Предыстория квантовой механики. Старая квантовая механика

Лекция 1 Предыстория квантовой механики. Старая квантовая механика. 1. Бальмер заметил, что частоты излучения атома водорода можно перечислить парой целых чисел: 1   1  2 2 m n    m, n   R  (1) 2. Планк показал, что плотность энергии излучения АЧТ имеет вид u  , T   3  c 2 3 1   exp   1  kT  (2) Электромагнитное поле излучается порциями – квантами энергии  . 3. Эйнштейн. ЭМ поле как совокупность квантов  . Но для света импульс E  p  . Значит, p   k . Т.е. свет несет импульс p  k . c c 4. Постулаты Бора: a. Существуют стационарные орбиты, находясь на которых электроны не излучают. b. Если электрон переходит с одной орбиты на другую, то излучается квант света с частотой   m, n   Em  En (3) c. Частота перехода при больших m должна стремиться к частоте классического кругового излучения: Em  Em1 5. Зоммерфельд. Заметим, что  cl при m 1 (4)     p  L   E  t  . Коль скоро квантуется энергия, то и момент импульса тоже должен квантоваться: p  2 rn  nh 6. Де Бройль. С движением электрона в атоме можно связать волну. Корпускулярно-волновой дуализм. Т.к. согласно Зоммерфельду prn  n , а также согласно Эйнштейну p  k  2  , то (5) 2 rn  n (6) Т.е. на длине окружности укладывается целое число волн. 7. Ритц. Комбинационный принцип: Частоту любой линии излучения любого атома можно представить как разность значений некоторой функции, взятой в целочисленных точках:   m, n   F  m   F  n   m  n (7) Запишем (7) в виде композиции частот:   m, l     l , n     m, n  ,   m, m   0 (8) Заметим, что комбинационный принцип – это обобщение экспериментальных данных. Частоты в (1), (3), (7) и (8) – это так называемые квантовомеханические частоты, которые должны еще быть как-то соотнесены с классическими частотами (смотри третий постулат Бора). Заметим также, что для классических частот справедлив закон композиции, отличный от квантового (7): cl  n, m   cl  n, s   cl  n, m  s  . (9) Знакомо ли это вам из курса электродинамики? Переход к новой квантовой механике 8. Правило Борна перехода от классической к квантовой механике. Квантовомеханическая частота   n, m  , соответствующая переходу из состояния n в и малых s , должна соответствовать m  n  s при n 1 классическая частота cl  n, s  , являющаяся s -ой гармоникой (обертоном) состояние основного тона  : при n 1   n, n  s   cl  n, s   s  n,1  s . Но классическое действие J квантуется (смотри (5)): 1 pdq  J  n 2  (10) (11) Из классической механики известно (лучше бы вам повторить это), что  H J (12) Здесь H – гамильтониан. Тогда в силу (9) имеем cl  n, s   s H s H  J n (13) Но согласно второму постулату Бора   n, n  s   1  H  n  H  n  s  . (14) Из (13) и (14) следует, что квантово-механическая частота   n, n  s  получается из H конечной разностью n H  n   H  n  s  . Для произвольной функции Ф  n  можем записать: классической cl  n, s  путем замены производной s s Ф  Ф n  Ф n  s  . n Задание 1: Продифференцировав s s (15) Ф по n , докажите, что n Ф  n, s   Ф  n  s , n   Ф  n, n  s  . n (15.1) 9. Основная задача физики заключается в выявлении функциональных связей между наблюдаемыми величинами. Важно при этом, что искомые связи должны быть выражены не изменяющимися во времени законами. Изучение атомов происходит путем исследования результатов его взаимодействия с ЭМ волнами. Такие исследования снабжают физиков наборами амплитуд Amn и частот   m, n  ЭМ излучения. Как известно из классической электродинамики, для некоторой наблюдаемой A  t  мы можем записать разложение по этом наборам: A  t    A  m, n  exp  