходе – В1, В2, В3; при холостом ходе – В4, В5. 3.4. Построение планов скоростей и ускорений Построение планов скоростей и ускорений рассмотрим на примере кривошипно-ползунного механизма (рис. 17). Порядок построения, обозначения, формулы аналогичны рассмотренным ранее, поэтому этот и последующие разделы даны в конспективной форме, без подробных текстовых объяснений. а) б) в) Рис. 17. Пример построения плана скоростей и ускорений структурной группы 2-го вида: а) план механизма; б) план скоростей; в) план ускорений Пример. Дано: кинематическая схема механизма; угловая скорость кривошипа ОА. Определить: скорость и ускорение точки В; угловую скорость и угловое ускорение звена АВ. Механизм образован присоединением к ведущему звену группы Ассура II класса 2-го вида. Выделим эту группу и построим для нее план скоростей (рис. 17, б). Скорость точки В определим с помощью уравнения: . Известны величина и направление скорости точки A, вычисляемой по формуле VA = OA lOA ; направления скоростей и , где ; x-x. Отрезок paа, изображающий скорость точки А на плане, выбираем произвольным по величине. Масштабный коэффициент V = VA / pVа. Через точку А проводим направление относительной скорости ; через полюс (неподвижную точку) проводим направление абсолютной скорости точки В – горизонтальную прямую, параллельную x-x. Определяем скорость точки В VB= pVb V. Угловая скорость звена АВ AB = VBA / lAB = ab V / АВ l. Вектор относительной скорости вращает звено против часовой стрелки (рис. 17). План ускорений строим по уравнению: где . На плане ускорений, построенном с учетом масштабного коэффициента , правая часть уравнения изображена соответствующими векторами: , , . Результирующий вектор изображает абсолютное ускорение точки В . Угловое ускорение звена АВ находим по касательной составляющей : Направление углового ускорения находим, перенося вектор касательной составляющей относительного ускорения в точку В механизма (рис. 17, в, а). 3.5. Свойства плана скоростей На основании рассмотренных построений можно определить следующие свойства плана скоростей: • на плане скоростей лучи, выходящие из полюса, изображают абсолютные скорости точек звена, а отрезки, соединяющие концы лучей, – относительные скорости соответствующих точек; • неподвижные точки плана механизма на плане скоростей располагаются в полюсе; • векторы относительных скоростей направлены на плане скоростей к первой букве индекса. Например, – скорость точки С относительно В на плане скоростей читается: «отрезок bс, вектор направлен к точке с»; • векторы относительных скоростей точек жесткого звена образуют на плане скоростей фигуру, подобную этому звену, повернутую на 90° в направлении угловой скорости звена. Этот вывод называется принципом подобия в плане скоростей и позволяет определить скорость любой точки звена графически, если известны скорости хотя бы двух точек этого звена; • имея построенный план скоростей, всегда можно построить касательную и нормаль к траектории движения точки, не строя траекторию. Любая абсолютная скорость – касательная к траектории движения; • имея построенный план скоростей, можно определить мгновенный центр скоростей всех звеньев механизма. 3.6. Свойства плана ускорений На основании рассмотренных построений можно вывести следующие свойства плана ускорений: • векторы абсолютных ускорений всегда выходят из полюса; • отрезки, соединяющие концы векторов абсолютных ускорений на плане ускорений, изображают полные относительные ускорения. Направление относительного ускорения к той букве плана ускорений, которая стоит первая в его обозначении; • полные нормальные ускорения всегда выходят от полюса и направлены к центру вращения звена; • неподвижные точки механизма на плане ускорений находятся в полюсе; • векторы относительных ускорений точек жесткого звена образуют на плане ускорений фигуру, подобную этому звену и повернутую относительно его на угол (180° – ) в направлении углового ускорения. Этим определяется принцип подобия в плане ускорений; • зная относительные ускорения хотя бы двух точек звена, можно определить ускорение любой точки этого звена, пользуясь принципом подобия; • имея построенный план ускорений можно определить мгновенный центр ускорений (МЦУ). 4. ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ 4.1. Задачи и методы силового анализа Силовой анализ – это изучение влияния внешних сил на звенья механизма, на кинематические пары и на неподвижные опоры. Исследование действия сил необходимо для того, чтобы можно было рассчитать звенья на прочность, на износостойкость, виброустойчивость и определить необходимую мощность привода. В результате силового анализа можно определить пути уменьшения динамических нагрузок и спроектировать машину так, чтобы она имела достаточную прочность при меньших габаритах и массе. Если звенья в процессе работы движутся неравномерно, то кроме внешних сил на них действуют еще и силы инерции. Величина сил инерции зависит от ускорения, а значит, от закона движения начального звена. Основная задача силового расчета формулируется следующим образом: по заданным значениям внешних сил и законам движения начальных звеньев определить реакции в кинематических парах, а также силы или пары сил, приложенные к приводу машины. Методы расчета реакций без учета сил инерции входят в раздел статики, а с учетом сил инерции – в раздел кинетостатики. Метод кинетостатики применяется в тех случаях, когда имеются большие ускорения и силами инерции нельзя пренебречь. Согласно известному из теоретической механики принципу Даламбера, звено находится в равновесии, если к действующим на него внешним силам добавить силы инерции. Поэтому, чтобы определить неизвестные реакции в кинематических парах, к звеньям механизма следует приложить все внешние силы, силы инерции, составить уравнения статического равновесия и решить эти уравнения. 