Предмет, задачи и методы эконометрики

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ РАЗДЕЛ 1. ЭКОНОМЕТРИКА. Лекция 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЭКОНОМЕТРИКИ. 1.1. Предмет, задачи и методы эконометрики. 1.2. Понятие эконометрической модели, классификация моделей. 1.3. Основные этапы построения эконометрической модели. 1.1. Предмет, задачи и методы эконометрики. Эконометрика – быстроразвивающаяся отрасль науки, цель которой состоит в том, чтобы придать количественные меры экономическим отношениям. Термин «эконометрика» был впервые введен бухгалтером П. Цьемпой (Австро-Венгрия, 1910г.). Цьемпа считал, что если к данным бухгалтерского учета применить методы алгебры и геометрии, то будет получено новое, более глубокое представление о результатах хозяйственной деятельности. Эконометрика – наука, объединяющая совокупность математико-статистических методов, которые позволяют дать количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов. Эконометрика позволяет найти количественное подтверждение (либо неподтверждение) того или иного экономического закона или гипотезы. Одним из важнейших направлений эконометрики является построение прогнозов по различным экономическим показателям. Эконометрика как научная дисциплина возникла и получила развитие на основе экономической теории, математической экономики, экономической и математической статистики. Эконометрика делает упор на количественные, а не на качественные аспекты явлений. Задачами эконометрики являются: 1) спецификация модели – построение эконометрических моделей для эмпирического анализа; 2) параметризация модели – оценка параметров модели; 3) верификация модели – проверка качества параметров модели и самой модели в целом; 4) прогнозирование модели – составление прогноза и рекомендаций для конкретных экономических явлений по результатам моделирования. 1.2. Понятие эконометрической модели, классификация моделей. Основой механизма эконометрического моделирования является эконометрическая модель. Моделью называется материальный или мысленно представляемый объект, замещающий в процессе исследования объект-оригинал таким образом, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале. Эконометрическая модель – совокупность математических соотношений между входными (объясняющими, независимыми, экзогенными) и выходными (объясняемыми, зависимыми, эндогенными) переменными изучаемого экономического явления или процесса, основанная на реальных статистических данных. Общий вид эконометрической модели: Y = f (X) + ε, (1.1) где Y – наблюдаемое значение зависимой переменной (объясняемая переменная, результат); F (X) – объясненная часть, которая зависит от значение объясняющих переменных (факторов); ε – случайная составляющая (ошибка). Можно выделить три основных класса моделей, которые применяются для анализа и прогнозирования экономических систем: 1. Модели временных рядов. Временной ряд хt (t = 1; n) – ряд значений какого-либо показателя за несколько последовательных промежутков времени. Модели временных рядов представляют собой модели зависимости результативного признака от времени. К ним относятся: - модели кривых роста (трендовые модели), - адаптивные моде­ли, - модели авторегрессии и скользящего среднего. С помощью таких моделей можно решать задачи прогнозирования объема продаж, спроса на продукцию, краткосрочного прогноза процентных ставок и др. 2. Регрессионные модели с одним уравнением. В регрессионных моделях зависимая (объясняемая) переменная Y может быть представлена в виде функции f (X1, X2, X3, … Xk), где X1, X2, X3, … Xk – независимые (объясняющие) переменные, или факторы; k – количество факторов. В качестве зависимой переменной может выступать практически любой показатель, харак­теризующий, например, деятельность предприятия или курс ценной бумаги. Результативный признак представлен в виде функции от факторных признаков Y = f (X) +  ε = f (X1, X2, X3, … Xk) + ε , (1.2) где Y – наблюдаемое значение объясняемой (зависимой, эндогенной) переменной (результата); f(X) – объясненная часть, которая зависит от значений объясняющих (независимых, экзогенных) переменных (факторов); ε – случайная составляющая (ошибка, возмущение). f (X1, X2, X3, … Xk) = Mz(Y) (ожидаемое значение результата Y при заданных значениях факторов X1, X2, … Xk ). Объясняемая переменная Y – случайная величина (СВ) при заданных значениях объясняющих переменных Xi, i = . Объясняющие переменные в модели могут иметь случайные или определенные значения. Уравнение регрессионной модели имеет вид Y = Mz(Y) + ε. В зависимости от вида функции f (X1, X2, X3, … Xk) модели делятся на линейные и нелинейные. В зависимости от количества включенных в модель факторов Х модели делятся на однофакторные (парная модель регрессии) и многофакторные (модель множественной регрессии). 3. Системы одновременных уравнений. Системы одновременных уравнений состоят из тождеств и регрессионных уравнений, в которых наряду с факторными признаками включены результативные признаки из других уравнений системы. В системе уравнений одни и те же переменные одновременно рассматриваются как зависимые переменные в одних уравнениях и независимые – в других. В тождествах вид и значения параметров известны, в уравнениях параметры оценивают. Таким образом, эконометрическое моделирование представляет собой комплексное решение целого ряда задач, поэтому весь процесс разделен на этапы. Такое разделение условно, однако позволяет понять сущность действий в эконометрическом моделировании. 1.3. Основные этапы построения эконометрической модели. Эконометрическое моделирование представляет собой комплексное решение целого ряда задач, поэтому весь процесс можно разделить на следующие этапы: 1-й этап (постановочный) – определение конечных целей моделирова­ния, набора участвующих в модели факторов и показателей, их роли; 2-й этап (априорный) – предмодельный анализ экономической сущности изучаемого явления, формирование и формализация априорной информации и исходных допущений, в частности относящейся к природе и генезису исходных статистических данных и случайных остаточных составляющих в виде ряда ги­потез; 3-й этап (параметризация) – собственно моделирование, т.е. выбор общего вида модели, в том числе состава и формы входящих в неё связей между переменными; 4-й этап (информационный) – сбор необходимой статистической информации, т.е. регистрация значений участвующих в модели факторов и показате­лей; 5-й этап (идентификация модели) – статистический анализ модели и в первую очередь статистическое оценивание неизвестных параметров модели. Непосредственно связан с проблемой идентифицируемости модели, то есть ответа на вопрос «Возможно ли в принципе однозначно восстановить значения неизвестных параметров модели по имеющимся исходным данным в соответствии с решением, принятым на этапе параметризации?». После положительного ответа на этот вопрос необходимо решить проблему идентификации модели, то есть предложить и реализовать математически корректную процедуру оценива­ния неизвестных параметров модели по имеющимся исходным данным; 6-й этап (верификация модели) – сопоставление реальных и модельных данных, проверка адекватности модели, оценка точности модельных данных. ЛЕКЦИЯ 1.2. ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ДАННЫХ. 2.1. Стохастическая природа экономических данных. 2.2. Основные характеристики случайных величин. 2.3. Выборка и генеральная совокупность. 2.4. Описательная статистика и ее показатели. 2.1. Стохастическая природа экономических данных. Любые экономические данные представляют собой количествен­ные характеристики каких-либо экономических объектов. Они фор­мируются под действием множества факторов, не все из которых доступны внешнему контролю. Неконтролируемые факторы могут принимать случайные значения из некоторого множества значений и тем самым обусловливать случайность данных, которые они опре­деляют. Стохастическая природа экономических данных обуслов­ливает необходимость применения специальных адекватных им ста­тистических методов для их анализа и обработки. Прогнозирование социально-экономических явлений является одной из важнейших задач современной экономической науки. Под стохастическим методом понимается любой метод прогнозирования, который на одних и тех же данных может выдавать различные прогнозы в разных запусках. Результат разовой реализации метода зависит от последовательности (возможно, достаточно большой) случайных или псевдослучайных событий. Тем не менее, при достаточной эффективности метода и адекватности входных данных множество его результатов будет иметь достоверно выраженные статистические характеристики, участвующие в вычислении результирующего прогноза, определяемого, например, как математическое ожидание прогнозной величины (возможны и другие подходы). 2.2. Основные характеристики случайных величин. Случайной переменной называют переменную, которая под воздействием случайных факторов может с определенными вероятностями принимать те или иные значения из некоторого множества чисел. Это переменная, которой (даже при фиксированных обстоятельствах) мы не можем приписать определенное значение, но можем приписать несколько значений, которые она принимает с определенными вероятностями. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Дадим более точное определение: Дискретной случайной величиной (ДСВ) называют такую величину, множество значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное. Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Множество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно и несчетно. Для любой случайной величины играют числовые характеристики ее распределения, важнейшими из которых является среднее значение и дисперсия. Среднее значение является характеристикой положения частотного распределения, а дисперсия – мерой ширины или разброса распределения. Математическим ожиданием М(Х) называется средняя величина возможных значений случайных величин, взвешенных по их вероятности. Выражается формулой: , (2.1) Свойство 1. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной: М(С) = 0, где С – const. Свойство 2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: М(Х +Y) = М(Х) + М(Y). Свойство 3. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин Х и Y равно произведению математических ожиданий этих величин: M(XY) = M(X) · M (Y). Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: (2.2) Для вычисления дисперсии удобнее применять формулу (2.2) в виде: (2.3) Слово «дисперсия» означает «рассеяние», т.е. дисперсия характеризует рассеяние (разбросанность) значений случайной величины около ее математического ожидания. Свойство 1.  Дисперсия постоянной величины равна нулю. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной: D(С) = 0, где С – const. Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: . Свойство 3.  Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(Х +Y) = D(Х) + D(Y). Свойство 4.  Дисперсия суммы независимых случайных величин: D(Х1 + Х2 + … + Хk ) = D(Х1) + D(Х2) +…+ D(Хk ). Свойство 5.  Дисперсия разности двух случайных независимых величин равна сумме дисперсий этих величин: D(Х – Y) = D(Х) + D(Y). Средним квадратичным отклонением случайной величины называется корень квадратный из дисперсии: (2.4) С вероятностной точки зрения, среднее квадратичное отклонение случайной величины, как и дисперсия, характеризует меру рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания. Заметим, что если дисперсия имеет размер квадрата случайной величины, то среднее квадратичное отклонение имеет размер случайной величины, поэтому для характеристики случайной величины часто удобнее использовать среднее квадратическое отклонение. 2.3. Выборка и генеральная совокупность. В основе математической статистики лежат понятия генеральной совокупности и выборки (выборочной совокупности). Под генеральной совокупностью понимается все возможные наблюдения интересующего нас показателя (все единицы интересующей совокупности), все исходы случайного испытания или всю совокупность реализаций случайной величины X. Пример генеральной совокупности – данные о доходах всех жителей какой-либо страны, о результатах голосования населения по какому-либо вопросу и т.д. Однако в большинстве случаев мы имеем дело только с частью возможных наблюдений, взятых из генеральной совокупности, и называем это множество (точнее подмножество) значений выборкой. Таким образом, выборка – это множество наблюдений, составляющих лишь часть генеральной совокупности. Генеральная совокупность может быть конечной (число наблюдений N = const) или бесконечной (N = ∞), а выборка из генеральной совокупности – это всегда результат ограниченного ряда n  наблюдений. Число наблюдений  n, образующих выборку, называется объемом выборки. Если объем выборки n  достаточно велик (n → ∞) выборка считается большой, в противном случае она называется выборкой ограниченного объема. Выборка считается малой, если при измерении одномерной случайной величины X объем выборки не превышает 30 (n  < = 30), а при измерении одновременно нескольких (k) признаков в многомерном пространстве отношение n/k не превышает 10 (n/k < 10). Выборка образует вариационный ряд, если ее члены являются порядковыми статистиками, т.е. выборочные значения случайной величины Х упорядочены по возрастанию (ранжированы), значения же признака называются вариантами. 2.4. Описательная статистика в экономике и ее показатели. Цель описательной (дескриптивной) статистики – обработка эмпирических данных, их систематизация, наглядное представление в форме графиков и таблиц, а также их количественное описание посредством основных статистических показателей. В отличие от индуктивной статистики дескриптивная статистика не делает выводов о генеральной совокупности на основании результатов исследования частных случаев. Индуктивная же статистика напротив предполагает, что свойства и закономерности, выявленные при исследовании объектов выборки, также присущи генеральной совокупности. К основным инструментам описательной статистики относятся: методы агрегирования данных, табличное представление, вычисления с помощью основных статистических показателей. Описательная статистика использует три основных метода агрегирования данных: табличное представление, графическое изображение, расчет статистических показателей. Табличное представление имеет в своей основе статистическую таблицу. Статистическая таблица – система строк и столбцов, в которой в определенной последовательности излагается статистическая информация о социально-экономических явлениях. Основные статистические показатели можно разделить на две группы: меры среднего уровня и меры рассеяния. Меры среднего уровня дают усредненную характеристику совокупности объектов по определенному признаку. К ним относятся: среднее значение, стандартная ошибка, стандартное отклонение, эксцесс, асимметрия, интервал, минимум, максимум, счёт, медиана, мода, математическое ожидание и т.д. Средние величины могут быть как абсолютными, так и относительными (средняя заработная плата, средний процент выполнения плана). Уровень признака у отдельных единиц совокупности складывается под влиянием разнообразных условий, одни из них являются общими для всех единиц, другие – случайными. В средней величине, исчисленной на основе данных о большом числе единиц, колебания в величине признака, вызванные случайными причинами, погашаются и проявляется общее свойство для всей совокупности. При осреднении все отклонения признака от среднего уровня уравновесились, т.е. произошло отвлечение (абстрагирование) от индивидуальных особенностей отдельных единиц, т.е. средняя величина абстрактна, и в этом заключается ее научная ценность. ЛЕКЦИЯ 1.3. ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА. 3.1. Основные понятия корреляционного анализа. 3.2. Понятие о регрессионной модели. 3.3. Задачи и этапы корреляционно-регрессионного анализа. 3.4. Проблемы спецификации. 3.5. Линейная парная регрессия. 3.6. Метод наименьших квадратов. 3.7. Модель множественной регрессии. 3.1. Основные понятия корреляционного анализа. Корреляционный анализ – раздел математической статистики, изучающий тесноту связи между признаками (между двумя признаками при парной связи и между результативным и множеством факторных признаков при многофакторной связи). Регрессионный анализ – раздел математической статистики, изучающий форму связи между признаками. Различают следующие типы зависимостей между явлениями и их признаками: 1) функциональная зависимость – связь, при которой каждому значению независимой переменной X соответствует точно определенное значение зависимой переменной; 2) статистическая зависимость – связь, при которой каждому значению независимой переменной X соответствует множество значений зависимой переменной Y и изменение которой происходит в условиях неопределенности, имеющей, как правило, случайный; 3) корреляционная зависимость – частный случай статистической зависимости – связь, при которой каждому значению независимой переменной X соответствует определенное математическое ожидание (среднее значение) зависимой переменной Y. Условным математическим ожиданием (условной средней) Mx(Y)=M(Y|X=x)=x называется математическое ожидание СВ Y, вычисленное в предположении, что СВ X приняла значение x. Виды корреляционной зависимости. Корреляционная зависимость бывает трех видов: 1) парная – связь между двумя признаками (результативным Y и факторным X или двумя факторными); 2) частная – зависимость между результативным и одним факторным признаком или между двумя факторными признаками при фиксированных значениях других факторных признаков; 3) множественная – зависимость между результативным признаком и двумя или более факторными признаками, включенными в исследование. Теснота связи количественно выражается величиной коэффициента корреляции. Виды связей в зависимости от направления действия. В зависимости от направления действия выделяют два вида функциональной и корреляционной связей: 1) прямая: с увеличением (уменьшением) значений факторного признака происходит увеличение (уменьшение) результативного признака; 2) обратная: с увеличением (уменьшением) значений факторного признака происходит уменьшение (увеличение) результативного признака. Виды связей в зависимости от количества признаков. В зависимости от количества признаков, включенных в модель, связи подразделяются на два вида: 1) однофакторные – связи между одним признаком-фактором и результативным признаком (при абстрагировании от влияния других факторов); 2) многофакторные – связи между несколькими факторными признаками и результативным признаком (факторы действуют комплексно, т.е. одновременно и во взаимосвязи). 3.2. Понятие о регрессионной модели. Теоретическим уравнением (или просто уравнением) регрессии Y на X называется уравнение x = f(x). Функция f (x) называется теоретической регрессией (или просто регрессией) Y на X, а ее график – линией регрессии СВ Y на СВ X. При этом X является независимой (объясняющей) переменной, Y – зависимой (объясняемой) переменной. При рассмотрении зависимости двух СВ говорят о парной регрессии. Зависимость нескольких переменных, выражаемую функцией: M (Y| x1, x2, …, xk) = f (x1, x2, …, xk), (3.1) где M (Y|x1, x2, …, xk) – условное математическое ожидание (математическое ожидание СВ Y при условии, что СВ X1, X2, ..., Xk приняли значения x1, x2, ..., xk соответственно), называют множественной регрессией. Поскольку реальные значения зависимой переменной не всегда совпадают с ее условными математическими ожиданиями и могут быть различными при одном и том же значении объясняющей переменной (наборе объясняющих переменных), фактическая зависимость должна учитывать ошибку (погрешность) ε, которая также является СВ. Таким образом, связи между зависимой и объясняющей(ими) переменными можно описать соотношениями: Y = M (Y| x) + ε; Y = M (Y | x1, x2, xk) + ε. Наиболее существенные причины присутствия в регрессионных моделях случайного фактора (ошибки, отклонения): 1) невключение в модель всех объясняющих переменных. Любая регрессионная (в частности, эконометрическая) модель является упрощением реальной ситуации, которая всегда представляет собой сложнейшее переплетение различных факторов. Многие из этих факторов в модели не учитываются, что порождает отклонение реальных значений зависимой переменной от ее модельных значений; 2) неправильный выбор функциональной формы модели. Из-за слабой изученности исследуемого процесса либо из-за его переменчивости может быть неверно подобрана функция, его моделирующая. Например, производственная функция (Y) одного фактора (X) может моделироваться функцией Y = a + bХ, хотя должна была использоваться другая модель: Y = aXb (0 < b < 1), учитывающая закон убывающей эффективности. Кроме того, неверным может быть подбор объясняющих переменных; 3) агрегирование переменных. Во многих моделях рассматриваются зависимости между факторами, которые сами представляют сложную комбинацию других, более простых переменных. Например, при рассмотрении в качестве зависимой переменной совокупного спроса проводится анализ зависимости, в которой объясняемая переменная является сложной композицией индивидуальных спросов, оказывающих на нее определенное влияние помимо факторов, учитываемых в модели. Это также может оказаться причиной отклонения реальных значений от модельных; 4) ошибки измерений. Какой бы качественной ни была модель, ошибки измерений переменных могут привести к несоответствию модельных значений эмпирическим данным, что также отразится на величине случайной переменной; 5) ограниченность статистических данных. Как правило, модели, описываемые непрерывными функциями, строятся по данным, имеющим дискретную структуру. Данное несоответствие также находит свое выражение в случайном отклонении; 6) непредсказуемость человеческого фактора. Даже при правильном выборе формы модели и подборе объясняющих переменных невозможно спрогнозировать поведение каждого индивидуума. 