icl  m, n  t  . (16) n Если в начальный момент величины A и B связаны некоторой зависимостью B  f  A , то и спустя произвольный отрезок времени t зависимость должна оставаться такой же: B  t   f  A  t   . Для примера рассмотрим зависимость B  A2 . Из (16) следует, что в классическом случае имеем: A2  t    A  m, n A  m, s  exp  icl  m, n  t  exp icl  m, s  t  s (17) n С учетом классического закона композиции частот (9) перепишем (17): A2  t    A  m, n A  m, s  exp icl  m, n  s  t  . s n Перейдем к новой переменной n  n  s : A2  t    A  m, n  s A  m, s  exp  icl  m, n t  . s n (18) Далее, переобозначим n  n (пределы суммирования бесконечны, поэтому все переменные пробегают один и тот же интервал - бесконечный): A2  t    A  m, n  s A  m, s  exp  icl  m, n  t   n  n s  A  m, p A  m, s  exp i  m, n  t  cl p ns Введем обозначение B  m, n    A  m, p A  m, s  . Тогда имеем p ns B  t   A2  t    B  m, n  exp  icl  m, n  t  . (19) n Итак, мы видим, что если в начальный момент времени есть соответствия  A   A  m, n  ,   m, n  , (20)  B  B  m, n   f  A  m, n   ,   m, n  , то и в последующие моменты времени имеются аналогичные соответствия:   A  t   A  m, n  exp  i  m, n  t  ,   m, n  ,   B  t   f  A  m, n   exp  i  m, n  t  ,   m, n  . (21) В силу того, что в квантовом случае закон композиции частот иной, то существование перехода от (20) к (21) остается под вопросом. Но тогда в квантовой теории остается под вопросом неизменности во времени зависимости B  f  A . Гайзенберг увидел, что переход от (20) к (21) остается в силе и в квантовой механике только в случае, если величины A и B образуют матрицы: A  m, n   Amn , B  m, n   Bmn , (22) такие, что B  t mn  f  A  t  mn . В самом деле, для зависимости B  A2 имеем в начальный момент времени Bmn   Ams Asn , (23) s то в последующие моменты времени Bmn  t    Ams  t  Asn  t   s   Ams exp  i  m, s  t  Asn exp  i  s, n  t   s  комбинационный принцип Ритца (8)    Ams Asn exp  i  m, n  t  . s (24) Итак, и в квантовой механике зависимость между наблюдаемыми B  f  A остается неизменной во времени, если каждой наблюдаемой поставить в соответствие матрицы. Важно, что в (23) и (24) оба индекса (и m , и n ) существенны! В классической физике это не так. Посмотрите, например на (19). Это значит, что при квантовомеханическом описании движения электрона в атоме рассматриваются как бы сразу все возможные классические траектории движения. Т.е. классического понятия о траектории в квантовой теории, согласованной с комбинационным принципом Ритца, больше нет. 10. Фундаментальное перестановочное соотношение. Запишем выражения для импульса и координаты в виде разложения по наборам амплитуд и частот: p   p  n, s  exp  icl  n, s  t  , s (25) q   q  n, s  exp  icl  n, s  t  . s Так как импульсы и координаты – это действительные числа, то q  n,  s   q*  n, s  (26) p  n,  s   p*  n, s  Задание 2. Убедитесь в этом!!! Далее, каждой наблюдаемой ставим в соответствие матрицы. Для действительной наблюдаемой матрицы должны быть эрмитовы, т.е. должны выполняться условия: q  s, n   q*  n, s  (27) p  s, n   p*  n, s  Задание 3. И в этом тоже убедитесь!!! В алгебре должно было бы это быть. Из (25) следует, что q  i  q  n, s cl  n, s  exp  icl  n, s  t  s Значит, условие квантования для действия принимает вид: 1 n  2  i 2  1 pdq  2 2   pqdt   p  n, s q  n, s cl  n, s s s 2     exp i cl  n, s   cl  n, s   t dt В силу (9) и (10) i n  2  p  n, s q  n, s s 2  s s  exp i  s  s  t  dt Задание 4. Далее, убедитесь, что (привет из матанализа) 2   exp  i  s  s  t  dt  2   s  s,0 Тогда имеем