Справочник от Автор24
Электроника, электротехника, радиотехника

Конспект лекции
«Приближенное решение уравнений. Задачи электротехники, приводящие к решению уравнений.»

Справочник / Лекторий Справочник / Лекционные и методические материалы по электронике, электротехнике, радиотехнике / Приближенное решение уравнений. Задачи электротехники, приводящие к решению уравнений.

Выбери формат для чтения

doc

Конспект лекции по дисциплине «Приближенное решение уравнений. Задачи электротехники, приводящие к решению уравнений.», doc

Файл загружается

Файл загружается

Благодарим за ожидание, осталось немного.

Конспект лекции по дисциплине «Приближенное решение уравнений. Задачи электротехники, приводящие к решению уравнений.». doc

txt

Конспект лекции по дисциплине «Приближенное решение уравнений. Задачи электротехники, приводящие к решению уравнений.», текстовый формат

ЛЕКЦИЯ №2 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ Задачи электротехники, приводящие к решению уравнений Ток катушки электромагнита описывается аналитически с помощью сложного трансцендентного уравнения (1.5). При наличии диода в электрической цепи необходимо знать момент перехода тока через ноль для того, чтобы в математической модели изменить сопротивление диода RD c прямого Rпр на обратное Rобр . Для этого необходимо найти момент времени t0, при котором ток в цепи будет равным нулю: i(t) = 0. Также в электрических цепях, при включении и выключении участков цепи, токи в ветвях изменяются не мгновенно, а за промежуток времени . Процесс перехода цепи из одного установившегося состояния в другое называется переходным процессом. Расчет переходных процессов чрезвычайно важен в электротехнике и электромеханике в связи с тем, что токи и механические усилия, сопровождающие эти токи, в переходных процессах могут быть в десятки и даже в сотни раз больше, чем в установившемся режиме. При расчете переходных процессов приходится решать полиномиальные уравнения высоких степеней, которые называются характеристическими [4,10]. Другими словами, в электротехнике часто требуется найти решение уравнения вида , (2.1) где аргументом х может быть любая физическая величина, используемая в электротехнике. Наиболее часто им является время (t). Корнем называется значение х, при котором уравнение (2.1) превращается в тождество 0 = 0. Аналитическое, то есть точное, приводящее за конечное число операций к нахождению корня решение, имеют немногие уравнения, используемые в электротехнике. Например, это квадратное уравнение , уравнение и т.д. Большинство же уравнений не имеют аналитического решения, и их корни приходится находить численными методами. Рассмотрим общепринятую методику поиска корней уравнений численными методами. Отделение корней Для использования при нахождении действительных корней уравнения (2.1) численных методов требуется знать интервал аргумента [xk,xk+1], на котором функция меняет знак на противоположный. Можно утверждать, что на таком интервале будет хотя бы один корень уравнения (2.1). На рис.2.1 изображен график функции, имеющей корни на интервале [x1,x4]. На интервалах [x1,x2], [x2,x3] и [x3,x4] находятся корни уравнения. Если шаг h изменения аргумента х велик, может произойти потеря корней (интервал [x2,x3]). Этап нахождения интервалов аргумента, где находятся корни уравнения, называется этапом отделения корней. Для этого на исследуемом интервале аргумента х рассчитываются значения функции f(x), при изменении значения х с достаточно малым шагом h. Полученные значения х и f(x) заносят в таблицу и строят график функции f(x). Далее находят интервалы существования корней и уточняют их значения одним из численных методов. Все численные методы поиска корней уравнений являются итерационными, или методами последовательного приближения к результату. С каждым последующим шагом (при благоприятных условиях) значение аргумента приближается к корню. В практических задачах поиск корня ведется с определенной, заранее заданной максимальной погрешностью , приемлемой для конкретной задачи. Условием окончания итерационного процесса будет следующее неравенство: , (2.2) где - два последовательных шага итерации. На практических занятиях предлагается самостоятельно написать программу, результатом работы которой будут интервалы, содержащие корни исследуемой функции. Расчет значений функции на каждом шаге предлагается оформить как процедуру-функцию. Уточнение корней Рассмотрим несколько численных методов уточнения действительных корней уравнений [5]. Метод дихотомии Метод дихотомии называют также методом половинного деления. Суть метода состоит в следующем. Определяют середину отрезка [a,b], на котором находится корень , и вычисляют функцию . Далее делают выбор, какую из двух частей отрезка взять за уточнение корня. Если на интервале функция f(x) меняет знак, то точку b перемещают в точку . Если на интервале функция f(x) меняет знак, то