4.2. Характеристика сил, действующих на звенья механизма Силы и моменты пар сил, приложенные к механизму, можно разделить на следующие группы: • движущие силы и моменты сил, совершающие положительную работу; • силы и моменты сил сопротивления, совершающие отрицательную работу; • силы тяжести; • силы взаимодействия между звеньями, т. е. реакции в кинематических парах. Движущие силы и моменты сил, совершающие положительную работу, приложены к ведущим звеньям. Силы и моменты сил сопротивления, совершающие отрицательную работу, делятся на силы полезного сопротивления, которые приложены к ведомым звеньям, и силы вредного сопротивления со стороны среды, в которой движутся звенья (последними в силовом анализе пренебрегают). Силы тяжести на отдельных участках движения могут совершать как положительную, так и отрицательную работу. Однако за цикл движения (полный оборот ведущего звена) работа этих сил равна нулю, т. к. центры масс движутся по замкнутым траекториям. Силы взаимодействия между звеньями, т. е. реакции в кинематических парах, согласно третьему закону Ньютона, равны и противоположны по направлению. Нормальные составляющие сил реакций работы не совершают, а касательные составляющие – это силы трения, и они совершают отрицательную работу. При силовом анализе трением пренебрегают. Силы и моменты пар сил первых трех групп относятся к категории внешних сил. Силы 4-й группы являются внутренними, если рассматривать весь механизм в целом. Если же рассматривать отдельные звенья, то реакции в кинематических парах со стороны отброшенных звеньев считаются внешними силами и входят в уравнения равновесия. При силовом расчете механизмов, в зависимости от задачи и желаемой точности решения ее, могут быть приняты во внимание те или иные действующие силы (силы тяжести, силы трения, силы инерции и т. д.) Так, например, в тихоходных механизмах силы инерции, возникающие в результате движения, незначительны по сравнению с внешними силами, поэтому ими в большинстве случаев можно пренебречь, а силы трения необходимо учитывать. В быстроходных механизмах силами инерции пренебречь нельзя, т. к. они могут иметь величину того же порядка, а в некоторых случаях даже большую, чем внешние силы. Силовой расчет с учетом сил инерции называется кинетостатическим методом расчета. 4.3. Кинетостатический метод Сущность кинетостатического метода сводится к условной замене на основании принципа Даламбера задачи динамики задачей статики. В применении к механизмам сущность кинетостатического метода может быть сформулированного следующим образом. Если ко всем внешним силам, действующим на звено механизма, условно приложить силы инерции, то под действием всех этих сил звено может рассматриваться в равновесии. При решении задачи кинетостатического расчета должны быть заданы: • закон движения ведущего звена; • размеры звеньев; • массы звеньев механизмов; • моменты инерции звеньев. Задача сводится к определению реакций в кинематических парах и значения уравновешивающего момента (силы). Эти величины необходимы для расчета деталей на прочность, определение мощности двигателя, износа трущихся частей и т. д. 4.4. Определение сил инерции Как известно из теоретической механики, элементарные силы инерции можно привести к главному вектору и главному моменту : , (4.1) где m – масса звена; aS – ускорение центра масс; – угловое ускорение звена; – момент инерции звена относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения (сокращенно – осевой момент инерции). Знак «минус» в формулах означает, что сила инерции направлена против ускорения (момент сил – против углового ускорения). Следует отметить, что главный вектор и главный момент сил инерции не имеют физического содержания, и в действительности к звену эти силы не приложены. Они входят в уравнения кинетостатики как чисто математические величины, посредством которых учитывается влияние ускоренного движения звеньев, и условно относятся к разряду внешних сил. В частных случаях плоское движение может быть вращательным или поступательным, при этом возникает только момент сил инерции (вращение звена с ускорением) или же только сила инерции (поступательное неравно­мерное движение). С учётом сил инерции уравнения кинетостатики для каждого звена имеют вид: , (4.2) где , – внешние силы и моменты пар сил, приложенные к i-му звену. Изучение сил инерции, развивающихся при движении звеньев механизма, осуществляется в зависимости от характера движения рассматриваемого звена. Рассмотрим определение сил инерции при поступательном движении (рис. 18). Рис. 18. К определению сил инерции при поступательном движении Дано: m; ; = 0. Решение: Вывод: При определении сил инерции звена, совершающего поступательное движение, учитывается только сила инерции с модулем, равным произведению массы на ускорение центра тяжести. Направление силы инерции противоположно ускорению, точка приложения – центр тяжести звена. Рассмотрим определение сил инерции при вращательном движении. 1. Вращательное движение с постоянной угловой скоростью уравновешенного звена; центр тяжести совпадает с центром вращения (рис. 19). Рис. 19. К определению сил инерции при вращательном движении с постоянной угловой скоростью Дано: m; ; = 0; aS = 0. Решение: Вывод: Инерционности нет. 2. Вращательное движение с переменной угловой скоростью уравновешенного звена; центр тяжести совпадает с центром вращения (рис. 20). Рис. 20. К определению сил инерции при вращательном движении с переменной угловой скоростью Дано: m; ; ; aS = 0. Решение: Вывод: В этом случае действует только момент от сил инерции. 