3.3. Задачи и этапы корреляционно-регрессионного анализа. Перед корреляционно-регрессионным анализом стоят следующие основные задачи: 1) установление формы корреляционной связи, т.е. установление вида функции регрессии (линейная, квадратичная, показательная и т.д.); 2) оценка тесноты корреляционной связи Y и X (степени рассеяния значений СВ Y около x). Большое рассеяние означает слабую зависимость Y от X либо вообще ее отсутствие. Малое рассеяние указывает на существование достаточно сильной зависимости Y от X; 3) оценка неизвестных параметров регрессионной модели, проверка гипотез об их значимости и адекватности модели рассматриваемому экономическому объекту. Этапы корреляционно-регрессионного анализа: 1) предварительный анализ явлений и выяснение причин возникновения взаимосвязей между признаками, характеризующими эти явления, разделение признаков на факторные и результативные, выбор наиболее существенных признаков; 2) предварительная оценка формы уравнения регрессии и определение уравнения регрессии, расчет теоретически ожидаемых значений результативного признака, оценка тесноты связи между признаками, включенными в регрессионную модель; 3) общая оценка качества модели, отсев несущественных (или включение дополнительных) факторов, построение исправленной модели; 4) статистическая оценка достоверности параметров уравнения регрессии, построение доверительных границ для теоретически ожидаемых по уравнению регрессии значений функции и получение практических выводов из проведенного анализа. Отметим, что в корреляционном анализе изучается в основном сила (теснота) корреляционной зависимости, а в регрессионном анализе – ее форма. 3.4. Проблемы спецификации. Выбор формулы связи переменных называется спецификацией уравнения регрессии. В случае парной регрессии выбор формулы обычно осуществляется по графическому изображению реальных статистических данных. Стандартная схема анализа зависимостей включает следующие этапы: 1) подбор начальной модели. Осуществляется на основе экономической теории, предыдущих знаний об объекте исследования, опыта исследователя и его интуиции; 2) оценка параметров модели на основе имеющихся статистических данных; 3) осуществление тестов проверки качества модели (обычно используются t-статистики для коэффициентов регрессии, F-статистика для коэффициента детерминации, статистика Дарбина-Уотсона для анализа отклонений и ряд других тестов). При наличии хотя бы одного неудовлетворительного ответа по какому-либо тесту модель совершенствуется с целью устранения выявленного недостатка. При положительных ответах по всем проведенным тестам модель считается качественной. Она используется для анализа и прогноза объясняемой переменной. Правильная спецификация уравнения регрессии означает, что оно в целом верно отражает соотношение между экономическими показателями, участвующими в модели. Неправильный выбор функциональной формы или набора объясняющих переменных называется ошибкой спецификации. 3.5. Линейная парная регрессия. Теоретическим уравнением (или просто уравнением) регрессии Y на X называется уравнение x x = f(x). Функция f (x) называется теоретической регрессией (или просто регрессией) Y на X. При этом X является независимой (объясняющей) переменной, Y – зависимой (объясняемой) переменной. По выборке ограниченного объема можно искать регрессионную зависимость в определенном виде, например, в виде линейной зависимости (эмпирическое линейное уравнение регрессии): i=b0+b1xi+ei, (3.2) где i – оценка условного математического ожидания M(Y | X = xi); b0 и b1 – оценки неизвестных параметров, называемые эмпирическими коэффициентами линейной регрессии; отклонение ei – оценка теоретического случайного отклонения εi. Модель линейной регрессии (линейное уравнение) является наиболее распространенным (и простым) видом зависимости между экономическими переменными. Кроме того, построенное линейное уравнение может служить начальным этапом эконометрического анализа. Выделяют следующие задачи линейного регрессионного анализа: 1) по имеющимся статистическим данным (xi; yj) , i = , получить наилучшие оценки неизвестных параметров; 2) проверить статистические гипотезы о параметрах модели; 3) проверить, достаточно ли хорошо модель согласуется со статистическими данными (адекватность модели данным наблюдений). 3.6. Метод наименьших квадратов. Различные выборки из одной и той же генеральной совокупности обычно приводят к определению отличающихся друг от друга оценок. Требуется по конкретной выборке (xi; yj) , i = , найти оценки b0 и b1 неизвестных параметров уравнения (3.2) так, чтобы соответствующая линия регрессии (прямая) являлась бы наилучшей в некотором смысле среди всех других прямых. Другими словами, построенная прямая должна быть «ближайшей» к совокупности точек наблюдений. Мерами качества найденных оценок могут служить определенные функции отклонений (невязок) ei = yi – i, i = (рис. 3.1). Рисунок 3.1 – Линейная регрессия Самым распространенным методом нахождения коэффициентов (оценок) b0 и b1 уравнения эмпирической линейной регрессии является метод наименьших квадратов (МНК). Согласно МНК, эти коэффициенты выбираются таким образом, чтобы минимизировать функцию (сумму квадратов отклонений) s (b0; b1) = = i)2 = 2 (3.3) Необходимым условием минимума данной функции является равенство нулю ее частных производных по параметрам b0 и b1, откуда после преобразований получается система уравнений для определения параметров линейной регрессии. Коэффициенты b0 и b1, обеспечивающие минимум функции s (b0; b1), удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений вида: Коэффициент b1 называется выборочным коэффициентом регрессии Y на X. Он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная Y при увеличении переменной X на одну единицу. Коэффициент b1 нельзя непосредственно использовать для оценки влияния факторного признака x на результативный признак y из-за различия единиц измерения исследуемых показателей. Для этих целей применяется коэффициент эластичности. Для эмпирической линейной регрессии коэффициент эластичности: Эyx = b1 , (3.4) где , , – средние значения независимой и зависимой переменных. В общем случае коэффициент эластичности определяется по формуле: Эyx = y/ . (3.5) Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак y при изменении факторного признака x на 1%. Среди других методов определения оценок коэффициентов регрессии отметим метод наименьших модулей, метод моментов и метод максимального правдоподобия. 3.7. Модель множественной регрессии. Уравнение множественной эмпирической линейной регрессии имеет вид: yi = b0 + b1xi1 + … + bkxik + εi, (3.6) где yi – i-е наблюдение зависимой переменной; xi1, xi2, ..., xik – i-е наблюдения независимых переменных x1, x2, ..., xk; n – количество наблюдений (объем выборки); k – количество независимых переменных в уравнении. εi – случайные отклонения, где i = Оценка параметров b0, b1, b2, … , bk обычно осуществляется по методу наименьших квадратов: Метод наименьших квадратов предусматривает нахождение параметров b0, b1, b2, … , bk из условия минимума суммы квадратов отклонений. Используя необходимое условие экстремума, получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов b0, b1, b2, … , bk: Оценку параметров модели можно провести в матричной форме. Уравнение линейной множественной регрессии в матричной форме имеет вид: Y = XB + ε, (3.7) где Y = (y1, y2, ..., yn)′ – вектор значений зависимой переменной размерности n×1; X = – матрица значений независимых переменных x1, x2, ..., xik; B = (b0, b1, ..., bk)′ – подлежащий оценке вектор неизвестных параметров; ε = (ε1, ε2, …, εn)′ – вектор случайных отклонений. Знаком «′» обозначена операция транспонирования матрицы. Тогда формула для вычисления параметров регрессионного уравнения по методу наименьших квадратов имеет вид: B = (X′X)-1 · X′Y, (3.8) где X' – транспонированная матрица X; (X′X)-1 – обратная матрица (матрица X′X является невырожденной, если матрица X имеет максимальный ранг). X′X = ; X′Y = . В частном случае для двухфакторной модели получаем матричное уравнение (X′X)B = X′Y, где X′X = ; X′Y =; B = . Коэффициенты b0, b1, b2, … , bk показывают количественное воздействие каждого фактора на результативный показатель при неизменности значений других факторов. Проверка значимости коэффициентов регрессии осуществляется по критерию Стьюдента: (3.9) где = ; – остаточная дисперсия (выборочная); – соответствующий (i + 1)-й элемент диагонали матрицы (X′X)-1. Коэффициент bi при уровне значимости α признается значимым, если . Коэффициенты эластичности рассчитываются по формуле: (3.10) Коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов в среднем изменяется функция с изменением аргумента на 1%. РАЗДЕЛ II. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ. ЛЕКЦИЯ 2.4. ВВЕДЕНИЕ В ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. 4.1. Основные понятия и область применения экономико-математических методов и моделей. 4.2. Предмет и задачи курса «Экономико-математические методы и модели». 4.3. Классификация методов экономико-математического моделирования. 4.4. Этапы экономико-математического моделирования. 4.5. Имитационное моделирование экономических процессов. 4.1. Основные понятия и область применения экономико-математических методов и моделей. Экономико-математические методы и модели – комплекс дисциплин, возникший на стыке экономики, математики и кибернетики. Ее предметом является изучение количественных соотношений в экономике математическими методами, т.е. количественное выражение экономических законов и закономерностей, тенденций протекания экономических процессов и явлений, взаимосвязей и зависимостей в экономике в виде математических моделей, с целью получения информации, необходимой для принятия управленческих решений. Основоположниками экономико-математических методов и моделей являются акад. Л.В. Конторович – лауреат Нобелевской и Ленинской премии, акад. Немчинов В.В. – лауреат Ленинской премии, проф. Новожилов В.В. – лауреат Ленинской премии, Леонтьев В.В. – лауреат Нобелевской премии и др. Модель – это материально или мысленно представляемый образ объекта-оригинала, с помощью которого получают новые знания об этом объекте-оригинале. Из определения следует, что моделировать надо такие объекты, которые трудно или нельзя изучить другими методами. Процесс построения модели называют моделированием. Моделирование имеет циклический характер (рис. 4.1). Цикл моделирования включает четыре этапа: 1-2 – построение модели; 2-3 – изучение модели; 3-4 – перенос знаний с модели на объект; 4-1 применение полученных знаний об объекте. Рисунок 4.1 – Схема процесса моделирования В модели можно выделить две группы элементов: внешние и внутренние. Внешние элементы – это знания об объекте, необходимые для построения модели, внутренние элементы – это данные, получаемые с помощью модели. В моделировании можно выделять три элемента: объект, субъект, модель. Связь этих элементов можно выразить следующим образом: «Субъект с помощью модели изучает объект и управляет этим объектом». Целью моделирования является повышение эффективности управления экономикой на разных уровнях управления. Экономическое управление осуществляется на макро- и микроэкономическом уровнях. На макроуровне объектами управления являются народное хозяйство в целом, отрасли и сектора экономики, на микроуровне – предприятия и рынки. 4.2. Предмет и задачи курса «Экономико-математические методы и модели». Предметом изучения дисциплины «Экономико-математические методы и модели» являются количественные характеристики экономических процессов, протекающих в производстве, изучение их взаимосвязей. В курсе рассматриваются модели линейного программирования, балансовые и игровые модели, модели систем массового обслуживания. Основным понятием курса является понятие математической модели. В общем случае, модель – это отражение реального объекта. Такое отражение объекта может быть представлено схемой, эскизом, фотографией, моделью описательного характера в виде графиков и таблиц и т.д. Математическая модель – это система математических уравнений, неравенств, формул, формул и различных математических выражений, описывающих реальный объект, составляющие его характеристики и взаимосвязи между ними. Процесс построения математической модели называют математическим моделированием. Моделирование и построение математической модели экономического объекта позволяют свести экономический анализ производственных процессов к математическому анализу и принятию эффективных решений. Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была «повинна» математика, развивающаяся на протяжении нескольких веков в основном в связи с потребностями физики и техники. Но главные причины лежат все же в природе экономических процессов, в специфике экономической науки. Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием сложная система. Наиболее распространено понимание системы как совокупности элементов 4.3. Классификация методов экономико-математического моделирования. Классификацию методов экономико-математического моделирования можно провести по различным признакам: по классификации дисциплин, целевому назначению, степени агрегированности объектов моделирования, конкретному предназначению, типу информации, учету фактора времени, фактору определенности, типу математического аппарата, положенного в основу модели. Приведем другие классификации моделей: - по целевому назначению: теоретико-аналитические (используемые в исследовании общих свойств и закономерностей экономических процессов) и прикладные модели (используемые для решения конкретных экономических задач (модели экономического анализа, прогнозирование, управление)); - по степени агрегированности объектов моделирования: макроэкономические и микроэкономические модели; - по конкретному предназначению: балансовые модели (выражают требования соответствия наличия ресурсов и их использования); трендовые модели (выражают развитие моделируемой экономической системы через тренд ее основных показателей); оптимизационные модели (предназначены для выбора наилучшего варианта из определенного числа вариантов решений); имитационные модели (изучают экономические явления с помощью машинных экспериментов); - по типу информации: аналитические (построенные на априорной информации) и идентифицируемые модели (построенные на апостериорной информации); - по учету фактора времени: статические (все зависимости отнесены к одному моменту времени) и динамические модели (описывают эволюцию процесса во времени); - по фактору определенности: детерминированные и вероятностные модели; - по типу математического аппарата, положенного в основу модели: матричные модели, модели линейного и нелинейного программирования, регрессионные модели, модели теории игр, модели теории графов, сетевые модели, модели массового обслуживания, модели управления запасами. 4.4. Этапы экономико-математического моделирования. Процесс экономико-математического моделирования – это описание социальных и экономических систем и процессов в виде экономико-математических моделей. Данная разновидность моделирования обладает рядом существенных особенностей, связанных как с объектом моделирования, так и с применяемым аппаратом и средствами моделирования. Поэтому целесообразно более детально проанализировать последовательность и содержание этапов экономико-математического моделирования, выделив следующие шесть этапов. При создании экономико-математической модели, как правило, выполняются следующие этапы моделирования:   1. Постановка экономической проблемы, ее качественный анализ. На данном этапе формулируется сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы. Этот этап включает выделение важнейших свойств моделируемого объекта, изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы, формулирование гипотез, объясняющих поведение и развитие объекта. 2. Построение математической модели. Это этап формализации экономической проблемы, выражение ее в виде конкретных математических зависимостей, то есть функций, уравнений, неравенств. Для построения модели необходимо указать список параметров и переменных моделей, т.е. нефиксированных заранее величин, описывающих ту или иную сторону моделируемого явления. Переменные могут быть экзогенными и эндогенными. Экзогенные – это переменные, которые задаются вне модели, то есть известны заранее. Эндогенные – это переменные, которые определяются в ходе расчетов по модели. Параметры – это коэффициенты уравнений модели. После формулировки списка переменных модели необходимо указать, какие значения переменных могут реализоваться, т.е. указать множество допустимых значений переменных. Это множество часто представляется с помощью системы ограничений на значения переменных. 3. Математический анализ модели. Целью данного этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент – доказательство существования решения построенной модели. Аналитическое исследование модели по сравнению с эмпирическим, то есть численным, имеет то преимущество, что получаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних и внутренних параметров модели. 4. Подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятности и математической статистики. 5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составление программ для ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены, прежде всего, большой размерностью экономических задач и необходимостью обработки значительных массивов информации. 6. Анализ численных результатов и их применение. На заключительном этапе рассматривается вопрос о правильности и полноте результатов моделирования и степени практической применимости. Анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности позволяет обнаруживать недостатки постановки экономической задачи. 4.5. Имитационное моделирование экономических процессов. При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени. Имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. Основным преимуществом имитационных моделей по сравнению с аналитическими является возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют легко учитывать наличие дискретных или непрерывных элементов, нелинейные характеристики, случайные воздействия и др.  Поэтому этот метод широко применяется на этапе проектирования сложных систем. Основным средством реализации имитационного моделирования служит ЭВМ, позволяющая осуществлять цифровое моделирование систем и сигналов. В связи с этим определим словосочетание «компьютерное моделирование», которое все чаще используется в литературе. Будем полагать, что компьютерное моделирование – это математическое моделирование с использованием средств вычислительной техники. Соответственно, технология компьютерного моделирования предполагает выполнение следующих действий: 1) определение цели моделирования; 2) разработка концептуальной модели; 3) формализация модели; 4) программная реализация модели; 5) планирование модельных экспериментов; 6) реализация плана эксперимента; 7) анализ и интерпретация результатов моделирования. Имитационные модели не только по свойствам, но и по структуре соответствуют моделируемому объекту. При этом имеется однозначное и явное соответствие между процессами, получаемыми на модели, и процессами, протекающими на объекте. Недостатком имитационного моделирования является большое время решения задачи для получения хорошей точности. ЛЕКЦИЯ 2.5. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. 5.1. Общая задача линейного программирования. 