точку а перемещают в точку . Далее процесс повторяется до тех пор, пока значение функции f(x) не станет меньше по абсолютной величине заданной погрешности . Графическая интерпретация метода дихотомии приведена на рис.2.2. Следует заметить, что функция вычисляется с погрешностью , определяемой методом вычислений и возможностями ЭВМ. Интервал называется областью шума. Если задать , мы не сможем получить точность, определяемую . Вторым критерием окончания поиска корня методом дихотомии является неравенство (2.2). Заданные погрешности функции и аргумента должны быть согласованы по величине. По методу дихотомии за каждую итерацию интервал уменьшается в два раза. За k итераций он уменьшается в раз. Метод хорд Рассматриваемый метод, как и метод дихотомии, предназначен для уточнения корня на интервале [a,b], на концах которого f(x) принимает разные знаки. Очередное приближение теперь берется не в середине отрезка [a,b], а в точке х1 , где пересекаются ось абсцисс и прямая линия, проведенная через точки f(a) и f(b): В качестве нового интервала для поиска корня берется тот из двух интервалов [a,x] или [x,b], на концах которого f(x) имеет разные знаки. Процесс заканчивается тогда, когда или . Графическая интерпретация метода приведена на рис.2.3. Программная реализация выполнена в виде процедуры - подпрограммы Horda (ПРОГРАММА 2.1). В методах дихотомии и хорд для поиска корня используются оба конца интервала аргумента, содержащего корень. Поэтому, если заданная точность определения корня не превышает технические возможности ЭВМ, корень всегда будет найден за конечное, может, и большое, число итераций. Если на интервале есть несколько корней, то методы сойдутся к одному из них. Ниже мы приступаем к рассмотрению методов, использующих, как правило, начальные приближения к корню с одной стороны интервала существования корня. Эти методы при неудачном выборе начального приближения х0 могут совсем не найти корня, зато обладают значительно более высокой степенью сходимости к решению при удачном выборе начального приближения. Метод Ньютона (касательных) Метод Ньютона обладает наиболее высокой скоростью сходимости к корню, но требует знания и вычисления в процессе поиска корня не только самой функции f(x), но и ее первой производной Если известно начальное приближение х0 , то следующее значение аргумента х1 вычисляется по формуле Для k-го шага итерационного процесса получим: (2.4) Итерационный процесс заканчивается, когда . Скорость сходимости метода Ньютона такова, что точность 10-5-10-6 достигается за 4-5 итераций. Можно, уменьшив скорость сходимости метода, вычислить производную только в начальной точке х0. Получим алгоритм, называемый модифицированным методом Ньютона. . (2.5) Программная реализация метода Ньютона выполнена в виде процедуры-подпрограммы Newton (ПРОГРАММА 2.1). Вся процедура практически состоит из одного цикла Repeat ... Until, реализующего формулу (2.4) с учетом условия прекращения итерационного процесса (формула (2.2)). В процедуру Newton встроена защита от зацикливания путем подсчета числа циклов с помощью переменной Niter.. На рис.2.4 проиллюстрирован поиск корня методом Ньютона. Если взять за начальное приближение точку х1, то будет одностороннее приближение к корню. На практических занятиях студентам предлагается изменить процедуру Newton так, чтобы она могла применяться для реализации модифицированного метода Ньютона. Метод Ньютона с его модификациями [1,9] применим для поиска не только действительных, но и комплексных корней уравнений и решения систем уравнений нелинейных уравнений. Метод секущих Заменив производные приращениями функции f(x) и аргумента х , вычисляемыми на каждом шаге итерации, получим формулу метода секущих: . (2.6) Геометрический смысл данного изменения алгоритма Ньютона в том, что от касательной мы переходим к секущей (рис.2.5). Из формулы (2.6) видно, что в методе секущих необходимо задавать в качестве начального приближения две близкие точки аргумента - х0 и х1. Если сравнить формулу (2.6) с формулой (2.3) метода хорд, то можно сделать неверный вывод об эквивалентности метода хорд и метода секущих. Но, если метод хорд предполагает использование двух концов интервала нахождения корня (проверка знака функции и выбор интервала исходя из разных знаков), то по методу секущих берутся два последующих значения функции f(xk-1) и f(xk). По методу секущих может быть как одностороннее, так и двухстороннее приближение к корню. Это зависит от вида функции и выбора начального приближения. Например, если на рис.2.5 взять х0 и х1 справа от корня, то получится одностороннее приближение к корню. Программная реализация метода секущих выполнена в виде процедуры-подпрограммы Secant (ПРОГРАММА 2.1). Вся процедура практически состоит из одного цикла Repeat ... Until, реализующего формулу (2.6) с учетом условия прекращения итерационного процесса (формула (2.2)). В процедуру