3. Вращательное движение с переменной угловой скоростью неуравновешенного звена; центр тяжести не совпадает с центром вращения (рис. 21). Рис. 21. К определению сил инерции при вращательном движении с переменной угловой скоростью неуравновешенного звена Дано: m; JS = mρ2; aS ; h – плечо силы; – радиус инерции. K – центр качания физического маятника, расстояние до которого от центра вращения A определяется по формуле: . (4.3) Решение: Сумма моментов от сил инерции, действующих на звено, равна . (4.4) Вывод: Согласно формуле (4.4) инерционность звена в данном случае учитывается только силой инерции с точкой приложения в точке K. Положение центра качения маятника нередко имеет существенное значение в процессе проектирования многих машин. Можно использовать возникающую силу инерции для совершения полезной работы и тем самым уменьшить давление на шарниры. Рассмотрим определение сил инерции при сложном движении. 1. Метод приведения к одной силе (рис. 22а). Рис. 22а. К методу приведения к одной силе Дано: m; JS и план ускорений. Решение: Звено AB совершает сложное движение, которое можно представить как состоящее из двух элементарных движений: • переносного поступательного движения вместе с полюсом A; • относительного вращения звена вокруг полюса A: ; ; . Вывод: В случае сложного движения звена инерционность звена можно представить в виде одной силы инерции , абсолютная величина которой равна maS (произведению массы на ускорение центра тяжести) и направление противоположно . Точка приложения – точка Т, положение которой определяется следующим образом: 1) через центр тяжести S проводим линию параллельно ускорению точки, принятой за полюс (точка A) – ; 2) находим положение центра качания физического маятника К по формуле (4.3); 3) через К проводим линию параллельно вектору ускорения центра тяжести относительно полюса – ; 4) пересечение этих линий определяет положение точки Т. 2. Метод приведения к силе и моменту (рис. 22б). Рис. 22б. К методу приведения к силе и моменту Силы инерции звена можно привести к одной силе инерции , приложенной в центре тяжести звена и моменту инерции звена относительно центра тяжести : 4.5. Условие статической определимости кинематической цепи Плоская кинематическая цепь может состоять из кинематических пар 5-го класса (вращательных, поступательных) и пар 4-го класса (высших, у которых звенья соприкасаются в точке). Как известно из теоретической механики, сила взаимодействия двух соприкасающихся тел при отсутствии трения направлена по общей нормали к их поверхности. В поступательной паре (рис. 23, а) реакции направлены перпендикулярно направляющей. Неизвестных здесь две: величина силы FO1 и точка ее приложения (расстояние h). а) б) в) Рис. 23. К определению условия статической определимости кинематической цепи Во вращательной паре равнодействующая сил реакции направлена по нормали к цилиндрической поверхности, т. е. проходит через центр шарнира (рис. 41, б). Неизвестными являются: направление реакции (угол ) и величина силы. Таким образом, эта пара также вносит в уравнения кинетостатики две неизвестных. Следовательно, от каждой силы, действующей в любой низшей кинематиче­ской паре, в расчетных уравнениях (4.2) появляются две неизвестные величины. В высших парах сила взаимодействия между звеньями направлена по общей нормали и приложена в точке касания, т. е. известны и направление, и точка приложения силы (рис. 41, в), неизвестна лишь ее величина. Поэтому в расчетных уравнениях члены, образованные силами взаимодействия в высших парах, содержат по одному неизвестному. В общем случае плоская кинематическая цепь содержит p5 пар 5-го класса (низших) и p4 пар 4-го класса (высших), поэтому общее число неизвестных равно: NH = 2p5 + p4. (4.5) Число уравнений статики для каждого звена плоского механизма равно трем, значит, общее число уравнений для n подвижных звеньев: NУ = 3n. (4.6) Чтобы система была статически определимой, число уравнений (NУ) должно быть равно числу неизвестных (NH). Приравниваем (4.5) и (4.6), после чего получим: 3n = 2 p5 + p4, или 3n – 2 p5 – p4 = 0. (4.7) Если заменить высшие пары низшими, то 3n – 2p5 = 0. Из этого можно сделать вывод, что группы Ассура являются статически определимыми. Из выражения (4.7) определяем соотношение между числом звеньев и числом кинематических пар 5-го класса: n = 2/3p5. На основании вышеизложенного формулируется общая методика силового анализа: расчет следует проводить по структурным группам, начиная с наиболее удаленной от начального звена и заканчивая начальным звеном (механизмом I класса). Таким образом, силовой расчет проводится в порядке, обратном кинематическому. 4.6. Силовой расчет структурных групп 4.6.1. Силовой расчет группы 1-го вида Дано: , , , – внешние силы и моменты пар сил (в том числе силы инерции), приложенные к звеньям 2 и 3. Определить: , , – реакции в кинематических парах (рис. 24). а) б) Рис. 24. Силовой анализ структурной группы 1-го вида: а) расчетная схема; б) план сил Решение: Неизвестные реакции покажем пунктиром и разложим на две составляющие так, чтобы момент одной из них относительно точки В был равен нулю: – нормальная составляющая реакции; направлена по звену АВ; – касательная составляющая; направлена перпендикулярно звену АВ. Аналогично разложим реакцию (рис. 24, а), направив по звену ВС; – перпендикулярно звену ВС. Направления векторов принимаем произвольно. Уравнение равновесия звена 2 относительно точки B: , (4.8) где – момент силы относительно точки В; – длина звена АВ (плечо силы ). Сумма моментов принимается алгебраической, т. е. при решении уравнений учитывается