5.2. Способы преобразования задач линейного программирования. 5.3. Виды записи канонической задачи. 5.4. Графический метод решения задач линейного программирования. 5.5. Двойственные задачи в линейном программировании. 5.1. Общая задача линейного программирования. Линейное программирование (ЛП) – раздел исследования операций, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменную. Общая задача линейной оптимизации состоит в нахождении максимума (минимума) линейной функции: (5.1) при ограничениях: Более кратко общую задачу линейного программирования можно представить в виде: , (5.2) где – заданные действительные числа, функцию Z называют целевой функцией. Совокупность значений неизвестных , удовлетворяющих условиям (5.2), называется решением (или планом). Решение называется оптимальным, если оно обеспечи­вает максимальное (минимальное) значение целевой функции. Целевая функция и все ограничения линейные. Свойство линейности предполагает: 1) Значение левых частей неравенств ограничений и значение целевой функции прямо пропорциональны значениям переменных. 2) Аддитивность переменных означает, что общий вклад всех переменных в значения целевой функции и левых частей неравенств ограничений является прямой суммой вкладов каждой отдельной переменной. 5.2. Способы преобразования задач линейного программирования. При необходимости задачу максимизации можно заменить задачей минимизации, и наоборот. Если – точка максимума функции у=f(x), то для функции у=-f(x) она является точкой минимума, т.к. графики у=f(x) и у=-f(x) симметричны относительно Ох. Рисунок 5.1. Итак, если , то . При этом неравенства типа ≤ можно заменить на неравенства типа ≥, умножая обе части ограничений на -1. Наиболее широко используемые методы ЛП применяются лишь к задачам, записанным в канонической форме. Поэтому приходится переходить от любой формы задачи ЛП к ее каноническому виду, причем нужно быть уверенным, что эти формы эквивалентны. 1. Ограничения-неравенства типа ≤ преобразуется в равенства добавлением к их левым частям дополнительных переменных , после чего система неравенств примет вид: . (5.3) При этом число дополнительных неотрицательных переменных равно числу преобразуемых неравенств. 2. Ограничения-неравенства типа ≥ преобразуется в равенства вычитанием из их левых частей дополнительных переменных , после чего система неравенств примет вид: . (5.4) При этом число дополнительных неотрицательных переменных равно числу преобразуемых неравенств. 3. Дополнительные переменные в целевую функцию вводятся с коэффициентами, равными нулю: . (5.5) В реальных практических задачах дополнительные переменные имеют определенный смысл. Например, если левая часть ограничений задачи отражает расход ресурсов на производство продукции в объемах , а правые части – наличие производственных ресурсов, то числовые значения дополнительных переменных означает объем неиспользованных ресурсов i-го вида. 4. В ряде производственно-экономических задач не на все переменные налагаются условия неотрицательности (любого знака может быть). В подобных ситуациях, даже если ограничения представлены в виде равенств, задача не будет канонической. Для представления такой задачи в каноническом виде каждую из переменных , на которую не наложено условие неотрицательности, заменяют разностью 2-х неотрицательных переменных , т.е. . (5.6) 5. Если свободные члены в ограничениях-неравенствах, то это ограничение умножают на -1. Перейти от канонической формы к стандартной можно, заменив равенства эквивалентной системой неравенств: и 5.3. Виды записи канонической задачи. В каноническую задачу введем обозначения: - матричная форма записи , при ограничениях , где матрица-строка, А= – матрица системы уравнений, Х= – матрица-столбец переменных, В= – матрица-столбец свободных членов. - векторная форма записи при ограничениях , где СХ – скалярное произведение векторов , а векторы состоят из коэффициентов при переменных. 5.4. Графический метод решения задач линейного программирования. Случай двух переменных не имеет особого практического значения, однако его рассмотрение проясняет свойства ОЗЛП, приводит к идее ее решения, делает геометрически наглядны­ми способы решения и пути их практической реализации. Задача с двумя переменными. Пусть дана задача (5.7) ; . Дадим геометрическую интерпретацию элементов этой за­дачи. Каждое из ограничений задает на плос­кости некоторую полуплоскость. Полуплоскость – вы­пуклое множество. Но пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством. Отсюда следует, что область допустимых решений задачи, есть выпуклое множество. Рассмотрим геометрическую интерпретацию целевой функ­ции. Пусть область допустимых решений ЗЛП – непустое множество, например многоугольник (рис. 5.2). Выберем произвольное значение целевой функции Z=Z0. Получим . Это уравнение прямой ли­нии. В точках прямой NM целевая функция сохраняет одно и то же постоянное значение Z0. Считая в равенстве (5.7) Z параметром, получим уравнение семейства параллельных прямых, называемых линиями уровня целевой функции (ли­ниями постоянного значения). Рисунок 5.2. Частные производные функции Z: показывают скорость ее возрастания вдоль данных осей. Вектор называется градиентом функции. Он перпендикулярен (при условии, что масштабы по осям ко­ординат одинаковы) к прямым, являющимися линиями уровня и указывает направление наискорейшего возрастания целевой функции (5.7), а противоположный вектор направление наискорейшего убывания. План графического решения задачи: 1. С учетом системы ограничений строим область допусти­мых решений. 2. Строим вектор наискорейшего возрастания целевой функции – вектор градиентного направления. 3. Проводим произвольную линию уровня (проще всего провести линию Z = 0, перпендикулярную к вектору ). 4. При решении задачи на максимум перемещаем линию уровня в направлении вектора так, чтобы она ка­салась области допустимых решений в ее крайнем положении (угловой точке) (на рис. 5.2 – до точки). В случае реше­ния задачи на минимум линию уровня перемещаем в антиградиентном направлении (на рис. 5.2 – до точки ). 5. Определяем оптимальный план и экстре­мальное значение целевой функции . В зависимости от характера области допустимых решений и взаимного расположения области и вектора возможны следующие случаи: 1. Оптимальный план единственный: линия уровня и область допустимых решений в разрешающем положении имеют одну общую точку (рис. 5.3, а); Рисунок 5.3 2. Оптимальных планов бесконечное множество: в разрешающем положении линия уровня проходит через сторону области допустимых решений (рис. 5.3, б); 3. Целевая функция не ограничена: линия уровня, сколько бы ее ни перемещали, не может занять разрешающего положения (рис. 5.3, в, г); 4. Область допустимых решений состоит из единственной точки, где целевая функция достигает одновременно и максимального, и min значений (рис. 5.3, д); 5. Задача не имеет решения: область допустимых решений – пустое множество, т.е. система ограничений задачи несовместна (рис. 5.3, е). 5.5. Двойственные задачи в линейном программировании. С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной. Первоначальная задача называется прямой или исходной. Многие задачи линейного программирования первоначально ставятся в виде исходных или двойственных задач, поэтому говорят о паре двойственных задач линейного программирования. Пара симметричных двойственных ЗЛП имеет следующий вид: прямая задача двойственная задача Рассмотренная пара взаимно двойственных задач может быть экономически интерпретирована, например, так. Прямая задача: сколько и какой продукции xj (j=надо произвести, чтобы при заданных стоимостях единицы продукции cj (j= ), объемах имеющихся ресурсов bi (i=) и нормах расходов aij максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении? Двойственная задача: какова должна быть оценка единицы каждого из ресурсов yi (i=), чтобы при заданных bi, cj, и aij минимизировать общую оценку затрат на все ресурсы? ЛЕКЦИЯ 2.6. СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД. 6.1. Геометрическая интерпретация симплексного метода. 6.2. Симплекс-метод решения задач линейной оптимизации. 6.3. Симплексная таблица. 6.1. Геометрическая интерпретация симплексного метода. Если задача линейного програм­мирования имеет оптимальное решение, то оно соответствует хотя бы одной угловой точке многогранника решений и совпадает, по крайней мере, с одним из допустимых базисных решений систе­мы ограничений. Пусть область допустимых решений изображается многоуголь­ником ABCDEGH (рис.6.1). Предположим, что его угловая точка А соответствует исходному допустимому базисному решению. При беспорядочном переборе пришлось бы испытать семь допустимых базисных решений, соответствующих семи угловым точкам мно­гоугольника. Однако из чертежа видно, что после вершины А выгодно перейти к соседней вершине В, а затем – к оптимальной точке С. F=0 Рисунок 6.1. Вместо семи перебрали только три вершины, последовательно улучшая линейную функцию. Идея последовательного улучшения решения легла в основу универсального метода решения задач линейного программирова­ния – симплексного метода. (Симплекс (лат. simplex – простой) – простейший выпуклый много­гранник в n-мерном пространстве с n+1 вершиной (например, тетраэдр в 3-мерном пространстве). Геометрический смысл симплексного метода состоит в последо­вательном переходе от одной вершины многогранника ограничений (называемой первоначальной) к соседней, в которой линейная функция принимает лучшее (по крайней мере, не худшее) значение (по отношению к цели задачи) до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение – вершина, где достигается оптимальное значение функции цели (если задача имеет конечный оптимум). Для реализации симплексного метода – последовательного улучшения решения – необходимо освоить три основных элемента: - способ определения какого-либо первоначального допустимого базисного решения задачи; - правило перехода к лучшему (точнее, не худшему) решению; - критерий проверки оптимальности найденного решения. Для использования симплексного метода задача линейного программирования должна быть приведена к каноническому виду, т.е. система ограничений должна быть представлена в виде урав­нений. 6.2. Симплекс-метод решения задач линейной оптимизации. Рассмотрим некоторую исходную задачу линейной оптимизации, заданную в стандартном виде: (6.1) После приведения ограничений к каноническому виду имеем: (6.2) Используя векторную форму записи, выберем векторы : . Эти векторы единичные и линейно независимые. Поскольку количество этих векторов равно m, то они образуют базис в m-мерном пространстве (базис n-мерного векторного пространства образует любая совокупность из n линейно независимых векторов данного пространства). Неизвестные , соответствующие m базисным векторам, будем называть базисными, а остальные неизвестные , соответствующие небазисным векторам, – небазисными или свободными. Выразим в системе ограничений (6.2) базисные неизвестные через свободные, т.е. разрешим систему относительно базисных неизвестных: (6.3) Придавая небазисным неизвестным в системе (6.3) некоторые числовые значения, можно однозначно найти значения базисных неизвестных, т.е. полу­чить частные решения системы. Таких частных решений существует бесконечное множество. Частное решение, в котором все небазисные переменные равны нулю, на­зывают базисным решением системы. Итак, базисное решение системы (6.3) будет следующим: . Значение функции (6.1) при данном решении равно нулю (Z = 0). Если в решении задачи линейной оптимизации базисные неизвестные принимают неотрицательные значения, то такое решение называют опорным (опорным планом). Если же хотя бы одна базисная неизвестная принимает отри­цательное значение, то решение задачи будет неопорным. Опорному решению задачи линейной оптимизации геометрически соответ­ствует вершина области допустимых решений. Опорное решение задачи называется невырожденным, если все базисные неизвестные больше нуля. Если же хотя бы одна базисная неизвестная в реше­нии задачи равна нулю, то такое решение называется вырожденным. 6.3. Симплексная таблица. Занесем выражения для ограничений (6.3) и функции (6.1) в таблицу, которую будем называть симплексной в соответствии с названием аналитического метода решения задач линейной оптимизации. БП Сб Переменные Оц. отн. … … … … … … … 1 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 Z 0() … … … … … 1. Последняя строка таблицы, в которой приве­дено уравнение для линейной функции цели, называется оценоч­ной. В ней указываются коэффициенты функции цели с противо­положным знаком: . В левом столбце таблицы записыва­ем основные переменные (базис), в первой строке таблицы – все переменные (отмечая при этом основные), во втором столбце – свободные члены расширенной системы . Последний столбец подготовлен для оценочных отношений, необходимых при расчете наибольшего возможного значения переменной. В рабочую часть таблицы (начиная с третьего столбца и второй строки) зане­сены коэффициенты при переменных из расширенной системы. Далее таблица преобразуется по определенным правилам. 2. Проверяем выполнение критерия оптимальности при ре­шении задачи на максимум. Критерий оптимальности: Если в последней, оценочной строке все коэффициенты, за исключением свободного члена, неотрицательные , то решение задачи будет оптимальным. Достигнут (в левом нижнем углу таблицы), базисные переменные (второй столбец) принимают значения (т.е. равны свободным членам), остальные переменные равны 0, т.е. получаем оптималь­ное базисное решение. 3. Если критерий оптимальности не выполнен, то значение функции можно улучшить. Наиболь­ший по модулю отрицательный коэффициент в последней строке определяет разрешающий столбец k. Составляем оценочные ограничения каждой строки по сле­дующим правилам: 1) ∞, если имеют разные знаки; 2) ∞, если ; 3) ∞, если ; 4) 0, если ; 5) , если имеют одинаковые знаки. Определяем . Если конечного минимума нет, то задача не имеет конечного оптимума . Если минимум конечен, то выбираем строку r, на которой он достигается (любую, если их несколько), и называем ее разрешающей строкой. На пересечении разрешающих строки и столбца находится разрешающий элемент . 4. Переходим к следующей таблице по правилам: а) в левом столбце записываем новый базис: вместо базисной переменной – переменную ; б) в столбцах, соответствующих базисным переменным, проставляем нули и единицы: 1 – против «своей» базисной переменной, 0 – против «чужой» базисной переменной, 0 в последней строке для всех базисных переменных; в) новую строку с номером r получаем из старой делением на разрешающий элемент ; г) все остальные элементы вычисляем по правилу прямоугольника: Далее переходим к п. 2 алгоритма. Каждый, повторяющийся шаг при построении новой таблицы, называется итерацией (от лат. iteratio – повторение). ЛЕКЦИЯ 2.7. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА И МЕТОДЫ ЕЕ РЕШЕНИЯ. 7.1. Постановка и математическая модель транспортной задачи. 7.2. Построение начального опорного плана. 7.3. Нахождение оптимального решения методом потенциалов. 7.1. Постановка и математическая модель транспортной задачи. Рассмотрим постановку одной из специфических задач линейной оптимизации, получившей название транспортной задачи. Задачи часто описывают перемещение (перевозку) какого-либо товара из пункта отправления (исходный пункт, например, место производства) в пункт назначения (склад, магазин, грузохранилище). Назначение транспортной задачи – определить объем перевозок из пунктов отправления в пункты назначения с минимальной суммарной стоимостью перевозок. При этом должны учитываться ограничения, налагаемые на объемы грузов, имеющихся в пунктах отправления (предложения), и ограничения, учитывающие потребность грузов в пунктах назначения (спрос). В транспортной модели предполагается, что стоимость перевозки по какому-либо маршруту прямо пропорциональна объему груза, перевозимого по этому маршруту. В общем случае транспортную модель можно применять для описания ситуаций, связанных с управлением запасами, управлением движением капиталов, составлением расписаний, назначением персонала и др. Задача ставится следующим образом: Найти объемы перевозок для каждой пары «поставщик-потребитель» так, чтобы: 1) мощности всех поставщиков были реализованы; 2) спросы всех потребителей были удовлетворены; 3) суммарные затраты на перевозку были бы минимальны. Рассмотрим математическую модель транспортной задачи. Необходимо доставить от поставщиков некоторый однородный товар (груз) в объеме , единиц потребителям с минимальными транспортными издержками. (Здесь m и n – конечные числа.) Потребность в данном товаре каждого j-го потребителя известна и составляет , единиц. Известны также – величины стоимости перевозки единицы груза от i-го поставщика к j-му потребителю. Обозначим количество единиц поставляемого груза от i-го поставщики к j-му потребителю через и занесем все данные в таблицу транспортной задачи (табл. 7.1) Математическое отражение цели задачи – минимизация суммарных затрат перевозку груза – имеет вид: (7.1) Ограничения задачи: • груз от каждого поставщика должен быть вывезен полностью (7.2) • спрос каждого потребителя в продукции должен быть удовлетворен (7.3) • объемы перевозок должны быть неотрицательными (7.4) Таблица 7.1. Поставщики Потребители Запасы поставщиков 1 2 … j … n 1 ... ... 2 ... ... … … … ... … ... … … i ... ... … … … … … ... … … т ... ... Спрос потребителей … ... Z Транспортная задача имеет решение, если суммарный запас груза в пунктах отправления равен суммарному спросу в пунктах назначения, т.е. если выполняется равенство: (7.5) Транспортная задача, для которой выполняется условие (7.5) называется закрытой, в противном случае – открытой. Для решения открытой транспортной задачи сведем ее к закрытой: а) если , т.е. суммарный запас груза поставщиков больше суммарного спроса потребителей, то в задачу вводится фиктивный (n+1)-й потребитель с потребностью и стоимостью перевозок ; б) если то вводится фиктивный (m +1)-й поставщик с запасом и стоимостью перевозок . Очевидно, что после добавления фиктивного потребителя или фиктивного поставщика транспортная задача будет закрытой, а следовательно, и разрешимой. Модели транспортной задачи с введенным фиктивным поставщикам и фиктивным потребителем приведены в табл. 7.2 и 7.3 соответственно. Таблица 7.2. Поставщики Потребители Запас 1 2 … п п+1 1 … 2 … … т … Спрос … Таблица 7.3. Поставщики Потребители Запасы 1 2 … п 1 … 2 … … т … m+1 … Спрос … Элементы матрицы сij, связывающие фиктивные пункты с реальными, имеют значения, равные затратам на хранение не вывезенных грузов (в случае ввода фиктивного потребителя) или штрафам за недопоставку продукции (в случае ввода фиктивного поставщика). Если указанные затраты неизвестны (не указаны) соответствующие значения сij полагают равными нулю. Транспортным задачам присущи следующие особенности: 1) распределению подлежат однородные ресурсы; 2) система ограничений есть система уравнений (т.е. транспортная задача задана в канонической форме); 3) все переменные выражаются в одинаковых единицах измерения; 4) коэффициенты при неизвестных системы ограничений равны единице (или 0); 5) каждая переменная входит в систему ограничений 2 раза: один раз – в систему (7.2) и один раз – в систему (7.3). 7.2. Построение начального опорного плана. Рассмотрим закрытую транспортную задачу. Являясь задачей линейного программирования, транспортная задача может быть решена симплексным методом. Однако специфическая форма системы ограничений данной задачи позволяет существенно упростить обычный симплексный метод. Модификация симплексного метода применительно к транспортной задаче называется распределительным методом. По аналогии с общим случаем решение в нем осуществляется по шагам, и каждому шагу соответствует разбиение переменных на основные (базисные) и свободные. Прежде чем исследовать методы нахождения опорного решения транспортной задачи, рассмотрим теорему о ранге матрицы из коэффициентов при неизвестных системы ее ограничений. Теорема: Ранг матрицы из коэффициентов при неизвестных системы ограничений транспортной задачи равен т+п-1, где т и п – количество поставщиков и потребителей соответственно. Решение закрытой транспортной задачи должно содержать т+п-1 базисных переменных (где т – число поставщиков, п – число потребителей) и mn-(m+n-1) небазисных, равных нулю переменных. Каждому разбиению переменных задачи на базисные и свободные соответствует базисное решение и, как следствие, заполнение таблицы поставок, которое также назовем базисным. Иными словами, распределение поставок называется базисным, если переменные, соответствующие заполненным клеткам, можно принять за базисные переменные. Клетки, отвечающие базисным переменным, будем называть базисными или заполненными, или загруженными (т.