встроена защита от зацикливания путем подсчета числа циклов с помощью переменной Niter. Как и в других процедурах, алгоритм построен так, чтобы использовать одну и ту же переменную для хранения различных величин, например R. На практических занятиях необходимо убедиться путем прогона программы в том, как сказывается выбор начальных точек на процесс поиска корня. Метод простых итераций Метод простых итераций основан на замене исходного уравнения эквивалентным уравнением: . (2.7) Пусть известно начальное приближение к корню х = х0. Подставив его в правую часть уравнения (2.7), получим новое приближение , затем аналогичным образом получим и т. д.: . (2.8) Не при всех условиях итерационный процесс сходится к корню уравнения х* . Рассмотрим этот процесс подробнее. На рис.2.6 приведена графическая интерпретация одностороннего сходящегося и расходящегося процесса. На рис.2.7 изображены двухсторонний сходящийся и расходящийся процессы. Расходящийся процесс характеризуется быстрым нарастанием значений аргумента и функции и аварийным завершением соответствующей программы. При двухстороннем процессе возможно зацикливание, то есть бесконечное повторение одних и тех же значений функции и аргумента. Зацикливание отделяет расходящийся процесс от сходящегося. Из графиков видно, что как при одностороннем, так и при двухстороннем процессе сходимость к корню определяется наклоном кривой вблизи корня. Чем меньше наклон, тем лучше сходимость. Как известно, тангенс угла наклона кривой равен производной кривой в данной точке. Следовательно, чем меньше вблизи корня, тем быстрее сходится процесс. Для того чтобы итерационный процесс был сходящимся, необходимо в окрестности корня выполнение следующего неравенства: . (2.9) Переход от уравнения (2.1) к уравнению (2.7) можно осуществить различными способами в зависимости от вида функции f(x). При таком переходе необходимо построить функцию так, чтобы выполнялось условие сходимости (2.9). Рассмотрим один из общих алгоритмов перехода от уравнения (2.1) к уравнению (2.7) [5]. Умножим левую и правую части уравнения (2.1) на произвольную константу b и добавим к обеим частям неизвестное х. При этом корни исходного уравнения не изменятся: (2.10) Введем обозначение и перейдем от соотношения (2.10) к уравнению (2.8). . (2.11) Произвольный выбор константы b позволит обеспечить выполнение условия сходимости (2.9). Критерием окончания итерационного процесса будет условие (2.2). На рис.2.8 приведена графическая интерпретация метода простых итераций при описанном способе представления (масштабы по осям X и Y различны). Если функция выбрана в виде , то производная от этой функции будет . Наибольшая скорость сходимости будет при , тогда и итерационная формула (2.11) переходит в формулу Ньютона . Таким образом, метод Ньютона имеет самую высокую степень сходимости из всех итерационных процессов. Программная реализация метода простых итераций выполнена в виде процедуры-подпрограммы Iteras (ПРОГРАММА 2.1). Вся процедура практически состоит из одного цикла Repeat ... Until, реализующего формулу (2.11) с учетом условия прекращения итерационного процесса (формула (2.2)). В процедуру встроена защита от зацикливания путем подсчета числа циклов с помощью переменной Niter. На практических занятиях необходимо убедиться путем прогона программы в том, как сказывается выбор коэффициента b и начального приближения на процессе поиска корня. При изменении коэффициента b характер итерационного процесса для исследуемой функции меняется. Он становится сначала двухсторонним, а потом зацикливается (рис.2.9). Масштабы по осям X и Y различны. Еще большее значение модуля b приводит к расходящемуся процессу. Сравнение методов приближенного решения уравнений Сравнение описанных выше методов численного решения уравнений проводилось с помощью программы, позволяющей на экране ПЭВМ наблюдать процесс нахождения корня в графическом виде. Процедуры, входящие в данную программу и реализующие сравниваемые методы, приведены ниже (ПРОГРАММА 2.1). Рис.2.3-2.5,2.8,2.9 являются копиями экрана ПЭВМ при окончании итерационного процесса. В качестве исследуемой функции во всех случаях было взято квадратное уравнение x2-x-6 = 0, имеющее аналитическое решение х1 = -2 и х2 = 3. Погрешность и начальные приближения принимались для всех методов равными. Результаты поиска корня х=3, представленные на рисунках, таковы. Наиболее медленно сходится метод дихотомии - 22 итерации, самый быстрый - метод простых итераций при b = -0.2 - 5 итераций. Здесь нет противоречия с утверждением, что метод Ньютона является самым быстрым. Производная исследуемой функции в точке х = 3 равна -0.2, то есть расчет в данном случае велся практически методом Ньютона с величиной производной в точке корня уравнения. При изменении коэффициента b скорость сходимости падает и постепенно сходящийся процесс сначала зацикливается, потом становится расходящимся.