направление моментов сил. Из уравнения (4.7) имеем . (4.9) При численных расчетах результат может оказаться и со знаком «плюс», и со знаком «минус». Если получится знак «плюс», значит, направление вектора силы реакции принято правильное; если знак «минус», то направление вектора следует изменить на противоположное. Уравнение равновесия звена 3 относительно точки B , (4.10) отсюда . (4.11) Уравнение равновесия для всей группы . (4.12) В векторном уравнении (4.11) неизвестны величины сил и , но заданы их направления. Для того чтобы векторная сумма всех сил равнялась нулю, силовой многоугольник должен быть замкнут. Следовательно, решением уравнения (4.11) будет точка пересечения направлений сил и . Построим уравнение (4.11) путем обычного сложения векторов (рис. 24, б). Откладываем из точки а последовательно все известные силы, начиная с в масштабе сил F . В точке b, где находится конец вектора , начинается вектор . Проводим через точку b перпендикуляр (направление нормальной составляющей реакции). В точке а должен находиться конец вектора , при этом силовой многоугольник замкнется. Проводим через точку а перпендикуляр к вектору . Точка пересечения проведенных двух прямых (точка с) определяет величину реакций и . Графическое изображение векторных уравнений равновесия звеньев или структурных групп называется планом сил. Сравним направление полученных на плане сил реакций с произвольно заданными на расчетной схеме (рис. 24, а). Очевидно, что реакции и предположительно были заданы неверно, в действительности векторы направлены в противоположную сторону. В таких случаях направления реакций на расчетной схеме следует изменить. По плану сил определяется равнодействующая реакций и , а также истинные направления этих векторов (на плане сил показаны пунктиром). Определим реакцию в шарнире В. Для этого рассмотрим уравнение равновесия одного из звеньев, например, звена 2. Отброшенное звено 3 заменим его реакцией на звено 2, т. е. в данном случае выступает как внешняя сила. Уравнение равновесия звена 2 . (4.13) Первые два вектора уже построены (рис. 24, б), остается соединить конец вектора с началом вектора , чтобы силовой треугольник был замкнут. Зная масштаб построения плана сил F , можно определить значение вектора . 4.6.2. Силовой расчет группы 2-го вида Дано: , , , – внешние нагрузки, действующие на звенья 2 и 3. Определить: , , , h – реакции в кинематических парах и точку приложения реакции в поступательной паре (рис. 25). а)б)в) Рис. 25. Силовой анализ структурной группы 2-го вида: а) расчетная схема; б) план сил; в) распределение реакций в поступательной паре Решение: Разложим реакцию во вращательной паре (в шарнире А) на две составляющие (рис. 25, а). Уравнение равновесия звена 2 , (4.14) отсюда . (4.15) Уравнение равновесия всей группы . (4.16) Векторы и известны только по направлению, остальные – и по направлению, и по величине. Строим векторное уравнение в виде плана сил, начиная с известного вектора (рис. 25, б), откладывая из точки а последовательно все известные силы в масштабе . Чтобы замкнуть силовой многоугольник, проводим через точку а перпендикуляр к , а через точку b – направление вектора (перпендикулярно оси движения ползуна х-х). Точка пересечения этих двух линий определяет величину векторов и . Полную реакцию находим как равнодействующую и (на плане обозначена пунктиром). Определим реакцию в шарнире В. Для этого рассмотрим уравнение равновесия одного из звеньев, например, звена 2. Отброшенное звено 3 заменим его реакцией на звено 2, т. е. в данном случае выступает как внешняя сила. Уравнение равновесия звена 2 . (4.17) Замыкая силовой треугольник на плане сил, находим неизвестный вектор . Зная масштаб построения плана сил F, определяем значение вектора . Из уравнения равновесия звена 3 определим точку приложения реакции в поступательной паре: , (4.18) отсюда . (4.19) Если плечо h получится со знаком «минус», то это значит, что точку приложения силы следует расположить по другую сторону от точки В. Тогда момент будет иметь противоположный знак. Очень часто при решении задач плечо h получается таким, что сила оказывается далеко за пределами кинематической пары. Рассмотрим, как воспринимается в этом случае реакция элементами кинематической пары (рис. 43, в). Плечо силы относительно центра поступательной пары обозначим . Прикладывая в центре пары две равные и противоположно направленные силы , получим силу , приложенную в центре, и момент пары сил, равный , который будет действовать в крайних точках ползуна, т. е. на плече l. Реакция от момента в крайних точках l: , (4.20) где l – длина ползуна. Таким образом, действие силы на плече h будет в действительности передаваться как сила , приложенная в центре ползуна, и пара сил , приложенная на плече l. Такое расположение реакций неблагоприятно сказывается на работе ползуна, так как вызывает значительные силы трения. 