n  i  p  n, s q  n, s s s  s,0  i  p  n, s  q  n, s  s s s s Принимая во внимание (26) запишем условие квантования в виде n  i  p  n, s  q*  n, s  s s Продифференцируем полученное соотношение по n :  i  s s  p  n, s  q *  n , s    n Используем условие квантования Борна (15.1) и используем (27):  i   p  n  s, n  q*  n  s, n   p  n, n  s  q*  n, n  s   s  i   p  n  s, n  q  n, n  s   p  n, n  s  q  n  s, n  s Записав полученное равенство в виде i  q  n, m  p  n, m   p  n, m  q  m, n  , m и вспоминая правило перемножения матриц, получим: ˆˆ  pq ˆ ˆ nn i   qp ˆˆ  pq ˆ ˆ равны i . Т.е. мы видим, что диагональные компоненты матрицы qp Борн и Иордан показали, что все недиагональные компоненты равны нулю. Значит, можно записать в итоге фундаментальное перестановочное соотношение Гайзенберга i Eˆ   qˆ , pˆ  (28) ˆˆ  pq ˆ ˆ – коммутатор двух матриц. Здесь  qˆ , pˆ   qp Задание 5. Убедитесь, что для конечных матриц соотношение (28) не имеет место. 11. Уравнение Гайзенберга. Продифференцируем по времени выражение для наблюдаемой Amn  t   Amn exp  i  m, n  t   exp  imt  Amn exp  int  Получим: dAmn  t   im exp  imt  Amn exp  int   in exp  imt  Amn exp  int   dt  im Amn  t   in Amn  t  Введем матрицу гамильтона (соответствует условию квантования для энергии) Hmn  m mn Тогда имеем dAmn  t  i  dt  H ms Asn  t   Ams  t  H sn   s iˆ ˆ   H , A  t   mn Т.е. dAˆ  t  i ˆ ˆ   H , A  t   dt Это и есть уравнение Гайзенберга. При его получении мы использовали то, что матрица гамильтона диагональна. Это логично, так как гамильтониан определяет частоты излучения. Смотри старую квантовую механику. А главная цель квантовой динамики – это поиск этих частот из теоретических соображений. Но не нужно думать, что уравнение Гайзенберга справедливо только для диагональной матрицы гамильтона. Наоборот, в теории нужно именно найти такой диагональный вид. Это – типичная задача алгебры – диагонализировать матрицу. Из курса алгебры известно, что это можно осуществить с помощью некоторой матрицы преобразования Ŝ : ˆ ˆ, pˆ  pˆ   Sˆ 1 pS ˆˆ qˆ  qˆ   Sˆ 1qS Матрица гамильтона при этом изменяется как  ˆ ˆ , Sˆ 1 pS ˆˆ Hˆ  qˆ , pˆ   Hˆ   qˆ , pˆ    Hˆ  Sˆ 1qS    ˆ ˆ , Sˆ 1 pS ˆ ˆ  Sˆ 1Hˆ  qˆ , pˆ  Sˆ . Задание 6. Попробуйте доказать, что Hˆ  Sˆ 1qS Тогда очевидно, что в новых координатах уравнение гамильтона имеет тот же вид, что и в старых: dAˆ   t  i ˆ ˆ   H , A  t   dt Задание 7. Очевидно ли вам? Проверьте. Нас же, конечно, интересует та матрица преобразования Ŝ , которая диагонализирует гамильтониан. Так как ˆˆ, Hˆ   Sˆ 1 HS то ˆ ˆ   HS ˆˆ. SH В компонентах это имеет вид: ˆ ˆ  ˆ ˆ    SH  HS mn mn  Oˆ mn Здесь Ô – матрица, все компоненты которой равны нулю. Последнее соотношение с учетом правила вычисления произведения матриц может быть записано в виде системы уравнений:  H mk  n mk  Skn  0 k Нетривиальное решение имеется, если det  H mk  n mk   0 Видим, что поиск частот равносилен задаче на собственные значения гамильтониана! Возможные значения энергии, которые могут быть измерены в эксперименте, являются собственными значениями гамильтониана. Задание 8. Вспомните задачу на собственные значения матрицы. Литература. 1. Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. М.: Наука, 1985 2. Белокуров В.В., Тимофеевская О.Д., Хрусталев О.А. Квантовая телепортация – обыкновенное чудо. Ижевск: РХД, 2000 3. Гейзенберг Вернер a. О квантовотеоретической интерпретации кинематических и механических соотношений b. К квантовой механике c. К квантовой механике 2 в книге Гейзенберг Вернер Избранные труды. М.: Эдиториал УРСС, 2001