к. мы используем исключительно базисные распределения поставок), а клетки, соответствующие свободным переменным, – свободными или пустыми. Подобно тому, как это было в симплексном методе, в распределительном методе решения транспортной задачи будем переходить от одного базисного распределения поставок к другому в сторону невозрастания целевой функции вплоть до оптимального решения. Для начала такого движения потребуется исходное базисное распределение поставок – так называемый опорный план. Если в опорном решении транспортной задачи число отличных от нуля не­известных равно т+п-1, то решение называется невырожденным, а если их меньше, то вырожденным. Специальная табличная структура транспортной модели для построения начального опорного плана позволяет применить следующие методы: 1) метод северо-западного угла (диагональный метод); 2) метод минимального элемента (метод наименьшей стоимости); 3) метод Фогеля. 7.3. Нахождение оптимального решения методом потенциалов. Рассмотрим теорему об оптимальности решения транспортной задачи (7.1) – (7.3). Теорема: Решение транспортной задачи будет оптимальным, если найдутся такие числа , называемые соответственно потенциалами поставщиков и потребителей, которые будут удовлетворить условиям: (7.6) (7.7) Алгоритм решения транспортной задачи па основе метода потенциалов: 1. Находится первый опорный план по одному из рассмотренных методов. 1. Проверяется найденный опорный план на оптимальность, для чего: 1.1. Находятся потенциалы поставщиков и потребителей по формуле (7.6). 1.2. Проверяется, выполнено ли условие (7.7) или, что то же самое, ус­ловие , где – оценка каждой сво­бодной клетки таблицы. Если для всех свободных клеток таблицы условие (7.7) выполнено, т.е. , то опорный план транспорт­ной задачи является оптимальным (решение задачи завершено). Ес­ли же для некоторых свободных клеток таблицы < 0, то клетка с наименьшим значением является перспективной, и выполня­ется следующий пункт алгоритма. 1.3. К перспективной клетке строится цикл, расставляются знаки по циклу, при этом в перспективную клетку ставится плюс, а осталь­ные знаки в вершинах цикла чередуются, и определяется величина перераспределения груза по формуле Q = min, где – объем перевозки груза, записанный в клетках (вершинах) цикла таблицы, отмеченных знаком минус. 1.4. Осуществляется перераспределение груза по циклу на величину Q. В результате выполнения этого пункта будет получен новый опор­ный план, который проверяется на оптимальность, т.е. производит­ся переход к пункту 2.1 алгоритма. ЛЕКЦИЯ 2.8. МОДЕЛИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА. 8.1. Описание модели межотраслевого баланса. 8.2. Продуктивность модели Леонтьева. 8.3. Прямые и полные затраты в модели Леонтьева. 8.4. Цены в системе межотраслевых связей. 8.1. Описание модели межотраслевого баланса. Межотраслевой баланс в экономике – это метод анализа взаимосвязей между различными секторами экономической системы. Предположим, что исследуемую экономическую систему можно разделить на несколько отраслей (секторов), производящих определенные товары и услуги (например: сельское хозяйство, промышленность, транспорт, энергетика и т.п.). При производстве товаров и услуг в каждом секторе расходуются ресурсы в виде сырья, рабочей силы, оборудования и др., которые производятся как в других секторах хозяйства, так и в данном секторе. Это означает, что каждый сектор экономики выступает в системе межотраслевых связей одновременно производителем и потребителем. Цель балансового анализа – определить, сколько продукции должен произвести каждый сектор для того, чтобы удовлетворить все потребности экономической системы в его продукции. Обозначим через B = {bi,j}, где I = 1, …, n, j = 1, …, n, матрицу, элемент которой bi,j – это количество товаров и услуг i-ой отрасли экономики А = {аi,j}, потребляемое в j-ой отрасли. В замкнутой экономической системе баланс между совокупным выпуском и затратами каждой отрасли можно описать равенствами: где k = 1, …, n. Матрица В называется матрицей межотраслевого баланса, или матрицей Леонтьева. Рассмотрим открытую систему межотраслевых связей, в которой вся произведенная продукция (совокупный продукт) разделяется на две части: одна часть продукции (промежуточный продукт) идет на потребление в производящих секторах, а другая часть (конечный продукт) потребляется вне сферы материального производства – в секторе конечного спроса. Обозначим: xj – объем выпуска i-й отрасли; bi,j – объем продукции i-ой отрасли, потребляемой в j-ой отрасли; ci – конечный продукт, т.е. объем потребления продукции i-ой отрасли в непроизводственной сфере; ai,j = – количество продукции i-ой отрасли, которое расходуется на производство одной единицы продукции j-ой отрасли. Числа ai,j называются коэффициентами прямых затрат j-ой отрасли и характеризуют технологию этой отрасли. Межотраслевой баланс – это равенство объема выпуска каждой производящей отрасли суммарному объему ее продукции, потребляемой производственными отраслями и отраслью конечного спроса, т.е. Последние равенства описывают технологию производства и структуру экономических связей и означают, что в отрасль конечного спроса поступает та часть произведенной продукции, которая осталась после того, как обеспечены потребности производящих отраслей. 8.2. Продуктивность модели Леонтьева. Пусть потребность непроизводственной сферы выражается вектором спроса, т.е. вектором С, вектор выпуска – вектором Х, структурная матрица экономики, т.е. матрица, элементами которой являются коэффициенты прямых затрат, – матрицей А, то соотношение баланса в матричной форме будет иметь вид: С = Х – АХ или С = (Е – А)Х, где Е – единичная матрица. Одна из основных задач межотраслевого баланса – найти при заданной структурной матрице экономической системы в условиях баланса совокупный выпуск, необходимый для удовлетворения заданного спроса. То есть необходимо найти вектор производства, удовлетворяющий уравнению баланса, при этом, учитывая экономическую интерпретацию, этот вектор производства должен быть неотрицательным. Поэтому говорят, что модель Леонтьева продуктивна, если уравнение X – AX = C имеет неотрицательное решение для любого С ≥ 0, т.е. матрица А позволяет произвести любой неотрицательный вектор потребления. Теорема. Модель Леонтьева с матрицей А продуктивна, если и только если существует неотрицательная матрица, обратная к Е – А. В самом деле, пусть Е – A имеет обратную матрицу и эта матрица (Е – А)-1 неотрицательна, тогда Х = (Е – А)-1С и, поскольку С ≥ 0, то и Х ≥ 0. Рассмотрим еще один критерий продуктивности. Пусть модель Леонтьева задана матрицей размерами n×n. Обозначим через N множество {1, …, n}. Пусть S⊆N (S – подмножество N). Говорят, что подмножество S изолировано, если aij = 0, всякий раз, когда j∈S, i∈N\S (N без S, т.е. N-S). Понятие изолированности подмножества S допускает прозрачную экономическую интерпретацию: отрасли, номера которых принадлежат S, не используют товары, производимые в отраслях с номерами, не принадлежащими S. Матрица называется неразложимой, если в ней нет изолированных подмножеств, кроме S = N или S = Ø (пустое множество). Понятие неразложимости также имеет прозрачный экономический смысл: любая отрасль использует, хотя бы косвенно, продукцию всех отраслей. Ведь если aij ≠ 0, то j-я отрасль непосредственно использует продукцию i-й отрасли. Но если даже aij = 0, т.е. j-я отрасль не использует продукцию i-й отрасли непосредственно, все равно при неразложимой матрице от данной отрасли до любой другой можно найти цепочку отраслей, использующих продукцию друг друга. Для неразложимых матриц условие продуктивности выглядит так: если сумма элементов каждой строки не больше единицы и, хотя бы для одной строки строго меньше единицы, то модель Леонтьева с этой матрицей продуктивна. Для продуктивности действительно есть основания: продукции каждой отрасли хватает для нужд самого производства, более того, есть отрасль, продукция которой даже остается на потребление, а неразложимость, т.е. взаимосвязанность всех отраслей, позволяет надеяться на то, что этот остаток может преобразоваться в остатки на потребление и продукции других отраслей. 8.3. Прямые и полные затраты в модели Леонтьева. Напомним, что модель задается матрицей А прямых затрат. В этой матрице aij – количество единиц продукции, расходуемой на изготовление, производство одной единицы продукции j-й отрасли. Числа aij называются коэффициентами прямых затрат j-й отрасли и характеризуют технологию этой отрасли. Пусть Х = (xj) обозначает вектор валового производства, тогда АХ есть израсходованные в процессе производства ресурсы и для непроизводственной сферы остается С = Х – АХ. Обозначим D = (E – A)-1. Запишем выражение компонент вектора Х через компоненты вектора конечного спроса С: , тогда становится понятным, что элемент dij матрицы (Е–А)-1 показывает, на сколько нужно увеличить выпуск i-й отрасли xi при увеличении на единицу конечного спроса cj на продукцию j-й отрасли. Матрица D = (E–A)-1 называется матрицей полных затрат. В экономической системе с заданной структурной матрицей А спрос всегда удовлетворяется, если для любого вектора спроса С существует вектор выпуска. 8.4. Цены в системе межотраслевых связей. Цены в открытой системе межотраслевых связей определяются из системы уравнений, каждое из которых устанавливает, что цена единицы продукции производящего сектора должна быть равна совокупным издержкам производства в расчете на единицу выпущенной в этом секторе продукции. В издержки входят не только плата за ресурсы, приобретенные в данной отрасли и других отраслях, но и добавленная стоимость (зарплата, прибыль предпринимателей, правительственные налоги и др.). Обозначим: vi – суммарные платежи за одну единицу произведенной i-м сектором продукции; pj – цена единицы продукции j-го сектора; bi,j – объем товаров и услуг i-го сектора, потребляемых при производстве продукции в j-м секторе. Тогда xipi = , но поскольку bij = aijxj, то xipi = . Разделив на ненулевые xi, получим для искомых цен систему уравнений: . В матричной форме система уравнений для цен имеет вид: (Е–А)TР = V, где А – структурная матрица экономики; V – заданный вектор платежей; Р – искомый вектор цен. Тогда цены Р можно найти по формуле Р = ((Е–А)T)-1V, или, что то же самое Р = ((Е–А)-1)TV. Аналитические выражения цены Р через платежи имеют вид: . Из приведенных равенств видно, что элемент dij матрицы (Е–А)-1 = D показывает, как изменится цена рi единицы продукции i-го сектора при изменении на единицу платежа vj в j-м секторе. Поскольку ХTV = XT(Е–А)TP = ((Е–А)X)T = CTP, то для рассмотренной модели межотраслевого баланса справедливо тождество: Левая часть этого тождества равна общей сумме добавленных стоимостей, выплачиваемых в сектор конечного спроса, а правая часть – суммарная стоимость продукции, поставленной производственными секторами в сектор конечного спроса. Другими словами, приведенное тождество подтверждает совпадение произведенного и использованного национального дохода. ЛЕКЦИЯ 2.9. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ МНОЖЕСТВА И ПРОИЗВОДТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ. 9.1. Производственные множества и их свойства. 9.2. «Кривая» производственных возможностей и вмененные издержки. 9.3. Производственные функции и их свойства. 9.4. Производственная функция Кобба-Дугласа. 9.1. Производственные множества и их свойства. Рассмотрим важнейшего участника экономических процессов – отдельного производителя. Производитель реализует свои цели только через потребителя и поэтому должен угадать, понять, что тот хочет, и удовлетворить его потребности. Будем считать, что имеется n различных товаров, количество n-го товара обозначается хn, тогда некоторый набор товаров обозначается Х = (x1, …, xn). Будем рассматривать только неотрицательные количества товаров, так что хi ≥ 0 для любого i = 1, ..., n или Х > 0. Множество всех наборов товаров называется пространством товаров С. Набор товаров можно трактовать как корзину, в которой лежат эти товары в соответствующем количестве. Пусть экономика работает в пространстве товаров С = {X = (x1, x2, …, xn): x1, …, xn ≥ 0}. Пространство товаров состоит из неотрицательных n-мерных векторов. Рассмотрим теперь вектор T размерности n, первые m компонентов которого неположительные: x1, …, xm ≤ 0, а последние (n-m) компонентов неотрицательны: xm+1, …, xn ≥ 0. Вектор X = (x1, …, xm) назовем вектором затрат, а вектор Y = (xm+1, …, xn) – вектором выпуска. Сам же вектор T = (X, Y) назовем вектором затрат-выпуска, или технологией. По своему смыслу технология (X, Y) есть способ переработки ресурсов в готовую продукцию: «смешав» ресурсы в количестве X, получим продукцию в размере Y. Каждый конкретный производитель характеризуется некоторым множеством τ технологий, которое называется производственным множеством. Типичное заштрихованное множество представлено на рис. 9.1. Данный производитель затрачивает один товар для выпуска другого. Производственное множество отражает широту возможностей производителя: чем оно больше, тем шире его возможности. Производственное множество должно удовлетворять следующим условиям: 1) оно замкнуто – это означает, что если вектор Т затрат-выпуска сколь угодно точно приближается векторами из τ, то и Т принадлежит τ (если все точки вектора Т лежат в τ, то Т∈τ рис. 9.1 точки С и В); Рисунок 9.1 – Производственное множество 2) в τ∩(-τ) = {0}, т.е. если T∈τ, T ≠ 0, то -Т∉τ – нельзя поменять местами затраты и выпуск, т.е. производство – необратимый процесс (множество – τ находится в четвертом квадранте, где у < 0, х > 0); 3) множество выпукло, это предположение ведет к уменьшению отдачи от перерабатываемых ресурсов с ростом объемов производства (к увеличению норм расхода затрат на готовую продукцию). Так, из рис. 9.1 ясно, что |y/x| убывает при х → -∞. В частности, предположение о выпуклости ведет к уменьшению производительности труда с ростом объема производства. Часто выпуклости просто бывает недостаточно, и тогда требуют строгой выпуклости производственного множества (или некоторой его части). 9.2. «Кривая» производственных возможностей и вмененные издержки. Рассматриваемое понятие производственного множества отличается высокой степенью абстрактности и в силу чрезвычайной общности малопригодно для экономической теории. Рассмотрим, например, рис. 9.1. Начнем с точек В и С. Затраты по этим технологиям одинаковы, а выпуск разный. Производитель, если он не лишен здравого смысла, никогда не выберет технологию В, раз есть более лучшая технология С. В данном случае (см. рис. 9.1), найдем для каждого x ≤ 0 самую высокую точку (x, y) в производственном множестве. Очевидно, при затратах х технология (x, y) самая лучшая. Никакая технология (x, b) c b < y не должна выбираться производителем по очевидным причинам. Итак, в данном случае (с двумя товарами) легко получили функцию y = f(x) для x ≤ 0; она называется производственной функцией. Точное определение производственной функции: Y = f(x)↔(x, y)∈ τ, и если (x, b) ∈ τ и b ≥ y, то b = x. Из рис. 9.1 видно, что для всякого x ≤ 0 такая точка y = f(x) единственна, что, собственно, и позволяет говорить о производственной функции. Но так просто дело обстоит, если выпускается только один товар. В общем случае для вектора затрат Х обозначим множество Мх = {Y:(X,Y)∈τ}. Множество Мх – это множество всех возможных выпусков при затратах Х. В этом множестве рассмотрим «кривую» производственных возможностей Kx = {Y∈Мх: если Z∈Мх и Z ≥ Y, то Z = X}, т.е. Kx – это множество лучших выпусков, лучше которых нет. Если выпускаются два товара, то это кривая, если же выпускается более двух товаров, то это поверхность, тело или множество еще большей размерности. Итак, для любого вектора затрат Х все наилучшие выпуски лежат на кривой (поверхности) производственных возможностей. Поэтому из экономических соображений оттуда и должен выбрать производитель технологию. Для случая выпуска двух товаров y1, y2 картина показана на рис. 9.2. Если оперировать только натуральными показателями (тоннами, метрами и т.д.), то для данного вектора затрат Х мы лишь должны выбрать вектор выпуска Y на кривой производственных возможностей, но какой конкретно выпуск надо выбрать, решить еще нельзя. Если само производственное множество τ выпукло, то и Мх выпукло для любого вектора затрат Х. В дальнейшем нам понадобится строгая выпуклость множества Мх. В случае выпуска двух товаров это означает, что касательная к кривой производственных возможностей Kx имеет с этой кривой только одну общую точку. Рисунок 9.2 – Кривая производственных возможностей Рассмотрим теперь вопрос о так называемых вмененных издержках. Предположим, что выпуск фиксирован в точке A (y1, y2), см. рис. 9.2. Теперь возникла необходимость увеличить выпуск 2-го товара на Δy2, используя, конечно, прежний набор затрат. Сделать это можно, как видно из рис. 9.2, перенеся технологию в точку В, для чего с увеличением выпуска второго товара на Δy2 придется уменьшить выпуск первого товара на Δy1. Вмененными издержками первого товара по отношению ко второму в точке А называется Если кривая производственных возможностей задана неявным уравнением F(y1,y2) = 0, то , где частные производные взяты в точке А. Если внимательно вглядеться в рассматриваемый рисунок, то можно обнаружить любопытную закономерность: при движении слева вниз по кривой производственных возможностей вмененные издержки уменьшаются от очень больших величин до очень малых. 9.3. Производственные функции и их свойства. Производственной функцией называется аналитическое соотношение, связывающее переменные величины затрат (факторов, ресурсов) с величиной выпуска продукции. Производственные функции предназначены для моделирования процесса производства некоторой хозяйственной единицы: отдельной фирмы, отрасли или всей экономики государства в целом. С помощью производственных функций решаются задачи: - оценки отдачи ресурсов в производственном процессе; - прогнозирования роста; - разработки вариантов плана развития производства; - оптимизации функционирования хозяйственной единицы при условии заданного критерия и ограничений по ресурсам. Общий вид производственной функции: Y = Y (X1, X2, …, Xi, …, Xn), где Y – показатель, характеризующий результаты производства; X – факторный показатель i-го производственного ресурса; n – количество факторных показателей. Производственные функции определяются двумя группами предположений: математических и экономических. Математически предполагается, что производственная функция должна быть непрерывной и дважды дифференцируемой. Экономические предположения состоят в следующем: при отсутствии хотя бы одного производственного ресурса производство невозможно, т.е. Y(0, X2, …, Xi, …, Xn) = = Y(X1, 0, …, Xi, …, Xn) = … = Y(X1, X2, …, 0, …, Xn) = … = Y(X1, X2, …, Xi, …, 0) = 0. Однако, только с помощью натуральных показателей определить для данных затрат Х единственный выпуск Y удовлетворительно не удается: наш выбор сузился лишь до «кривой» производственных возможностей Kx. В силу этих причин разработана лишь теория производственных функций производителей, выпуск которых можно охарактеризовать одной величиной – либо объемом выпуска, если выпускается один товар, либо суммарной стоимостью всего выпуска. Пространство затрат m-мерно. Каждой точке пространства затрат Х = (х1, …, хm) соответствует единственный максимальный выпуск (см. рис. 9.1), произведенный при использовании этих затрат. Эта связь и называется производственной функцией. Однако обычно производственную функцию понимают не столь ограничительно и всякую функциональную связь между затратами и выпуском считают производственной функцией. В дальнейшем будем считать, что производственная функция имеет необходимые производные. Предполагается, что производственная функция f(X) удовлетворяет двум аксиомам. Первая из них утверждает, что существует подмножество пространства затрат, называемое экономической областью Е, в которой увеличение любого вида затрат не приводит к уменьшению выпуска. Таким образом, если X1, X2 – две точки этой области, то X1≥X2 влечет f(X1)≥f(X2). В дифференциальной форме это выражается в том, что в этой области все первые частные производные функции неотрицательны: ∂f/∂x1 ≥ 0 (у любой возрастающей функции производная больше нуля). Эти производные называются предельными продуктами, а вектор ∂f/∂X = (∂f/∂x1, …, ∂f/∂xm) – вектором предельных продуктов (показывает во сколько раз изменится выпуск продукции при изменении затрат). Вторая аксиома утверждает, что существует выпуклое подмножество S экономической области, для которой подмножества {X∈S:f(X) ≥ a} выпуклы для всех а≥0. В этом подмножестве S матрица Гёссе, составленная из вторых производных функции f(X), отрицательно определена, следовательно, ∂2f/∂x2i < 0 для любого i = 1, …, m. 9.4. Производственная функция Кобба-Дугласа. Рассмотрим одну из наиболее распространенных производственных функций – функцию Кобба-Дугласа: Y = AKαLβ, где A, α, β > 0 – константы, α + β < 1; К – объем фондов либо в стоимостном выражении, либо в натуральном количестве, скажем, число станков; L – объем трудовых ресурсов, также в стоимостном выражении, либо в натуральном количестве – число рабочих, человеко-дней и т.