4.6.3. Силовой расчет группы 3-го вида Дано: , , , – внешние силы и моменты пар сил, приложенные к звеньям 2 и 3 (рис. 26). Определить: , , – реакции в кинематических парах; h – плечо реакции в поступательной паре. а) б) Рис. 26. Силовой анализ структурной группы 3-го вида: а) расчетная схема; б) план сил Решение: Неизвестные реакции и раскладываем на две составляющие: параллельную х-х и перпендикулярную х-х (рис. 26, а). Реакция направлена перпендикулярно х-х. Уравнение равновесия звена 2 запишем в виде суммы проекций на ось х-х , (4.21) отсюда: . Уравнение равновесия звена 3 (сумма проекций на ось х-х): , (4.22) отсюда: . Уравнение равновесия всей группы: . (4.23) Строим это уравнение в масштабе плана сил (рис. 44, б). Из точки а отложим векторы , , , , получим точку b, из которой проводим перпендикуляр к линии х-х (направление векторов и ). Поскольку векторы параллельны между собой, то для выполнения равенства (4.22) необходимо попасть в точку а, чтобы замкнуть силовой многоугольник. Таким образом, отрезок ab представляет собой в масштабе сумму векторов и . Плечо силы относительно точки А обозначим через (его можно измерить на схеме и вычислить с учетом масштаба длин) и составим еще одно уравнение. Уравнение равновесия для всей группы (сумма моментов относительно точки А): , отсюда (4.24) где , , – моменты сил относительно точки A. После этого откладываем величину в масштабе F от точки b по линии ab, оставшийся участок – это сила (отрезок са). Равнодействующие и обозначены пунктиром. Определим реакцию в поступательной паре из уравнения равновесия звена 2: . (4.25) Первые два вектора уже есть на плане. Отрезок dc изображает замыкающий вектор – реакцию . Определим точку приложения реакции из уравнения равновесия звена 2: , (4.26) отсюда: . Полученная величина определяет, на каком расстоянии от точки А приложена реакция . 4.6.4. Силовой расчет начального звена Для того чтобы привести механизм в движение и выполнить полезную работу, необходимо выбрать мощность двигателя, которая обеспечила бы вращение начального звена с определенной скоростью. При постоянной скорости вращения движущая сила (момент сил) должна уравновешивать все силы, приложенные к начальному звену. Поэтому в задачу силового расчета начального звена, кроме определения реакций, входит еще и определение внешнего силового фактора. Если передача энергии осуществляется через зубчатый редуктор, то внешний силовой фактор представляет собой силу , действующую по нормали к рабочей поверхности зуба (рис. 27, а). а) б) в) Рис. 27. Силовой анализ начального звена: а) расчетная схема при передаче энергии через редуктор; б) план сил; в) при передаче энергии через муфту В соответствии с геометрией стандартных зубчатых колес нормаль в точке касания зубьев образует угол  = 20о с перпендикуляром к межосевому расстоянию. Кроме уравновешивающей силы , на начальное звено действуют реакции со стороны отброшенного звена 2 (), а также реакция стойки (). Как было упомянуто выше, . Сила определена предыдущим расчетом структурной группы. Таким образом, имеется неизвестная по величине и по направлению сила и неизвестная по величине сила . Сила определяется из уравнения , (4.27) где – момент силы относительно точки O; – плечо силы (рис. 27, а). Реакция стойки определяется из уравнения (4.27) Строим векторное уравнение в виде плана сил, замыкающая сторона треугольника изображает реакцию стойки (рис. 27, б). В том случае, если передача энергии осуществляется через муфту, внешний силовой фактор представляет собой момент (рис. 27, в). Отброшенное звено 2 заменяем реакцией . Если на звено 1 не действуют никакие другие силы, то реакция стойки . Уравновешивающий момент: . 5. СИНТЕЗ ПЕРЕДАТОЧНЫХ МЕХАНИЗМОВ. ПРОСТЫЕ ЗУБЧАТЫЕ МЕХАНИЗМЫ 5.1. Основные понятия Высшие кинематические пары обеспечивают большую степень относительной подвижности звеньев, чем низшие. Поэтому механизмы, содержащие высшие кинематические пары, позволяют более экономично решать такие задачи, как: • изменение скорости и закона движения; • изменение характера движения (например, вращательного на возвратно-поступательное, качательное и т. п.); • распределение движения от одного двигателя на несколько рабочих органов; • суммирование движений; • передача движения между осями, произвольно расположенными в пространстве; • бесступенчатое изменение скоростей звеньев во время работы механизма; • предохранение от перегрузок; • выполнение математических операций и т. п. Механизмы, позволяющие передавать вращение от двигателя к рабочему органу и изменяющие при этом скорость вращения, называют передаточными механизмами. Характеристикой передаточного механизма является его передаточное отношение (число) i1k, под которым понимают отношение скорости ведущего звена 1 к скорости ведомого звена k. В качестве передаточных часто используют такие механизмы, содержащие высшие кинематические пары, как: • зубчатые механизмы (простые и сложные); • кулачковые механизмы; • фрикционные механизмы; • механизмы с гибкими звеньями; • храповые механизмы и др. Простой зубчатый механизм состоит из пары зацепляющихся колес, т. е. колес с последовательно чередующимися впадинами и выступами определенной формы – зубьями. Зубчатые механизмы имеют следующие достоинства: • компактность и малые размеры; • высокий КПД; • большую долговечность и надежность; • простоту эксплуатации; • практически любое передаточное отношение. Основные недостатки в процессе эксплуатации: • невозможность бесступенчатого изменения передаточного отношения в процессе работы; • высокая точность изготовления, требующая специальных станков; • шум при больших окружных скоростях. 5.2. Классификация зубчатых механизмов Зубчатые механизмы классифицируются: а) по виду расположения осей – различают зубчатые механизмы: • цилиндрические – при передаче вращения между параллельными осями (рис. 35); а) б) в) г) Рис. 35. Цилиндрические зубчатые механизмы • конические – при передаче вращения между пересекающимися осями (рис. 36); Рис. 36. Конические зубчатые механизмы • винтовые – при передаче вращения между скрещивающимися осями (рис. 37). Рис. 37. Винтовой зубчатый механизм б) по виду зацепления – зубчатый механизм может быть с зацеплением зубьев: • внешним (рис. 35, а); • внутренним (рис.35, г); • реечным (рис. 35, в). в) по расположению зубьев колес относительно образующей обода – различают зубчатые передачи: • прямозубые (рис. 35, а); • косозубые (рис. 35, б). 