Рекомендованные лекции

Смотреть все
Электроника, электротехника, радиотехника

Численное интегрирование дифференциальных уравнений. Задачи электротехники, приводящие к решению дифференциальных уравнений.

ЛЕКЦИЯ №4 Численное интегрирование дифференциальных уравнений Задачи электротехники, приводящие к решению дифференциальных уравнений Обыкновенные дифф...

Электроника, электротехника, радиотехника

Системы линейных уравнений. Задачи электротехники, приводящие к решению систем линейных уравнений.

Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Задачи электротехники, приводящие к решению систем линейных уравнений Расчет токов и напряжений в электрических це...

Автоматика и управление

Основы автоматики и теории управления

Федотов Б.К. Конспект лекций по дисциплине «Основы автоматики и теории управления» Лекция.1.1 Введение Содержание: - понятие АВТОМАТИКА и автоматика к...

Автор лекции

Федотов Б. К.

Авторы

Электроника, электротехника, радиотехника

Теоретические основы электротехники. Основные понятия и законы теории электрических цепей

МИНИCTEPCTBO ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального обра...

Автор лекции

Пигулев Р.В., Чуенкова И.Ю.

Авторы

Инженерные сети и оборудование

История развития теории автоматического управления: от автоматики до отказоустойчивого управления

История развития теории автоматического управления: от автоматики до отказоустойчивого управления На протяжении всей истории развития технических сред...

Автоматизация технологических процессов

Моделирование

Введение   Моделирование представляет собой метод исследования свойств одного объекта посредством изучения свойств другого объекта, более удобного для...

Электроника, электротехника, радиотехника

Электротехника

В.А. АЛЕХИН ЭЛЕКТРОТЕХНИКА МУЛЬТИМЕДИЙНЫЙ КУРС ЛЕКЦИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В СРЕДЕ TINA-TI МОСКВА 2016 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИ...

Автор лекции

Алехин В.А.

Авторы

Электроника, электротехника, радиотехника

Электротехника и схемотехника. Основы радиотехнических цепей и сигналов

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИБОРО...

Автор лекции

Филинов В. В.

Авторы

Электроника, электротехника, радиотехника

Электрическая цепь и ее элементы

ВВЕДЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ И ЕЕ ЭЛЕМЕНТЫ Электрическую цепь можно рассматривать состоящую из источников и приемников электрической энергии, соединенн...

Электроника, электротехника, радиотехника

Частотные характеристики электрических цепей первого порядка. Комплексные передаточные функции

3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ Частотные зависимости гармонических колебаний в ЭЦ, ...

Смотреть все