п. и, наконец, Y – выпуск продукции в стоимостном или натуральном выражении. Проверим, выполняются ли требования к производственным функциям. Положительность предельных продуктов: ∂Y/∂K = AαKα-1Lβ > 0, ∂Y/∂L = AβKαLβ-1 > 0. Отрицательность вторых частных производных, т.е. убывание предельных продуктов: ∂Y2/∂K2 = Aα(α–1)Kα-2Lβ < 0, ∂Y2/∂L2 = Aβ(β–1)KαLβ-2 > 0. Перейдем к основным экономико-математическим характеристикам производственной функции Кобба-Дугласа. Средняя производительность труда определяется как y = Y/L – отношение объема произведенного продукта к количеству затраченного труда; средняя фондоотдача k = Y/K – отношение объема произведенного продукта к величине фондов. Для функции Кобба-Дугласа средняя производительность труда y = AKαLβ-1, и в силу условия β < 1 является убывающей функцией L, т.е. с увеличением затрат труда средняя производительность труда падает. Этот вывод допускает естественное объяснение – поскольку величина второго фактора К остается неизменной, то, значит, вновь привлекаемая рабочая сила не обеспечивается дополнительными средствами производства, что и приводит к снижению производительности труда (это справедливо и в самом общем случае – на уровне производственных множеств). Предельная производительность труда ∂Y/∂L = AKαLβ-1 > 0, откуда видно, что для функции Кобба-Дугласа предельная производительность труда пропорциональна средней производительности и меньше ее. Аналогично определяются средняя и предельная фондоотдачи. Для них также справедливо указанное соотношение – предельная фондоотдача пропорциональна средней фондоотдаче и меньше ее. Важное значение имеет такая характеристика, как фондовооруженность f = K/L, показывающая объем фондов, приходящийся на одного работника (на одну единицу труда). Найдем теперь эластичность продукции по труду: (∂Y/∂L):(Y/L) = (∂Y/∂L)L/Y = AβKαLβ-1L/(AKαLβ) = β. Таким образом, ясен смысл параметра β – это эластичность (отношение предельной производительности труда к средней производительности труда) продукции по труду. Эластичность продукции по труду означает, что для увеличения выпуска продукции на 1% необходимо увеличить объем трудовых ресурсов на β%. Аналогичный смысл имеет параметр α – это эластичность продукции по фондам. ЛЕКЦИЯ 2.10. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ И СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ. 10.1. Экономико-математические методы формирования запасов. Типы издержек. 10.2. Модель Уилсона с бесконечной интенсивностью поставки без дефицита. 10.3. Экономико-математические методы формирования запасов с конечной интенсивностью поставки без дефицита. 10.4. Экономико-математические методы теории и основные параметры системы массового обслуживания (СМО). 10.1. Экономико-математические методы формирования запасов. Типы издержек. Предметом теории управления запасами является отыскание такой организации поставок или производства, при которых суммарные затраты на функционирование системы были минимальными. Под организацией поставок понимается определение объемов поставок и периодичность заказов, а при планировании производства нескольких видов продукции на одном и том же оборудовании – определение размера партии и периодичности запуска продукции в производство. Существует четыре основных вида затрат, которые могут оказать влияние на выбор решения по управлению запасами: - затраты на приобретение запасов; - затраты на организацию заказа; - издержки хранения запасов; - потери от дефицита. Затраты, которые не зависят от принимаемых решений, не учитываются при анализе. Так, затраты на приобретение продукции целесообразно учитывать только, если цена единицы продукций зависит от величины партии, что обычно выражается в виде оптовых скидок. К затратам на организацию заказа, учитываемым в анализе функционирования систем управления запасами, относят постоянные расходы по размещению заказов: расходы на разъезды и командировки, почтово-телеграфные расходы, транспортные расходы, не зависящие от размера партии. К издержкам хранения запасов, учитываемым моделях управления запасами относятся лишь издержки, зависящие от величины запасов. К ним относятся издержки физического присутствия материальных ценностей на складе (естественная убыль, плата за производственные фонды) и потери от иммобилизации средств в запасах. Если рассматривать средства, вложенные в запасы как банковскую ссуду, то издержки задаются процентной ставкой. Потери от дефицита на промышленных предприятиях исчисляются как суммарные потери прибыли в расчете на одну денежную единицу стоимости дефицитных материалов. Прибыль предприятия при дефиците может снизиться за счет простоя производственных мощностей и рабочих, переналадки производственного процесса, замены дефицитных материалов другими, более дорогими, выпуск продукции в сверхурочное время после ликвидации причины простоя, штраф за нарушение сроков поставки. 10.2. Модель Уилсона с бесконечной интенсивностью поставки без дефицита. Точка размещения заказа. Простейшая модель оптимальной партии поставки строится при следующих предположениях: спрос v в единицу времени является постоянным; заказанная партия доставляется одновременно; дефицит недопустим; затраты К на организацию поставки постоянны и не зависят от величины q партии; издержки содержания единицы продукции в течение единицы времени составляют s. На рис. 10.1 показана динамика изменения уровня I запасов. Рисунок 10.1. Уровень запаса снижается равномерно от q до 0, после чего подается заказ на доставку новой партии величиной q. Заказ выполняется мгновенно и уровень запаса восстанавливается до величины q. Интервал времени длиной τ между поставками называют циклом. Издержки в течение цикла Lц состоят из стоимости заказа К и затрат на содержание запаса, которые пропорциональны средней величине запаса =q/2 и длине цикла τ =q/v, Разделив это выражение на длину цикла, получим издержки в единицу времени: , (10.1) Оптимальный размер партии определяется из уравнения: , (необходимый признак экстремума). Отсюда находится оптимальный размер q* партии: . (10.2) Так как (достаточный признак экстремума), то для всех q>0 выражение (10.2) является минимумом функции затрат (10.1). Уравнение (10.2) известно под многими названиями. Его называют формулой наиболее экономной величины заказа, формулой Уилсона, формулой квадратного корня. Чтобы найти оптимальные параметры работы системы, подставляем значение q* в соответствующие выражения. Получаем, что оптимальная стратегия предусматривает заказ q* через каждые τ* = единиц времени. Наименьшие суммарные затраты работы системы в единицу времени 10.3. Экономико-математические методы формирования запасов с конечной интенсивностью поставки без дефицита. Пусть заказанная партия поступает с интенсивностью λ единиц в единицу времени. Очевидно, система может работать без дефицита, если интенсивность поставок λ превосходит интенсивность потребления υ. Таким образом, рассматривается система типа заводского склада, куда продукция, произведенная одним цехом, поступает с определенной интенсивностью и используется в производстве другого цеха. Изменение уровня запаса для рассматриваемого случая изображено на рис. 10.2. Рисунок 10.2. В течение времени τ1 запас одновременно и поступает и расходуется, это время накопления запаса. В течение τ2 запас только расходуется. Длина цикла τ=τ1+τ2. Учитывая, что максимальный наличный запас издержки системы в единицу времени составят . Оптимальные параметры работы системы определяются обычным образом. Величина оптимальной партии: (10.3) Оптимальный период возобновления заказа: (10.4) и его составляющие , , или Минимальные издержки в единицу времени: . (10.5) В случае, когда интенсивность поставки значительно больше интенсивности потребления , а (10.3), (10.4) и (10.5) становятся параметрами обычной системы Уилсона. 10.4. Экономико-математические методы теории и основные параметры системы массового обслуживания (СМО). Примерами систем массового обслуживания (СМО) могут служить телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, парикмахерские и другие предприятия, занимающиеся обслуживанием массовых потоков клиентов или их требований. СМО состоит из какого-то числа обслуживающих единиц – каналов (число линий связи, число телефонисток, число продавцов и т.д.). СМО могут быть одноканальные и многоканальные. Работа СМО – это выполнение поступающего на нее потока заявок (потока требований), которые поступают одна за другой в случайные моменты времени. Канал обслуживает заявку какое-то время (тоже в общем случае случайное) и освобождается. Предмет теории массового обслуживания – установление зависимости между характером потока заявок, производительностью отдельного канала, числом каналов и эффективностью обслуживания. СМО делятся на два основных класса: СМО с отказами и СМО с ожиданием (очередностью). В СМО с отказами заявка, заставшая все каналы занятыми, получает отказ, покидает систему и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует. В СМО с ожиданием заявка становится в очередь. В зависимости от организации очереди могут быть ограниченные или неограниченные, очередь с ограниченным временем ожидания и т.п. Основное содержание теории массового обслуживания составляют методы исследования характеристик СМО, находящихся под воздействием так называемых простейших потоков случайных событий. Под потоком событий понимается последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени tk. Если tk-tk-1=const, то такой поток будем называть регулярным. Для СМО более типичен случайный поток. Простейший (или стационарный пуассоновский поток) обладает следующими свойствами: 1. Стационарность – когда вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени τ не зависит от того, где расположен этот участок, а зависит только от его длины. 2. Поток является потоком без последствия, если для двух неперекрывающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий другого участка. 3. Поток является ординарным, если вероятность попадания двух и более событий на бесконечно малый интервал Δt бесконечно мала. Первое свойство говорит о постоянной плотности потока (среднем числе заявок в единицу времени). Второе свойство – заявки поступают независимо друг от друга. Третье свойство – заявки приходят поодиночке, а не парами, тройками и т.д. Одно из свойств любых потоков: суммирование большого числа ординарных и стационарных потоков с любым последствием приводит к простейшему потоку. Рассмотрим характеристики простейшего потока. Вероятность того, что за время τ произойдет ровно m событий, равна (распределение по закону Пуассона): , (10.6) где λ – интенсивность или плотность потока (среднее число событий за единицу времени). Это есть показательный закон распределения с параметром λ. Математическое ожидание M[T] имеет вид: . Основной характеристикой канала СМО является время обслуживания одной заявки Тоб, которое также является случайной величиной. Будем также полагать, что закон распределения времени обслуживания, является показательным: , где μ – интенсивность потока обслуженных заявок (среднее число обслуженных заявок в единицу времени). Величина μ равна обратному среднему времени обслуживания одной заявки , – среднее время обслуживания заявки каналом. 3. СМО с отказами. Формулы Эрланга. В СМО с отказами заявка, пришедшая в систему и заставшая все каналы занятыми, покидает систему и в дальнейшем обслуживании не участвует. Полагаем, что поток заявок, приходящий в систему, простейший с интенсивностью λ, а время обслуживания канала показательное с параметром μ. Величина ρ=λ∕μ называется приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала. ЛЕКЦИЯ 2.11. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР. 11.1. Основные понятия теории игр. 11.2. Классификации игр. 11.3. Платежная матрица. Верхняя и нижняя цена игры. 11.4. Игры в чистых и смешанных стратегиях. 11.5. Статистические игры («игры с природой»). 11.6. Матрица рисков. 11.7. Критерии для принятия решений в статистических играх. 11.1. Основные понятия теории игр. Теория игр – это математическая теория конфликтных ситуаций, разрабатывающая рекомендации по наиболее рациональному образу (стратегии) действий каждого из участников в ходе конфликтной ситуации (игры), т.е. таких действий, которые обеспечивали бы ему наилучший результат. Игра – это совокупность правил, определяющих возможные действия (чистые стратегии) участников игры (игроков). Суть игры в том, что каждый из участников принимает такие решения в развивающейся конфликтной ситуации, которые, как он полагает, обеспечивают ему наилучший результат (исход) игры. Игра – это упрощенная математическая модель конфликтной ситуации. Стратегия – это совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации, складывающейся в процессе игры. Оптимальной стратегией называется стратегия, которая обеспечивает игроку наилучший исход игры при предположении, что противник использует наилучшую для себя стратегию. Исход (плата) игры – это значение некоторой функции, которая называется функцией выигрыша (платежной функцией). Далее будем рассматривать только такие игры, в которых выигрыш выражается количественно: стоимостью, баллами и т. д. Величина выигрыша зависит от стратегии, применяемой игроками. Игроки – это участники игры с различными группами интересов. Партией называют каждый вариант реализации игры. В партии игроки совершают конкретные ходы. Ход – это выбор и реализация игроком одного из допустимых вариантов поведения. 11.2. Классификации игр. Игры можно классифицировать по разным признакам: 1) по числу игроков. Принципиальное значение при классификации по количеству игроков имеют три варианта: один, два и более двух игроков. Если при этом игроки объединяются, например, в две группы, преследующие противоположные цели, то имеет место игра двух «лиц» – парная игра; 2) в зависимости от числа стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Примером игры с бесконечным числом стратегий может служить ситуация «продавец – покупатель», когда как цена, так и количество товара могут быть названы любыми; 3) в зависимости от числа исходов: игры качества (конечное или счетное число исходов) и игры степени (континуум возможных исходов); 4) в зависимости от взаимоотношений участников различают игры бескоалиционные, или некооперативные (участники не имеют права заключать соглашения), и коалиционные, или кооперативные; 5) по характеру выигрышей игры делятся на игры с нулевой суммой и ненулевой суммой. В первых (игры двух лиц с нулевой суммой) общий капитал игроков не меняется, а лишь перераспределяется в ходе игры, в связи с чем сумма выигрышей равна нулю (проигрыш принимается как отрицательный выигрыш; 6) по виду функции выигрыша игры делятся на матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные и др. В матричных играх (при двух участниках) выигрыши первого игрока задаются матрицей, в биматричных – выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей; 7) по количеству ходов игры делятся на одноходовые (выигрыш распределяется после одного хода каждого игрока) и многоходовые (выигрыш распределяется после нескольких ходов). Многоходовые игры в свою очередь делятся на позиционные, стохастические, дифференциальные и др.; 8) в зависимости от объема имеющейся информации различают игры с полной и неполной информацией; 9) неопределенность может быть обусловлена как сознательным противодействием противника, так и неизвестными обстоятельствами (неопределенностью). Игры, в которых участники стремятся добиться для себя наилучшего результата, сознательно выбирая допустимые правилами игры способы действий, называют иногда стратегическими. 11.3. Платежная матрица. Верхняя и нижняя цена игры. Матричная игра m×n (с нулевой суммой) – это антагонистическая игра, в которой первый игрок А использует возможные стратегии A1, A2, …, Am, а его противник (оппонент) B – стратегии B1, B2, …, Bn. Если игрок A применит стратегию Ai, а оппонент – стратегию Bj, то плата aij игры будет выигрышем игрока А (проигрышем противника В) для aij > 0. Таким образом, игра с нулевой суммой полностью описывается так называемой платежной матрицей игры (табл. 11.1). Таблица 11.1 – Платежная матрица Стратегии игрока А Стратегии игрока В B1 … Bj … Bn А1 a11 … a1j … a1n … … … … … … Аi ai1 … aij … ain … … … … … … Аm am1 … amj … amn Если игра состоит только из личных ходов, то выбор пары чистых стратегий (Ai; Bj) единственным образом определяет исход (результат) игры. Если же в игре используются случайные ходы, то исход игры определяется средним значением (математическим ожиданием) выигрыша. Платежная матрица является табличной записью функции выигрыша. В теории матричных игр всегда предполагается, что в платежной матрице записаны выигрыши игрока. При поиске оптимальных стратегий игроки опираются на основной принцип теории игр – принцип гарантированного результата (принцип максимина), в соответствии с которым каждый игрок, считая партнера по игре разумным противником, выбирает свои действия в предположении, что соперник не упустит возможности использовать в своих интересах любую его ошибку. При выборе своего хода игрок А анализирует платежную матрицу, определяя для каждой своей чистой стратегии Ai, , минимальное значение αi ожидаемого выигрыша: , (считая, что противник играет наилучшим образом), а затем из всех выбирает наибольшее и соответствующую ему чистую (максиминную) стратегию Аi. Игрок А гарантирует себе выигрыш не хуже α при любых стратегиях игрока В, и не существует чистой стратегии игрока А, которая давала бы ему больший выигрыш, чем α, при всех стратегиях игрока В. Число называется нижней чистой ценой игры (максимином). Она выражает выигрыш игрока А при использовании максиминной стратегии независимо от действий игрока В. Число β, определяемое по формуле: , называется верхней чистой ценой игры (минимаксом). Она показывает, какой максимальный проигрыш (гарантированный результат) может быть у игрока В при подходящем выборе им своей чистой стратегии (независимо от действий игрока А). Соответствующая стратегия игрока В называется минимаксной. Теорема. В матричной игре нижняя чистая цена игры не превосходит верхней чистой цены игры, т.е. . 11.4. Игры в чистых и смешанных стратегиях. Ai, , первого игрока и стратегии Bj, , второго игрока (возможные их ходы) принято называть чистыми стратегиями игроков. Ситуация равновесия в чистых стратегиях Если для чистых стратегий Ai, Bj игроков А и В соответственно имеет место равенство α = β = aij, то пару чистых стратегий (Ai; Bj) называют седловой точкой матричной игры, элемент aij матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, – седловым элементом платежной матрицы, а число v = α = β – чистой ценой игры. Ситуация, когда ни один из игроков не имеет разумных оснований для изменения своей стратегии, называется ситуацией равновесия. Если матричная игра имеет седловую точку, т.е. в платежной матрице присутствует элемент, который является одновременно минимальным в строке и максимальным в столбце, то она решается в чистых стратегиях. Чистые стратегии (Ai; Bj), образующие седловую точку, и будут оптимальными, а решением игры считается тройка объектов {Ai; Bj; v}. Про игры с седловой точкой говорят, что они решаются в чистых стратегиях, т.к. последние полностью определяют рациональное поведение конфликтующих сторон. Платежная матрица может иметь несколько седловых точек. Смешанной стратегией p первого (А) игрока называется вектор , где и Аналогично вектор q – смешанная стратегия игрока В: , где и . Здесь pi и qj – вероятности, с которыми игроки А и В в ходе игры выбирают свои чистые стратегии Ai и Bj. Чистая стратегия Ai игрока А может рассматриваться как частный случай смешанной стратегии, i-я компонента которой равна единице, а остальные − нулю. Аналогично для игрока В. Применяя смешанные стратегии, игроки выбирают свои чистые стратегии случайно и независимо друг от друга, и, таким образом, случайной становится величина выигрыша (проигрыша): – плата (платежная функция) игры с платежной матрицей mхn. Смешанные стратегии ; называются оптимальными, если для произвольных стратегий выполняется условие: , т.