5.3. Основная теорема зацепления Свойства зубчатого механизма во многом определяются выбором типа кривых, по которым очерчиваются боковые поверхности зубьев и которые определяют профиль зубьев зубчатых колес. Выбор же кривых для любых зубчатых колес должен, прежде всего, удовлетворять основной теореме зацепления и ее следствиям. Основная теорема зацепления. Общая нормаль к соприкасающимся профилям зубьев в данный момент зацепления делит линию центров колес на части, обратно пропорциональные угловым скоростям. Для доказательства основной теоремы рассмотрим зацепление двух зубьев в некоторый момент времени (рис. 38) в точке М (М1 и М2) со скоростями этих точек VM1 = R1 и VM2 = – R2 соответственно. Рис. 38. К доказательству основной теоремы зацепления Пусть NN – общая нормаль в данный момент в точке М. Очевидно, что условием непрерывности зацепления при вращении колес будет равенство проекций скоростей VM1 и VM2 на общую нормаль, т. е. . В противном случае (при ) получим либо отставание одного зуба от другого (), либо «внедрение» () – что недопустимо. Обозначая углы векторов с нормалью через и , имеем: . Из подобия и : , что и требовалось доказать. Следствие 1. Проекции скоростей на общую касательную не равны между собой. Поэтому зацепление зубьев происходит со скольжением профилей, от которого возникает износ и потери на трение, зависящие от скорости скольжения . Скольжения не будет только тогда, когда , т. е. в момент зацепления зубьев на линии центров. Следствие 2. Для постоянства передаточного отношения необходимо, чтобы общая нормаль NN в любой момент зацепления проходила через одну и ту же точку на линии центров, называемую полюсом зацепления Р. Окружности, проходящие через полюс зацепления, называют начальными (rω1 и rω2). Они являются центроидами относительного движения колес. Расстояние по дуге начальной окружности между двумя соседними зубьями называется шагом по начальной окружности (Pω1 и Pω2). Так как начальные окружности – центроиды, то Pω1 = Pω2 = Pω. Числа зубьев колес обычно обозначаются через z (z1 и z2). Тогда следующие равенства очевидны: и . Из основной теоремы зацепления для круглых колес имеем: , (6.1) т. е. передаточное отношение пары зубчатых колес с неподвижными осями обратно пропорционально числу зубьев, взятому с соответствующим знаком. Для внешнего зацепления – знак «минус», для внутреннего – «плюс». Из выражения (6.1) следует: . (6.2) Условиям основной теоремы зацепления и ее следствиям соответствует большое число кривых. Можно даже взять произвольный профиль одного зуба и получить, пользуясь основной теоремой, профиль зуба сопряженного с ним колеса. Однако такой профиль не будет соответствовать нижеперечисленным требованиям, предъявляемым к зубчатым колесам: • профили должны быть взаимно просты и технологичны в производстве; • зубчатые колеса должны быть взаимозаменяемы; • профили зубьев должны иметь минимальный износ поверхностей и достаточную прочность и долговечность; • профили должны давать постоянное давление на опоры для обеспечения долговечности подшипников. В настоящее время в машиностроении и приборостроении основной кривой для профилей зубьев является эвольвента круга, предложенная Л. Эйлером в 1754 г. Более чем двухсотлетнее применение эвольвентных зубчатых колес свидетельствует об удачном выборе кривой, особенно в связи с изобретением прогрессивного метода обработки (метода обкатки). 5.4. Свойства эвольвентного зацепления Отметим следующие свойства эвольвентного зацепления: • линия зацепления – прямая, следовательно, зацепление создает постоянные давления на оси и подшипники; • сумма радиусов кривизны сопряженных точек есть величина постоянная и равна теоретическому участку линии зацепления а0b0; • эвольвентное колесо может работать в паре с любым другим эвольвентным колесом, так как эвольвента зуба определяется только радиусом основной окружности; это свойство используется для создания коробок перемены передач; • правильность зацепления не нарушается при небольшом изменении межосевого расстояния О1О2 (изменяется только угол зацепления ); • возможно нарезание одним инструментом на высокопроизводительных станках колес с разными числами зубьев (методом обкатки); • относительно большой износ и недостаточная поверхностная прочность выпуклых эвольвентных профилей зубьев, что заставляет ученых искать другие виды кривых для профилей зубьев. 5.5. Методы изготовления зубьев Существует два принципиально отличных метода изготовления зубьев: • метод копирования; • метод обкатки. К методу копирования относятся литье, штамповка, протягивание, строгание, фрезерование или шлифование специальными инструментами, у которых форма режущих кромок отвечает форме впадины между зубьями, на­пример, дисковые или пальцевые фрезы (рис. 39). Рис. 39. Нарезание зубьев методом копирования В настоящее время метод копирования применяется редко (в одиночном производстве или при ремонте) из-за зависимости его от формы впадины между зубьями. 5.6. Изготовление зубчатых колес методом обкатки 5.6.1. Основные понятия Основным методом изготовления зубьев является метод обкатки. Этот метод применяется при изготовлении зубьев: фрезерованием червячной фрезой (рис. 40); обработкой долбяком (рис. 41), нарезанием зубчатой рейкой (рис. 42); накаткой зубьев – шлифованием или шевингованием. Рис. 40. Нарезание зубьев червячной фрезой Рис. 41. Нарезание зубьев долбяком Рис. 42. Нарезание зубьев зубчатой рейкой Методом обкатки получают зубчатые колеса, имеющие высокую точность профиля и шага, а сам метод является наиболее производительным. Самым простым и универсальным инструментом для метода обкатки является инструментальная рейка. Боковые участки зубьев рейки, образующие эвольвентный профиль на нарезаемом колесе, выполнены прямолинейными (рис. 43), так как прямые можно рассматривать как частные случаи эвольвент при . Рис. 43. К определению делительной окружности Эвольвента зуба cd образуется при обкатке некоторой прямой (центроиды) рейки mm без скольжения по окружности (центроиде) заготовки r. Окружность радиуса r, по которой катится без скольжения прямая mm рейки в процессе изготовления зубчатого колеса, называется делительной (производственной) окружностью. Она отличается от начальных окружностей, появляющихся в процессе зацепления двух зубчатых колес. Каждое зубчатое колесо, имея только одну делительную окружность, может образовывать несколько начальных окружностей разного диаметра при за­цеплении с различными колесами. Очевидно, что шаг по дуге делительной окружности р = Pp. Так как , то: . (6.4) Здесь называется модулем зацепления. Модуль зацепления является одним из основных параметров зубчатого колеса и выражается в миллиметрах. С целью сокращения количества инструмента значение модулей m стандартизовано. Размеры инструментальной рейки – так называемый исходный контур инстру­ментальной рейки – также стандартизованы в долях модуля зацепления (рис. 44). Рис. 44. Инструментальная рейка Прямолинейный участок профиля рейки выполнен в пределах 2h'am; закругление для формирования галтели зуба – на участке с'т. Здесь: h'a – коэффициент высоты зуба; с' – коэффициент радиального зазора; – угол профиля рейки. Для основного контура h'a = 1, с' = 0,25 и =20°. ГОСТ предусматривает при необходимости применение укороченного контура (h'a = 0,8; с' = 0,3; = 20°). На средней линии толщина зуба равна половине шага рейки, т. е. . 5.6.2. Способы обработки зубьев при методе обкатки При обработке резанием форма режущего инструмента (инструментального колеса (долбяка, шевера) или инструментальной рейки) методом обкатки сходна с формой зубчатого колеса или зубчатой рейки, зубьям которых приданы режущие свойства. Процесс резания (шлифования, шевингования) происходит при возвратном движении инструментального колеса или рейки вдоль оси зуба или при вращении червячной фрезы. Относительные движения в окружном направлении заготовки будущего колеса и режущего инструмента такие же, как и при зацеплении уже нарезанного колеса с другим зубчатым колесом или зубчатой рейкой (сходными с инструментальными). Так как эвольвентное колесо может работать в паре с любым зубчатым колесом, то и инструмент по методу обкатки пригоден для изготовления любого зубчатого колеса (при одинаковой высоте зуба, точнее, при одинаковом модуле). При образовании зубьев методом накатки (рис. 45) заготовка зубчатого колеса z диаметром примерно – (da+df)/2, часто предварительно нагретая токами высокой частоты, прокатывается между валками. Валки сходны с эвольвентными зубчатыми колесами (рис. 45, а, б) или с зубчатыми рейками (рис. 45, в), получающими вместе с заготовкой принудительный обкат с постоянным передаточным отношением таким же, как и в готовом зубчатом зацеплении. а) б) в) Рис. 45. Схемы изготовления зубчатых колес методом накатки: а) накатка с радиальной подачей; б) пакетная накатка с протягиванием; в) накатка двумя рейками Деформируя заготовку, валки образуют на ней зубья за счет пластического течения металла, вытесняемого из впадин зубчатого колеса. Волокна металла при этом не перерезаются, а поверхность зубьев упрочняется, что способствует повышению прочности зубчатого колеса. Недостатком этого вида обработки является пока невысокая точность получаемого зубчатого колеса по сравнению с другими видами зубонарезания методом обкатки. 5.6.3. Установка рейки при нарезании и виды зубчатых колес При нарезании зубчатого колеса возможны три случая установки инструментальной рейки: 1) средняя линия рейки касается и обкатывается без скольжения по делительной окружности нарезаемого колеса (заготовки) – (рис. 46, а); Рис. 46. Положение зубчатой рейки: а) без смещения; б) с положительным смещением; в) с отрицательным смещением 2) по делительной окружности обкатывается без скольжения некоторая прямая mm, расположенная ближе к вершинам зубьев рейки и смещенная от средней линии рейки на величину , где – коэффициент смещения. В этом случае говорят, что рейка отодвинута от центра колеса на величину (рис. 46, б); 3) по делительной окружности обкатывается прямая mm, смещенная к основаниям зубьев рейки на величину , где (рис. 46, в). В первом случае образуется после нарезания нулевое колесо (), во втором – положительное () и в третьем – отрицательное () колесо. Большее из зацепляющихся зубчатых колес обычно называют колесом, меньшее – шестерней. 5.7. Определение размеров зубчатых колес 5.7.1. Определение толщины зуба по дуге делительной окружности Толщина зуба S, измеренная по дуге делительной окружности, равна ширине впадины между зубьями рейки, измеренной по обкаточной прямой mm (рис. 46, б): . (6.5) Оттуда же: (6.6) . (6.7) Полученные зависимости справедливы для всех видов колес. 