е. точка является седловой точкой функции . Использование в игре оптимальных смешанных стратегий обеспечивает первому игроку выигрыш, не меньший, чем при использовании им любой другой стратегии р, второму игроку – проигрыш, не больший, чем при использовании им любой другой стратегии q. Значение платежной функции при оптимальных стратегиях определяет цену игры v, т.е. , причем . Совокупность оптимальных стратегий и цены игры составляет решение игры. В смешанных стратегиях любая конечная матричная игра имеет седловую точку, причем , где – оптимальные смешанные стратегии игроков А и В соответственно. 11.5. Статистические игры («игры с природой»). Под статистической игрой (игрой с природой) будем понимать парную матричную игру, в которой один игрок заинтересован в наиболее выгодном для него исходе игры, а второй игрок (природа) безразличен к результату игры. Предположим, что в игре с природой сознательный игрок А может использовать m чистых стратегий: A1, A2, …, Am, а природа П может реализовать n различных состояний: П1, П2, …, Пn. Игроку А могут быть известны вероятности q1, q2, …, qn, с которыми природа реализует свои состояния, но он может и не знать их. Действуя против природы, игрок А имеет возможность использовать как чистые стратегии Ai, так и смешанные стратегии. Если игрок А в состоянии оценить (величиной aij) последствия применения каждой своей чистой стратегии Ai при каждом состоянии Пj природы, то игру можно задать матрицей: , которая называется платежной. Решение статистической игры состоит из следующих этапов: 1) выявление и отбрасывание дублирующих и доминируемых стратегий лица, играющего с природой; стратегии природы отбрасывать нельзя; 2) построение и исследование матрицы рисков; 3) оценка выигрыша при различных игровых ситуациях: критерии Вальда, Байеса, Сэвиджа и Гурвица и др.; 4) вывод о выборе наилучшей стратегии. Игры с природой, хотя и являются частным случаем парных матричных игр, обладают и некоторыми особенностями. Например, при упрощении платежной матрицы отбрасывать те или иные состояния природы нельзя, т.к. она может реализовать любое состояние, независимо от того, выгодно оно игроку А или нет. Кроме того, решение достаточно найти только для игрока А, поскольку природа в «рекомендациях» не нуждается. Также в играх с природой смешанные стратегии имеют ограниченное значение: они приобретают смысл только при многократном повторении игры. Таким образом, цель решения статистической игры заключается в определении такой стратегии сознательного игрока (чистой или смешанной), которая при ее применении обеспечила бы наибольший выигрыш. 11.6. Матрица рисков. Риском rij игрока А, когда он пользуется чистой стратегией Ai при состоянии Пj природы, называется разность между максимальным выигрышем, который он мог бы получить, если бы точно знал, что природой будет реализовано именно состояние Пj, и тем выигрышем, который он получит, используя стратегию Ai: где − максимальный элемент j-го столбца платежной матрицы. Элементы матрицы рисков (табл. 11.2), соответствующие стратегиям Ai и Пj, характеризуют общую благоприятность или неблагоприятность для игрока А отдельных состояний природы. Таблица 11.2 – Матрица рисков Стратегии игрока А Стратегии игрока В B1 … Bj … Bn А1 a11 … a1j … a1n … … … … … … Аi ai1 … aij … ain … … … … … … Аm am1 … amj … amn Стратегии А Стратегии П П1 П2 … Пn А1 r11 r12 … r1n А2 r21 r22 … r2n … … … … Аm rm1 rm2 … rmn 11.7. Критерии для принятия решений в статистических играх. Для принятия решений в статистических играх используются следующие критерии: 1) критерий Байеса − критерий, основанный на известных вероятностях условий. Если известны вероятности qj состояний Пj природы, то пользуются критерием Байеса, в соответствии с которым оптимальной считается чистая стратегия Ai, при которой максимизируется средний выигрыш i. Следует отметить, что в этом случае игроку A нет смысла пользоваться смешанными стратегиями. Применение в игре с природой любой смешанной стратегии р не увеличивает выигрыш игрока А, получаемый при оптимальной чистой стратегии; 2) принцип недостаточного основания Лапласа. Если объективные оценки состояний природы получить невозможно, то вероятности состояний природы могут быть оценены субъективно на основе принципа недостаточного основания Лапласа, согласно которому все состояния природы полагаются равновероятными, т.е. , и оптимальной считается чистая стратегия Ai, обеспечивающая максимальное среднее значение выигрыша: 3) максиминный критерий Вальда. По этому критерию рекомендуется применять максиминную стратегию. Она выбирается из условия ; Критерий является пессимистическим: считается, что природа будет действовать наихудшим для сознательного игрока образом; 4) критерий максимума. Оптимальная стратегия выбирается из условия ; Критерий является оптимистическим: считается, что природа будет играть наиболее благоприятно для сознательного игрока; 5) критерий Гурвица. Критерий рекомендует стратегию, определяемую по формуле где λ (степень оптимизма) изменяется в диапазоне [0; 1]. Критерий придерживается некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения природы. При λ = 1 критерий превращается в критерий Вальда; при λ = 0 − в критерий максимума. На величину λ оказывает влияние степень ответственности лица, принимающего решение по выбору стратегии; 6) критерий Сэвиджа. Суть критерия состоит в выборе стратегии, позволяющей не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Согласно этому критерию, рекомендуется выбирать ту стратегию, при которой в наихудших условиях величина риска принимает наименьшее значение: – оптимальная стратегия, где rij − элементы матрицы рисков. ЛЕКЦИЯ 2.12. ПОНЯТИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. 12.1. Предмет динамического программирования. 12.2. Постановка задачи динамического программирования. 12.3. Принцип оптимальности и математическое описание динамического процесса управления. 12.4. Оптимальное распределение инвестиций. 12.1. Предмет динамического программирования. Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, который подходит к решению некоторого класса задач путем их разложения на части, небольшие и менее сложные задачи. При этом отличительной особенностью является решение задач по этапам, через фиксированные интервалы, промежутки времени, что и определило появление термина динамическое программирование. Следует заметить, что методы динамического программирования успешно применяются и при решении задач, в которых фактор времени не учитывается. В целом математический аппарат можно представить, как пошаговое или поэтапное программирование. Решение задач методами динамического программирования проводится на основе сформулированного Р.Э. Беллманом принципа оптимальности: оптимальное поведение обладает тем свойством, что каким бы ни было первоначальное состояние системы и первоначальное решение, последующее решение должно определять оптимальное поведение относительно состояния, полученного в результате первоначального решения. Из этого следует, что планирование каждого шага должно проводиться с учетом общей выгоды, получаемой по завершении всего процесса, что и позволяет оптимизировать конечный результат по выбранному критерию. Таким образом, динамическое программирование в широком смысле представляет собой оптимальное управление процессом, посредством изменения управляемых параметров на каждом шаге, и, следовательно, воздействуя на ход процесса, изменяя на каждом шаге состояние системы. 12.2. Постановка задачи динамического программирования. Постановку задачи динамического программирования рассмотрим на примере инвестирования, связанного с распределением средств между предприятиями. В результате управления инвестициями система последовательно переводится из начального состояния S0 в конечное Sn. Предположим, что управление можно разбить на n шагов и решение принимается последовательно на каждом шаге, а управление представляет собой совокупность n пошаговых управлений. На каждом шаге необходимо определить два типа переменных: переменную состояния системы Sk и переменную управления хk. Переменная Sk определяет, в каких состояниях может оказаться система на рассматриваемом k-м шаге. В зависимости от состояния S на этом шаге можно применить некоторые управления, которые характеризуются переменной хk, которые удовлетворяют определенным ограничениям и называются допустимыми. Допустим, X = (x1, x2, …, xk, …, xn) – управление, переводящее систему из состояния S0 в состояние Sn, a Sk – есть состояние системы на k-м шаге управления. Тогда последовательность состояний системы можно представить в виде графа (рис. 12.1). Рисунок 12.1 – Граф состояний системы Применение управляющего воздействия хk на каждом шаге переводит систему в новое состояние S1(S, хk) и приносит некоторый результат Wk(S, хk). Для каждого возможного состояния на каждом шаге среди всех возможных управлений выбирается оптимальное управление х*k, такое, чтобы результат, который достигается за шаги с k-го по последний n-й, оказался бы оптимальным. Числовая характеристика этого результата называется функцией Беллмана Fk(S) и зависит от номера шага k и состояния системы S. Задача динамического программирования формулируется следующим образом: требуется определить такое управление Х*, переводящее систему из начального состояния S0 в конечное состояние Sn, при котором целевая функция принимает наибольшее (наименьшее) значение F(S0, X*) → extr. Особенности математической модели динамического программирования заключаются в следующем: 1) задача оптимизации формулируется как конечный многошаговый процесс управления; 2) целевая функция (выигрыш) является аддитивной и равна сумме целевых функций каждого шага; 3) выбор управления хk на каждом шаге зависит только от состояния системы к этому шагу Sk, и не влияет на предшествующие шаги (нет обратной связи); 4) состояние системы Sk после каждого шага управления зависит только от предшествующего состояния системы Sk-1 и этого управляющего воздействия хk (отсутствие последействия) и может быть записано в виде уравнения состояния: ; 5) на каждом шаге управление хk зависит от конечного числа управляющих переменных, а состояние системы Sk зависит от конечного числа параметров; 6) оптимальное управление представляет собой вектор X*, определяемый последовательностью оптимальных пошаговых управлений: , число которых и определяет количество шагов задачи. 12.3. Принцип оптимальности и математическое описание динамического процесса управления. При решении задачи на каждом шаге выбирается управление, которое должно привести к оптимальному выигрышу. Если считать все шаги независимыми, тогда оптимальным управлением будет то управление, которое обеспечит максимальный выигрыш именно на данном шаге. Однако, например, при покупке новой техники взамен устаревшей на ее приобретение затрачиваются определенные средства, поэтому доход от ее эксплуатации в начале может быть небольшой, а в следующие годы новая техника будет приносить больший доход. И наоборот, если принято решение оставить старую технику для получения дохода в текущем году, то в дальнейшем это приведет к значительным убыткам. Кроме того, при выборе управления на данном шаге следует учитывать возможные варианты состояния предыдущего шага. Например, при определении количества средств, вкладываемых в предприятие в 1-м году, необходимо знать, сколько средств осталось в наличии к этому году и какой доход получен в предыдущем (i-1)-м году. Таким образом, при выборе шагового управления необходимо учитывать следующие требования: 1) возможные исходы предыдущего шага Sk-1; 2) влияние управления хk на все оставшиеся до конца процесса шаги (n - k). В задачах динамического программирования первое требование учитывают, делая на каждом шаге условные предположения о возможных вариантах окончания предыдущего шага и проводя для каждого из вариантов условную оптимизацию. Выполнение второго требования обеспечивается тем, что в этих задачах условная оптимизация проводится от конца процесса к началу. Условная оптимизация. На первом этапе решения задачи, называемом условной оптимизацией, определяются функция Беллмана и оптимальные управления для всех возможных состояний на каждом шаге, начиная с последнего в соответствии с алгоритмом обратной прогонки. На последнем, n-м шаге, оптимальное управление х*n определяется функцией Беллмана: F(S) = max{Wn(S, xn)}, в соответствии с которой максимум выбирается из всех возможных значений хn, причем хn∈Х. Дальнейшие вычисления производятся согласно рекуррентному соотношению, связывающему функцию Беллмана на каждом шаге с этой же функцией, но вычисленной на предыдущем шаге. В общем виде это уравнение имеет вид: Fn(S) = max{Wn(S, xn) + Fk-1(S1(S, xk))}, xk∈Х. Этот максимум (или минимум) определяется по всем возможным для k и S значениям переменной управления X. Безусловная оптимизация. После того, как функция Беллмана и соответствующие оптимальные управления найдены для всех шагов с n-го по первый, осуществляется второй этап решения задачи, называемый безусловной оптимизацией. Пользуясь тем, что на первом шаге (k = 1) состояние системы известно – это ее начальное состояние S0, можно найти оптимальный результат за все n шагов и оптимальное управление на первом шаге x1, которое этот результат доставляет. После применения этого управления система перейдет в другое состояние S1(S, х*1), зная которое, можно, пользуясь результатами условной оптимизации, найти оптимальное управление на втором шаге х*1, и так далее до последнего n-го шага. Вычислительную схему динамического программирования можно строить на сетевых моделях, а также по алгоритмам прямой прогонки (от начала) и обратной прогонки (от конца к началу). Рассмотрим примеры решения различных по своей природе задач, содержание которых требует выбора переменных состояния и управления. 12.4. Оптимальное распределение инвестиций. Требуется распределить имеющиеся В единиц средств среди n предприятий, доход gi(xi) от которых, в зависимости от количества вложенных средств хi, определяется матрицей (nхn), приведенной в табл. 12.1, так, чтобы суммарный доход со всех предприятий был бы максимальным. Таблица 12.1. х gi g1 g2 … gi … gn x1 g1(x1) g2(x1) … gi(x1) … gn(x1) x2 g1(x2) g2(x2) … gi(x2) … gn(x2) xi g1(xi) g2(xi) … gi(xi) … gn(xi) xn g1(xn) g2(xn) … gi(xn) … gn(xn) Запишем математическую модель задачи. Определить , удовлетворяющий условиям: и обеспечивающий максимум целевой функции: Очевидно, эта задача может быть решена простым перебором всех возможных вариантов распределения В единиц средств по n предприятиям, например на сетевой модели. Однако решим ее более эффективным методом, который заключается в замене сложной многовариантной задачи многократным решением простых задач с малым количеством исследуемых вариантов. С этой целью разобьем процесс оптимизации на n шагов и будем на каждом k-м шаге оптимизировать инвестирование не всех предприятий, а только предприятий с k-го по n-е. При этом естественно считать, что в остальные предприятия (с первого по (k–1)-е тоже вкладываются средства, и поэтому на инвестирование предприятий с k-го по n-е остаются не все средства, а некоторая меньшая сумма Сk ≤ В. Эта величина и будет являться переменной состояния системы. Переменной управления на k-м шаге назовем величину хk средств, вкладываемых в k-e предприятие. В качестве функции Беллмана Fk(Ck) на k-м шаге можно выбрать максимально возможный доход, который можно получить с предприятий с k-го по n-е при условии, что на их инвестирование осталось Сk средств. Очевидно, что при вложении в k-e предприятие хk средств будет получена прибыль gk(xk), а система к (k+1)-му шагу перейдет в состояние Sk+1 и, следовательно, на инвестирование предприятий с (k+1)-го до n-го останется Сk+1 = (Сk – хk) средств. Таким образом, на первом шаге условной оптимизации при k = n функция Беллмана представляет собой прибыль только с n-го предприятия. При этом на его инвестирование может остаться количество средств Сn, 0 ≤ Сn ≤ В. Чтобы получить максимум прибыли с этого предприятия, можно вложить в него все эти средства, т.е. Fn(Сn) = gn(Сn) и хn = Сn. На каждом последующем шаге для вычисления функции Беллмана необходимо использовать результаты предыдущего шага. Пусть на k-м шаге для инвестирования предприятий с k-го по n-е осталось Сk средств (0 ≤ Сk ≤ В). Тогда от вложения в k-e предприятие хk средств будет получена прибыль gk(Ck), а на инвестирование остальных предприятий (с k-го по n-е) останется Сk+1 = (Сk – хk) средств. Максимально возможный доход, который может быть получен с предприятий (с k-го по n-е), будет равен: (12.1) Максимум выражения (12.1) достигается на некотором значении х*k, которое является оптимальным управлением на k-м шаге для состояния системы Sk. Действуя таким образом, можно определить функции Беллмана и оптимальные управления до шага k = 1. Значение функции Беллмана F1(c1) представляет собой максимально возможный доход со всех предприятий, а значение х*1, на котором достигается максимум дохода, является оптимальным количеством средств, вложенных в первое предприятие. Далее на этапе безусловной оптимизации для всех последующих шагов вычисляется величина Сk = (Сk-1 – хk-1) оптимальным управлением на k-м шаге является то значение хk, которое обеспечивает максимум дохода при соответствующем состоянии системы Sk. ЛЕКЦИЯ 2.13. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ. 13.1. Основные понятия сетевого планирования и управления (СПУ). 13.2. Основные понятия сетевой модели. 13.3. Правила построения сетевых графиков. 13.4. Характеристики элементов сетевой модели. 13.1 . Основные понятия сетевого планирования и управления. Система методов СПУ – система методов планирования и управления разработкой крупных комплексов, научными исследованиями, конструкторской и технологической подготовкой производства, новых видов изделий, строительством и реконструкцией, капитальным ремонтом основных фондов путем применения сетевых графиков. СПУ основано на моделировании процесса с помощью сетевого графика и представляет собой совокупность расчетных методов, организационных и контрольных мероприятий по планированию и управлению комплексом работ. Систему СПУ позволяет: - составлять календарные планы реализации больших комплексов работ; - выявлять и мобилизовывать резервы времени, трудовые, материальные и денежные ресурсы; - осуществлять управление комплексом работ по принципу «ведущего звена» с прогнозированием и предупреждением возможных срывов в ходе работ; - повышать эффективность управления в целом при четком распределении ответственности между руководителями разных уровней и исполнителями работ. Основные этапы реализации методов СПУ Под комплексом работ (комплексом операций, или проектом) будем понимать задачу, для выполнения которой необходимо осуществить достаточно большое количество разнообразных работ. Для того, чтобы составить план работ по осуществлению больших и сложных проектов, состоящих из большого количества отдельных исследований и операций, необходимо описать его с помощью некоторой математической модели. Таким средством описания является сетевая модель. Сетевой моделью (СМ) называется экономико-математическая модель, отражающая весь комплекс работ и событий, связанных с реализацией проекта в их логической и технологической последовательности и связи. Сетевая модель представляет собой план выполнения комплекса работ, заданного в специфической форме сети, графическое изображение которой называется сетевым графиком. 13.2. Основные понятия сетевой модели. Работа – это некоторый процесс, приводящий к достижению определенного результата и требующий затрат каких-либо ресурсов, имеет протяженность во времени. Каждая работа должна быть конкретной, четко описанной и иметь ответственного исполнителя. По своей физической природе работы можно рассматривать как: - действие: заливка фундамента бетоном, составление заявки на материалы, изучение конъюнктуры рынка, монтаж и наладка оборудования, подбор персонала, получение кредита; - ожидание: ожидание твердения бетона, поставки комплектующих, процесс сушки после покраски. По количеству затрачиваемого времени работа может быть: - действительной, т.е. протяженной во времени; - фиктивной, т.