5.7.2. Определение толщины зуба на любом радиусе Для определения толщины зуба Sx на любом радиусе rх считаем известной толщину зуба по дуге делительной окружности (рис. 47): , , где ; . Рис. 47. К определению толщины зуба на любом радиусе Углы и представляют собой инволюты углов точек Р и М на эвольвенте. Таким образом, толщина зуба на любом радиусе rx: . (6.8) В частности, для основной окружности и . Следовательно, толщина зуба по основной окружности: . (6.9) Уравнение для Sx используется в аналитической геометрии зубчатого зацепления и при построении профиля зуба. 5.7.3. Определение угла зацепления Нарезанные с любыми коэффициентами смещения два зубчатые колеса образуют эвольвентное зацепление с каким-то углом зацепления и начальными окружностями rω1 и rω2, проходящими через полюс зацепления Р (рис. 48). При этом делительные окружности колес могут располагаться по-разному относительно начальных окружностей в зависимости от величин коэффициентов смещения. Рис. 48. К определению угла зацепления Из условия обкатки: Sω1 + Sω2 = Pω. (6.10) Толщину зубьев по начальным окружностям ( и S2) можно получить из формулы (6.8) для Sx: , . Шаг по начальной окружности . Делая подстановку в формулу (7.10) значения (6.2), получим после преобразований: . (6.11) Зная угол зацепления , можно определить радиусы начальных окружностей: (6.12) и межцентровое расстояние aω= O1 O2 . (6.13) 5.7.4. Определение радиуса окружности выступов Радиусы окружностей выступов (см. рис. 48) определяются из условия сохранения определенной величины радиального зазора (с =m) при плотном зацеплении теоретических зубьев, имеющих толщину зубьев, вычисленную по формуле (7.8): . где равен 0,25 или 0,3 для укороченных зубьев (ГОСТ 13755-81). Для получения стандартного радиального зазора в зацеплении вводят коэффициент укорочения зуба : . Тогда ; (6.14) . (6.15) 5.8. Виды зацеплений двух зубчатых колес В зависимости от того, какие зубчатые колеса (нулевые, положительные или отрицательные) введены в зацепление, образуются три вида зацепления, качественно различающиеся между собой: 1. Нулевое зацепление: ; ; ; ; ; . В таком зацеплении делительные окружности совпадают с начальными, и толщина зуба по начальной окружности равна ширине впадины. 2. Смещенно-нулевое зацепление: , т. е. ; . Толщина зубьев по начальным (делительным) окружностям со­пряженных колес не равны между собой. 3. Смещенное зацепление: . В таком зацеплении угол зацепления отличается от угла профиля рейки, а делительные окружности не совпадают с начальными, толщина зубьев по делительным окружностям неодинакова. 5.9. Корригирование зубчатых колес При малом числе зубьев колеса (рис. 49, а) в процессе изготовления может происходить подрезание ножки (основания) зуба. Рис. 49. Устранение подрезания зубьев Это наблюдается, когда конечная точка b прямолинейного участка рейки пересекает линию зацепления NN в точке С, отстоящей от полюса дальше, чем точка а'о (конец теоретического участка линии зацепления при нарезании). На участке а'0С происходит неправильное зацепление (нет общей нормали с эвольвентой), а в силу режущих свойств инструмента рейка срезает часть эвольвенты и утончает ножку зуба. Зуб оказывается подрезанным и непрочным. Корригирование, или исправление зубчатых колес, происходит в результате смещения инструмента при нарезании зубьев. При этом достигается: • повышение контактной прочности и долговечности зубчатого механизма за счет снижения величины коэффициента удельного давления; • повышение износостойкости за счет уменьшения коэффициентов скольжения; • повышение изгибной прочности, так как при положительных смещениях толщина зуба у основания увеличивается; • уменьшение габаритов зубчатого механизма при заданной прочности и долговечности; • требуемое конструкцией межцентровое расстояние aω. Для устранения подрезания необходимо сместить рейку от центра так, чтобы PC < Р а'0. В случае PC = Р а'0 смещение рейки минимально (рис. 49, б). При этом имеем из : . (6.19) Из PDC: . (6.20) Приравнивая выражения (7.19) и (7.20), получим: . (6.21) Если нарезается нулевое колесо, то минимально возможное число зубьев zmin без подреза определится при из выражения (7.21): . (6.22) Для основного стандарта (; ) – 17. Для укороченных зубьев (; ) – 14. Применение смещения в последнем случае позволяет нарезать зубчатое колесо с меньшим числом зубьев и уменьшить габариты не силовых зубчатых механизмов. Выбор коэффициентов смещения для достижения указанных целей представляет собой сложную и трудоемкую инженерную задачу. Решение осложняется тем, что при больших смещениях режущего инструмента (как в процессе нарезания, так и при зацеплении зубчатых колес) возникает ряд отрицательных явлений: • заострение зуба; • срезание вершины зуба; • заклинивание зацепления; • малый коэффициент перекрытия (даже ) и т. п. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основой изложенного в учебном пособии курса теории механизмов приборов является многолетний опыт преподавания дисциплины с учетом современных требований. Приведенные авторами в материалах примеры определения параметров механизмов на основе графических и аналитических методов окажут студентам помощь в усвоении курса. Методика изложения учебного содержания рассчитана на вариативное использование его в курсах подготовки как бакалавров и магистров, так и инженеров. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Артоболевский, И.И. Теория механизмов и машин [Текст] / И.И. Артоболевский. – М.: Наука, 1988. – 638 с. 2. Белоконев, И.М. Теория механизмов и машин. Конспект лекций [Текст]: учеб. пособие для вузов / И.М. Белоконев, С.А. Балан, К.И. Белоконев. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Дрофа, 2004. – 172 с. 3. Заблонский, К.И. Теория механизмов и машин [Текст] / К.И. Заблонский, И.М. Белоконев, Б.М. Щекин. – Киев: Вица школа, 1989. – 375 с. 4. Кожевников, С.Н. Теория механизмов и машин [Текст] / С.Н. Кожевников. – М.: Наука, 1973. – 784 с. 5. Левитская, О.Н. Курс теории механизмов и машин [Текст] / О.Н. Левитская, Н.И. Левитский. – Высш. шк., 1985. – 279 с. 6. Марченко, С.И. Теория механизмов и машин [Текст] / С.И. Марченко, Е.П. Марченко и др. – Ростов н/Д.: Феникс, 2003. – 256 с. 7. Фролов, К.В. Теория механизмов и механика машин [Текст]: учебник для втузов / под ред. Фролова К.В. – 4-е изд., перераб. – М.: Высш. шк., 2003. – 496 с.