е. не требующей затрат времени и представляющей связь между какими-либо работами: сдача отчета об экономических показателях работы вышестоящему подразделению, передача готовой продукции на склад, откуда она выдается заказчику. Она указывает, что возможность одной работы непосредственно зависит от результатов другой. Продолжительность фиктивной работы принимается равной 0. Событие – момент времени, когда завершаются одни работы и начинаются другие. Событие представляет собой результат проведенных работ и, в отличие от работ, не имеет протяженности во времени. Таким образом, начало и окончание любой работы описываются парой событий, которые называются начальным и конечным событиями. Поэтому для идентификации конкретной работы используют код работы , состоящий из номеров начального (i-го) и конечного (j-го) событий. На этапе структурного планирования взаимосвязь работ и событий изображаются с помощью сетевого графика (или графа), где работы изображаются стрелками (ориентированными дугами), которые соединяют кружки (вершины графа), изображающие события. Работы, выходящие из некоторого события, не могут начаться, пока не будут завершены все операции, входящие в это событие. Событие, не имеющее предшествующих ему событий, т.е. с которого начинается проект, называют исходным. Событие, которое не имеет последующих событий и отражает конечную цель проекта, называется завершающим. Пример: Рассмотрим сетевой график задачи моделирования и построения оптимального плана некоторого экономического объекта. Чтобы решить эту задачу, необходимо провести следующие работы: № Содержание работы A Сформулировать проблему исследования Б Построить математическую модель изучаемого объекта В Собрать информацию Г Выбрать метод решения задачи Д Построить и отладить программу для ЭВМ Е Рассчитать оптимальный план Ж Передать результаты расчета заказчику 13.3. Правила построения сетевых графиков. Сетевые графики составляются на начальном этапе планирования. Вначале планируемый процесс разбивается на отдельные работы, составляется перечень работ, событий, продумываются их логические связи и последовательность выполнения, т.е. необходимо всегда перед построением сетевого графика дать ответы на следующие вопросы: 1. Какие работы необходимо завершить непосредственно перед началом рассматриваемой работы? 2. Какие работы должны непосредственно следовать после завершения данной работы? 3. Какие операции могут выполняться одновременно с рассматриваемой работой? Работы закрепляются за ответственными исполнителями. С их помощью оценивается длительность каждой работы. Затем составляется (сшивается) сетевой график. После упорядочения сетевого графика рассчитываются параметры событий и работ, определяются резервы времени и критический путь. Наконец, проводятся анализ и оптимизация сетевого графика, который при необходимости вычерчивается заново с пересчетом параметров событий и работ. При построении сетевого графа необходимо следовать следующим правилам: - длина стрелки не зависит от времени выполнения работы; - стрелка не обязательно должна представлять прямолинейный отрезок; - для действительных работ используются сплошные, а для фиктивных - штриховые стрелки; - каждая операция должна быть представлена только одной стрелкой; - не должно быть параллельных работ между одними и теми же событиями, для избежания такой ситуации используют фиктивные работы; - следует избегать пересечения стрелок; - не должно быть стрелок, направленных справа налево; - номер начального события должен быть меньше номера конечного события; - не должно быть висячих событий, кроме исходного; - не должно быть тупиковых событий, кроме завершающего; - не должно быть циклов. 13.4. Характеристики элементов сетевой модели. Характеристики событий: 1. Ранний срок свершения события характеризует самый ранний срок завершения всех путей в него входящих, т.е. это время, необходимое для выполнения всех работ, предшествующих данному событию j. Для исходного события tp(0) = 0. Для всех остальных . 2. Поздний срок свершения события характеризует самый поздний срок, после которого остается ровно столько времени, сколько требуется для завершения всех путей, следующих за эти событием, т.е. это такое время наступления события i, превышение которого вызовет аналогичную задержку наступления завершающего события сети. Для завершающего события . Для всех остальных 3. Резерв времени показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения всего комплекса работ. . Критические события резервов времени не имеют, т.к. любая задержка в свершении события, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении завершающего события. Характеристики работы (i,j): 1. Ранний срок начала работы (i, j) совпадает с ранним сроком наступления начального (предшествующего) события i: 2. Ранний срок окончания работы Ни одна работа не может окончиться позже допустимого позднего срока своего конечного события i. 3. Поздний срок окончания работы 4. Поздний срок начала работы 5. Резервы времени работ: - полный резерв показывает, на сколько можно увеличить время выполнения данной работы при условии, что срок выполнения комплекса работ не изменится. - частный резерв есть часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом позднего срока ее начального события. - свободный резерв есть часть полного резерва времени, на которую можно задержать начало работы или (если она началась в ранний срок) увеличить ее продолжительность, не изменяя ранних сроков начала последующих работ. Свободным резервом можно пользоваться для предотвращения случайностей, которые могут возникнуть в ходе выполнения работ. - независимый резерв есть часть полного резерва времени, получаемая для случая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начинаются в ранние сроки. Использование независимого резерва времени не влияет на величину резервов времени других работ. Независимые резервы стремятся использовать тогда, когда окончание предыдущей работы произошло в поздний допустимый срок, а последующие работы хотят выполнить в ранние сроки. Если величина независимого резерва равна 0 или положительна, то такая возможность есть. Если же величина отрицательна, то этой возможности нет, т.к. предыдущая рбота еще не оканчивается, а последующая уже должна начаться. Поэтому отрицательное значение не имеет реального смысла. Замечание: Работы, лежащие на критическом пути, так же как и критические события, резервов времени не имеют. КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ 1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ И ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Контрольная работа по учебной дисциплине «Эконометрика и экономико-математические методы и модели» предусмотрена учебным планом специальности 1-26 02 02 «Менеджмент» факультета технологий управления и гуманитаризации БНТУ и является одним из основных видов индивидуальной самостоятельной работы студентов под руководством преподавателя. Контрольная работа выполняется в течение учебного семестра, содержит элементы теоретических исследований проблем и направлена на закрепление основ знаний по изучаемой дисциплине. Контрольная работа позволяет выявить уровень знаний студента по изучаемой дисциплине. Она также способствует более глубокому исследованию определенной темы курса. Контрольная работа позволяет студенту научиться четко и грамотно, структурировано и аргументировано излагать самостоятельно изученный материал. Целью контрольной работы является формирование навыков: • критического мышления и использования методов системного и сравнительного анализа; • самостоятельной научной работы на основе углубленного изучения какой-либо темы; • самостоятельного решения проблемы по теме исследования; • самостоятельного поиска, анализа и обобщения необходимой экономической информации из различных источников; • самостоятельной разработки объективных выводов и рекомендаций, проектов и прогнозов развития. Тема контрольной работы выбирается студентом из нескольких предложенных вариантов согласно учебной программе и утвержденной на кафедре тематике. Общие требования к контрольной работе При написании контрольной работы студенты должны использовать знания в области научной методологии, уметь применять теоретические знания на практике, приобрести и закрепить навыки работы с научной и учебной литературой, находить и обобщать информацию, полученную из различных источников, четко и ясно излагать материал. Структура и содержание разделов контрольной работы Контрольная работа должна включать следующие части: • титульный лист (приложение 1, стр.130); • содержание (план); • теоретическая часть (раскрытие основных вопросов темы); • практическая часть (расчет и анализ экономико-математических показателей); • список использованных источников, который включает перечень (в алфавитном порядке) источников информации, использованных при написании контрольной работы. Подбирая литературу (учебники, учебные пособия, монографии, статьи и пр.) необходимо учитывать время издания. В первую очередь следует использовать литературу последних 5 лет. Требования к оформлению контрольной работы Объем контрольной работы должен составлять 10-20 страниц машинописного текста или рукописного текста. Контрольная работа печатается с использованием обычного шрифта Times New Roman 14 pt, черного цвета, через полтора интервала, на бумаге стандартного формата А4 (210*297 мм), на одной стороне листа. Абзацы в тексте начинаются отступом 1,25 мм, одинаковым по всему тексту. Текст работы следует расположить, соблюдая следующие размеры полей: левое – 30 мм, правое – 10 мм, верхнее и нижнее – 20 мм. В тексте не должны применяться сокращения слов, за исключением общепринятых. Нумерация страниц в контрольной работе сквозная. Первой страницей является титульный лист. Номер страницы проставляется арабскими цифрами в правом верхнем углу, номер на титульном листе не ставится, но в общую нумерацию он включается. Имеющиеся в работе цитаты, цифровой и фактический материал должны иметь ссылки на источники, которые указываются по тексту в квадратных скобках. В скобках указываются номер источника по списку литературы и через запятую страница этого источника. Например, [2, 68], где 2 – номер источника в списке литературы, 68 – номер страницы. Правила оформления списка использованных источников приведены на стр.129. Для пояснения текста могут быть приведены иллюстрации, таблицы, формулы. Иллюстрации следует нумеровать арабскими цифрами, после номера ставится тире и пишется название рисунка с заглавной буквы, внизу с абзацного отступа, например, «Рисунок 1­– ­­Процесс моделирования». Таблицы следует нумеровать арабскими цифрами, после номера ставится тире и пишется название таблицы с заглавной буквы. На все таблицы контрольной работы должны быть сделаны ссылки в тексте. При ссылках на таблицы следует писать: «... в таблице 1». Слово «Таблица» с номером указывают один раз слева над первой частью таблицы. При переносе части таблицы на другую страницу над другими частями слева пишут слова «Продолжение таблицы» с указанием номера таблицы. Над последней частью таблицы слева пишутся слова «Окончание таблицы» с указанием номера таблицы. При переносе части таблицы на другую страницу допускается нумеровать арабскими цифрами граф таблицы, не повторяя их наименования. В формулах в качестве символов следует применять обозначения, установленные соответствующими государственными стандартами. Пояснения символов и числовых коэффициентов, входящих в формулу, если они не по­яснены ранее в тексте, должны быть приведены непосредственно под формулой. Пояснения каждого символа следует давать с новой строки в той последовательности, в которой символы приведены в формуле. Первая строка пояснения должна начинаться со слова «где» без двоеточия после него. Формулы нумеруются арабскими цифрами, справа в круглых скобках. Ссылки в тексте на порядковые номера формул дают в скобках, например, «…. в формуле 1». ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ И ОРГАНИЗАЦИЯ ЗАЩИТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Подведение итогов подготовки контрольной работы включает следующие этапы: • сдача контрольной работы на проверку руководителю; • доработка контрольной работы с учетом замечаний руководителя; • защита контрольной работы. Контрольная работа должна быть представлена на проверку не позднее, чем за 2 недели до начала сессии. Выполненная контрольная работа подписывается студентом на титульном листе и представляется на защиту. Оценка качества выполнения контрольной работы Контрольная работа оценивается по следующим критериям: • структура и содержание работы – логичность расположения материала, соответствие установленным требованиям, полнота раскрытия темы; • дисциплинированность – соблюдение сроков выполнения, сдачи и защиты работы; • оформление – аккуратность и правильность оформления, умение цитировать, делать сноски, размещать текст, список литературы и т.д.; • структура работы – логичность расположения материала, соответствие установленным требованиям; • наглядность – наличие и качество исполнения таблиц, графиков, диаграмм, схем и т.п.; • объем – соответствие установленным требованиям к объему работы; • кругозор автора – новизна и значимость использованной литературы; • качество защиты работы – знание проблемы и категориально-понятийного аппарата данной дисциплины, владение научным функциональным стилем, умение вести диалог и обосновывать свои взгляды. Основные параметры оценки контрольной работы приведены в таблице 1.1. Таблица 1.1 – Основные параметры оценки контрольной работы № п.п. Основные параметры оценки контрольной работы Максимально возможная оценка в балл. 1 Обоснованность актуальности темы контрольной работы, ее места и значимости в системе экономико-математического знания. Четкая постановка целей и задач контрольной работы 8 2 Обоснованность плана и структуры контрольной работы, их соответствие поставленным целям и задачам 6 3 Теоретический уровень заявленной проблемы. Разработка и обоснование конкретных предложений и выводов, оценка их экономической и практической значимости 12 4 Наличие исследовательского компонента в анализе рассматриваемой проблемы, самостоятельность и творческий характер работы 10 5 Качественные и количественные параметры литературных источников, использованных при написании контрольной работы, их соответствие заявленной теме и новизна 8 6 Оформление контрольной работы в соответствии с нормами и требованиями, предъявляемыми к контрольным работам (язык и стиль изложения, правильность оформления аппарата ссылок и в целом текста) 6 Общую оценку контрольной работы дает научный руководитель, основываясь на суммарном количестве баллов: 41-50 баллов – оценка составляет 9-10; 31-40 баллов – оценка составляет 8-7; 26-30 баллов – оценка составляет 6-5; 20-25 баллов – оценка составляет 4. При оценке ниже 20 баллов работа считается не соответствующей требованиям, предъявляемым к контрольным работам, и не допускается к защите. Преподаватель, проверяющий контрольную работу, может оформить рецензию в виде данной таблицы и приложить содержательные комментарии, где отмечаются как положительные качества контрольной работы, так и его недостатки, влияющие на оценку. Контрольная работа, удовлетворяющая предъявленным требованиям, допускается к защите, о чем руководитель делает запись на титульном листе. Защита работы представляет собой изложение основных идей в докладе студента 5-8 минут и ответах на вопросы по теме работы. В докладе студент должен обосновать актуальность и значимость выбранной темы контрольной работы. Кратко изложить основные итоги своего исследования по разделам согласно плану. В заключении должен обосновать свои выводы и предложения. По итогам защиты выставляется дифференцированная оценка. Оценка контрольной работы проводится по десятибалльной системе с учетом замечаний руководителя, сделанных при ее проверке, качества выполнения работы, уровня защиты. Студент, не представивший в установленный срок готовую контрольную работу, или не защитивший ее, не допускается к сдаче экзамена или зачета по учебной дисциплине «Эконометрика и экономико-математические методы и модели». Выбор варианта контрольной (расчетно-графической) работы Номер варианта контрольной работы выбирается по списку в учебном журнале: в теоретической части темы № 1-30, в каждом варианте представлены несколько вопросов – выбрать в соответствии с вариантом один теоретический вопрос на выбор; практическая часть контрольной (расчетно-графической) работы включает решение шести задач по следующему списку, представленном в таблице 1.2. Таблица 1.2 – Варианты практической части контрольной (расчетно-графической) работы № вар Номера решаемых задач № вар Номера решаемых задач 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 1 10 6 10 10 1 16 1 10 10 5 6 6 2 2 9 7 9 9 2 17 2 9 9 4 7 7 3 3 8 8 8 8 3 18 3 8 8 3 8 8 4 4 7 9 7 7 4 19 4 7 7 2 9 9 5 5 6 10 6 6 5 20 5 6 6 1 10 10 6 6 5 1 10 5 6 21 6 5 5 1 1 1 7 7 4 2 9 4 7 22 7 4 4 2 2 2 8 8 3 3 8 3 8 23 8 3 3 3 3 3 9 9 2 4 7 2 9 24 9 2 2 4 4 4 10 10 1 5 6 1 10 25 10 1 1 5 5 5 11 1 10 6 5 6 5 26 6 5 5 6 1 6 12 2 9 7 4 7 4 27 7 4 4 7 2 7 13 3 8 8 3 8 3 28 8 3 3 8 3 8 14 4 7 9 2 9 2 29 9 2 2 9 4 9 15 5 6 10 1 10 1 30 10 1 1 10 5 10 ТЕМЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ВАРИАНТ 1 Тема ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Основные понятия и область применения ЭММ. Теоретические основы ЭММ моделирования. Особенности применения метода математического моделирования в экономике. ВАРИАНТ 2 Тема ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Системный подход при моделировании экономических объектов. Классификация методов экономического моделирования и ЭМ моделей. Основные этапы экономико-математического моделирования. ВАРИАНТ 3 Тема ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Роль прикладных математических исследований в экономике. Имитационное моделирование экономических процессов. ВАРИАНТ 4 Тема ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ДАННЫХ Стохастическая природа экономических данных. Распределение случайных величин. Выборка и генеральная совокупность. Необходимое число наблюдений в выборке. Описательная статистика в экономике и ее показатели. ВАРИАНТ 5 Тема ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЭКОНОМЕТРИКИ Предмет, задачи и методы эконометрики. Понятие эконометрической модели, классификация моделей. Основные этапы построения эконометрической модели. ВАРИАНТ 6 Тема ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ДАННЫХ Основы математического моделирования взаимосвязи экономических переменных. Основные положения регрессионного анализа. Модель множественной регрессии. Парный регрессионный анализ. ВАРИАНТ 7 Тема ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ДАННЫХ Понятие t-распределения Стьюдента. Критерий Стьюдента. Доверительные интервалы и гипотезы для коэффициентов регрессии. Корреляционно-регрессионный анализ в Excel. ВАРИАНТ 8 Тема ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ДАННЫХ Оценка адекватности экономических моделей на основе статистической проверки гипотез. Нулевая и альтернативная гипотезы. Уровень значимости критерия. Этапы оценки адекватности модели ВАРИАНТ 9 Тема ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ Понятие и основные типы линейных ЭМ моделей Оптимизационные задачи с линейной зависимостью (классификация и их анализ). ВАРИАНТ 10 Тема ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ Решение оптимизационной задачи линейного программирования (Симплекс-метод и решение оптимизационных задач ЛП в Excel). Постановка и решение двойственной задачи ЛП в экономике. ВАРИАНТ 11 Тема ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ Транспортная задача и методы ее решения. Понятие и примеры нелинейных моделей в экономике. ВАРИАНТ 12 Тема МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ Модели управления запасами (детерминированные модели с дефицитом и без дефицита, стохастические модели управления запасами). ВАРИАНТ 13 Тема ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ Основные принципы построения экономико-математических моделей производства. Производственные функции. Моделирование прибыли предприятия. Свойства производственных функций. Изокванта и ее типы. ВАРИАНТ 14 Тема ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ Модели производственных функций. Задача оптимальной комбинации ресурсов. Функции предложения и их свойства. Моделирование издержек и прибыли предприятия. ВАРИАНТ 15 Тема МОДЕЛИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА (МОБ) Понятие о межотраслевом балансе. Модели межотраслевого баланса (МОБ) и их свойства. Решение системы балансных уравнений в матричной форме. Прямые и косвенные затраты в задаче МОБ. ВАРИАНТ 16 Тема МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (СМО) Понятие и классификация систем массового обслуживания (СМО). Решение задач для одноканальных и постановка задач многоканальных СМО. ВАРИАНТ 17 Тема ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР Понятие игровых моделей и их использование для решения управленческих задач. Приведение матричных игровых задач в смешанных стратегиях к задачам ЛП. ВАРИАНТ 18 Тема ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР Понятие игровых моделей и их использование для решения управленческих задач. Платежная матрица. Верхняя и нижняя цена игры. Игры в чистых и смешанных стратегиях. Матрица рисков. ВАРИАНТ 19 Тема ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР Понятие игровых моделей и их использование для решения управленческих задач. Моделирование экономических ситуаций в терминах “игры с природой”. Основные критерии выбора лучшей стратегии управления и их вычисление ВАРИАНТ 20 Тема ИНВЕСТИЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. ПОНЯТИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Понятие и оценка инвестиционных моделей. Основные показатели эффективности инвестиционных проектов. Понятие и классификация задач динамического программирования и их использование для оптимизации инвестиционной деятельности. ВАРИАНТ 21 Тема ИНВЕСТИЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. ПОНЯТИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Понятие и оценка инвестиционных моделей. Основные показатели эффективности инвестиционных проектов. Функция Беллмана и ее использование для решения задач динамического программирования. ВАРИАНТ 22 Тема ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ Модели производственных функций. Моделирование спроса и потребления. Производственная функция Кобба-Дугласа. Эластичность ВАРИАНТ 23 Тема МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ Назначение и области применения сетевого планирования и управления. Сетевая модель, порядок построения и упорядочивания сетевого графика. ВАРИАНТ 24 Тема МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ Назначение и области применения сетевого планирования и управления. Путь, напряженность работ в сетевом планировании. Оптимизация сетевых графиков. ВАРИАНТ 25 Тема ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. Способы преобразования задач линейного программирования. Виды записи канонической задачи. Графический метод решения задач линейного программирования. Двойственные задачи в линейном программировании. ВАРИАНТ 26 Тема ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА Линейная парная регрессия. Метод наименьших квадратов. Модель множественной регрессии. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ Назначение и области применения сетевого планирования и управления. Сетевая модель, порядок построения и упорядочивания сетевого графика. ВАРИАНТ 27 Тема ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ Моделирование спроса и потребления. Производственная функция Кобба-Дугласа. Эластичность ВАРИАНТ 28 Тема МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ И СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Экономико-математические методы формирования запасов. Типы издержек. Модель Уилсона с бесконечной интенсивностью поставки без дефицита. ВАРИАНТ 29 Тема МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ И СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Экономико-математические методы формирования запасов с конечной интенсивностью поставки без дефицита. Экономико-математические методы теории и основные параметры системы массового обслуживания (СМО). ВАРИАНТ 30 Тема ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА Основные понятия корреляционного анализа. Понятие о регрессионной модели. Задачи и этапы корреляционно-регрессионного анализа. Проблемы спецификации. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Задача 1. Линейная регрессия и корреляция. По данным таблицы определить: а) численные характеристики выборки: х,у, х, у; б) коэффициент корреляции и проверить его значимость при  = 0,05; в) выборочные уравнения прямых линий регрессий У на Х и Х на У и построить их графики. Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 х у 2 3 4 5 6 7 nу 5 1 1 1 6 2 4 1 7 3 10 3 8 3 9 2 9 2 5 1 10 1 1 nх n = Вариант 5 х у 18 23 28 33 38 43 48 nу 15 1 20 1 2 5 25 3 2 12 7 30 1 8 3 3 35 1 40 1 nх n = Вариант 6 х у 5 10 15 20 25 30 35 40 nу 10 2 1 20 3 4 3 30 5 10 8 40 1 6 1 1 50 4 1 nх n = Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9 х у 12 15 17 20 23 25 27 30 nу 7 3 3 4 12 2 3 2 4 17 2 5 5 22 4 6 27 1 4 2 nх n = Вариант 10 х у 5 10 15 20 25 30 35 40 nу 5 2 7 10 3 3 3 15 5 8 20 4 4 4 25 1 5 1 nх n = Задача 2. Симплекс метод. На предприятии имеется возможность выпуска n видов продукции Пj (j = ). При ее изготовлении используются ресурсы Р1, Р2 и Р3. Размеры допустимых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами b1, b2, b3. Расход ресурса i-го (i=) вида на единицу продукции j-го вида составляет аij единиц. Цена единицы продукции j-го вида равна сj ден. ед. Требуется: 1) симплексным методом найти план выпуска продукции по видам с учетом имеющихся ограниченных ресурсов, который обеспечивал бы предприятию максимальный доход дать содержательный ответ, вскрыв экономический смысл всех переменных, участвующих в решении задачи; 2) сформулировать в экономических терминах двойственную задачу и составить ее математическую модель; 3) используя решение исходной задачи и соответствие между двойственными переменными, найти компоненты оптимального плана двойственной задачи – двойственные оценки (i = указать наиболее дефицитный и недефицитный (избыточный) ресурс, если он имеется. Числовые данные по вариантам приведены в таблице. Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 3 3 4 3 3 3 3 4 3 3 b1 12 150 280 1200 600 24 500 100 360 180 b2 25 180 80 150 30 10 550 260 192 210 b3 18 120 250 3000 144 6 200 370 180 244 a11 6 2 2 15 10 5 2 2,5 18 4 a12 4 3 1 20 20 7 1 2,5 15 2 a13 3 4 1 25 23 4 2 12 1 a14 - - 1 - - - - 1,5 - - a21 5 1 1 2 1 5 4 6 3 a22 3 4 3 1 2 2 10 4 1 a23 2 5 1 2,5 1 1 1 4 8 3 a24 - - 1 - - - - 6 - a31 4 3 1 35 5 2 8 5 1 a32 5 4 2 60 6 1 1 7 3 2 a33 4 2 1 60 6 1 4 3 5 a34 - - - - - - 10 - - c1 1 8 4 300 35 18 3 40 9 10 c2 2 7 3 250 60 12 4 50 10 14 c3 3 6 6 450 63 8 1 100 16 12 c4 - - 7 - - - - 80 - - Задача 3. Транспортная задача. Готовая продукция заводов Аi (i = 1, 2, 3) на склады Вj (j = 1, 2, 3, 4). Заводы Аi производят аi тыс. изделий. Пропускная способность складов Вj за это время характеризуется величинами Вi тыс. изделий. Стоимость перевозки с завода Аi на склад Bj одной тысячи изделий равна Сij. Требуется: 1. Составить экономико-математическую модель задачи, которая позволила бы найти план перевозки готовой продукции с заводов на склады с минимальными затратами. 2. Методом потенциалов найти оптимальный план перевозки готовой продукции на склады при дополнительном условии, что на складе Вk созданы лучшие условия для хранения готовой продукции, а поэтому он должен быть загружен полностью. 3. Найти величину fmin минимальных транспортных затрат. Числовые данные по вариантам приведены в таблице. Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k 4 2 3 1 3 2 1 4 3 2 a1 250 240 400 750 250 300 450 350 250 200 a2 150 120 300 200 550 700 200 750 650 500 a3 400 270 500 550 350 400 350 300 300 300 b1 100 150 350 450 300 250 150 200 350 150 b2 500 180 250 300 150 450 300 50 50 450 b3 100 190 150 350 400 150 50 600 150 50 b4 300 280 250 250 150 350 400 400 450 250 C11 2 7 2 1 2 3 6 4 5 3 C12 1 1 6 6 6 7 4 5 10 4 C13 3 6 4 5 3 6 8 8 4 8 C14 6 9 7 3 5 4 3 6 6 2 C21 1 2 6 4 8 7 5 4 7 4 C22 4 3 2 3 7 5 1 7 8 1 C23 7 4 7 5 10 4 4 1 10 4 C24 9 8 1 7 5 9 4 2 9 5 C31 6 4 6 5 2 3 7 2 1 9 C32 2 5 10 8 7 6 11 6 5 10 C33 4 2 7 10 5 5 9 4 4 6 C34 5 3 5 4 3 1 6 7 2 5 Задача 4. Теория игр. После нескольких лет эксплуатации промышленное оборудование оказывается в одном из следующих состояний: 1) оборудование может использоваться в очередном году после профилактического ремонта; 2) для безаварийной работы оборудования в дальнейшем следует заменить отдельные его детали и узлы; 3) оборудование требует капитального ремонта или замены. В зависимости от сложившейся ситуации руководство предприятия в состоянии принять такие решения: 1) отремонтировать оборудование силами заводских специалистов, что потребует, в зависимости от обстановки, затрат, равных а1, а2 или а3 ден. ед.; 2) вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b1, b2 или b3 ден. ед.; 3) заменить оборудование новым, реализовав устаревшее оборудование по его остаточной стоимости. Совокупные затраты в результате этого мероприятия будут равны соответственно с1, с2 или с3 ден. ед. Указанные выше расходы предприятия включают, кроме стоимости ремонта и заменяемых деталей и узлов, убытки, вызванные ухудшением качества выпускаемой продукции, простоем неисправного оборудования, а также затраты на установку и отладку нового оборудования. Требуется: 1) придать описанной ситуации игровую схему, установить характер игры и выявить ее участников, указать возможные чистые стратегии сторон; 2) выяснить, какое решение о работе оборудования в предстоящем году целесообразно рекомендовать руководству предприятия, чтобы минимизировать потери при следующих предположениях: а) накопленный на предприятии опыт эксплуатации аналогичного оборудования показывает, что вероятности указанных выше состояний оборудования равны соответственно q1, q2, q3; б) имеющийся опыт свидетельствует о том, что все три возможных состояний оборудования равновероятны; в) о вероятности состояний оборудования ничего определенного сказать нельзя. В п. 3 следует найти оптимальные чистые стратегии, пользуясь: в п. 3а – критерием Байеса, в п. 3б – критерием Лапласа, в п. 3в – критерием Вальда, Сэвиджа, Гурвица (значение параметра γ в критерии Гурвица задается). Числовые данные по вариантам приведены в таблице. Задача 5. Динамическое программирование. Для модернизации производства четырем предприятиям выделены денежные средства С =100 тыс. руб. По каждому из 4-х предприятий известен возможный прирост gi(х), , выпуска продукции в зависимости от выделенной ему суммы х . Требуется: 1) распределить средства С между предприятиями так, чтобы суммарный прирост выпуска продукции на всех предприятиях достиг величины f(c); 2) используя данные п.1 найти оптимальное распределение 100 тыс. руб. между тремя предприятиями; 3) найти оптимальное распределение 80 тыс. руб. между тремя предприятиями. Вариант 1 Номер предприятия gi(x) 20 40 60 80 100 1 g1(x) 9 18 24 38 50 2 g2(x) 11 19 30 44 59 3 g3(x) 16 32 40 57 70 4 g4(x) 13 27 44 69 73 Вариант 2 Номер предприятия gi(x) 20 40 60 80 100 1 g1(x) 9 17 29 38 47 2 g2(x) 11 34 46 53 75 3 g3(x) 13 28 37 49 61 4 g4(x) 12 35 40 54 73 Вариант 3 Номер предприятия gi(x) 20 40 60 80 100 1 g1(x) 7 29 37 41 59 2 g2(x) 9 19 28 37 46 3 g3(x) 17 27 37 48 66 4 g4(x) 16 30 42 65 81 Вариант 4 Номер предприятия gi(x) 20 40 60 80 100 1 g1(x) 9 20 35 44 57 2 g2(x) 12 25 34 46 57 3 g3(x) 11 20 32 48 61 4 g4(x) 14 23 40 50 58 Вариант 5 Номер предприятия gi(x) 20 40 60 80 100 1 g1(x) 9 18 29 41 60 2 g2(x) 8 19 30 47 58 3 g3(x) 12 25 51 58 69 4 g4(x) 7 15 52 59 60 Вариант 6 Номер предприятия gi(x) 20 40 60 80 100 1 g1(x) 11 21 40 54 62 2 g2(x) 13 20 42 45 61 3 g3(x) 12 22 34 55 60 4 g4(x) 10 27 33 57 69 Вариант 7 Номер предприятия gi(x) 20 40 60 80 100 1 g1(x) 12 26 40 60 72 2 g2(x) 16 21 36 49 63 3 g3(x) 9 17 35 51 65 4 g4(x) 15 25 51 62 76 Вариант 8 Номер предприятия gi(x) 20 40 60 80 100 1 g1(x) 14 24 37 45 58 2 g2(x) 12 30 42 58 71 3 g3(x) 13 25 45 62 70 4 g4(x) 7 33 46 60 68 Вариант 9 Номер предприятия gi(x) 20 40 60 80 100 1 g1(x) 16 28 36 49 60 2 g2(x) 10 29 42 50 74 3 g3(x) 15 27 46 58 65 4 g4(x) 17 23 38 53 67 Вариант 10 Номер предприятия gi(x) 20 40 60 80 100 1 g1(x) 12 28 39 47 69 2 g2(x) 14 26 40 51 68 3 g3(x) 11 24 43 51 68 4 g4(x) 16 21 36 49 72 Задача 6. Сетевое планирование. На сети дорог имеется несколько маршрутов, по которым можно доставить груз из пункта I в пункт S. Известны расстояния перевозки единицы груза между пунктами сети. Требуется: 1) методом динамического программирования найти на сети наиболее кратчайший путь; 2) выписать оптимальные маршруты из пункта 4 до пункта S. Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6 Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9 Вариант 10 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Основная литература 1. Кремер, Н.Ш. Эконометрика: учебник для студентов вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко; под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд., стереотип. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. – 311 с. 2. Марченко, В.М. Эконометрика и экономико-математические методы и модели. В 2 ч. Ч. 1. Эконометрика: учеб. пособие для студентов учреждений высшего образования по экономическим специальностям / В.М. Марченко, Н.П. Можей, Е.А. Шинкевич. – Мн.: БГТУ, 2011. – 157 с. 3. Марченко, В.М. Эконометрика и экономико-математические методы и модели. В 2 ч. Ч. 2. Экономико-математические методы и модели: учеб. пособие для студентов учреждений высшего образования по экономическим специальностям / В.М. Марченко, Н.П. Можей, Е.А. Шинкевич. – Мн.: БГТУ, 2012. – 214 с. 4. Хацкевич, Г.А. Эконометрика: учеб.-метод. комплекс для студентов экономических специальностей / Г.А. Хацкевич, А.Б. Гедранович. – Мн.: Изд-во МИУ, 2005. – 252 с. 5. Читая, Г.О. Эконометрика и экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие / Под ред. Г.О. Читая, С.Ф. Мик­сюк. – Мн.: БГЭУ, 2018. – 511 с. 6. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 576 с. 7. Эконометрика: Учебно-методическое пособие / Шалабанов А.К., Роганов Д.А. – Казань: ТИСБИ, 2004. – 198 с. 8. Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие / Холод Н.И., Кузнецов А.В., Жихар Я.Н. и др.; под общ. ред. А.В. Кузнецова. – 2-е изд. – Мн.: БГЭУ, 2000. – 412 с. Дополнительная литература 1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебн. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 2002. – 479 с. 2. Катышев, П.К., Магнус, Я.Р., Пересецкий, А.А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 2002. – 208 с. 3. Лопатнюк, Л.А. Эконометрика и экономико-математические методы и модели. Практикум: учебно-методическое пособие для студентов / Л.А. Лопатнюк, А.С. Марков, Е.И. Подашевская. – Мн.: БГАТУ, 2019. – 176 с. 4. Магнус, Я.Р., Катышев, П.К., Пересецкий, А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. – М.: Дело, 2001. – 400 с. 5. Практикум по эконометрике: Учебн. пособие / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 344 с. 6. Эконометрика: Учебник / Н.П. Тихомиров, Е.Ю. Дорохина. – М.: Издательство «Экзамен», 2003. – 512 с. Приложение 1 Образец титульного листа контрольной работы БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет технологий управления и гуманитаризации Кафедра«Менеджмент» Контрольная работа по дисциплине: «Эконометрика и экономико-математические методы и модели» Вариант Выполнил: студент группы ФИО Проверил: должность ФИО Минск 20__ 2. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЗАЧЕТУ 1. Предмет, задачи и методы эконометрики. 2. Понятие эконометрической модели, классификация моделей. 3. Основные этапы построения эконометрической модели. 4. Стохастическая природа экономических данных. 5. Основные характеристики случайных величин. 6. Выборка и генеральная совокупность. 7. Описательная статистика и ее показатели. 8. Основные понятия корреляционного анализа. 9. Понятие о регрессионной модели. 10. Задачи и этапы корреляционно-регрессионного анализа. 11. Проблемы спецификации. 12. Линейная парная регрессия. 13. Метод наименьших квадратов. 14. Модель множественной регрессии. 15. Основные понятия и область применения экономико-математических методов и моделей. 16. Предмет и задачи курса «Экономико-математические методы и модели». 17. Классификация методов экономико-математического моделирования. 18. Этапы экономико-математического моделирования. 19. Имитационное моделирование экономических процессов. 20. Общая задача линейного программирования. 21. Способы преобразования задач линейного программирования. 22. Виды записи канонической задачи. 23. Графический метод решения задач линейного программирования. 24. Двойственные задачи в линейном программировании. 25. Геометрическая интерпретация симплексного метода. 26. Симплекс-метод решения задач линейной оптимизации. 27. Постановка и математическая модель транспортной задачи. 28. Построение начального опорного плана. 29. Нахождение оптимального решения методом потенциалов. 30. Описание модели межотраслевого баланса. 31. Продуктивность модели Леонтьева. 32. Прямые и полные затраты в модели Леонтьева. 33. Цены в системе межотраслевых связей. 34. Производственные множества и их свойства. 35. “Кривая” производственных возможностей и вмененные издержки. 36. Производственные функции и их свойства. 37. Производственная функция Кобба-Дугласа. 38. Экономико-математические методы формирования запасов. Типы издержек. 39. Модель Уилсона с бесконечной интенсивностью поставки без дефицита. 40. Экономико-математические методы формирования запасов с конечной интенсивностью поставки без дефицита. 41. Экономико-математические методы теории и основные параметры системы массового обслуживания (СМО). 42. Основные понятия теории игр. 43. Классификации игр. 44. Платежная матрица. Верхняя и нижняя цена игры. 45. Игры в чистых и смешанных стратегиях. 46. Статистические игры («игры с природой»). 47. Матрица рисков. 48. Критерии для принятия решений в статистических играх. 49. Предмет динамического программирования. 50. Постановка задачи динамического программирования. 51. Принцип оптимальности и математическое описание динамического процесса управления. 52. Оптимальное распределение инвестиций. 53. Основные понятия сетевого планирования и управления (СПУ). 54. Основные понятия сетевой модели. 55. Правила построения сетевых графиков. 56. Характеристики элементов сетевой модели. ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ Основная литература: 1. Гринберг, А.С. Экономико-математические методы и модели. – Мн., 2013. 2. Гринберг, А.С. Экономико-математическое моделирование. Компьютерный практикум. / Под ред. проф. А.С. Гринберга. – Мн., 2011. 3. Кузнецов, А.В. Экономико-математические методы и модели. / А.В. Кузнецов и др. Под общ. ред. А.В. Кузнецова. – Мн.: БГЭУ, 2011. 4. Орехов, Н.А. Математические методы и модели в экономике. / Н.А. Орехов и др. – М.: ЮНИТИ, 2011. 5. Федосеев, В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели. – М.: ЮНИТИ, 2011. Дополнительная литература: В качестве дополнительной литературы также может быть использован широкий круг источников – переводные и отечественные издания, материалы периодических изданий, имеющие отношение к экономической тематике: 1. Аксень, Э.М. Математические методы в финансах. / Э.М. Аксень. – Мн.: БГЭУ, 2006. 2. Ковалев, В.В. Введение в финансовый менеджмент. / В.В. Ковалев. – М.: Финансы и статистика, 2011. 3. Крюк, Е.В. Задачи многокритериальной оптимизации. / Е.В. Крюк. – Мн.: БГЭУ, 2008. 4. Монахов, А.В. Математические методы анализа экономики. / А.В. Монахов. – СПб.: Питер, 2002. 5. Первозванский, А.А. Финансовый рынок: расчет и риск. / А.А. Первозванский и др. – М.: Инфра-М., 2014. 6. Эддоус, М., Стэнфилд Р. Методы принятия решений. / М. Эддоус и др. – М.: «Аудит», ЮНИТИ, 2012. Средства диагностики результатов учебной деятельности Оценка уровня знаний студента производится по десятибалльной шкале в соответствии с критериями, утвержденными Министерством образования Республики Беларусь. Для оценки достижений студента рекомендуется использовать следующий диагностический инструментарий: • устный и письменный опрос во время практических занятий; • проведение текущих контрольных работ (заданий) по отдельным темам; • защита выполненных на практических занятиях индивидуальных заданий; • защита выполненных в рамках управляемой самостоятельной работы индивидуальных заданий; • собеседование при проведении индивидуальных и групповых консультаций; • выступление студента на конференции по подготовленному реферату; • сдача зачета (экзамена). Методические рекомендации по организации и выполнению самостоятельной работы студентов При изучении дисциплины рекомендуется использовать следующие формы самостоятельной работы: • выполнение индивидуальных и групповых заданий; • подготовка докладов и рефератов по индивидуальным темам; • составление глоссария по определенной теме. Методы (технологии) обучения  Основными методами (технологиями) обучения, отвечающими целям изучения дисциплины, являются: • элементы проблемного обучения (проблемное изложение, вариативное изложение, частично-поисковый метод), реализуемые на лекционных занятиях; • элементы учебно-исследовательской деятельности, творческого подхода, реализуемые на практических занятиях и при самостоятельной работе; • коммуникативные технологии (дискуссия, учебные дебаты, мозговой штурм и другие формы и методы), реализуемые на практических занятиях и конференциях.